必修第一、二册综合测试-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）

2023～2024高一数学综合测试（人教A版（2019）必修第一、二册） 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C B C B D A C BCD BCD BD 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 解：因为，因此，. 2. 已知，且为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 解：因为, 所以， 因为为第二象限角， 所以. 3. 如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面图形的周长为（ ） A. 4a B. 8a C. 6a D. 解：由直观图可得原图形， 所以，，， 所以，原图形的周长为. 4. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（ ） A. -11 B. 11 C. -9 D. 9 解：函数是定义在上的奇函数，故，解得， . 5. 设l是直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 解：对于A，若相交，令， 当，且时，满足，，显然不平行，A错误； 对于B，，则存在直线，使得， 而，则，因此，B正确； 对于C，若，令， 当且时，满足，而与不平行，C错误； 对于D，若，令， 当，时，有，此时或，与不垂直，D错误． 6. 从2，3，4三个数中任选2个，分别作为圆柱的高和底面半径，则此圆柱的体积大于的概率为（ ） A. B. C. D. 解：从2，3，4三个数中任选2个，作为圆柱的高和底面半径， 有，共6个样本点， 圆柱的体积，即，满足条件的样本点有，共3个样本点， 所以此圆柱的体积大于的概率. 7. 雷峰塔是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔．如图，某同学为了测量雷峰塔的高度，在地面C处时测得塔顶A在东偏北45°的方向上，向正东方向行走50米后到达D处，测得塔顶A在东偏北75°的方向上，仰角为45°，则可得雷峰塔离地面的高度值为（ ） A. 米 B. 50米 C. 米 D. 米 解：由题可得，，， 则，， 由正弦定理可得：，即，解得， 在中，. 8. 在平行四边形中，为的中点，，与交于点，过点的直线分别与射线，交于点，，，，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 解：由，，共线，可设， 由,,三点共线，故可设， 则有，解得：， 故， 由题意，，，三点共线， 故可设， 则，整理得， 故， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为； 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（    ） A. 若，则 B. 如果幂函数的图像不过原点，则或 C. 存在，有成立，则实数a的范围是 D. 在锐角三角形中，不等式 解：因为，所以，则 所以，故A错误， 选项B，由函数为幂函数， 所以，即 解得：或， 当时，不过原点， 当时，不过原点， 故或满足题意，故B正确， 选项C 由“存在，有成立” 的否定为：“任意，有成立” 由， 因为，令， 则， 所以， 所以“任意，有成立” 即， 令， 所以， 令， 当时，， 当时，， 所以函数在单调递减，在单调递增， 所以， 又 所以，所以， 所以 “存在，有成立，” 则实数a的范围是，故C正确， 在锐角三角形中， 因为， 所以， 所以， 所以， 同理 所以， 故D选项正确. 10. 已知圆台的轴截面如图所示，其上底面半径为1、下底面半径为2，母线长为2，为母线中点，则下列结论正确的是（ ） A. 圆台的高为2 B. 圆台的侧面积为 C. 圆台外接球的体积是 D. 在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为5 解：对于A,如图所示， 过作交于点，过作交于点, 根据题意在中，, 故A错误； 对于B，圆台的侧面积为，故B正确； 对于C，设圆台外接球的球心为，半径.由题意可得：. 设，则，由，即， 解得：.即重合，所以.圆台外接球的体积是.故C正确； 对于D，如图示， 在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为.由题意可得：.由为中点，所以，所以.故D正确. 11. 关于函数（），如下结论中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的值域是 D. 函数在上单调递减 解：A选项，， 故函数的最小正周期不是，A错误； B选项，， 故函数的图象关于直线对称，B正确； C选项，， 故是的一个正周期， 又的图象关于直线对称， 当时，， 因为，故， 当时，， 因为，故， 故当时，， 结合函数对称性可得，C错误； D选项，时， ， 由于在上单调递减，且， 而在上单调递增， 由复合函数单调性可知，函数在上单调递减，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. （为虚数单位），则________． 解：，. 13. 已知，，则________． 解：因为，即，可得， 又因为，可得， 所以. 14. 已知三棱锥中，，则三棱锥外接球半径与内切球半径之比为_______． 解：将三棱锥放置于长、宽、高分别是的长方体中（如图所示）， 则，解得， 而三棱锥外接球即为该长方体的外接球， 所以三棱锥外接球半径； 三棱锥的体积， 而三棱锥的表面积， 在中，由余弦定理得，， 所以，故； 设三棱锥内切球的半径为r， 则，所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量． （1）若，求； （2）若，求向量与的夹角． 解：（1）因为， 所以 即， 即， 即， 所以， 所以； （2）由题意可得 又因，所以， 解得， 所以 所以 即 又因为， 所以. 16. 已知的内角A，，的对边分别是，，，的面积为，且满足． （1）求角A的大小； （2）若，求周长的最大值． 解：（1）， ， 则， ，， 又，； （2），， 由余弦定理得， 即，， 所以,（当且仅当时取“＝”）， 故，， 最大值为8，的最大值为12， 周长的最大值为12． 17. 甲、乙两名技工加工某种零件，加工的零件需经过至多两次质检，首次质检合格的零件作为一等品出售，不合格的零件交由原技工进行重新加工，重新加工完进行再次质检，再次质检合格的产品作为二等品出售，不合格的作废品处理．已知甲加工的零件首次质检的合格率为，重新加工后再次质检的合格率为，乙加工的零件首次质检和重新加工后再次质检的合格率均为，且每次质检合格与否相互独立，现由甲、乙两人各加工1个零件． （1）求这2个零件均质检合格的概率； （2）若一等品的价格为100元，二等品的价格为50元，废品的价格为0元，求这2个零件的价格之和不低于100元的概率. 解：（1）设事件表示“甲加工的零件质检合格”，事件表示“甲加工的零件首次质检合格”，事件表示“甲重新加工的零件再次质检合格”；设事件表示“乙加工的零件质检合格”，事件表示“乙加工的零件首次质检合格”，事件表示“乙重新加工的零件再次质检合格”． 由题意知，，，且事件与，与互斥，事件与，与，与相互独立. 则， . 所以 （2）设事件表示“这2个零件的价格之和不低于100元”，则， ， ， 则. 18. 已知函数，其图象中相邻两个对称中心的距离为，且函数的图象关于直线对称； （1）求出的解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，若方程在上有两根，，求的值及的取值范围. 解：（1）因为函数的图象相邻的对称中心之间的距离为， 所以，即周期，所以， 所以， 又因为函数的图象关于直线轴对称， 所以，，即，， 因为，所以， 所以函数的解析式为； （2）将的图象向左平移个单位长度，得到曲线， 所以， 当时，，, 当时，有最小值且关于对称， 因为方程在上有两根，， 所以， ，即的取值范围. 19. 在棱长均为的正三棱柱中，为的中点．过的截面与棱，分别交于点，． （1）若为的中点，求三棱柱被截面分成上下两部分的体积比； （2）若四棱锥的体积为，求截面与底面所成二面角的正弦值； （3）设截面的面积为，面积为，面积为，当点在棱上变动时，求的取值范围． 解：（1）连接，并延长分别交，延长线于点，， 连接交于点，连接，． 易得． 故为靠近的三等分点．，． 下面求三棱柱被截面分成两部分的体积比． 三棱柱的体积． 连接，．由平面知，为定值． ． ． ．故． （2）由及得，． 又，所以． 即点到的距离为，为靠近的四等分点． 因为平面平面， 所以截面与平面所成角即为截面与平面所成角， 在中，，，故． 又因为平面平面，且平面平面， 所以平面．则即为截面与底面所成的二面角． 在中，，，． 故． 因此，截面与平面所成二面角的正弦值为． （3）设，则，． 设的面积为，所以． 又因为，所以． 且．令则 故． 令则，所以在上单调递减，所以，，所以， 所以 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023～2024高一数学综合测试 （人教A版（2019）必修第一、二册） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面图形的周长为（ ） A. 4a B. 8a C. 6a D. 4. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（ ） A. -11 B. 11 C. -9 D. 9 5. 设l是直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 从2，3，4三个数中任选2个，分别作为圆柱的高和底面半径，则此圆柱的体积大于的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 雷峰塔是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔．如图，某同学为了测量雷峰塔的高度，在地面C处时测得塔顶A在东偏北45°的方向上，向正东方向行走50米后到达D处，测得塔顶A在东偏北75°的方向上，仰角为45°，则可得雷峰塔离地面的高度值为（ ） A. 米 B. 50米 C. 米 D. 米 8. 在平行四边形中，为的中点，，与交于点，过点的直线分别与射线，交于点，，，，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（    ） A. 若，则 B. 如果幂函数的图像不过原点，则或 C. 存在，有成立，则实数a的范围是 D. 在锐角三角形中，不等式 10. 已知圆台的轴截面如图所示，其上底面半径为1、下底面半径为2，母线长为2，为母线中点，则下列结论正确的是（ ） A. 圆台的高为2 B. 圆台的侧面积为 C. 圆台外接球的体积是 D. 在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为5 11. 关于函数（），如下结论中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的值域是 D. 函数在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. （为虚数单位），则________． 13. 已知，，则________． 14. 已知三棱锥中，，则三棱锥外接球半径与内切球半径之比为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量． （1）若，求； （2）若，求向量与的夹角． 16. 已知的内角A，，的对边分别是，，，的面积为，且满足． （1）求角A的大小； （2）若，求周长的最大值． 17. 甲、乙两名技工加工某种零件，加工的零件需经过至多两次质检，首次质检合格的零件作为一等品出售，不合格的零件交由原技工进行重新加工，重新加工完进行再次质检，再次质检合格的产品作为二等品出售，不合格的作废品处理．已知甲加工的零件首次质检的合格率为，重新加工后再次质检的合格率为，乙加工的零件首次质检和重新加工后再次质检的合格率均为，且每次质检合格与否相互独立，现由甲、乙两人各加工1个零件． （1）求这2个零件均质检合格的概率； （2）若一等品的价格为100元，二等品的价格为50元，废品的价格为0元，求这2个零件的价格之和不低于100元的概率. 18. 已知函数，其图象中相邻两个对称中心的距离为，且函数的图象关于直线对称； （1）求出的解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，若方程在上有两根，，求的值及的取值范围. 19. 在棱长均为的正三棱柱中，为的中点．过的截面与棱，分别交于点，． （1）若为的中点，求三棱柱被截面分成上下两部分的体积比； （2）若四棱锥的体积为，求截面与底面所成二面角的正弦值； （3）设截面的面积为，面积为，面积为，当点在棱上变动时，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$