立体几何初步章末检测-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

立体几何初步章末检测 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知、是不重合的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 2．如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（    ） A． B． C．8 D．10 3．已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为且半径为2的扇形，记该圆锥的内切球半径为，外接球半径为，则（    ） A． B． C． D． 4．六氟化硫，化学式为，在常压下是十种无色､无臭､无毒､不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点.若相邻两个氟原子间的距离为2a，则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的表面积是（    ）（不计氟原子的大小）（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，是的中点，，侧面与底面所成的二面角的大小（   ）    A． B． C． D． 6．在如图所示的直三棱柱中，点和的中点以及的中点所确定的平面把三棱柱切割成体积不同的两部分， 则小部分的体积和大部分的体积比为（   ） A． B． C． D． 7．如图，三棱锥中， 平面，且，，.则该三棱锥的外接球的体积为（    ）    A． B． C． D． 8．已知正方体的棱长为是棱的中点，空间中的动点满足，且，则动点的轨迹长度为（    ） A． B．3 C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法正确的是（    ）    A．四点共面 B． C．三线不共点 D． 10．如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列正确的是（    ） A．正三棱柱的外接球表面积为 B．若是棱中点，则三棱锥的体积为 C．周长的最小值为 D．棱上总存在点，使得直线平面 11．如图，正方体的棱长为1，下列说法正确的是（    ） A．直线与平面所成角的正切值为 B．若点在正方体表面上运动且满足，则点的轨迹的长度为 C．四棱锥与四棱锥公共部分的体积为 D．设直线与平面交于点，则三棱锥外接球的表面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知圆台的上下底面半径分别为，侧面积为，在圆台内部放置一个正四面体，使其可以任意转动，则该正四面体的体积的最大值为 ． 13．已知正方体的棱长为2，点K是棱的中点，过A，C，K三点作正方体的截面，则截面的面积为 . 14．如图某机器零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的体积和为 . 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 如图，正方体的棱长为2，E为的中点. (1)求三棱锥的体积； (2)求证：. 16.（本小题15分） 如图，在直四棱柱中，底面是菱形，，，分别为棱，的中点，是棱上的一点，，是棱上的一点，． (1)求证：平面平面； (2)求证：平面平面． 17.（本小题15分） 已知和都是直角三角形，，E，F分别是边AB，AD的中点，现将沿BD边折起到的位置，如图所示，使平面平面BCD． (1)求证：平面BCD； (2)求证：平面平面； (3)请你判断，与BD是否有可能垂直，做出判断并写明理由． 18.（本小题17分） 已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)若为的中点 ①求与平面所成角的正弦值； ②求二面角的平面角的余弦值． 19.（本小题17分） 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，． (1)求直线与平面所成角的余弦值； (2)证明：平面； (3)求三棱锥的体积． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 立体几何初步章末检测解析版 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知、是不重合的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】A 【分析】对于A，先判断，然后由线面平行判定定理可判断；对于BCD，通过正方体模型举反例即可判断. 【详解】对于A，因为，，所以， 又，，所以，A正确； 对于B，在正方体中， 记平面为，平面为，为，为， 则，，，但与不平行，B错误； 对于C，记平面为，平面为，为，为， 由正方体性质可知，平面，平面，所以， 则，，，但不垂直，C错误； 对于D，记为，为，平面为， 则，，但与不垂直，D错误. 故选：A 2．如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（    ） A． B． C．8 D．10 【答案】D 【分析】根据斜二测法判断的形状，并求出各边边长，即可求周长. 【详解】由题设知：原四边形中且， 所以原四边形为平行四边形， 而，则原四边形中，故， 综上，四边形的周长为. 故选：D 3．已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为且半径为2的扇形，记该圆锥的内切球半径为，外接球半径为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设为圆锥的轴截面，为底面圆的圆心，先求出圆锥的底面圆的半径，利用等面积法求出，利用正弦定理可求出，即可得解. 【详解】设圆锥的底面圆的半径为， 则，所以， 如图，为圆锥的轴截面，为底面圆的圆心， 则内切圆的半径即为该圆锥的内切球半径， ， 则，解得， 在中，，则， 则，所以， 所以. 故选：A. 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 4．六氟化硫，化学式为，在常压下是十种无色､无臭､无毒､不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点.若相邻两个氟原子间的距离为2a，则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的表面积是（    ）（不计氟原子的大小）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】相邻两个氟原子间的距离为2a， 故正八面体的每个面都是边长为2a的等边三角形， 故正八面体的表面积为：. 故选：A. 5．如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，是的中点，，侧面与底面所成的二面角的大小（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，取的中点，连接，由二面角的定义可得为侧面与底面所成的二面角的平面角，然后代入计算，即可求解. 【详解】取的中点，连接，    因为为正四棱锥，为底面正方形的中心，所以底面， 平面，所以，， 又底面为正方形，为中点， 所以，且，平面， 所以平面，又平面，所以， 则为侧面与底面所成的二面角的平面角， 又，， 所以，且为锐角， 所以，即侧面与底面所成的二面角为. 故选：D 6．在如图所示的直三棱柱中，点和的中点以及的中点所确定的平面把三棱柱切割成体积不同的两部分， 则小部分的体积和大部分的体积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，得到四边形为截面，连接，小部分几何体可看作三棱锥和四棱锥，根据全等和相似关系得到四边形的面积，从而得到四棱锥的体积为，进而得到，小部分几何体的体积等于，求出大部分几何体体积，求出体积之比. 【详解】延长与于点，连接交于点，连接，则四边形为截面， 连接，小部分几何体可看作三棱锥和四棱锥， 因为为的中点，，故，所以， 又为的中点，故，故，相似比为1:2， 故，，又， 故四边形的面积， 故四棱锥的体积为， 设矩形的面积为， 故， 故， 又，故， 故， 故小部分几何体的体积等于， 故大部分几何体的体积等于， 故小部分的体积和大部分的体积比为. 故选：D 【点睛】方法点睛：立体几何中截面的处理思路： （1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程； （2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线； （3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线； （4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面. 7．如图，三棱锥中， 平面，且，，.则该三棱锥的外接球的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题由已知条件可推出三棱锥各个侧面和底面均为直角三角形，由此可以判断该三棱锥的外接球的球心为线段SC的中点，由此得出球的半径，从而求得球的体积. 【详解】因为平面，所以，，所以是直角三角形， 又因为在中，，，由余弦定理得， 即，解得， 所以，由勾股定理得， 又，且两直线在平面内，所以平面， 所以，所以是直角三角形， 如图，取的中点，则有， 则为三棱锥的外接球的球心，故半径， 所以三棱锥的外接球的体积. 故选：D.    8．已知正方体的棱长为是棱的中点，空间中的动点满足，且，则动点的轨迹长度为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】分别取的中点，连接，证明平面，从而可得点在平面内，再根据，得点在以为球心，半径为1的球面上，可得动点的轨迹为平面与球的球面的交线，求出平面截球所得截面圆的半径，即可得解. 【详解】如图，分别取的中点，连接， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以，所以， 又，所以，所以， 又，平面，所以平面， 由，得点在平面内， 由，得点在以为球心，半径为1的球面上， 因此动点的轨迹为平面与球的球面的交线，即在平面内的圆， 连接，设点到平面的距离为，平面截球所得截面圆的半径为， 则由得， 且，所以，则， 因此动点的轨迹长度为. 故选：D. 【点睛】思路点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借助线面、面面平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法正确的是（    ）    A．四点共面 B． C．三线不共点 D． 【答案】AB 【分析】连接，证得且，可得判定A正确、B正确；延长相交于点，结合平面的性质，可判定C不正确；由和时，得到，可判定D错误． 【详解】对于A、B中，如图所示，连接， 因为是的中位线，所以，且， 又因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，且，所以为梯形， 所以四点共面，所以A、B正确； 对于C中，如图所示，延长相交于点， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面， 因为平面平面，所以， 所以三线共点，所以C不正确； 对于D中，因为，当时，， 又，则，所以D错误． 故选：AB    10．如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列正确的是（    ） A．正三棱柱的外接球表面积为 B．若是棱中点，则三棱锥的体积为 C．周长的最小值为 D．棱上总存在点，使得直线平面 【答案】ABD 【分析】对于A：设外接球半径为，底面外接圆半径为，根据，即可求解；对于B：利用等体积转换即可求解；对于C：由侧面展开图确定周长最小值即可求解；对于D：在上取一点使得，当时，四边形为平行四边形，从而可得，再由线面平行的判定定理得到直线平面. 【详解】对于A,正三棱柱中，， 设外接球半径为，底面外接圆半径为， 所以，即， 因为， 所以正三棱柱正三棱柱得外接球表面积为，故A正确； 对于B，因为是棱中点，所以，因为 , 所以三棱锥的体积为，故B正确； 对于C， 由侧面展开图所示， 周长 , 所以其最小值为故C错误； 对于D, 在上取一点使得，则， 当时，四边形为平行四边形，故， 又平面， 平面，所以直线平面,故D正确， 故选:ABD. 11．如图，正方体的棱长为1，下列说法正确的是（    ） A．直线与平面所成角的正切值为 B．若点在正方体表面上运动且满足，则点的轨迹的长度为 C．四棱锥与四棱锥公共部分的体积为 D．设直线与平面交于点，则三棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【分析】对于A，将直线与平面所成角转化为直线与直线所成角即可；对于B，根据，在正方体每个表面上确定点的运动轨迹即可；对于C，先确定四棱锥与四棱锥的公共部分，并将公共部分分成一个三棱柱与一个四棱锥，计算体积即可；对于D，先确定三棱锥底面的外心，再确定三棱锥的球心及半径，计算表面积即可. 【详解】对于A，连接，如图①所示，因为平面, 所以直线与平面所成角即为直线与直线所成角， 设直线与直线所成角为， 所以，故A正确； 对于B，在线段取点，在线段取点，连接， 使得，即， 因为点在正方体表面上运动，且， 所以点在平面上运动时，则弧长即为点在平面的运动轨迹， 同理弧长为点在平面的运动轨迹，如图①所示， 所以点在正方体表面的运动弧长为， 其中弧长分别以为圆心，半径为的圆弧， 弧长都是以为圆心，半径为的圆弧， 又因为， 所以，故B错误； 对于C，如图②所示，设直线与交于点，直线与交于点, 分别取中点,连接， 四棱锥与四棱锥的公共部分为多边形, 且多边形可分为三棱柱与四棱锥, 故， ， 所以公共部分的体积为，故C正确； 对于D，如图③所示，直线与平面的交点为的三等分点（靠近点）， 过作平面，则点为的三等分点（靠近点）， 直线与直线相交于点, 所以与相似，即, 即，因为为等腰直角三角形，所以点为的外心， 过点作平面，则, 设三棱锥的外接球球心为，半径为，，如图④所示， 且， 所以在中，由勾股定理得 ， 在中，由勾股定理得 ， 解得，所以三棱锥外接球的表面积为， 故D正确. 故选：ACD. 图①                           图②    图③                           图④ 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知圆台的上下底面半径分别为，侧面积为，在圆台内部放置一个正四面体，使其可以任意转动，则该正四面体的体积的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】圆台的上下底面中心分别为，上底面半径，下底面半径， 由侧面积为，圆台母线长， 设圆台内能放置的最大球的球心为，且与底面和母线AB分别切于两点， 则，所以，， 则，可得球的半径， 球的直径为，即此时球与圆台上底面不相切， 该球的内接正四面体就是在圆台内可以任意转动的最大的正四面体， 正四面体可扩成正方体，正四面体的棱是正方体的面对角线， 正四面体的外接球也是正方体的外接球， 设正方体的棱长为，则有，， 则正四面体的体积为. 故答案为： 13．已知正方体的棱长为2，点K是棱的中点，过A，C，K三点作正方体的截面，则截面的面积为 . 【答案】/4.5 【详解】如图， 取的中点，连接，则， 则在正方体中，， 所以四边形是平行四边形， 所以，又，所以， 则四边形即为过A，C，K三点截面， 因为正方体的棱长为2， 所以，， ， 即四边形为等腰梯形，过作于，如图， 则， 其面积为. 故答案为：. 14．如图某机器零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的体积和为 . 【答案】/ 【详解】如图所示正四面体，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，过作交于，连接， 则为正四面体内切球的半径， 因为，，， 所以， 所以，解得， 所以正四面体内切球的体积， 由图可知最大球内切于高的正四面体中，最大球半径， 故最大球体积为； 中等球内切于高的正四面体中，中等球半径， 故中等球的体积为； 最小求内切于高的正四面体中，最小球半径， 故最小求的体积为； 所以九个球的体积和， 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 如图，正方体的棱长为2，E为的中点. (1)求三棱锥的体积； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可知，为的中点，且正方体棱长为2， 所以三棱锥体积为： . （2）因为正方体中平面，且平面， 所以. 连接，又因为底面为正方形，所以. 因为，且平面， 所以平面， 又因为平面，所以. 16.（本小题15分） 如图，在直四棱柱中，底面是菱形，，，分别为棱，的中点，是棱上的一点，，是棱上的一点，． (1)求证：平面平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）分别取，的中点，，连接ME，，，，如图所示． 因为M是AB的中点，E是CD的中点，易得四边形是平行四边形，所以． 因为G是棱上的一点，，H是棱AB上的一点，， 所以，，所以四边形是平行四边形，所以， 所以，又平面，平面，所以平面．           因为N是的中点，E是CD的中点，易得四边形是平行四边形，所以． 又G是棱上的一点，，所以G是的中点，又F是的中点， 所以，所以，又平面，平面，所以平面，           又，平面，所以平面平面； （2）连接，因为底面是菱形，，所以是等边三角形， 又E是CD的中点，所以，           因为直四棱柱，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以， 又，平面，所以平面，           又平面，所以平面平面．           17.（本小题15分） 已知和都是直角三角形，，E，F分别是边AB，AD的中点，现将沿BD边折起到的位置，如图所示，使平面平面BCD． (1)求证：平面BCD； (2)求证：平面平面； (3)请你判断，与BD是否有可能垂直，做出判断并写明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)与BD不可能垂直，理由见解析 【详解】（1）因为E、F分别是边AB、AD的中点， 所以 因为平面BCD，平面BCD， 所以平面BCD． （2）因为平面平面BCD， 平面平面， 平面BCD，， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面． 因为平面，所以平面平面． （3）结论：与BD不可能垂直． 理由如下： 假设， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以与矛盾，故与BD不可能垂直． 18.（本小题17分） 已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)若为的中点 ①求与平面所成角的正弦值； ②求二面角的平面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②． 【详解】（1）因为，，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以． 取的中点，连接，，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以． 因为，，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为,，，平面，所以平面． （2）①过点作，垂足为．如图所示， 由（1）知，平面．因为平面，所以． ，所以平面， 所以就是与平面所成角的平面角． 由（1）知，平面，平面，所以． 在中，，，， 因为为的中点，所以． 在中，， 在中，， 在中，， 所以由同角三角函数的基本关系得． 所以与平面所成角的正弦值为． ②取的中点为，连接，因为为线段的中点， 所以， 由（1）知，平面，所以平面，平面． 所以． 过点作，垂足为，连接，，，平面， 所以平面．平面，所以， 所以为二面角的平面角． 在中，， 由（1）知，为等边三角形，为线段的中点， 所以 由（1）知，平面，平面．所以， 在中，，由（2）知，， 即，解得． 因为平面，平面，所以． 在中，． ， 所以二面角的平面角的余弦值为． 19.（本小题17分） 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，． (1)求直线与平面所成角的余弦值； (2)证明：平面； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为平面，平面， 所以，因为为正方形， 所以，又，平面， 所以，故就是直线与平面所成角， 中，易得， 所以，， 所以直线与平面所成角的余弦值为 ； （2）因为平面平面， 所以，因为， 所以四边形为直角梯形，所以， 在中，，则， 故，因为平面平面， 所以，在中，， 在中，， 所以，由（1）知， 又平面， 所以平面； （3）设三棱锥的高为，则， 由（2）得，平面，所以三棱锥的高即为， ，又在中，， 所以，， 所以. . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$