专题10 线段上的动点问题的三种考法-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都七年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

专题10 线段上的动点问题的三种考法 目录 【考法一、线段上的中点问题】 1 【考法二、线段之间的和差问题】 2 【考法三、定值问题】 4 【课后训练】 5 【考法一、线段上的中点问题】 例．如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点． (1)若，求线段的长； (2)若C为线段上任一点，满足，其它条件不变，你能猜想的长度吗？请直接写出你的答案． (3)若C在线段的延长线上，且满足，M、N分别为的中点，你能猜想的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 变式1．如图，已知线段，、是线段上的两个动点（点在点的左侧，且都不与端点、重合），，为的中点． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，为的中点． ①点在线段上移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请仅以图为例求出的长； ②当时，请直接写出线段的长． 变式2．已知B、C在线段上．    (1)如图，共有 　　条线段； (2)如图，． ①比较线段的大小： 　　（填：“”、“”或“”）； ②若，，则的长为 　　cm； (3)若，且E为中点，求与的数量关系．（温馨提醒：重新画图） 变式3．如图，已知点、在线段上． (1)图中共有________条线段； (2)若比较线段的大小：________（填：“>”，“=”，或“<”）； (3)若，，是的中点，是的中点（如下图）． ①求的长度； ②嘉嘉同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 【考法二、线段之间的和差问题】 例．（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长； （2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）， ①如图2，M，N分别是，的三等分点，即，，求的长； ②若M，N分别是，的n等分点，即，，直接写出的值． 变式1．如图所示，M是线段AB上一定点，，C，D两点分别从点M，B出发以，的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（点C在线段AM上，点D在线段BM上）． （1）当点C，D运动了时，求的值． （2）若点C，D运时，总有，则_______． （3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且，求的值． 变式2．已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．    (1)若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长； ②若点在线段上，且，，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 变式3．如图，点O是数轴的原点，点A在数轴上位于原点左侧，点B在数轴上位于原点右侧，． (1)当，时，点A表示的数为______，点B表示的数为______； (2)若点C、D为数轴上任意两点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． ①当点C与点D重合时，探究与的数量关系，并说明理由． ②当时，直接写出的长度（用m，n表示）． 【考法三、定值问题】 例．如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）． （1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置； （2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值； （3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 变式1．如图，点C在线段上，线段，，M，N分别在线段，上，且，． (1)求线段的长度． (2)若点C为线段上任意一点，且，其他条件不变，则线段的长度为 　　． (3)若题中的条件变为“点C在线段的延长线上”，其他条件不变，则的长度会有变化吗？若有变化，请求出结果． 变式2．【感悟体验】如图，三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图，下列情形中与互为“对称线段”的是 （直接填序号）． ；；． 【运用概念】如图，与互为“对称线段”，点为的中点，点为的中点，且． （1）若，求的长； （2）若，求的长； 【拓展提升】如图，在同一直线上依次有四点，且（为常数），点为的中点，点在上且．是否存在的值使得的长为定值？若存在，请求出的值以及这个定值（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 【课后训练】 1．如图所示，线段点从点出发以的速度沿向左运动，点从点出发以的速度沿向左运动（在线段上，在线段上） (1)若运动到任意时刻都有，求出在上的位置； (2)在（1）的条件下，是直线上一点，若，求的值； (3)在（1）的条件下，若运动了一段时间后恰有，这时点停止运动，点继续在线段上运动，分别是的中点，求出的值． 2．如图，已知点C在线段AB上，AB=20，BC=AC，点D，E在射线AB上，点D在点E的左侧． (1)DE在线段AB上，当E为BC中点时，求CE的长； (2)在（1）的条件下，点F在线段AB上，CF=3，求EF的长； (3)若AB=2DE，线段DE在射线AB上移动，且满足关系式4BE=3（AD+CE），求的值． 3．【问题情境】已知A，，，四点在同一直线上，线段，点在线段上． 【初步应用】（1）如图1，点是线段的中点，，求线段的长度； 【迁移应用】（2）若点是直线上的一点，且满足，，求线段的长度． 4．点在线段上，． (1) 如图1，，两点同时从，出发，分别以，的速度沿直线向左运动；    ①在还未到达点时，的值为 ； ②当在右侧时(点与不重合)，取中点，的中点是，求的值； (2) 若是直线上一点，且．则的值为 ． 5．已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧， （1）若，，线段在线段上移动， ①如图1，当E为中点时，求的长； ②当点C是线段的三等分点时，求的长； （2）若，线段在直线上移动，且满足关系式，则　 　． 6．如图，点位于数轴原点，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动． (1)若点表示的数为，点表示的数为7，当点，运动时间为2秒时，求线段的长； (2)若点，分别表示，6，运动时间为，当为何值时，点是线段的中点． (3)若，是数轴上的一点，且，求的值． 7．如图已知线段、， (1)线段在线段上（点C、A在点B的左侧，点D在点C的右侧） ①若线段，，M、N分别为、的中点，求的长． ②M、N分别为、的中点，求证： (2)线段在线段的延长线上，M、N分别为、的中点，②中的结论是否成立？请画出图形，直接写出结论 8．已知线段 ，线段 在直线 上运动（ 在 的左侧，在 的左侧）． (1)若 满足 ①当 点与 点重合时， ； ②、分别是 、的中点，当 时，求 的长； (2)当线段 运动到 点距离 点一个单位长度时，若有一点 在 点右侧且位于线段 的延长线上，试求 的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 线段上的动点问题的三种考法 目录 【考法一、线段上的中点问题】 1 【考法二、线段之间的和差问题】 7 【考法三、定值问题】 14 【课后训练】 19 【考法一、线段上的中点问题】 例．如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点． (1)若，求线段的长； (2)若C为线段上任一点，满足，其它条件不变，你能猜想的长度吗？请直接写出你的答案． (3)若C在线段的延长线上，且满足，M、N分别为的中点，你能猜想的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，图形见解析；结论理由见解析 【分析】（1）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解； （2）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解； （3）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解∶ ∵M、N分别是的中点， ∴， ∵， ∴； （2）解∶ ∵M、N分别是的中点， ∴， ∵， ∴； （3）解∶ ，理由如下∶ 如图， ∵M、N分别是的中点， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，明确题意，准确得到线段间的数量关系是解题的关键． 变式1．如图，已知线段，、是线段上的两个动点（点在点的左侧，且都不与端点、重合），，为的中点． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，为的中点． ①点在线段上移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请仅以图为例求出的长； ②当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)；(2)①不会发生变化，的长是；②或 【分析】本题考查两点间的距离， （1）先求出，再根据线段中点的定义得到，最后根据可得答案； （2）①根据可得结论；②分两种情况讨论即可； 熟练掌握线段中点的定义与线段的和差是解题关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴的长为； （2）①∵是的中点，是的中点，，， ∴，， ∴ ， ∴线段的长度不会发生变化，； ②当点在点的左侧时， ∵，， ∴， 由①知：， ∴； 当点在点的右侧时， ∵，CD=2，∴， 由①知：，∴， 综上所述，当时，线段的长为或． 变式2．已知B、C在线段上．    (1)如图，共有 　　条线段； (2)如图，． ①比较线段的大小： 　　（填：“”、“”或“”）； ②若，，则的长为 　　cm； (3)若，且E为中点，求与的数量关系．（温馨提醒：重新画图） 【答案】(1)6 (2)①＝；②20 (3) 【分析】本题主要考查了线段的长度计算和线段中点的性质，关键是掌握线段的和、差、倍、分及计算方法． （1）根据图形依次数出线段的条数即可； （2）①根据等式的性质即可得到答案； ②依据线段的和差关系进行计算，即可得出的长； （3）根据题意画出图形，设，则，利用中点的性质分别表示出和的长度，分析关系即可． 【详解】（1）解：图中有线段：、、、、、，共6条， 故答案为：6． （2）解：①， ， 即， 故答案为：． ②，， ， ， ， ， 故答案为：20． （3）解：如图，当点在的延长线上，    设，则， 为的中点， ， ， ， ． 如图，当点在线段上时，    设，则， 为的中点， ， ， ， ． 变式3．如图，已知点、在线段上． (1)图中共有________条线段； (2)若比较线段的大小：________（填：“>”，“=”，或“<”）； (3)若，，是的中点，是的中点（如下图）． ①求的长度； ②嘉嘉同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 【答案】(1)6 (2) (3)①；②同意，理由见详解 【分析】本题主要考查了两点间的距离以及线段的和差关系，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性． （1）依据、在线段上，即可得到图中共有线段． （2）依据，即可得到，进而得出． （3）①依据线段的和差关系以及中点的定义，即可得到的长度． ②分为当点在线段上，点在射线上运动时；当点在射线上，点在射线上运动时，两种情况分别求解判断即可； 【详解】（1）解：∵、在线段上， ∴图中共有线段共6条． 故答案为：6； （2）若，则，即． 故答案为：； （3）①∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴．    ②当线段在射线上运动时， 当点在线段上，点在射线上运动时：      ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． 当点在射线上，点在射线上运动时：    ∵，∴， ∵是的中点，是的中点，∴， ∴， ∴． ∴线段的长度不变． 【考法二、线段之间的和差问题】 例．（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长； （2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）， ①如图2，M，N分别是，的三等分点，即，，求的长； ②若M，N分别是，的n等分点，即，，直接写出的值． 【答案】（1）6；（2）①；② 【分析】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． （1）由中点的定义可得，然后根据求解即可； （2）①由，可得，然后根据求解即可；②仿照（2）的过程求解即可． 【详解】解：（1），分别是，的中点 （2）① ，； ②， ． 变式1．如图所示，M是线段AB上一定点，，C，D两点分别从点M，B出发以，的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（点C在线段AM上，点D在线段BM上）． （1）当点C，D运动了时，求的值． （2）若点C，D运时，总有，则_______． （3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且，求的值． 【答案】（1）6cm；（2）4；（3）或1 【分析】（1）由题意得CM=2cm，BD=4cm，根据AC+MD=AM-CM+BM-BD=AB-CM-BD可得答案； （2）根据C、D的运动速度知BD=2MC，再由已知条件MD=2AC求得MB=2AM，所以AM=AB； （3）分点N在线段AB上时和点N在线段AB的延长线上时分别求解可得． 【详解】解：（1）当点C、D运动了2s时，CM=2cm，BD=4cm ∵AB=12cm，CM=2cm，BD=4cm， ∴AC+MD=AM-CM+BM-BD=AB-CM-BD=12-2-4=6（cm）； （2）根据C、D的运动速度知：BD=2MC， ∵MD=2AC， ∴BD+MD=2（MC+AC），即MB=2AM， ∵AM+BM=AB， ∴AM+2AM=AB， ∴AM=AB=4， 故答案为：4； （3）①当点N在线段AB上时，如图1， ∵AN-BN=MN， 又∵AN-AM=MN， ∴BN=AM=4， ∴MN=AB-AM-BN=12-4-4=4， ∴； ②当点N在线段AB的延长线上时，如图2， ∵AN-BN=MN， 又∵AN-BN=AB， ∴MN=AB=12， ∴， 综上：的值为或1． 【点睛】本题考查了两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点． 变式2．已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．    (1)若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长； ②若点在线段上，且，，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）根据已知条件得到，，①由线段中点的定义得到，求得，由线段的和差得到；②点在点的左侧，点是的中点，所以，可以根据进行求解，当点在点的右侧，，，求出的长度，再根据进行求解即可； （2）当在点的右侧时，设，，则，，，求得，当在点的左侧时，设，，则，，，求得，分别代入关系式即可得出答案． 【详解】（1）解：①，，， ，， 如图， 为中点， ， ， ； ②如图， ， 点在点的左侧， 点是的中点， ， ， ； 当点在点的右侧，如图 ，， ， ， （不合题意，舍去）， 综上所述，的长为； （2），，满足关系式， 如图，当在点的右侧时： 设，，则， ，， ，， ， ， ， ， 解得，，    ； 如图，当在点的左侧时： 设，，则， ，， ，， ， ， ， ， 解得，，    ． 故答案为是或． 【点睛】本题考查了两点间的距离，熟悉各线段间的和、差及倍数关系，根据题意分情况讨论是解答本题的关键． 变式3．如图，点O是数轴的原点，点A在数轴上位于原点左侧，点B在数轴上位于原点右侧，． (1)当，时，点A表示的数为______，点B表示的数为______； (2)若点C、D为数轴上任意两点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． ①当点C与点D重合时，探究与的数量关系，并说明理由． ②当时，直接写出的长度（用m，n表示）． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②或 【分析】本题考查数轴上点的表示，数轴上点的移动． （1）根据题意列出算式即可； （2）①根据题意分情况讨论列式即可证明出；②根据题意分9种情况讨论并列式分别计算即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，即， ∵点B在数轴上位于原点右侧， ∴点B表示的数为：， ∴， ∵点A在数轴上位于原点左侧， ∴点A表示的数为∶， 故答案为：； （2）解：①∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ，， 如图，当点C在线段上时： ， 即：； 如图，当点C在线段的延长线上时： ， ； 如图，当点C在线段的延长线上时： ， ； 综上所述，； ②∵点C、D为数轴上任意两点，点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴分情况讨论： 当在上时，点D在上时， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当在上时，点D在延长线上时， 设：，则， ∵， ∴，∴， ∴； 当在上时，点D在延长线上时， 设，则，， ∴，∴， ∴，∴； 当在延长线上时，点D在延长线上时， 同理得：； 当在延长线上时，点D在上时， 同理得：； 当在延长线上时，点D在延长线上时， 同理得：； 当在延长线上时，点D在延长线上时， 同理得：； 当在延长线上时，点D在上时， 同理得：； 当在延长线上时，点D在延长线上时， 同理得：； 综上所述：或 【考法三、定值问题】 例．如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）． （1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置； （2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值； （3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 【答案】（1）点P在线段AB的处；（2）或；（3）结论②的值不变正确，. 【分析】（1）设运动时间为t秒，用含t的代数式可表示出线段PD、AC长，根据，可知点在线段上的位置； （2）由可知，当点Q在线段AB上时，等量代换可得，再结合可得的值；当点Q在线段AB的延长线上时，可得，易得的值. （3）点停止运动时，，可求得CM与AB的数量关系，则PM与PN的值可以含AB的式子来表示，可得MN与AB的数量关系，易知的值. 【详解】解：（1）设运动时间为t秒，则， 由得，即 ，，，即 所以点P在线段AB的处； （2）①如图，当点Q在线段AB上时， 由可知， ②如图，当点Q在线段AB的延长线上时， ， 综合上述，的值为或； （3）②的值不变. 由点、运动5秒可得， 如图，当点M、N在点P同侧时， 点停止运动时，， 点、分别是、的中点， 当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以； 如图，当点M、N在点P异侧时， 点停止运动时，， 点、分别是、的中点， 当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以； 所以②的值不变正确，. 【点睛】本题考查了线段的相关计算，利用线段中点性质转化线段之间的和差倍分关系是解题的关键. 变式1．如图，点C在线段上，线段，，M，N分别在线段，上，且，． (1)求线段的长度． (2)若点C为线段上任意一点，且，其他条件不变，则线段的长度为 　　． (3)若题中的条件变为“点C在线段的延长线上”，其他条件不变，则的长度会有变化吗？若有变化，请求出结果． 【答案】(1)16 (2) (3)有变化，4 【分析】本题主要考查了线段间的数量关系，解题的关键是数形结合，熟练掌握线段间的数量关系． （1）根据线段间的数量关系，求出，，然后求出结果即可； （2）根据线段间的数量关系进行解答即可； （3）先求出，再求出，根据线段间的数量关系，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， 故答案为：； （3）解：有变化． 理由如下：当C点在的延长线时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的长度有变化． 变式2．【感悟体验】如图，三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图，下列情形中与互为“对称线段”的是 （直接填序号）． ；；． 【运用概念】如图，与互为“对称线段”，点为的中点，点为的中点，且． （1）若，求的长； （2）若，求的长； 【拓展提升】如图，在同一直线上依次有四点，且（为常数），点为的中点，点在上且．是否存在的值使得的长为定值？若存在，请求出的值以及这个定值（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】【感悟体验】画图见解析；【认识概念】；【运用概念】（1），（2），【拓展提升】当时,为定值． 【分析】【感悟体验】 ：以点为圆心以长度为半径交直线于点即可求解； 【认识概念】，故①不符合题意； ，，故不符合题意；设，则，同理可得，即可求解； 【运用概念】 设点对应的数为，点对应的数为，则点，对应的数为，， 则点对应的数为，点对应的数为，即可求解； 【拓展提升】设点对应的数为：，点对应的数为：，则点、对应的数分别为：，，求出 ，即可求解； 本题考查了几何变换，涉及到新定义、中点坐标公式的运用等，准确设定点所对应的数是解题的关键. 【详解】【感悟体验】：以点为圆心以长度为半径交直线于点 则点为所求点，如下图： 【认识概念】 ，故不符合题意； ，故不符合题意； 设 ，则， 同理可得：，故符合题意， 故答案为：； 【运用概念】设点对应的数为，点对应的数为，则点，对应的数为，， 则点对应的数为，点对应的数为， （）当，即，则， 则， （）当，即， 则， 【拓展提升】存在，理由： 设点对应的数为：，点对应的数为：， 则点、对应的数分别为：，， 则点对应的数为， 而， 则点对应的数为： ， 则 ， 当时，为定值． 【课后训练】 1．如图所示，线段点从点出发以的速度沿向左运动，点从点出发以的速度沿向左运动（在线段上，在线段上） (1)若运动到任意时刻都有，求出在上的位置； (2)在（1）的条件下，是直线上一点，若，求的值； (3)在（1）的条件下，若运动了一段时间后恰有，这时点停止运动，点继续在线段上运动，分别是的中点，求出的值． 【答案】(1)点P在线段上的离A较近的处 (2)或 (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解题的关键． （1）根据的运动速度知，再由已知条件求得，所以点P在线段上离A点较近的处； （2）由题设画出图示，根据求得；然后求得，从而求得与的关系； （3）当C点停止运动时，有，故，再设，，，即可列式得出答案． 【详解】（1）根据的运动速度知：， ∵， ∴，即， ∴点P在线段上的离A点较近的处； （2）如图： ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴； 当点 ∵ ，且 ，，    ∴ ． 综上所述，长为或； （3）的值不变，理由： 如图2, 当点停止运动时，有， ∴ ， D点继续运动，设，，， ∴． 2．如图，已知点C在线段AB上，AB=20，BC=AC，点D，E在射线AB上，点D在点E的左侧． (1)DE在线段AB上，当E为BC中点时，求CE的长； (2)在（1）的条件下，点F在线段AB上，CF=3，求EF的长； (3)若AB=2DE，线段DE在射线AB上移动，且满足关系式4BE=3（AD+CE），求的值． 【答案】(1)CE=2.5； (2)EF的长为0.5或5.5； (3)． 【分析】（1）根据AC=20，BC=AC可得BC的长度，再根据线段的中点可得答案； （2）分两种情况：当点F在点E的右侧或当点F在点E的左侧，再根据线段的中点计算即可； （3）根据DE的位置分情况计算即可． 【详解】（1）解：∵AB=20，BC=AC， ∴BC=5，AC=15， ∵E为BC中点， ∴CE=2.5； （2）解：当点F在点E的右侧，如图， EF=CF-CE=3-2.5=0.5， 当点F在点E的左侧，如图， EF=CF+CE=3+2.5=5.5， 综上：EF的长为0.5或5.5； （3）解：∵BC=AC，AB=2DE，满足关系式4BE=3（AD+CE），设CE=x，BC=5，AC=15，DE=10， ①当DE在线段AC上时，如图， 则AD=15-x-10=5-x，BE=5+x， ∵4BE=3（AD+CE）， 即4（5+x）=3（5-x+x）， 解得x=-1.25，不合题意，舍去； ②当点C在DE之间时，如图， ∴AD=15+x-10=5+x，BE=5-x， ∵4BE=3（AD+CE）， 即4（5-x）=3（5+x+x）， 解得x=0.5， ∴CD=10-0.5=9.5， ∴； ③线段CB在线段DE上时，如图， 则AD=15+x-10=5+x，BE=x-5， 即4（x-5）=3（5+x+x）， 解得x=-17.5，不合题意，舍去； ④当D在CB之间时，如图， AD=15+x-10=5+x，BE=x-5， 即4（x-5）=3（5+x+x）， 解得x=-17.5，不合题意，舍去； ⑤当D在B的右边时，如图， AD=15+x-10=5+x，BE=x-5，即4（x-5）=3（5+x+x）， 解得x=-17.5，不合题意，舍去． 综上，． 【点睛】本题考查了两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义和线段的和差是解题关键，注意分情况计算． 3．【问题情境】已知A，，，四点在同一直线上，线段，点在线段上． 【初步应用】（1）如图1，点是线段的中点，，求线段的长度； 【迁移应用】（2）若点是直线上的一点，且满足，，求线段的长度． 【答案】（1）10；（2）或 【分析】本题主要考查线段中点的定义、两点间的距离，学会利用数形结合和分类讨论思想是解题关键． （1）由线段中点的定义可得，再由求得，于是； （2）分三种情况讨论：点在线段上，分别求得，，则；点在点的右侧，分别求得，，则；点在点的左侧，此种情况不满足题意． 【详解】解：（1）因为，点是线段的中点， 所以． 又因为，， 所以，，所以． （2）①如图，当点在线段上时， 因为，，所以， 所以； ②如图，当点在点的右侧时， 因为，，所以，所以， 所以； ③当点在点的左侧时，此时不存在符合题意的点，舍去． 综上所述，线段的长度为或． 4．点在线段上，． (1) 如图1，，两点同时从，出发，分别以，的速度沿直线向左运动；    ①在还未到达点时，的值为 ； ②当在右侧时(点与不重合)，取中点，的中点是，求的值； (2) 若是直线上一点，且．则的值为 ． 【答案】（1）①；②;（2）或或或 【分析】（1）由线段的和差关系，以及QB=2PC，BC=2AC，即可求解； （2）设AC=x，则BC=2x，∴AB=3x，D点分四种位置进行讨论，①当D在A点左侧时，②当D在AC之间时，③当D在BC之间时，④当D在B的右侧时求解即可． 【详解】解：（1）①AP=AC-PC，CQ=CB-QB， ∵BC=2AC，P、Q速度分别为1cm/s、2cm/s， ∴QB=2PC， ∴CQ=2AC-2PC=2AP， ∴ ②设运动秒 ， 分两种情况 A:在右侧， ，分别是，的中点 ，， ∴ B:在左侧， ，分别是，的中点 ，， ∴ （2）∵BC=2AC． 设AC=x，则BC=2x， ∴AB=3x， ①当D在A点左侧时， |AD-BD|=BD-AD=AB=CD， ∴CD=6x， ∴ ； ②当D在AC之间时， |AD-BD|=BD-AD=CD， ∴2x+CD-x+CD=CD， x=-CD（不成立）， ③当D在BC之间时， |AD-BD|=AD-BD=CD， ∴x+CD-2x+CD=CD， CD=x， ∴； |AD-BD|=BD-AD=CD， ∴2x-CD-x-CD=CD， ∴CD= ； ④当D在B的右侧时， |AD-BD|=BD-AD=CD， ∴2x-CD-x-CD=CD， CD=6x， ∴． 综上所述，的值为或或或 【点睛】题考查线段的和差问题，距离与绝对值的关系，动点问题．画好线段图，分类讨论是解决本题的关键． 5．已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧， （1）若，，线段在线段上移动， ①如图1，当E为中点时，求的长； ②当点C是线段的三等分点时，求的长； （2）若，线段在直线上移动，且满足关系式，则　 　． 【答案】（1）①；②或；（2）或 【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质、线段的和差、准确识图分类讨论DE的位置是解题的关键． （1）根据已知条件得到，①由线段中点的定义得到，求得，由线段的和差得到；②当点C线段的三等分点时，可求得或，则或，由线段的和差即可得到结论； （2）当点E在线段之间时，设，则，求得，设，得到，求得，当点E在点A的左侧，设，则，设，求得，得到，于是得到结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， ①∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵点C是线段的三等分点，， ∴或， ∴或， ∴或； （2）当点E在线段之间时，如图， 设， 则， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴x， ∴； 当点E在点A的左侧，如图， 设，同理， 设， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 当点E在线段上及点E在点B右侧时，无解， 综上所述的值为或． 故答案为：或． 6．如图，点位于数轴原点，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动． (1)若点表示的数为，点表示的数为7，当点，运动时间为2秒时，求线段的长； (2)若点，分别表示，6，运动时间为，当为何值时，点是线段的中点． (3)若，是数轴上的一点，且，求的值． 【答案】(1) (2)当时点是线段的中点 (3)或1 【分析】（1）根据路程=速度×时间可以计算出C、D运行的路程，进而求出MD的值，根据可求； （2）先表示出BD和CD，再根据点是线段的中点，列方程求解； （3）分在线段上和点在线段的延长线上两种情况，分别求解． 【详解】（1）解：∵，， 又∵点表示，点表示7， ∴， ∴ ∴． （2）解：∵点，分别表示，6， 所以，，，，， 当是的中点时，即， ∴当时点是线段的中点． （3）解：①当点在线段上时，如图 ∵， 又∵ ∴， 又∵ ∴，即 ②当点在线段的延长线上时，如图 ∵，又∵ ∴，即 综上所述或1． 【点睛】本题考查了线段的和差和中点，及两点间的距离，一元一次方程，解题分关键是掌握点的移动路程与线段的关系． 7．如图已知线段、， (1)线段在线段上（点C、A在点B的左侧，点D在点C的右侧） ①若线段，，M、N分别为、的中点，求的长． ②M、N分别为、的中点，求证： (2)线段在线段的延长线上，M、N分别为、的中点，②中的结论是否成立？请画出图形，直接写出结论 【答案】(1)①10，②见解析(2)不成立，见解析 【分析】（1）①利用求出的值，利用中点平分线段，得到，再利用，即可得解；②利用中点平分线段，得到，进而得到，再利用，即可得证； （2）分点在点的左侧，点在点的右侧，点在点的左侧，点在点的左侧，以及点在点的左侧，三种情况分类讨论，求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵M、N分别为、的中点， ∴， ∴； ②∵M、N分别为、的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）不成立； ∵M、N分别为、的中点， ∴， ①当点在点的左侧，点在点的右侧时，如图： 或 ； ②当点在点的左侧，点在点的左侧时，如图： 或 ； ③当点在点的左侧时，如图： 或 ； 综上：或；故结论不成立． 【点睛】本题考查线段之间的和与差．正确的识图，理清线段之间的和，差，倍数关系，是解题的关键．注意分类讨论． 8．已知线段 ，线段 在直线 上运动（ 在 的左侧，在 的左侧）． (1)若 满足 ①当 点与 点重合时， ； ②、分别是 、的中点，当 时，求 的长； (2)当线段 运动到 点距离 点一个单位长度时，若有一点 在 点右侧且位于线段 的延长线上，试求 的值． 【答案】(1)①；②；(2)8或4 【分析】（1）①本题考查了线段的和差，解题的关键是根据平方非负性求出a，b得值；②本题考查了线段得和差，解题的关键是正确画图，注意两种情况； （2）本题考查了线段的和差，解题的关键是正确画图，注意两张情况． 【详解】（1）解：， ， ， ①当D点与B点重合时， ； ②如下图1， 分别为线段的中点， ， ； 如上图2，分别为线段的中点， ， ； （2）如下图， 由题意得： ， ； 如下图， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$