专题12 一次函数与几何综合压轴题五种考法全梳理-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都八年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

专题12 一次函数与几何综合压轴题五种考法全梳理 目录 【考法一、角度问题】 1 【考法三、三角形全等问题】 3 【考法二、等腰三角形存在性问题】 4 【考法四、直角三角形存在性问题】 6 【考法五、等腰直角三角形存在性问题】 8 【考法一、角度问题】 例．如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q． ①若的面积为，求点M的坐标； ②连接，如图2，若，求点P的坐标． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B，C，与直线相交于点A． (1)求点A的坐标及的面积． (2)在线段上有一动点P，过点P作平行于y轴的直线与直线交于点D，问在y轴上是否存在点H，使得是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由． (3)过点A作y轴的垂线，垂足为E，在y轴上找点M，使，请直接写出点M的坐标． 变式2．【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线的图象与轴、轴分别交于、两点． （1）如图2．当时，在第一象限构造等腰直角，； ①直接写出　 　，　　； ②求点的坐标； （2）如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否为定值，请说明理由； （3）【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系内，当时，设直线l与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标． 【考法二、三角形全等问题】 例．在平面直角坐标系内，先将直线向上平移3个单位长度，然后再向右平移8个单位长度，得到的直线L与x轴、y轴分别交于A，B两点． (1)求A、B两点的坐标； (2)在y轴上有一点，在x轴上有一动点D，它从A点以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左移动，求的面积S与点D的移动时间t之间函数关系式； (3)当t为何值时?并求此时D点的坐标． 变式1．如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，将沿直线对折，使点A和点B重合，直线与x轴交于点C，与交于点D． (1)求A，B两点的坐标： (2)求的长 (3)设P是坐标轴上一动点，若使是直角三角形，直接写出点P的坐标（不需计算过程） 变式2．如图，，延长交于D，，解决下列问题：      (1)________，与的位置关系是________________ (2)动点 P 从点 O 出发，沿线段以每秒 1 个单位长度的速度向终点 A 运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动．P，Q两点同时出发，当点P到达A点时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为1秒，的面积为S，请用含的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围； (3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点，且，是否存在t值，使以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【考法三、等腰三角形存在性问题】 例．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C． (1)求m和b的值； (2)直线与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，设的面积为S，请求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值：若不存在，请说明理由． 变式1．如图①，在中，于，，，，点是上一动点（不与点，重合），在内作矩形，点在上，点、在上，设，连接． (1)当______时的面积为 (2)设矩形的面积为，的面积为，令，求关于的函数解析式；（要求写出自变量的取值范围） (3)如图②，点是（2）中得到的函数图像上的任意一点，的坐标为，当为等腰三角形时，求点的坐标． 变式2．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，点是线段上一点（不与点重合）．    (1)求点的坐标． (2)连接，将沿直线翻折得到，点为点的对应点，点在第一象限，且． ①求点的坐标． ②若直线与交于点，在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．的边在x轴上，A、C两点的坐标分别为、，，且，点P从B出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒． (1)求A、C两点的坐标； (2)连接，设的面积为S，请你表示出S与t的函数关系，并判断是否一次函数； (3)当P在线段上运动时，是否存在一点P，使是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有P点的坐标以及此时对应的t值；若不存在，请说明理由． 【考法四、直角三角形存在性问题】 例．如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与轴交于点，直线与轴交于点． (1)填空： ___________， ___________， ___________； (2)如图2，点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点． ①当点落在轴上时，求点的坐标； ②若为直角三角形，求点的坐标． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，直线的关系式为，直线的关系式为，与轴、轴分别交于点、点，直线与交于点．    (1)求直线的关系式，若直线上存在点（不与重合），满足，求点的坐标； (2)若在轴上存在点，满足为直角三角形，求点的坐标． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求的面积； （2）点是直线上的动点，过作轴，轴的垂线，垂足分别为点，，若，请求出点的坐标； （3）点在直线上，坐标轴上存在动点，使是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标． 变式3．如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，将沿直线对折，使点A和点B重合，直线与x轴交于点C，与交于点D． (1)求A，B两点的坐标： (2)求的长 (3)设P是坐标轴上一动点，若使是直角三角形，直接写出点P的坐标（不需计算过程） 【考法五、等腰直角三角形存在性问题】 例．如图1，直线的解析式为，D点坐标为，点O关于直线的对称点C在直线上． (1)求直线的解析式； (2)如图2，在x轴上是否存在点F，使，若存在求出F点坐标，若不存在，请说明理由； (3)点P是直线上方第一象限内的动点．如图3，当为等腰直角三角形时，求点P的坐标． 变式1．定义：在平面直角坐标系中，将直线的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”． 【定义辨析】 （1）若点在上，则下列四个点①、②、③、 ④，在的 “k 倍伴随线”上的点有______（填序号）； （2）下列函数图像是直线的“2倍伴随线”的是（    ）； A． B． C． D． 【定义延伸】 （3）若直线的“k倍伴随线”记为．现给出两个关系式：①；②．其中正确是是______（填序号）； 【定义应用】 （4）如图，已知直线与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点C，能使为等腰直角三角形，求k的值． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且与直线交于点，点的横坐标为2． (1)求直线的解析式； (2)在轴上取点，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点．若，求点的坐标； (3)在第二象限内，是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．【观察发现】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作雨线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【探究迁移】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点． ①则　 ； ②C，D是正比例函数图象上的两个动点，连接，若，则的最小值是 　 ； （2）如图2，一次函数的图象与y轴，x轴分别交于A，B两点．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【拓展应用】 （3）如图3，点A在x轴负半轴上，，过点A作轴交直线于点B，P是直线上的动点，Q是y轴上的动点，若是以动点Q为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 一次函数与几何综合压轴题五种考法全梳理 目录 【考法一、角度问题】 1 【考法三、三角形全等问题】 10 【考法二、等腰三角形存在性问题】 16 【考法四、直角三角形存在性问题】 27 【考法五、等腰直角三角形存在性问题】 36 【考法一、角度问题】 例．如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q． ①若的面积为，求点M的坐标； ②连接，如图2，若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，勾股定理，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）先求出的坐标，对称性求出点坐标，待定系数法求出的函数解析式即可； （2）①设，则：、，过点B作于点D，利用，进行求解即可； ②分点M在y轴的左侧和点M在y轴的右侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：对于，由得：， ∴， 由得：，解得， ∴， ∵点C与点A关于y轴对称， ∴， 设直线的函数解析式为，则， 解得． ∴直线的函数解析式为； （2）解：①设，则、 如图1，过点B作于点D， ∴，， ∴， 解得， ∴M或M ②如图2，当点M在y轴的左侧时， ∵点C与点A关于y轴对称，∴，∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，∴ 设，则 ∴，，， ∴，解得．∴． 当点M在y轴的右侧时，如图3， 同理可得， 综上，点P的坐标为或． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B，C，与直线相交于点A． (1)求点A的坐标及的面积． (2)在线段上有一动点P，过点P作平行于y轴的直线与直线交于点D，问在y轴上是否存在点H，使得是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由． (3)过点A作y轴的垂线，垂足为E，在y轴上找点M，使，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1)； (2)存在， (3)或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质． （1）解由两条直线解析式组成的方程组，即可得到点A的坐标，把代入中，求得点B的坐标，根据三角形的面积公式即可得到的面积； （2）设，则，则，，由等腰得到，即，求解即可解答； （3）分两种情况：①若点M在点E的下方．过点B作与AM的延长线交于点N．证明是等腰直角三角形，得到．过点N作轴于点F，过点A作轴于点G．易证，得到，，进而得到．通过待定系数法求出直线的解析式，令，即可取得点M的坐标．②若点M在点E的上方，根据对称性即可求解． 【详解】（1）解方程组，得． ∴点A的坐标为． 把代入得， 解得：， ∴点B的坐标为， ∴， ∴； （2）存在． 如图， 设，则． ∴． ∵轴． ∴． ∵是以P为直角顶点的等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴． ∴． （3）或． 分两种情况： ①若点M在点E的下方， 如图，过点B作与AM的延长线交于点N． ∵，轴， ∴，， ∴， ∵． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 过点N作轴于点F，过点A作轴于点G． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴，． ∵，． ∴，． ∴． ∴． 设直线解析式为， ∵直线经过点，， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 令，得． ∴点M的坐标为． ②若点M在点E的上方， 如图， 由对称性可知． 综上所述：或． 变式2．【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线的图象与轴、轴分别交于、两点． （1）如图2．当时，在第一象限构造等腰直角，； ①直接写出　 　，　　； ②求点的坐标； （2）如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否为定值，请说明理由； （3）【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系内，当时，设直线l与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标． 【答案】（1）①2，3；②；（2）的面积是定值，，理由见解析； （3）． 【分析】（1）①若，则直线与轴，轴分别交于，两点，即可求解； ②作于，则．由全等三角形的性质得，，即可求解； （2）由点随之在轴负半轴上运动时，可知，过点作于，则．由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式即可求解； （3）先求出，由得，进而得出，，再判断出，即可判断出，，进而求出直线的解析式，即可得出结论． 【详解】解：（1）①若， 则直线为直线， 当时，， ， 当时，， ， ，， 故答案为：2，3； ②作于， ， ， 是以为直角顶点的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 点的坐标为； （2）当变化时，的面积是定值，， 理由如下： 当变化时，点随之在轴负半轴上运动时， ， 过点作于， ， ， ， ， ， ， ，， ． ， ， 变化时，的面积是定值，； （3）如图4，过点作，交于，过点作轴于， 当时，设直线l函数关系式为， 对于直线，由得，， 由得，，， ，， 由（1）得， ，，， 设直线为，则，解得，直线为 由得， ． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，掌握一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【考法二、三角形全等问题】 例．在平面直角坐标系内，先将直线向上平移3个单位长度，然后再向右平移8个单位长度，得到的直线L与x轴、y轴分别交于A，B两点． (1)求A、B两点的坐标； (2)在y轴上有一点，在x轴上有一动点D，它从A点以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左移动，求的面积S与点D的移动时间t之间函数关系式； (3)当t为何值时?并求此时D点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或，D点的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数的几何应用，全等三角形的判定，灵活运用相关知识是解答本题的关键． （1）先求出直线向上平移3个单位长度后的函数解析式，再求出向右平移8个单位长度后的函数解析式，最后求得到的直线L与x轴、y轴的交点坐标即可； （2）当点D在线段上，即时，，；当点D在线段的延长线上，即时，，，即可得到答案； （3）当时，，即或，求出t的值，并求出点D的坐标即可． 【详解】（1）解：直线向上平移3个单位长度得， 再向右平移8个单位长度得， 当时，，所以； 当时，，所以． （2）由（1）知，又，， 当点D在线段上，即时，， 所以的面积为， 当点D在线段的延长线上，即时，， 所以的面积为， 当时，点D与原点O重合，点C、O、D不构成三角形． 综上，的面积； （3）因为与均为直角三角形，且， 所以当时，， 即或， 解得或， 此时D点的坐标为或． 变式1．如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，将沿直线对折，使点A和点B重合，直线与x轴交于点C，与交于点D． (1)求A，B两点的坐标： (2)求的长 (3)设P是坐标轴上一动点，若使是直角三角形，直接写出点P的坐标（不需计算过程） 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或或 【分析】（1）在中，分别令及，即求得A、B的坐标； （2）设，由题意得的长，在中，由勾股定理建立方程即可求解； （3）由（2）知得点C的坐标，可求得D的坐标，进而求出直线的解析式；当点P为直角顶点时，则P与O重合；当A为直角顶点时，则点P在y轴上，可求得直线的解析式，从而求得点的坐标；当B为直角顶点时，则点P在x轴上，同理可求得点的坐标，综合上述情况即可． 【详解】（1）解：在中，令，得；令，得，∴； （2）解：∵，∴； 设，则； 由折叠性质得：， 在中，由勾股定理得：，解得：，即； （3）解：由（2）知，点C的坐标为， 由折叠知，点D为中点，∴D的坐标为； 设直线的解析式为，把C、D坐标代入得：， 解得：，即直线的解析式为； 当点P为直角顶点时，则P与O重合，此时坐标为； 如图，当A为直角顶点时，则点P在y轴上， ∵，∴设直线的解析式为， 把点A坐标代入得，即直线的解析式为， ∴点的坐标为； 当B为直角顶点时，则点P在x轴上， ∵， ∴设直线的解析式为， 把点B坐标代入得，即直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； 综上，点P的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数的综合，考查了一次函数图象与坐标轴的交点，求一次函数解析式，直角三角形，折叠的性质，勾股定理，两一次函数图象平行的性质等知识，涉及分类讨论思想．有一定的综合性与难度． 变式2．如图，，延长交于D，，解决下列问题：      (1)________，与的位置关系是________________ (2)动点 P 从点 O 出发，沿线段以每秒 1 个单位长度的速度向终点 A 运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动．P，Q两点同时出发，当点P到达A点时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为1秒，的面积为S，请用含的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围； (3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点，且，是否存在t值，使以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2； (2) (3)存在， 或 【分析】（1）由推导出，利用，得到；然后利用角的关系得到，，，推导出，； （2）分两种情形讨论求解即可①当点在线段上时，，②当点在射线上时，，由三角形的面积公式可得出答案； （3）分两种情形求解即可，①如图2中，当时，．②如图3中，当时，． 【详解】（1）解： ， ， 又， ， ，， ，，，， （2）解：，，，，由题意，， ①当点在线段上时，， ． ②当点在射线上时，， ．综合以上可得； （3）解：存在．理由如下： ①如图2中，当时，，，．   ， ，解得； ②如图3中，当时，，，．   ，，解得． 综上所述，或时，与全等． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形的面积，列函数解析式等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 【考法三、等腰三角形存在性问题】 例．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C． (1)求m和b的值； (2)直线与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，设的面积为S，请求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②存在，4或或或8 【分析】（1）在中，当时，；当时，；即可得出答案；求出点，代入直线即可得出答案； （2）求出，则，；①设，则，过作于，由三角形面积S与t之间的函数关系式； ②过作于，则，，由勾股定理求出；分三种情况：当时；当时；当时；分别求出的值即可． 【详解】（1）解在中，当时，； 当时，； ，； 点在直线上， ， 又点也在直线上， ， 解得：； （2）解：在中，当时，， ， ， ， ， ； ①设，则，过作于，如图1所示： 则， ∴， ②存在，理由如下： 过作于，如图1所示： 则，， ， ； 、当时，， ， ； 、当时，如图2所示： 则， ，， ，或； 、当时，如图3所示： 设，则，， ， 解得：， 与重合，， ， ； 综上所述，存在的值，使为等腰三角形，的值为4或或或8． 【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了一次函数的应用、坐标与图形性质、三角形面积、等腰三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握一次函数的应用和等腰三角形的性质是解题的关键． 变式1．如图①，在中，于，，，，点是上一动点（不与点，重合），在内作矩形，点在上，点、在上，设，连接． (1)当______时的面积为 (2)设矩形的面积为，的面积为，令，求关于的函数解析式；（要求写出自变量的取值范围） (3)如图②，点是（2）中得到的函数图像上的任意一点，的坐标为，当为等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或 【分析】（1）根据，列方程即可求解； （2）由题意可求出，即得出，再结合矩形的性质可求出，即得出，从而得出，，进而可求出．又可证，结合勾股定理即可求出，从而可求出，再作比，化简即可得出答案，最后由题意即可确定的取值范围； （3）根据题意画出图像，分类讨论：①当时，如图点；②当时，如图点；③当时，如图点，分别根据等腰三角形的定义结合勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， 即， 解得：， 故答案为：； （2），，， ． 又， ． 四边形是矩形， ，． ， ， ，， ． ，， ． ， ， ， ． 点是上一动点（不与点，重合），， ， 关于的函数解析式为：； （3）分类讨论：①当时，如图点， ， ， ， 此时点坐标为； ②当时，如图点，过点作轴于点． ， ． 设， ， 解得：（负值已舍去）， ， 此时点坐标为； ③当时，如图点，过点作轴于点． ， ． 设， ． ， ， 解得：，（舍）， ， 此时点坐标为． 综上可知点的坐标为或或． 【点睛】本题考查矩形的性质，一次函数的实际应用，等腰三角形的定义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程的实际应用等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 变式2．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，点是线段上一点（不与点重合）．    (1)求点的坐标． (2)连接，将沿直线翻折得到，点为点的对应点，点在第一象限，且． ①求点的坐标． ②若直线与交于点，在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点，点； (2)①；②存在，或或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，轴对称的性质，等腰三角形的判定等知识，求出直线解析式和分类讨论是解题的关键． （1）将点代入先求出b的值，即可得点A，点B坐标； （2）①过点P作于F，由折叠的性质可得 ，，可得则，即可求解；②求出点E的坐标，利用勾股定理得，再分三种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，有，解得：， ∴点，点 （2）解：①过点P作于F，    ∵将沿直线翻折得到， ∴, ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ②如图：    ∵， ⋅ ∵，直线与交于点E， ∴，解得， ∴点E的坐标, ∴， 当是以为腰的等腰三角形时，， ∴, ∴点Q的坐标为 当是以为腰的等腰三角形时，， ∴， ∴点Q的坐标为， 当是以为腰的等腰三角形时，， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴点Q的坐标为； 综上，存在点Q，使是以为腰的等腰三角形，点Q的坐标为或或． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．的边在x轴上，A、C两点的坐标分别为、，，且，点P从B出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒． (1)求A、C两点的坐标； (2)连接，设的面积为S，请你表示出S与t的函数关系，并判断是否一次函数； (3)当P在线段上运动时，是否存在一点P，使是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有P点的坐标以及此时对应的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的坐标是，的坐标是 (2)，是一次函数 (3)存在，点P的坐标为、、，相对应的时间分别是、1.5、 【分析】（1）根据偶次方和算术平方根的非负性得出，，求出即可； （2）分为三种情况：当时，在线段上，②当时，和重合，③当时，在射线上，求出和，根据三角形的面积公式求解即可； （3）分为三种情况：①为顶角时，找出腰长关系便可解；②为顶角时，找出腰长关系便可解；③为顶角时，根据勾股定理可求得． 【详解】（1）解： ， ，， ，， 的坐标是，的坐标是； （2）解：， ， ①当时，在线段上，如图1， ，， 的面积； ②当时，和重合，此时不存在，即； ③当时，在射线上，如备用图2， ，， 的面积； 综上，，是一次函数． （3）解：在线段上运动使是等腰三角形，分三种情况， ①为顶角时，即， 为中垂线， ， 点坐标为， ； ②为顶角时， 根据勾股定理可得，， 或8（舍弃）， 点坐标为， ； ③为顶角时，，设， 根据勾股定理，在中， 解得， ， 点坐标为， ； 综上，存在一点、、相对应的时间分别是、1.5、使是等腰三角形． 【点睛】本题考查了一次函数综合题，涉及偶次方和算术平方根的非负性，三角形的面积，坐标与图形性质、勾股定理等知识点的综合运用，解题的关键是（2）（3）需要求出符合条件的所有情况，是一道比较容易出错的题目． 【考法四、直角三角形存在性问题】 例．如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与轴交于点，直线与轴交于点． (1)填空： ___________， ___________， ___________； (2)如图2，点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点． ①当点落在轴上时，求点的坐标； ②若为直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)①，②或 【分析】（1）把点，代入，求出，得直线直线：，再把点代入，求出，得点的坐标，最后把代入，求出； （2）①过点作轴于点，作轴于点，求出，再求出，可得，即可得答案； ②分两种情况讨论，当时，求出，从而得到，得，得点坐标；当时，设，则，由勾股定理得：，求出，得点坐标． 【详解】（1）解：把点，代入， 得：， 解得：， 直线：， 把点代入， 得：， 解得：， 把代入， ， ， 故答案为：，，； （2）①直线：， 点的坐标为， 如图，过点作轴于点，作轴于点，则，，， ， ， 点的坐标为； ②如图， 当时，由翻折得：， ， ， ， ， 点的坐标为； 如图， 当时，，，，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， 点的坐标为， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数，勾股定理，翻折的性质，直角三角形的判定于性质，解题的关键是作辅助线． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，直线的关系式为，直线的关系式为，与轴、轴分别交于点、点，直线与交于点．    (1)求直线的关系式，若直线上存在点（不与重合），满足，求点的坐标； (2)若在轴上存在点，满足为直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）首先利用待定系数法解得直线的关系式；求得点坐标，设点， 当，易得，利用面积公式求解即可； （2）然后设点，分为斜边、为斜边、为斜边三种情况分别进行分析计算，即可获得答案． 【详解】（1）解：将点代入直线的关系式为， 可得，解得， ∴直线的关系式为， 令，可得， ∴， 令，可得， 解得，即， ∴，，，， 如下图，设点，    根据题意，， 则有，即点在之间， ∴， 解得， 此时， ∴； （2）由（1）可知，，设点， 如下图，      ∵为直角三角形， ∴①当为斜边时，即有， ∴； ②当为斜边时， ，， 此时可有， 解得； ∴； ③∵， ∴不可能为斜边． 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、待定系数法求一次函数解析式、一次函数应用、勾股定理等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析并解决问题． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求的面积； （2）点是直线上的动点，过作轴，轴的垂线，垂足分别为点，，若，请求出点的坐标； （3）点在直线上，坐标轴上存在动点，使是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）6；（2）或；（3）点的坐标为或或 【分析】（1）利用一次函数的解析式分别求解的坐标，再利用三角形的面积公式即可得到答案； （2）设，再分别表示，，利用列方程解方程可得答案； （3）分三种情况讨论，当在轴上时，设 当在轴上时，设 当在轴上时，设 再分别利用勾股定理列方程解方程即可得到答案. 【详解】（1）解：∵ ∴当时，，即， 当时，，即， ∴ （2）设 由题意得，，， ∴或 ∴或 ∴或． （3）如图，当在轴上时，设 则 而 解得： 如图，当在轴上时，设 同理可得： 解得： 当在轴上时，设 同理可得： 解得： 综上：点的坐标为或或． 【点睛】本题考查的一次函数的图象与性质，坐标与图形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解题的关键. 变式3．如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，将沿直线对折，使点A和点B重合，直线与x轴交于点C，与交于点D． (1)求A，B两点的坐标： (2)求的长 (3)设P是坐标轴上一动点，若使是直角三角形，直接写出点P的坐标（不需计算过程） 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或或 【分析】（1）在中，分别令及，即求得A、B的坐标； （2）设，由题意得的长，在中，由勾股定理建立方程即可求解； （3）由（2）知得点C的坐标，可求得D的坐标，进而求出直线的解析式；当点P为直角顶点时，则P与O重合；当A为直角顶点时，则点P在y轴上，可求得直线的解析式，从而求得点的坐标；当B为直角顶点时，则点P在x轴上，同理可求得点的坐标，综合上述情况即可． 【详解】（1）解：在中，令，得；令，得， ∴； （2）解：∵， ∴； 设，则； 由折叠性质得：， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即； （3）解：由（2）知，点C的坐标为， 由折叠知，点D为中点， ∴D的坐标为； 设直线的解析式为，把C、D坐标代入得：， 解得：，即直线的解析式为； 当点P为直角顶点时，则P与O重合，此时坐标为； 如图，当A为直角顶点时，则点P在y轴上， ∵， ∴设直线的解析式为， 把点A坐标代入得，即直线的解析式为， ∴点的坐标为； 当B为直角顶点时，则点P在x轴上， ∵， ∴设直线的解析式为， 把点B坐标代入得，即直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； 综上，点P的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数的综合，考查了一次函数图象与坐标轴的交点，求一次函数解析式，直角三角形，折叠的性质，勾股定理，两一次函数图象平行的性质等知识，涉及分类讨论思想．有一定的综合性与难度． 【考法五、等腰直角三角形存在性问题】 例．如图1，直线的解析式为，D点坐标为，点O关于直线的对称点C在直线上． (1)求直线的解析式； (2)如图2，在x轴上是否存在点F，使，若存在求出F点坐标，若不存在，请说明理由； (3)点P是直线上方第一象限内的动点．如图3，当为等腰直角三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）先求出点A的坐标，然后利用勾股定理求出，根据对称性求出，，在中，利用勾股定理可求出，即求出点B的坐标，最后根据待定系数法求解即可； （2）求出的面积，根据列出方程求出的长度，即可求解； （3）分①，；②，；③，讨论，根据全等三角形的性质，求出线段长度，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解∶对于，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵C、O关于对称， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 代入，得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点F的坐标为或，即或； （3）解：①当，时， 如图，过点P作于H， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴， ∴点P的坐标为； ②当，时， 如图，过点P作于H， 同理可证， ∴，， ∴， ∴点P的坐标为； ③当，时， 如图，过点P作于M，过点A作于N， 同理可证， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； ∴点P的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理等知识，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． 变式1．定义：在平面直角坐标系中，将直线的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”． 【定义辨析】 （1）若点在上，则下列四个点①、②、③、 ④，在的 “k 倍伴随线”上的点有______（填序号）； （2）下列函数图像是直线的“2倍伴随线”的是（    ）； A． B． C． D． 【定义延伸】 （3）若直线的“k倍伴随线”记为．现给出两个关系式：①；②．其中正确是是______（填序号）； 【定义应用】 （4）如图，已知直线与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点C，能使为等腰直角三角形，求k的值． 【答案】（1）②④；（2）B；（3）②；（4）或3． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据“k倍伴随线”求解即可； （2）依据“k倍伴随线”求解即可； （3）先求出直线与坐标轴的交点坐标，再将横、纵坐标都乘以，得，再将代入可得结果； （4）先求出，，再求出直线的“k倍伴随线”为，再分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）∵将横、纵坐标都乘以2，得到， 将横、纵坐标都乘以3，得到， ∴在的“k 倍伴随线”上的点有②、 ④， 故答案为：②④； （2）直线经过，将这两点横、纵坐标都乘以2，得， 设直线的“2倍伴随线”关系式为， 将代入得： ，解得：， ∴直线的“2倍伴随线”关系式为， 故选：B； （3）直线中，令，得，令，得， ∴经过，将这两点横、纵坐标都乘以，得， ∵直线的“k倍伴随线”记为． ∴将代入得：， 故答案为：②； （4）直线中，令，得，令，得， ∴，， 设直线的“k倍伴随线”为， 将横、纵坐标都乘以，得到，， ∴， ∴直线的“k倍伴随线”为， 为等腰直角三角形，如图，分三种情况讨论： 当且时，得， ∴， ∴， 当且时，得， ∴， ∴， 当且时，得， ∴， ∴， 综上所述，或3 变式2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且与直线交于点，点的横坐标为2． (1)求直线的解析式； (2)在轴上取点，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点．若，求点的坐标； (3)在第二象限内，是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)M的坐标为或 (3)的坐标为或或， 【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）求出，再用待定系数法可得直线的解析式为； （2）设，则，，由，得，解得或，从而的坐标为，或，； （3）求出，①当为直角顶点时，过作轴于，证明，可得，，故的坐标为；②当为直角顶点时，过作轴于，同理可得的坐标为；③当为直角顶点时，过作轴于，过作于，同理可得，，，设，有，可解得的坐标为，． 【详解】（1）在中，令得， ； 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得， 直线的解析式为； （2）如图： 设，则，， ， ， 或， 解得或， 的坐标为，或，； （3）在中，令得， ， ①当为直角顶点时，过作轴于，如图： 为等腰直角三角形，，， ， ，， ，，， 的坐标为； ②当为直角顶点时，过作轴于，如图： 同理可得， ，， ， 的坐标为； ③当为直角顶点时，过作轴于，过作于，如图： 同理可得，，， 设，，解得，的坐标为，； 综上所述，的坐标为或或 变式3．【观察发现】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作雨线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【探究迁移】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点． ①则　 ； ②C，D是正比例函数图象上的两个动点，连接，若，则的最小值是 　 ； （2）如图2，一次函数的图象与y轴，x轴分别交于A，B两点．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【拓展应用】 （3）如图3，点A在x轴负半轴上，，过点A作轴交直线于点B，P是直线上的动点，Q是y轴上的动点，若是以动点Q为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）点Q的坐标为或 【详解】（1）①求出，可得是等腰直角三角形，故；②当时，取得最小值，求出的值，证明，即得，即的最小值是； （2）过B作直线l于H，过H作轴交x轴于N，过A作于M，求出，设，可证，则，求出，即可得直线l的函数表达式； （3）设，分两种情况求解：当P在x轴的上方时和当P在x轴的下方时． 【解答】解：（1）①在中，令得，令得； ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 故答案为：； ②由垂线段最短知，当时，取得最小值，如图： ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即的最小值是， 故答案为：； （2）过B作直线l于H，过H作轴交x轴于N，过A作于M，如图： 在中，令得，令得， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 设直线l的函数表达式为，把，代入得： ， 解得， ∴； （3）设， 当P在x轴的上方时，过P作轴于M，如图： 由，同（2）可证， ∴； ∴， 解得， ∴； 当P在x轴的下方时，过Q作轴交于N，过P作于M，如图： 则， 同（2）可证， ∴； 即， 解得， ∴， 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及等腰直角三角形的性质、垂线段最短、全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 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