2024年九年级中考数学解题模型之三角形的内切圆与内心

2024年初中数学解题模型之三角形的内切圆与内心 一．选择题（共10小题） 1．如图所示，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝6，BE＝4，CF＝8，则△ABC的周长为（　　） A．36 B．38 C．40 D．42 2．如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（　　） A．19 B．17 C．22 D．20 3．如图，⊙O是△ABC 的内切圆，AB，AC分别与⊙O相切于D，E两点，已知AD＝1，BC＝7，则△ABC的周长为（　　） A．14 B． C．16 D．18 4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD为中线，若AB＝5，AC＝12，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1、r2，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b．则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是（　　） A．d＝a+b﹣c B． C． D．d＝|（a﹣b）（c﹣b）| 6．如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝3，BE＝2，CF＝4，则△ABC的周长为（　　） A．18 B．17 C．16 D．15 7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD为中线，若AB＝6，AC＝8，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1，r2，那么的值为（　　） A．1 B． C． D． 8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，CF＝4，则劣弧EF的长是（　　） A．2π B．4π C．8π D．16π 9．如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠FDE＝α，则（AF+CD﹣AC）的值和∠A的大小分别为（　　） A．0，180°﹣2α B．r，180°﹣α C． D． 10．如图，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，半径为r，EF是⊙O的切线，△AEF的内切圆⊙P切EF于点N，半径为，则＝（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共10小题） 11．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，△ABC，△ADC，△DBC的内切圆半径分别记为r，r1，r2，若r1＝1，r2＝，则r＝　 　． 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝58°，△ABC的内切圆⊙O与AB，AC分别相切于点D，E，连接DE，BO的延长线交DE于点F，则∠BFD＝　 　． 13．如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A＝α，则（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE的大小分别为 　 　． 14．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，内切圆⊙O半径为2，则图中阴影部分面积是 　 　． 15．如图，在△ABC中，∠B＝70°，⊙O是△ABC的内切圆，M，N，K是切点，连接OA，OC．交⊙O于E，D两点．点F是上的一点，连接DF，EF，则∠EFD的度数是 　 　． 16．下面就是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则OI2＝R2﹣2Rr．若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为 　 　cm． 17．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分的面积为　 　（结果保留π）． 18．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于D，E两点，连接DE，AO的延长线交DE于点F，若∠ACB＝70°，则∠AFD的大小是 　 　． 19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为的直径，AB＝2，BC＝4．若I为四边形ABCD的内切圆圆心，则IO的长度为 　 　． 20．如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F，且AB＝3，BC＝5，AC＝4，则CD＝　 　． 三．解答题（共10小题） 21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F． （1）图1中三组相等的线段分别是CE＝CF，AF＝　 　，BD＝　 　；若AC＝3，BC＝4，则⊙O半径长为 　 　； （2）如图2，延长AC到点M，使AM＝AB，过点M作MN⊥AB于点N．求证：MN是⊙O的切线． 22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，⊙O是△ABC的内切圆，分别切边BC，AC，AB于点D，E，F． （1）求⊙O的半径． （2）若Q是Rt△ABC的外心，连接OQ，求OQ的长度． 23．如图，⊙I是OABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DEF＝50°．求∠A的大小． 24．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于D，E，F，且AB＝9，BC＝14，CA＝13．求AF，BD，CE的长． 25．如图，△ABC中AB＝AC，D为AC边上一点，⊙I为△ABD内切圆，G、E、F为切点． （1）求证：BE＝CF； （2）若BD＝10，CD＝4，求BE的长． 26．如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°． （1）若扇形的半径R＝3，求扇形AOB的面积S及图1中阴影部分的面积S阴； （2）在扇形AOB的内部，⊙O1与OA，OB都相切，且与只有一个交点C，此时我们称⊙O1为扇形AOB的内切圆，如图2，若扇形AOB除去⊙O1剩余部分的面积为π，试求扇形的半径R． 27．如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为F、G、H，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线． （1）若∠C＝40°，求∠AOB的度数； （2）若AC＝8，AB＝6，BC＝9，求△CDE的周长． 28．如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠B＝90°． （1）若AB＝4，BC＝3， ①求Rt△ABC外接圆的半径； ②求Rt△ABC内切圆的半径； （2）连接AO并延长交BC于点D，若AB＝6，tan∠CAD＝，求此⊙O的半径． 29．在△ABC中，∠C＝α，设BC＝a，AC＝b，AB＝c．⊙O是△ABC的内切圆，⊙P分别与CA的延长线、CB的延长线以及直线AB均只有一个公共点，⊙O的半径为m，⊙P的半径为n． （1）当α＝90°时，b＝6，a＝8时，m＝　 　，n＝　 　． （2）如图①，α＝90°，则m＝　 　，n＝　 　.（用含有a、b、c的代数式表示）；并求出△ABC的面积（用含有m、n的代数式表示） （3）如图②，α＝60°，求出△ABC的面积（用含有m、n的代数式表示）． 30．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PB＝PA，射线PO交⊙O于C、D两点． （1）求证：AC平分∠PAB； （2）若⊙O的直径是6，，则点D与△PAB的内切圆上各点之间距离的最大值为 　 　． 2024年初中数学解题模型之三角形的内切圆与内心 第 2 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年初中数学解题模型之三角形的内切圆与内心 参考答案与试卷详解详析 一．选择题（共10小题） 1．如图所示，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝6，BE＝4，CF＝8，则△ABC的周长为（　　） A．36 B．38 C．40 D．42 【分析】由切线长定理可知AD＝AF，BD＝BE，EC＝FC，再根据线段的和差即可求得答案． 【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，ACAC相切于点D，E，F， ∴AD＝AF，BD＝BE，EC＝FC， ∵AD＝6，BE＝4，CF＝8， ∴AF＝6，BD＝4，CE＝8， ∴BC＝BE+EC＝12，AB＝AD+BD＝10，AC＝AF+FC＝14， ∴△ABC的周长＝BC+AB+AC＝36． 故选：A． 【点评】本题主要考查三角形的内切圆与内心及切线长定理，灵活运用切线长定理是解题的关键． 2．如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（　　） A．19 B．17 C．22 D．20 【分析】设△ABC的内切圆切三边于点F，H，G，连接OF，OH，OG，得四边形OHCG是正方形，由切线长定理可知：AF＝AG，根据DE是⊙O的切线，可得MD＝MF，EM＝EG，根据勾股定理可得AB＝5，再求出内切圆的半径＝（AC+BC﹣AB）＝2，进而可得△ADE的周长． 【解答】解：如图，设△ABC的内切圆切三边于点F，H，G，连接OF，OH，OG， ∴四边形OHCG是正方形， 由切线长定理可知：AF＝AG， ∵DE是⊙O的切线， ∴MD＝DF，EM＝EG， ∵∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12， ∴AB＝＝13， ∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴内切圆的半径＝（AC+BC﹣AB）＝2， ∴CG＝2， ∴AG＝AC﹣CG＝12﹣2＝10， ∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+DF+EG+AE＝AF+AG＝2AG＝20． 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质． 3．如图，⊙O是△ABC 的内切圆，AB，AC分别与⊙O相切于D，E两点，已知AD＝1，BC＝7，则△ABC的周长为（　　） A．14 B． C．16 D．18 【分析】由⊙O是△ABC 的内切圆，根据切线长定理得AD＝AE＝1，设BC于⊙O相切于点F，则BD＝BF，CE＝CF，可求得BD+CE＝BF+CF＝BC＝7，即可求得AB+AC+BC＝AD+AE+（BD+CE）+BC＝16，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵⊙O是△ABC 的内切圆，AB，AC分别与⊙O相切于D，E两点， ∴AD＝AE＝1， 设BC于⊙O相切于点F，则BD＝BF，CE＝CF， ∴BD+CE＝BF+CF＝BC＝7， ∴AB+AC+BC＝AD+BD+AE+CE+BC＝AD+AE+（BD+CE）+BC＝1+1+7+7＝16， ∴△ABC的周长为16， 故选：C． 【点评】此题重点考查切线长定理、三角形的周长的定义等知识，证明BD+CE＝BC是解题的关键． 4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD为中线，若AB＝5，AC＝12，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1、r2，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据直角三角形的边角关系和性质求出BC，AD，BD，CD，再利用三角形内切圆半径，三角形周长与面积之间的关系分别表示S△ABD，S△ACD，由S△ABD＝S△ACD可求出答案． 【解答】解：如图，连接OA，OB，OD，IA，IC，ID，过点O，点I分别作BC的垂线，垂足分别为M，N， 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12， ∴BC＝＝13， ∵AD为中线， ∴AD＝BD＝CD＝BC＝， ∵S△ABD＝S△ACD，即（AB+BD+AD）•OM＝（AC+AD+CD）•IN ∴×（5+13）r1＝×（12+13）r2， ∴＝． 故选：C． 【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，直角三角形的斜边中线的性质，掌握直角三角形的边角关系以及直角三角形斜边中线等于斜边一半是正确解答的关键． 5．刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b．则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是（　　） A．d＝a+b﹣c B． C． D．d＝|（a﹣b）（c﹣b）| 【分析】这是直角三角形内切圆的常考形式，直角三角形内切圆半径的常用形式有两个，分别是r＝和r＝，所以很快定位出选项A和选项B正确，而对于我们不熟悉的选项C和选项D可直接用特殊值法定位答案． 【解答】方法一：本题作为选择题，用特殊值法则可快速定位答案． ∵三角形ABC为直角三角形，∴令a＝3，b＝4，c＝5． 选项A：d＝a+b﹣c＝2， 选项B：d＝＝2， 选项C：d＝＝2， 选项D：d＝|（a﹣b）（c﹣b）|＝1， 很明显，只有D选项跟其他选项不一致，所以表达式错误的应是D选项． 故答案选：D． 方法二：如图，作OE⊥AC于点E，OD⊥BC于点D，OF⊥AB于点F． 易证四边形OECD是正方形，设OE＝OD＝OF＝r， 则EC＝CD＝r， ∴AE＝AF＝a﹣r，BD＝BF＝b﹣r， ∵AF+BF＝AB， ∴a﹣r+b﹣r＝c， ∴r＝， ∴d＝a+b﹣c．故选项A正确． ∵S△ABC＝S△AOC+S△BOC+S△AOB， ∴ab＝ar+br+cr， ∴ab＝r（a+b+c）， ∴r＝，即d＝．故选项B正确． ∵由前面可知d＝a+b﹣c， ∴d2＝（a+b﹣c）2＝（a+b）2﹣2c（a+b）+c2＝a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2， ∵a2+b2＝c2， ∴上述式子＝2c2+2ab﹣2ac﹣2bc＝2（c2+ab﹣ac﹣bc）＝2[（c2﹣ac）+b（a﹣c）]＝2（c﹣a）（c﹣b）， ∴d＝，故选项C正确． 排除法可知选项D错误． 故答案选：D． 【点评】本题考查三角形内切圆直径公式，结合中国古代数学成就来考是未来数学的一种趋势，掌握直角三角形内切圆的性质是解题的关键． 6．如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝3，BE＝2，CF＝4，则△ABC的周长为（　　） A．18 B．17 C．16 D．15 【分析】由切线长定理可知AD＝AF，BD＝BE，EC＝FC，再根据线段的和差即可求得答案． 【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F， ∴AD＝AF，BD＝BE，EC＝FC， ∵AD＝3，BE＝2，CF＝4， ∴AF＝3，BD＝2，CE＝4， ∴BC＝BE+EC＝6，AB＝AD+BD＝5，AC＝AF+FC＝7， ∴△ABC的周长＝BC+AB+AC＝18． 故选：A． 【点评】本题主要考查三角形的内切圆与内心及切线长定理，灵活运用切线长定理是解题的关键． 7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD为中线，若AB＝6，AC＝8，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1，r2，那么的值为（　　） A．1 B． C． D． 【分析】设△ABD的内切圆为⊙I，⊙A与AB、AD、BD 分别相切于点E、F、G，由∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，求得BC＝10，S△ABC＝24，连接IE、IF、IG、IA、IB、ID，则×6r1+×5r1+×5r1＝S△ABD＝12，求得r1＝；用同样的方法求得r2＝，则＝，于是得到问题的答案． 【解答】解：设△ABD的内切圆为⊙I，⊙A与AB、AD、BD 分别相切于点E、F、G， ∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8， ∴BC＝＝＝10，S△ABC＝AB•AC＝×6×8＝24， ∵AD为斜边BC上的中线， ∴AD＝BD＝CD＝BC＝5， ∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝12， 连接IE、IF、IG、IA、IB、ID，则IE＝IF＝IG＝r1， ∵S△ABI+S△ADI+S△BDI＝S△ABD＝12，且AB⊥IE，AD⊥IF，BD⊥IG， ∴×6r1+×5r1+×5r1＝12， 解得r1＝； 同理×8r2×5r2+×5r2＝12， 解得r2＝， ∴＝＝， 故选：B． 【点评】此题重点考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的内切圆的定义和性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，CF＝4，则劣弧EF的长是（　　） A．2π B．4π C．8π D．16π 【分析】连接OE、OF，由⊙O与BC、AC分别相切于点E、点F，证明∠OEC＝∠OFC＝90°，而∠C＝90°，OE＝OF，则四边形OECF是正方形，所以OF＝CF＝4，∠EOF＝90°，即可根据弧长公式求得劣弧EF的长是2π，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OE、OF， ∵⊙O与BC、AC分别相切于点E、点F， ∴BC⊥OE，AC⊥OF， ∴∠OEC＝∠OFC＝90°， ∵∠C＝90°， ∴四边形OECF是矩形， ∴OE＝OF， ∴四边形OECF是正方形， ∴OF＝CF＝4，∠EOF＝90°， ∴＝＝2π， ∴劣弧EF的长是2π， 故选：A． 【点评】此题重点考查切线的性质定理、正方形的判定与性质、弧长公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 9．如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠FDE＝α，则（AF+CD﹣AC）的值和∠A的大小分别为（　　） A．0，180°﹣2α B．r，180°﹣α C． D． 【分析】连接IE、IF，根据切线长定理和切线的性质定理得AF＝AE，CD＝CE，AB⊥IF，AC⊥IE，则AF+CD＝AF+CE＝AC，所以AF+CD﹣AC＝0，而∠FIE＝2∠FDE＝2α，则∠A＝360°﹣∠AEI﹣∠AFI﹣∠FIE＝180°﹣2α，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接IE、IF， ∵△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，∠FDE＝α， ∴AF＝AE，CD＝CE，AB⊥IF，AC⊥IE， ∴AF+CD＝AF+CE＝AC， ∴AF+CD﹣AC＝AC﹣AC＝0， ∵∠AEI＝∠AFI＝90°，∠FIE＝2∠FDE＝2α， ∴∠A＝360°﹣∠AEI﹣∠AFI﹣∠FIE＝360°﹣90°﹣90°﹣2α＝180°﹣2α， 故选：A． 【点评】此题重点考查三角形的内切圆的定义、切线的性质定理、切线长定理、圆周角定理、四边形的内角和等于360°等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 10．如图，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，半径为r，EF是⊙O的切线，△AEF的内切圆⊙P切EF于点N，半径为，则＝（　　） A． B． C． D． 【分析】利用切线长的关系求出EF，构造矩形OMNH，则MN＝OH，把OH放在Rt△POH中求，再求比值． 【解答】解：设AB与⊙O、⊙P的切点分别是Q、G，AC与⊙O、⊙P的切点分别是T、S，连接OQ、PG、OM、OA、PS、OT，过O作OH垂直于PN，垂足为H，则AG＝AS，EG＝EN，FS＝FN，EQ＝EM，FM＝FT，FM＝FT，AQ＝AT， ∵OQ＝OT，OQ⊥AB，OT⊥AC， ∴AO是∠BAC的角平分线， ∵PG＝PS，PG⊥AB，PS⊥AC， ∴P在OA上， Rt△APG中，AG＝＝＝， ∴AE+AF﹣EF＝AG+EG+AS+FS﹣EN﹣FN＝AG+AS＝2AG＝①， Rt△AOQ中，AQ＝＝＝r， ∴AE+AF+EF＝AE+AF+EM+FM＝AE+AF+EQ+FT＝AQ+AT＝2AQ＝2r②， ②﹣①得2EF＝， ∴EF＝， ∵∠OMN＝∠MNH＝∠NHO＝90°， ∴四边形OMNH是矩形， ∴MN＝OH，NH＝MO， Rt△POH中，OP＝AO﹣AP＝2OQ﹣2PG＝2r﹣2×＝，PH＝PN+NH＝PN+MO＝+r＝， ∴OH＝＝＝， ∴MN＝， ∴＝＝， 故选：D． 【点评】本题考查了切线长定理，构造矩形OMNH，把MN转移到OH是关键． 二．填空题（共10小题） 11．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，△ABC，△ADC，△DBC的内切圆半径分别记为r，r1，r2，若r1＝1，r2＝，则r＝　　． 【分析】根据已知条件证明△ADC∽△ACB，△BDC∽△BCA，利用三角形面积比解答即可． 【解答】解：令BC＝a，CA＝b，AB＝c， 在△ABC中，CD⊥AB， 可得：∠ADC＝∠CDB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝∠ACB， 又∵∠A＝∠A， ∴△ADC∽△ACB， ∴， 即：AC2＝AD×AB， ∴AD＝， 同理可得：△BDC∽△BCA， ∴， ∴BC2＝BD×AB， 即：BD＝， ∵△ACD、△BCD与△ABC的内切圆半径分别为r1，r2，r， ∴r＝（a+b﹣c），r1＝（+﹣b）＝r，r2＝（+﹣a）＝r， ∴+＝（r）2+（r）2＝r2； ∴＝r2， ∵r1＝1，r2＝， ∴r＝＝＝． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了三角形的内切圆，熟练掌握相关的性质是解答本题的关键． 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝58°，△ABC的内切圆⊙O与AB，AC分别相切于点D，E，连接DE，BO的延长线交DE于点F，则∠BFD＝　29°　． 【分析】由△ABC的内切圆⊙O与AB，AC分别相切于点D，E，得AD＝AE，∠ABF＝∠ABC，则∠ADE＝（180°﹣∠A），所以∠BFD＝∠ADE﹣∠ABF＝（180°﹣∠A﹣∠ABC）＝∠ACB＝29°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，AC分别相切于点D，E， ∴AD＝AE，∠ABF＝∠CBF＝∠ABC， ∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣∠A）， ∴∠BFD＝∠ADE﹣∠ABF＝（180°﹣∠A）﹣∠ABC＝（180°﹣∠A﹣∠ABC）， ∵180°﹣∠A﹣∠ABC＝∠ACB＝58°， ∴∠BFD＝×58°＝29°， 故答案为：29°． 【点评】此题重点考查三角形的内切圆的性质、切线长定理、三角形内角和定理等知识，推导出∠BFD＝（180°﹣∠A﹣∠ABC）是解题的关键． 13．如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A＝α，则（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE的大小分别为 　0，90°﹣α　． 【分析】连接IE、IF，由⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，得BF＝BD，CE＝CD，AC⊥IE，AB⊥IF，则BF+CE＝BD+CD＝BC，∠AEI＝∠AFI＝90°，所以BF+CE﹣BC＝0，∠FDE＝∠FIE＝（180°﹣α）＝90°﹣α，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接IE、IF， ∵⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F， ∴BF＝BD，CE＝CD，AC⊥IE，AB⊥IF， ∴BF+CE＝BD+CD＝BC，∠AEI＝∠AFI＝90°， ∴BF+CE﹣BC＝0； ∵∠FDE＝∠FIE，且∠FIE＝360°﹣∠AEI﹣∠AFI﹣∠A＝180°﹣α， ∴∠FDE＝（180°﹣α）＝90°﹣α， 故答案为：0，90°﹣α． 【点评】此题重点考查切线的性质定理、切线长定理、圆周角定理、四边形的内角和等于360°等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 14．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，内切圆⊙O半径为2，则图中阴影部分面积是 　10﹣　． 【分析】设⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、F、E，连接OD、OF、OE，可求得∠OAB+∠OBA＝45°，则∠AOB＝135°，再证明四边形OECF是正方形，则∠EOF＝90°，设OA交⊙O于点G，OB交⊙O于点H，则∠EOG+∠FOH＝135°，可求得S△AOE+S△BOF＝10，则S阴影＝S△AOE+S△BOF﹣（S扇形EOG+S扇形FOH）＝10﹣，于是得到问题的答案． 【解答】解：设⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、F、E，连接OD、OF、OE， ∵AO平分∠BAC，BO平分∠ABC， ∴∠OAB＝∠BAC，∠OBA＝∠ABC， ∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）， ∵∠C＝90°， ∴∠BAC+∠ABC＝90°， ∴∠OAB+∠OBA＝45°， ∴∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝135°， ∵⊙O半径为2，AB＝10， ∴OD＝OF＝OE＝2， ∵AB⊥OD，BC⊥OF，AC⊥OE， ∵∠OFC＝∠C＝∠OEC＝90°， ∴四边形OECF是正方形， ∴∠EOF＝90°， 设OA交⊙O于点G，OB交⊙O于点H，则∠EOG+∠FOH＝360°﹣90°﹣135°＝135°， ∵AE＝AD，BF＝BD， ∴S△AOE+S△BOF＝×2AE+×2BF＝×2AD+×2BD＝×2AB＝×2×10＝10， ∴S阴影＝S△AOE+S△BOF﹣（S扇形EOG+S扇形FOH）＝10﹣＝10﹣， 故答案为：10﹣． 【点评】此题重点考查三角形的内切圆的定义和性质、切线的性质定理、切线长定理、正方形的判定与性质、三角形内角和定理、扇形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 15．如图，在△ABC中，∠B＝70°，⊙O是△ABC的内切圆，M，N，K是切点，连接OA，OC．交⊙O于E，D两点．点F是上的一点，连接DF，EF，则∠EFD的度数是 　62.5°　． 【分析】先根据三角形内心的性质得，，进而求出∠OAC+∠OCA，即可求出∠AOC，然后根据圆周角定理得出答案． 【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴OA，OC是△ABC的角平分线， ∴，． ∵∠B＝70°， ∴∠BAC+∠BCA＝110°， ∴， ∴∠AOC＝180°﹣55°＝125°， ∴． 故答案为：62.5°． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，三角形内心的性质，三角形内角和定理，掌握其性质定理是解决此题的关键． 16．下面就是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则OI2＝R2﹣2Rr．若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为 　　cm． 【分析】由题意可知，OI2＝R2﹣2Rr，即可求得△ABC的外心与内心之间的距离． 【解答】解：由题意可知，OI2＝R2﹣2Rr＝52﹣2×5×2＝5（cm）， ∴△ABC的外心与内心之间的距离（cm）， 故答案为：． 【点评】本题考三角形的内心与外心，理解题意是解决问题的关键． 17．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分的面积为　26﹣2π　（结果保留π）． 【分析】由勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形，∠A＝90°，证出四边形AEOF是正方形，得OE＝OF＝（AB+AC﹣BC）＝2，正方形AEOF的面积＝22＝4，求出扇形EOF的面积＝π，得扇形OEDF的面积＝3π，求出△ABC的面积＝30，进而得出答案． 【解答】解：∵AB＝5，BC＝13，CA＝12， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形，∠A＝90°， ∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，∴OE⊥AC，OF⊥AB，OD⊥BC，OE＝OF＝OD， ∴四边形AEOF是正方形， ∴∠EOF＝90°，OE＝OF＝（AB+AC﹣BC）＝（5+12﹣13）＝2，正方形AEOF的面积＝22＝4， ∴扇形EOF的面积＝×π×22＝π， ∴扇形OEDF的面积＝π×22﹣π＝3π， ∵△ABC的面积＝AB×AC＝×5×12＝30， ∴阴影部分的面积＝30﹣（4﹣π）﹣3π＝26﹣2π； 故答案为：26﹣2π． 【点评】本题考查了直角三角形的内切圆与内心、切线的性质、勾股定理的逆定理、正方形的判定与性质、扇形面积公式等知识；熟练掌握勾股定理的逆定理，熟记直角三角形内切圆半径＝（两条直角边的和﹣斜边长）是解题的关键． 18．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于D，E两点，连接DE，AO的延长线交DE于点F，若∠ACB＝70°，则∠AFD的大小是 　35°　． 【分析】如图所示，连接OE，OD，OB，设OB、DE交于H，由内切圆的定义结合三角形内角和定理求出∠AOB＝125°，再由切线长定理得到BD＝BE，进而推出OB是DE的垂直平分线，即∠OHF＝90°，则∠AFD＝∠AOH﹣∠OHF＝35°． 【解答】解：如图所示，连接OE，OD，OB，设OB、DE交于H， ∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴OA、OB分别是∠CAB、∠CBA的角平分线， ∴， ∵∠ACB＝70°， ∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣∠ACB＝110°， ∴， ∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝125°， ∵⊙O与AB，BC分别相切于点D，E， ∴BD＝BE， 又∵OD＝OE， ∴OB是DE的垂直平分线， ∴OB⊥DE，即∠OHF＝90°， ∴∠AFD＝∠AOH﹣∠OHF＝35°， 故答案为：35°． 【点评】本题主要考查了三角形内切圆，切线长定理，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定，三角形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为的直径，AB＝2，BC＝4．若I为四边形ABCD的内切圆圆心，则IO的长度为 　　． 【分析】设⊙I与AB、BC分别相切于E，F，连接IE，IF，根据切线的性质得到∠IEB＝∠IFB＝90°，得到四边形BFIE是正方形，设BE＝IE＝IF＝BF＝r，根据勾股定理得到AC＝＝2，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：设⊙I与AB、BC分别相切于E，F， 连接IE，IF， ∴∠IEB＝∠IFB＝90°， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠B＝90°， ∵IE＝IF， ∴四边形BFIE是正方形， ∴设BE＝IE＝IF＝BF＝r， ∵AB＝2，BC＝4， ∴AC＝＝2， ∵IE∥BC， ∴△AEI∽△ABC， ∴， ∴， ∴AI＝， ∵AO＝＝， ∴IO＝AO﹣AI＝， 故IO的长度为． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键解． 20．如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F，且AB＝3，BC＝5，AC＝4，则CD＝　　． 【分析】由切线长定理得CF＝CE，BD＝BE，AF＝AD，则CF+BD＝CE+BE＝BC＝5，于是得2AD+5＝7，求得AD＝1，由AB2+AC2＝BC2，证明∠A＝90°，即可求得CD＝＝，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F， ∴CF＝CE，BD＝BE，AF＝AD， ∵AB＝3，BC＝5，AC＝4， ∴CF+BD＝CE+BE＝BC＝5， ∵AC+AB＝AF+CF+BD+AD＝2AD+5＝4+3＝7， ∴AD＝1， ∵AB2+AC2＝32+42＝25，BC2＝52＝25， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°， ∴CD＝＝＝， 故答案为：． 【点评】此题重点考查三角形的内切圆的定义、切线长定理、勾股定理及其逆定理等知识，推导出CF+BD＝BC＝5，进而求得AD＝1是解题的关键． 三．解答题（共10小题） 21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F． （1）图1中三组相等的线段分别是CE＝CF，AF＝　AD　，BD＝　BE　；若AC＝3，BC＝4，则⊙O半径长为 　1　； （2）如图2，延长AC到点M，使AM＝AB，过点M作MN⊥AB于点N．求证：MN是⊙O的切线． 【分析】（1）连接OE，OF，由切线长定理可知，AF＝AD，BD＝BE，根据∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，可得∠C＝∠OEC＝∠OFC＝90°，OE＝OF，故四边形OECF是正方形，设OE＝OF＝CF＝CE＝x，可得4﹣x+3﹣x＝5，解得x＝1，即⊙O半径长为1； （2）过O作OH⊥MN于H，连接OD，OE，OF，根据∠ANM＝90°＝∠ACB，∠A＝∠A，AM＝AB，可得△AMN≌△ABC（AAS），从而AN＝AC，即可得DN＝CF，又CF＝OE，有DN＝OE，证明四边形OHND是矩形，即可得OH＝OE，即OH是⊙O的半径，故MN是⊙O的切线． 【解答】（1）解：连接OE，OF，如图： 由切线长定理可知，AF＝AD，BD＝BE， ∵∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆， ∴∠C＝∠OEC＝∠OFC＝90°，OE＝OF， ∴四边形OECF是正方形， 设OE＝OF＝CF＝CE＝x，则BE＝BC﹣CE＝4﹣x＝BD，AF＝AC﹣CF＝3﹣x＝AD， ∵BD+AD＝AB＝＝＝5， ∴4﹣x+3﹣x＝5， 解得x＝1， ∴OE＝1，即⊙O半径长为1； 故答案为：AD，BE，1； （2）证明：过O作OH⊥MN于H，连接OD，OE，OF，如图： ∵∠ANM＝90°＝∠ACB，∠A＝∠A，AM＝AB， ∴△AMN≌△ABC（AAS）， ∴AN＝AC， ∵AD＝AF， ∴AN﹣AD＝AC﹣AF，即DN＝CF， 同（1）可知，CF＝OE， ∴DN＝OE， ∵∠ANM＝90°＝∠ODN＝∠OHN， ∴四边形OHND是矩形， ∴OH＝DN， ∴OH＝OE，即OH是⊙O的半径， ∵OH⊥MN， ∴MN是⊙O的切线． 【点评】本题考查三角形内切圆，圆的切线判定与性质，涉及全等三角形的判定与性质，正方形判定与性质，解题的关键是掌握切线长定理和切线的判定定理． 22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，⊙O是△ABC的内切圆，分别切边BC，AC，AB于点D，E，F． （1）求⊙O的半径． （2）若Q是Rt△ABC的外心，连接OQ，求OQ的长度． 【分析】（1）先利用勾股定理求得AB＝5，利用三角形面积公式S△ABC＝S△OBC+S△OAC+S△OAB，即可求解； （2）证明四边形ODCE为正方形，边长为1，再利用切线长定理结合勾股定理即可． 【解答】解：（1）如图，连接OF，OA，OB，OC，设⊙O的半径为r． ∵⊙O是△ABC的内切圆，分别切边BC，AC，AB于点D，E，F， ∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB． 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴． ∵S△ABC＝S△OBC+S△OAC+S△OAB， ∴， 解得r＝1， ∴⊙O的半径为1； （2）∵⊙O是△ABC的内切圆，分别切边BC，AC，AB于点D，E，F， ∴BD＝BF，CD＝CE，AE＝AF．OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB． ∴四边形ODCE为正方形， ∵OD＝OE， ∴四边形ODCE为正方形， ∴CD＝CE＝r＝1， ∴BD＝BF＝2． ∵Q是Rt△ABC的外心， ∴， ∴． 在Rt△OFQ中，OF2+FQ2＝OQ2，即， 解得（负值舍去）． 【点评】此题考查了三角形的内切圆的性质、切线长定理、正方形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 23．如图，⊙I是OABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DEF＝50°．求∠A的大小． 【分析】连接ID、IF，如图，先根据圆周角定理得到∠DIF＝2∠DEF＝100°，再根据切线的性质得ID⊥AB，IF⊥AC，则∠ADI＝∠AFI＝90°，然后根据四边形内角和计算∠A的度数． 【解答】解：连接ID、IF，如图， ∵∠DEF＝50°， ∵∠DIF＝2∠DEF＝100°， ∵⊙I是△ABC的内切圆，与AB、CA分别相切于点D、F， ∴ID⊥AB，IF⊥AC， ∴∠ADI＝∠AFI＝90°， ∴∠A+∠DIF＝180°， ∴∠A＝180°﹣100°＝80°． 答：∠A的大小为80°． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 24．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于D，E，F，且AB＝9，BC＝14，CA＝13．求AF，BD，CE的长． 【分析】根据切线长定理，可设AE＝AF＝xcm，BF＝BD＝ycm，CE＝CD＝zcm．再根据题意列方程组，即可求解． 【解答】解：根据切线长定理，设AE＝AF＝xcm，BF＝BD＝ycm，CE＝CD＝zcm．根据题意，得 ， 解得． 即AF＝4cm、BD＝5cm、CE＝9cm． 【点评】此题主要是运用了切线长定理，用已知数和未知数表示所有的切线长，再进一步列方程组求解． 25．如图，△ABC中AB＝AC，D为AC边上一点，⊙I为△ABD内切圆，G、E、F为切点． （1）求证：BE＝CF； （2）若BD＝10，CD＝4，求BE的长． 【分析】（1）根据⊙I为△ABD内切圆可得AG＝AF，BG＝BE，根据AB＝AC可得BG＝CF，等量代换可得BE＝CF； （2）根据⊙I为△ABD内切圆可得DF＝DE，设DF＝DE＝x，则CF＝4+x，根据BE＝CF可得BE＝4+x，则BD＝4+2x＝10，解出x即可解答． 【解答】（1）证明：∵⊙I为△ABD内切圆， ∴AG＝AF，BG＝BE， ∵AB＝AC， ∴BG＝CF， ∴BE＝CF； （2）解：∵⊙I为△ABD内切圆， ∴DF＝DE， 设DF＝DE＝x， ∵CD＝4， 则CF＝4+x， ∵BE＝CF， ∴BE＝4+x， ∴BD＝BE+DE＝4+x+x＝4+2x， ∵BD＝10， ∴4+2x＝10， 解得x＝3， ∴BE＝4+x＝7， 即BE的长为7． 【点评】本题考查了三角形的内切圆，解题的关键是掌握切线长定理并灵活运用． 26．如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°． （1）若扇形的半径R＝3，求扇形AOB的面积S及图1中阴影部分的面积S阴； （2）在扇形AOB的内部，⊙O1与OA，OB都相切，且与只有一个交点C，此时我们称⊙O1为扇形AOB的内切圆，如图2，若扇形AOB除去⊙O1剩余部分的面积为π，试求扇形的半径R． 【分析】（1）根据扇形的面积公式就可以求出，阴影的面积用扇形的面积减去三角形的面积； （2）设⊙O1与OA相切于点E，连接O1O，O1E，通过解三角形就可以求出半径，再利用圆的面积进行计算． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，半径R＝3， ∴， ∵OA＝OB，∠AOB＝60°， ∴△OAB是等边三角形， ∴， ∴阴影部分的面积． （2）设⊙O1与OA相切于点E，连接O1O，O1E， ∵直线OO1是扇形AOB的对称轴， ∴直线OO1经过点C． ∴，∠OEO1＝90°． ∴OO1＝2O1E，OC＝3O1E． 设⊙O1的半径为r，则扇形AOB的半径为R＝3r． 由题意知，即， ∴r＝1． ∴R＝3． 【点评】本题考查了相切两圆的性质．构造直角三角形是常用的方法，本题的关键是求得圆的半径． 27．如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为F、G、H，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线． （1）若∠C＝40°，求∠AOB的度数； （2）若AC＝8，AB＝6，BC＝9，求△CDE的周长． 【分析】（1）利用三角形内角和求出∠ABC+∠BAC＝140°，再根据内切圆的性质和切线长定理得出∠BAO＝∠CAO，∠ABO＝∠CBO，再求出∠OAB+∠OBA＝70°，最后利用三角形内角和求出结果； （2）设DE的切点为I，根据内切圆的性质得到EH＝EI，DI＝DG，推出△CDE的周长为CG+CH，再结合切线长定理可得CG+CH＝（AB+BC+AC）﹣2AB，再计算即可． 【解答】解：（1）∵∠C＝40°， ∴∠ABC+∠BAC＝180°﹣40°＝140°， ∵⊙O为△ABC的内切圆， ∴∠BAO＝∠CAO，∠ABO＝∠CBO， ∴， ∴∠AOB＝180°﹣70°＝110°； （2）∵⊙O为△ABC的内切圆，DE为⊙O的切线，设切点为I， ∴EH＝EI，DI＝DG， ∴△CDE的周长为：CD+CE+DE ＝CD+CE+EI+DI， ＝CD+CE+EH+DG， ＝CG+CH， ∵AF＝AH，BF＝BG，CG＝CH， ∴CG+CH＝（AB+BC+AC）﹣（AH+AF+BF+BG）， ＝8+6+9﹣2AB ＝8+6+9﹣2×6 ＝11． 【点评】本题考查了切线长定理，内切圆的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 28．如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠B＝90°． （1）若AB＝4，BC＝3， ①求Rt△ABC外接圆的半径； ②求Rt△ABC内切圆的半径； （2）连接AO并延长交BC于点D，若AB＝6，tan∠CAD＝，求此⊙O的半径． 【分析】（1）①先求得线段AC的长度，然后取AC的中点H，得到AH的长即为△ABC的外接圆半径； ②过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AB于点F，OG⊥AC于点G，然后可得四边形OEBF是正方形，设半径为r，结合点O是△ABC的内心可得AF＝4﹣r，CE＝3﹣r，然后由切线长定理得到AG＝AF＝4﹣r，CG＝CE＝3﹣r，进而得到AC＝7﹣2r，最后利用勾股定理求得r的值； （2）设半径为r，则OF＝r，AF＝6﹣r，由内心的定义可知∠CAD＝∠BAD，然后利用正切值求得r的大小，即为结果． 【解答】解：（1）①如图1，取AC的中点H， ∵∠B＝90°， ∴点H是Rt△ABC的外接圆圆心， ∵AB＝4，BC＝3，∠B＝90°， ∴AC＝5， ∴AH＝AC＝， ∴Rt△ABC的外接圆半径为． ②如图2，过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AB于点F，OG⊥AC于点G，则∠OFB＝∠OEB＝90°， ∵∠B＝90°， ∴四边形OEBF是正方形， 设半径为r，则BF＝OF＝OE＝BE＝r， ∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，AB＝4，BC＝3， ∴AF＝AG＝4﹣r，CD＝CG＝3﹣r， ∴AC＝AG+CG＝7﹣2r， 在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2， ∴42+32＝（7﹣2r）2， 解得：r＝1或r＝6（舍）， ∴Rt△ABC内切圆的半径为1． （2）如图2，设半径为r，则OF＝r，AF＝6﹣r， ∵⊙O是Rt△ABC的内切圆， ∴∠OAF＝∠CAD， ∵tan∠CAD＝， ∴tan∠OAF＝＝， ∴＝， 解得：r＝， ∴⊙O的半径为． 【点评】本题考查了三角形的外接圆和内切圆的性质、解直角三角形，熟知圆的切线长定理是解题的关键． 29．在△ABC中，∠C＝α，设BC＝a，AC＝b，AB＝c．⊙O是△ABC的内切圆，⊙P分别与CA的延长线、CB的延长线以及直线AB均只有一个公共点，⊙O的半径为m，⊙P的半径为n． （1）当α＝90°时，b＝6，a＝8时，m＝　2　，n＝　12　． （2）如图①，α＝90°，则m＝　　，n＝　　.（用含有a、b、c的代数式表示）；并求出△ABC的面积（用含有m、n的代数式表示） （3）如图②，α＝60°，求出△ABC的面积（用含有m、n的代数式表示）． 【分析】（1）如图①，设点D，E，F分别是3个切点，连接PD，PE，PF，连接OA，OB，OC，由面积法可得m的值，再由正方形的性质及切线长定理可得n的值； （2）由于α＝90°，与（1）中度数相同，故解题思路与（1）相同，仅需要将相关线段用m和n表示即可； （3）连接CP，由切线长定理得∠PCE＝30°，由含30°角的直角三角形的性质及面积法，可得答案． 【解答】解：（1）∵α＝90°，b＝6，a＝8， ∴c＝10， 如图①，设点D，E，F分别是⊙O的切点， 连接PD，PE，PF，连接OA，OB，OC， ∵S△BCA＝S△ABO+S△ACO+S△BCO， ∴×6×8＝×10m+×6m+×8m， ∴m＝2， 由已知，四边形DPEC为正方形， ∴n＝PD＝（CD+CE）， 由切线长定理可知，AF＝AD，BF＝BE， ∴n＝（CD+CE）＝（AD+AC+BE+BC）＝（AB+AC+BC）＝（10+6+8）＝12； 故答案为：2，12； （2）如图①，由切线的性质可知： PD⊥CD，PE⊥BC，PF⊥AB， ∵PD＝PE＝PF， 设△ABC的面积为S△ABC，周长为C△ABC， 同（1），根据面积法可知m＝＝＝， ∵n＝（CD+CE）＝（AD+AC+BE+BC）＝（AB+AC+BC）＝C△ABC＝， ∴S△ABC＝＝mn． 故答案为：，， （3）如图②， 连接CP，由切线长定理得： CD＝CE＝（CD+CE）＝（AD+AC+BE+BC）＝（AB+AC+BC）＝C△ABC， ∵PD⊥CD，PE⊥BC， ∴CP平分∠ACB， ∴∠PCE＝30°， ∴n＝PE＝＝＝， ∵m＝， ∴S△ABC＝＝mn． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与切线长定理等知识点，熟练掌握相关性质定理及其应用，是解题的关键． 30．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PB＝PA，射线PO交⊙O于C、D两点． （1）求证：AC平分∠PAB； （2）若⊙O的直径是6，，则点D与△PAB的内切圆上各点之间距离的最大值为 　7　． 【分析】（1）如图1中，设∠PAC＝α．通过计算证明∠CAB＝α，即可解决问题； （2）证明△PAO≌△PBO（SSS），推出∠PBO＝∠PAO＝90°，可得PB是⊙O的切线，图2中，设AB交OP于点M．PA，PB是⊙O的切线，推出OP平分∠APB，因为AC平分∠PAB，推出点C是△PAB的内心，设△PAB的内切圆⊙C交PC于H，点D到⊙C上各点的最大距离为DH，求出DH即可解决问题． 【解答】（1）证明：如图1中，设∠PAC＝α． ∵∠PAO＝90°， ∴∠OAC＝90°﹣α， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC＝90°﹣α， ∵PA＝PB，OA＝OB， ∴PO垂直平分线段AB， ∴∠CAB＝90°﹣∠ACO＝90°﹣（90°﹣α）＝α， ∴∠PAC＝∠CAB， ∴AC平分∠PAB； （2）解：如图1中，连接OA，OB． ∵PA是切线， ∴PA⊥OA， ∴∠PAO＝90°， 在△PAO和△PBO中， ， ∴△PAO≌△PBO（SSS）， ∴∠PBO＝∠PAO＝90°， ∴PB⊥OB， ∴PB是⊙O的切线， 如图2中，设AB交OP于点M， ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴OP平分∠APB， ∵AC平分∠PAB， ∴点C是△PAB的内心，设△PAB的内切圆⊙C交PC于H， ∵⊙O的直径为6， ∴OA＝3， ∵OP垂直平分线AB，AB＝2， ∴AM＝BM＝， ∴OM＝＝＝2， ∵OC＝3， ∴CH＝CM＝3﹣2＝1， ∵点D到⊙C上各点的最大距离为DH， ∴最大距离DH＝CD+CH＝6+1＝7． 故答案为：7． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，三角形的内心，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 2024年初中数学解题模型之三角形的内切圆与内心 第 2 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 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