异面直线距离的向量求法课时练习-2025届高三数学一轮复习

2025届高三高考数学一轮课时练习： 异面直线距离的向量求法 一、单选题 1．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（    ） A． B． C． D． 2．如图，正四棱柱中，，点E和F分别是线段与上的动点，则间最小距离为（    ） A． B．1 C． D． 3．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与的距离为（    ） A．1 B． C． D． 4．定义：与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，公垂线被这两条异面直线截取的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离，公垂线段的长度可以看作是：分别连接两异面直线上两点，所得连线的向量在公垂线的方向向量上的投影向量的长度.如图，正方体的棱长为是异面直线与的公垂线段，则的长为（  ）    A． B． C． D． 5．如图，在正方体中，，M，N分别是棱AB，的中点，E是BD的中点，则异面直线，EN间的距离为（     ） A． B． C．1 D． 6．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为线段BC1上的动点，则点P到直线AC的距离的最小值为（　　）    A．1 B． C． D． 7．如图是一棱长为的正方体，则异面直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是异面直线上的动点，则P，Q两点间距离的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 9．正方体的棱长为1，则异面直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 10．正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离 A． B． C． D． 二、多选题 11．已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且.则下列结论正确的是（    ） A．线段是异面直线与的公垂线段 B．异面直线与的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 12．已知正方体的棱长为1，则（    ） A．与平面所成角的正弦值为 B．为平面内一点，则 C．异面直线与的距离为 D．为正方体内任意一点，，，，则 13．在正三棱柱中，已知，，为中点，点在直线上，点在直线上，则（    ） A． B．平面 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．线段长度的最小值为 14．如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则（    ）    A．直线与底面所成的角为 B．平面与底面夹角的余弦值为 C．直线与直线的距离为 D．直线与平面的距离为 三、填空题 15．已知正方体的棱长为1，是异面直线AC与的公垂线段，点在AC上且点在上，则 . 16．将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC，则异面直线AD与BC的距离为 ． 17．三棱锥中，，，，，点M，N分别在线段，上运动.若二面角的大小为，则的最小值为 . 18．如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为 ． 四、解答题 19．如图，已知异面直线、，为、的公垂线段，、分别为、上的任意一点，为线段上的向量，求证：．    20．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，、分别为棱，的中点，求异面直线与之间的距离． 21．如图，正方体的棱长为分别为的中点，求异面直线与的距离． 22．四棱锥中，的中点分别为，底面正方形的边长为，求与间的距离． 答案： 1．A 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】如图，以点为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则. 所以， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有，可取， 所以异面直线和的距离为. 故选：A. 2．C 【分析】根据题意，由条件可得间最小距离即为异面直线与间的距离，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果. 【详解】 因为点E和F分别是线段与上的动点，则间最小距离即为 异面直线与间的距离， 建立如图所示空间直角坐标系，则， 则，， 设与异面直线与都垂直的向量， 则，解得，取，则， 所以，则异面直线间的距离为. 即间最小距离为. 故选：C 3．D 【分析】在直线上任意一点，作，设，，根据得出和的关系，再由模长公式得出与的关系，再求最值即可. 【详解】设为直线上任意一点，过作，垂足为，可知此时到直线距离最短， 设，， ， ，因为，所以， 即，所以，即， 所以， 所以， 所以当时，取得最小值，所以直线与的距离为. 故选：D 4．C 【分析】以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，求得异面直线与的公垂线的方向向量，根据即可求解. 【详解】   如图，以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 由题意得， 则. 设异面直线与的公垂线的方向向量， 则，即，令，得，， 所以异面直线与之间的距离. 故选：C. 5．A 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量即可根据公式求解. 【详解】以为原点，的方向为轴建立空间直角坐标系，易知， ，设同时垂直于， 由，令，得， 又，则异面直线间的距离为. 故选：A． 6．C 【分析】以D为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线距离可得. 【详解】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为线段BC1上的动点， 以D为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），设P（2﹣t，2，t），（0≤t≤2）， ， 设异面直线的公共法向量为， 则，取x＝1，得， ∴点P到直线AC的距离为： ， 点P到直线AC的距离的最小值为. 故选：C.    7．B 【分析】建立空间直角坐标系，求出与和垂直的向量坐标，求出异面直线间的距离. 【详解】以D为原点，DA，DC，分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系， 则，，设与和都垂直， 则，即，取，又因为， 所以异面直线和间的距离为. 故选：B. 8．D 【分析】设是底面正的中心，平面，，以直线为轴，为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，P，Q两点间距离的最小值即为异面直线与间的距离用空间向量法求异面直线的距离． 【详解】如图，是底面正的中心，平面，平面，则， ，则，又，， ，直线交于点，， 以直线为轴，为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， ，，， ， 设与和都垂直， 则，取，则，， P，Q两点间距离的最小值即为异面直线与间的距离等于． 故选：D． 9．C 【分析】 依题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求异面直线的距离即可得解. 【详解】 依题意，建立空间直角坐标系，如图，    则， 所以， 设满足，则， 取，则， 所以异面直线与间的距离为. 故选：C. 10．C 【分析】利用坐标法，利用异面直线距离的向量公式即求. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，则 ，，，，． ，． 令向量，且，则， ，， ，． 异面直线和之间的距离为： ． 故选：C. 11．ACD 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法依次求解判断. 【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ，，，，，，，，， ，. 对于A，，，， ，，即，， 所以线段是异面直线与的公垂线段，故A正确； 对于B，由正方体可得异面直线与的公垂线的方向向量为， 又，所以异面直线与的距离为.故B错误； 对于C，，， 所以在方向的投影向量的模为， 所以点到直线的距离为.故C正确； 对于D，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，， ，又， 所以点到平面的距离为.故D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：本题考查空间中的距离问题.解题思路是建立空间直角坐标系，求出点坐标，根据点到直线距离公式，异面直线距离公式，点到面的距离公式，利用向量的坐标运算求解. 12．BCD 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的夹角公式和空间距离公式，逐项判定，即可求解. 【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得， 对于A中，由，设平面的法向量为， 则，取，可得，所以， 又由，设与平面所成角为，则， 即与平面所成角的正弦值为，所以A错误； 对于B中，在正方体中，可得平面， 因为平面，所以，即在直线上的射影为， 所以，所以B正确； 对于C中，由，设平面的法向量为， 则，取，可得，所以， 因为，且平面，平面，所以平面， 所以异面直线与的距离，即为直线到平面的距离， 又由，可得，所以C正确； 对于D中，设点，其中，可得， 且， 则，，，则，所以D正确. 故选：BCD. 【点睛】 13．ABD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得； 【详解】在正三棱柱中，为中点，所以， 以D为原点，DA，DB为 x轴，y轴，过D点垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则有，，，，，，， 可得，，， ，故A正确. ，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，，所以， 因为，即， 又平面，所以平面，故B正确； 设异面直线与所成角为，，， ， 异面直线与所成角的余弦值为，故C错误； ，，， 设向量，且， ，令，则，，所以， 线段EF长度的最小值为，故D正确. 故选：ABD 14．BCD 【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法分别求出线面角，面面角，平行线间距离及线面距离. 【详解】     如图所示，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 则，，，，，， A选项：，平面的法向量， 设直线与底面所成的角为， 则， 直线与底面所成的角不为，故A错误； B选项：，， 设平面的法向量，则，令，则 设平面与底面的夹角为， 则， 平面与底面夹角的余弦值为，故B正确； C选项，， 直线与直线的距离为：，故C正确； D选项，，平面，平面， 又，平面的法向量， 直线与平面的距离为：，故D正确； 故选：BCD. 15． 【分析】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用，可求出两点的坐标，从而可求出答案. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 因为点M在上，点N在上，所以设，， 所以,， 因为MN是异面直线AC与的公垂线段， 所以，即，解得， 所以，， 所以点M是线段上靠近点的一个三等分点， 点N是线段上靠近点的一个三等分点， 且异面直线与间的距离为.    故答案为：. 16．/ 【分析】利用垂直关系，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线的距离. 【详解】取的中点，连结，， 由条件可知，平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 如图，以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系， ，，，， ，，, 设与垂直的向量为，则 ，令，则，所以， 则异面直线AD与BC的距离为. 故答案为： 17．/ 【分析】观察三棱锥，将其补形成直三棱柱，再推得是正三角形，从而建立空间直角坐标系，利用异面直线距离的向量法公式即可得解. 【详解】依题意，将三棱锥补形成直三棱柱， 此时易知，，满足题意， 又，所以为二面角的平面角，即， 在中，，，则， 在中，，则， 又，所以是正三角形， 要求的最小值，即求异面直线，的距离， 以点为原点，建立空间直角坐标系如图， 则， 故， 设同时垂直于，则， 取，则，故， 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，通过分析三棱锥的图形，将其补形成直三棱柱，从而得解. 18． 【分析】根据题意，先建立空间直角坐标系，然后写出相关点的坐标，再写出相关的向量，然后根据点分别为直线上写出点的坐标，这样就得到，然后根据的取值范围而确定 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则有： ，，，，， 可得： 设，且 则有：， 可得： 则有： 故 则当且仅当时， 故答案为： 19．证明见解析. 【分析】由已知，得，可得，则，即可证出. 【详解】∵， ∴， 由，，为线段上的向量，得，， ∴， ∴，∴． 得证. 20． 【分析】以底面正方形的中心为原点建立空间直角坐标系，求出与公垂线的一个方向向量，最后由异面直线与之间的距离计算可得. 【详解】因为底面是边长为的正方形，侧棱， 所以四棱锥为正四棱锥， 如图，以底面正方形的中心为原点，以平行于底边的直线及为，，轴建立直角坐标系， 则，所以， 则，，，，    ∵，， 设为与公垂线的一个方向向量，则， 令，则，，所以， ∵， ∴异面直线与之间的距离． 21． 【分析】根据异面直线距离的向量法即可求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则, 则, 设，的公垂线所在向量为， 则且， 取，则，又， 故与的距离为． 22． 【分析】 建立适当的空间直角坐标系，求出和的公垂线在同一个方向上的向量与，由公式即可运算求解. 【详解】以正方形的中心为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 由题意， ，， 故，． 设为与和的公垂线在同一个方向上的向量， 则，， 得， ∴异面直线与间的距离：． 学科网（北京）股份有限公司 $$