第04讲 二次函数与一元二次方程(3个知识点+7个考点+2个易错诊断）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

第04讲 二次函数与一元二次方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式)之间的联系. 2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集. 3.了解用图象法求一元二次方程的近似根. 知识点一 二次函数与一元二次函数的关系 1. 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数的图象与轴交点的横坐标就是一元二次方程 的解. 2. 二次函数的图象与轴的交点的情况和对应的一元二次方程的根的情况的关系 的取值 二次函数 的图象与轴的交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 一元二次方程 的实数根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 求抛物线与x轴的交点坐标的方法 (1) 已知抛物线的解析式时,转化为解一元二次方程的问题; (2)已知抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴时，一般利用抛物线的对称性求解. 【例1】二次函数的图象与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】令，求出的值即可得到答案． 【详解】解：令，则， 二次函数的图象与轴的交点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与轴的交点，解题关键是掌握二次函数图象与y轴的交点，横坐标为0． 知识点二 图象法求解一元二次方程 1.方法一 通过求二次函数与轴的交点标从而求出一元二次方程的解. 具体步骤如下： (1)画:在平面直角坐标系中画出二次函数的图象; (2)看:观察图象确定抛物线与轴的交点坐标: (3)写:交点的横坐标即为一元二次方程的解. 2.方法二 通过求抛物线与直线的交点坐标求得一元二次方程的解. 具体步骤如下: (1)画:在平面直角坐标系中画出函数与[或与或与]的图象; (2)看：观察图象，确定抛物线与直线的交点标； (3)写:交点的横坐标即为一元二次方程的解. 提示： 用图象法解一元二次方程是数形结合思想的具体应用，可类比用一次函数的图象解一元一次方程的方法,在平面直角坐标系中画出二次函数的图象，由图象与x轴交点的横坐标求一元二次方程的解.但由于作图或观察存在误差，因此通过这种方法求得的方程的解一般是近似的. 【例2】二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．， B． C． D．时，不等式一定成立 【答案】D 【分析】根据抛物线开口方向和抛物线的对称轴位置对A进行判断；根据抛物线与轴的交点个数对B进行判断；根据抛物线对称轴对C进行判断；根据抛物线与轴的交点的坐标对D进行判断． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴在轴右侧， ， ，所以不符合题意； 抛物线与轴有个交点， ，所以B不符合题意； 由图可知：抛物线的对称轴是直线， ， ，所以C不符合题意； 由对称可知：抛物线与轴的交点为：，，又由图象可知：当时，抛物线位于轴的上方， 当时，不等式一定成立，所以D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左侧；当与异号时即，对称轴在轴右侧．简称：左同右异；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点． 知识点三 二次函数与一元二次不等式的关系 二次函数与一元二次不等及之间的关系如下: 二次函数 的图象与轴的交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 不等式 的解集 或 （或） 全体实数 不等式 的解集 无解 无解 二次函数 的图象与轴的交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 不等式 的解集 无解 无解 二次函数 的图象与轴的交点 或 （或） 全体实数 特别提醒： （1）二次函数的图象在轴上方的点的纵坐标都为正，所对应的的所有值的集合就是不等式的解集;在轴下方的点的纵坐标都为负，所对应的的所有值的集合就是不等式的解集. （2）像、此类不等式中带有等号，那么其解集也相应带有等号. 【例3】二次函数的部分图象如图所示．对称轴为，图象过点，且，以下结论： ①； ②； ③关于的不等式的解集：； ④若，且，则； 其中正确的结论是 ．    【答案】①②④ 【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴以及与轴的交点即可判断①；根据对称性可判断②；根据不等式和二次函数图象的交点可判断③；根据抛物线与轴的交点和一元二次方程根与系数的关系即可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下， ， ，， 交轴的正半轴，，，故①正确； ，对称轴是直线，抛物线与轴的交点为， 对称轴是直线，抛物线与轴的另一个交点为，当时，，；故②正确； ，，，或；故③错误； ，， ，；故④正确； 综上，正确结论的有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】此题考查图象二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，以及二次函数与不等式的关系，根的判别式等，能够综合运用上述知识点是解题的关键． 考点一：求抛物线与x轴的交点坐标 例1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）规定：对于二次函数，我们把它的图象与轴交点的横坐标称为二次函数的零点．已知二次函数只有一个零点且图象开口向下，则该零点是（    ） A． B． C．3 D．或3 【变式1-1】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）抛物线与坐标轴的交点个数为 个． 【变式1-2】（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）若关于的方程的两个根分别是和（，，均为常数，），则抛物线与轴的交点坐标是 . 【变式1-3】（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图1，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点P为直线上方抛物线上的一点，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)如图2，若点M为该抛物线的顶点，直线轴于点D，在直线上是否存在点N，使点N到直线的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 考点二：求抛物线与y轴的交点坐标 例2. （23-24九年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是 ． 【变式2-1】（23-24九年级上·安徽滁州·期末）抛物线与y轴的交点坐标是 ． 【变式2-2】（21-22九年级上·安徽合肥·开学考试）将抛物线向上平移2个单位后，得到的新抛物线与y轴交点的坐标为 ． 【变式2-3】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的表达式； (2)求该二次函数的与轴的交点． 考点三：己知二次函数的函数值求自变量的值 例3.（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知一次函数的图象与二次函数的图象交于，两点． （1）若点的横坐标为，则的值为 ； （1）若点，点均在轴的上方，则的取值范围为 ． 【变式3-1】 （23-24九年级上·安徽芜湖·期中）如图，抛物线交轴的负半轴于点，点是轴的正半轴上一点，点关于点的对称点恰好落在抛物线上．过点作轴的平行线交抛物线于另一点，则点的坐标为 ． 【变式3-2】 （23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一条抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 0 k 0 … (1)求这条抛物线对应的函数表达式； (2)求k的值； (3)这个抛物线经过两点和，求m的值． 【变式3-3】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数． （1）当时，二次函数的最小值为 ． （2）当时，二次函数 的最小值为，则m的值为 ． 考点四：图象法确定一元二次方程的近似根 例4. （23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值： 1 0.59 1.16 那么方程的一个近似根的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24九年级上·安徽黄山·期末）如图是二次函数的图象，图象上有两点分别为，，则方程的一个解只可能是（   ）     A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数中与的部分对应值如下表，下列判断正确的是（    ） … 0 1 2 … … 1 3 1 … A．抛物线开口向上 B．抛物线与轴交于负半轴 C．当时，随的增大而减小 D．方程的正根在3与4之间 【变式4-3】（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知二次函数，小明利用计算器列出了下表： x 那么方程的一个近似根是 （精确到） 考点五：抛物线与x轴的交点问题 例5. （2024·安徽合肥·模拟预测）已知关于x的函数的图象与坐标轴共有两个不同的交点，则实数a的可能值有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式5-1】（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交两点，则二次函数的图象可能为（    ） A．B． C． D． 【变式5-2】 （2024·安徽淮北·三模）无论k取何值，直线与抛物线总有公共点，则a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 考点六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 例6. （23-24九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）已知抛物线与轴交于、，则关于的方程的解为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式6-1】（23-24九年级上·安徽淮北·开学考试）如图是抛物线（）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是，与轴的一个交点，下列结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点是；④方程有两个相等的实数根；⑤若，且，则，则命题正确的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式6-2】（2023·安徽·模拟预测）已知抛物线与直线（其中）． （1）若抛物线与直线存在一个交点，其横坐标为，则的值为 ； （2）若关于的一元二次方程在的范围内有实数根，则的取值范围是 ． 【变式6-3】 （2024·安徽安庆·二模）已知，如图，抛物线与x轴的交点分别为A，B（A在B的左侧），顶点为C，与y轴的交点为D．顺次连接A、B、C三点，构成等腰直角三角形． (1)求m的值； (2)如图，连接、，判断的形状，并求出其面积； (3)将抛物线在x轴下方部分图象向上翻折，在x轴上方部分图象保持不变，若直线与图象恰有3个交点时，求出k的值． 【变式6-4】（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其顶点为C，连接．    (1)若，，求a的值； (2)若，， （ⅰ）当，请判断此时抛物线的图像与直线的图像公共点的情况； （ⅱ）已知点和点在该抛物线上，若，求a的取值范围． 考点七：求x轴与抛物线的截线长 例7. （23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若抛物线与直线交于A，B两点，则点A与点B之间的距离 【变式7-1】（21-22九年级上·安徽合肥·期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大3，那么称这样的方程为“友好方程”．例如:一元二次方程的两个根是2和5，则方程就是“友好方程”． (1)若一元二次方程是“友好方程”，求的值； (2)若是“友好方程”，求代数式的值； (3)若方程抛是“友好方程”，且相异两点M，N都在抛物线上，求一元二次方程的根． 【变式7-2】（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知二次函数． (1)若抛物线与y轴交于，求m的值及抛物线在x轴上截得的线段长； (2)对于任意实数m，请判断该二次函数图像与x轴有没有交点，并说明理由． 【变式7-3】（2023·安徽宿州·三模）已知点在二次函数的图象上，且该抛物线的对称轴为直线． (1)求b和c的值． (2)当时，求函数值y的取值范围，并说明理由． (3)设直线与抛物线交于点A，B，与抛物线交于点C，D，求线段与线段的长度之比． 【例1】若函数的图象与轴有交点,试求的取值范围. 易错攻克 本题中的函数没有指明是一次函数还是二次函数，应分情况讨论.对于函数图象与x轴的交点个数，也要分情况讨论. 【例2】已知二次函数的图象与轴有交点，求的取值范围． 易错攻克 二次函数 与轴有交点需要满足①,②,二者缺一不可. 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点左边），与轴交于点，下列命题中不成立的是（    ） A．、两点之间的距离为个单位长度 B．若线段的端点为，，当抛物线与线段有交点时，则 C．若、在该抛物线上，当时，则 D．若，当时，的最大值与最小值的差为，则 2．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）下列函数的图象与轴正半轴有交点的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽蚌埠·三模）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知二次函数的图象与x轴只有一个交点，则k的值为（    ） A．1 B． C．2或 D．3或 5．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线，则： （1）该拋物线的对称轴为直线 ； （2）已知该抛物线与轴有交点，现有点，若线段与拋物线只有一个公共点，结合函数图像，则的取值范围为 ． 6．（23-24九年级上·吉林长春·期末）若函数与的图象的公共点落在轴上，则 . 7．（15-16九年级上·北京海淀·期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则关于的方程的解是 ． 8．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． (1)求b的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． （ⅰ）若，且，，求h的值； （ⅱ）若，求h的最大值． 9．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知抛物线：与抛物线：关于y轴对称，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)写出抛物线的函数表达式，并求出的长； (2)在抛物线上是否存在一点P，在抛物线上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出此平行四边形的面积；若不存在，请说明理由； (3)设抛物线与x轴相交于C，D两点（点C在点D的左侧）．抛物线与y轴交于E，经过点A的直线与线段DE交于F，与y轴交于G，记的面积为，的面积为，若，求OG的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 二次函数与一元二次方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式)之间的联系. 2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集. 3.了解用图象法求一元二次方程的近似根. 知识点一 二次函数与一元二次函数的关系 1. 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数的图象与轴交点的横坐标就是一元二次方程 的解. 2. 二次函数的图象与轴的交点的情况和对应的一元二次方程的根的情况的关系 的取值 二次函数 的图象与轴的交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 一元二次方程 的实数根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 求抛物线与x轴的交点坐标的方法 (1) 已知抛物线的解析式时,转化为解一元二次方程的问题; (2)已知抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴时，一般利用抛物线的对称性求解. 【例1】二次函数的图象与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】令，求出的值即可得到答案． 【详解】解：令，则， 二次函数的图象与轴的交点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与轴的交点，解题关键是掌握二次函数图象与y轴的交点，横坐标为0． 知识点二 图象法求解一元二次方程 1.方法一 通过求二次函数与轴的交点标从而求出一元二次方程的解. 具体步骤如下： (1)画:在平面直角坐标系中画出二次函数的图象; (2)看:观察图象确定抛物线与轴的交点坐标: (3)写:交点的横坐标即为一元二次方程的解. 2.方法二 通过求抛物线与直线的交点坐标求得一元二次方程的解. 具体步骤如下: (1)画:在平面直角坐标系中画出函数与[或与或与]的图象; (2)看：观察图象，确定抛物线与直线的交点标； (3)写:交点的横坐标即为一元二次方程的解. 提示： 用图象法解一元二次方程是数形结合思想的具体应用，可类比用一次函数的图象解一元一次方程的方法,在平面直角坐标系中画出二次函数的图象，由图象与x轴交点的横坐标求一元二次方程的解.但由于作图或观察存在误差，因此通过这种方法求得的方程的解一般是近似的. 【例2】二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．， B． C． D．时，不等式一定成立 【答案】D 【分析】根据抛物线开口方向和抛物线的对称轴位置对A进行判断；根据抛物线与轴的交点个数对B进行判断；根据抛物线对称轴对C进行判断；根据抛物线与轴的交点的坐标对D进行判断． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴在轴右侧， ， ，所以不符合题意； 抛物线与轴有个交点， ，所以B不符合题意； 由图可知：抛物线的对称轴是直线， ， ，所以C不符合题意； 由对称可知：抛物线与轴的交点为：，，又由图象可知：当时，抛物线位于轴的上方， 当时，不等式一定成立，所以D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左侧；当与异号时即，对称轴在轴右侧．简称：左同右异；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点． 知识点三 二次函数与一元二次不等式的关系 二次函数与一元二次不等及之间的关系如下: 二次函数 的图象与轴的交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 不等式 的解集 或 （或） 全体实数 不等式 的解集 无解 无解 二次函数 的图象与轴的交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 不等式 的解集 无解 无解 二次函数 的图象与轴的交点 或 （或） 全体实数 特别提醒： （1）二次函数的图象在轴上方的点的纵坐标都为正，所对应的的所有值的集合就是不等式的解集;在轴下方的点的纵坐标都为负，所对应的的所有值的集合就是不等式的解集. （2）像、此类不等式中带有等号，那么其解集也相应带有等号. 【例3】二次函数的部分图象如图所示．对称轴为，图象过点，且，以下结论： ①； ②； ③关于的不等式的解集：； ④若，且，则； 其中正确的结论是 ．    【答案】①②④ 【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴以及与轴的交点即可判断①；根据对称性可判断②；根据不等式和二次函数图象的交点可判断③；根据抛物线与轴的交点和一元二次方程根与系数的关系即可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下， ， ，， 交轴的正半轴，，，故①正确； ，对称轴是直线，抛物线与轴的交点为， 对称轴是直线，抛物线与轴的另一个交点为，当时，，；故②正确； ，，，或；故③错误； ，， ，；故④正确； 综上，正确结论的有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】此题考查图象二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，以及二次函数与不等式的关系，根的判别式等，能够综合运用上述知识点是解题的关键． 考点一：求抛物线与x轴的交点坐标 例1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）规定：对于二次函数，我们把它的图象与轴交点的横坐标称为二次函数的零点．已知二次函数只有一个零点且图象开口向下，则该零点是（    ） A． B． C．3 D．或3 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的判别式以及解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的判别式是解题的关键．根据题意求出代入解方程即可． 【详解】解：二次函数只有一个零点且图象开口向下， ， 解得， 故， 将代入二次函数， 得， 令， 解得． 故选A． 【变式1-1】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）抛物线与坐标轴的交点个数为 个． 【答案】1 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点以及一元二次方程的解法，其中令抛物线解析式中，求出的值即为抛物线与轴交点的纵坐标；令，求出对应的的值，即为抛物线与轴交点的横坐标． 【详解】当时，，则与轴的交点坐标为， 当时，， ， 所以，该方程无解，即抛物线与轴没有交点． 综上所述，抛物线与坐标轴的交点个数是1个． 故答案为：1． 【变式1-2】（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）若关于的方程的两个根分别是和（，，均为常数，），则抛物线与轴的交点坐标是 . 【答案】， 【分析】本题考查二次函数与轴交点问题，二次函数的平移问题；根据题意得出抛物线与轴的交点坐标是和，根据二次函数的平移可得是向左平移个单位，进而即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的两个根分别是和， ∴抛物线与轴的交点坐标是和， ∵是向左平移个单位， ∴抛物线与轴的交点坐标是，， 故答案为：，． 【变式1-3】（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图1，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点P为直线上方抛物线上的一点，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)如图2，若点M为该抛物线的顶点，直线轴于点D，在直线上是否存在点N，使点N到直线的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用．掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）求出的自变量的值，得到两点的坐标，进一步求解即可； （2）连接，设，根据，将三角形的面积转化为二次函数求最值即可； （3）过点N作于点H，连接，求出点坐标，进而求出的解析式，推出，设，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：令，得， 解得，，即，B（3，0）， ∴． （2）∵，当时，， ∴点C的坐标为， 如图1，连接，设， 则 ∵， ∴当时，， 此时，， ∴当的面积最大时，点P的坐标为． （3）存在满足条件的点N， 如图2，过点N作于点H，连接， ∵， ∴， ∵点C的坐标为， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设直线与轴的交点为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， 设，则，， ∴，解得， ∴点N的坐标为或． 考点二：求抛物线与y轴的交点坐标 例2. （23-24九年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握抛物线与坐标轴的交点问题． 直接令，即可求出抛物线与y轴交点的纵坐标． 【详解】当时，， ∴二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是9． 故答案为：9． 【变式2-1】（23-24九年级上·安徽滁州·期末）抛物线与y轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与y轴的交点坐标，根据坐标轴上点的特征，y轴上点的横坐标为0，即可得到答案，掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：当时， 此时， ∴抛物线与y轴的交点坐标是， 故答案为：． 【变式2-2】（21-22九年级上·安徽合肥·开学考试）将抛物线向上平移2个单位后，得到的新抛物线与y轴交点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”得到新的二次函数，再令即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：根据平移得新抛物线的解析为：， 令，则， ∴新抛物线与轴的交点为， 故答案为：． 【变式2-3】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的表达式； (2)求该二次函数的与轴的交点． 【答案】(1)二次函数的表达式为； (2)二次函数与轴的交点为． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质，正确求出函数解析式是解题关键． （1）将点，代入函数解析式，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式． （2）令，求出对应的y的值，即可求出二次函数与轴的交点坐标． 【详解】（1）解：将和代入函数解析式得， ， 解得． 所以二次函数的表达式为． （2）因为， 时，， 二次函数的与轴的交点为． 考点三：己知二次函数的函数值求自变量的值 例3.（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知一次函数的图象与二次函数的图象交于，两点． （1）若点的横坐标为，则的值为 ； （1）若点，点均在轴的上方，则的取值范围为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了二次函数图象与x轴的交点，与一次函数图象的交点问题； （1）直接将代入两个函数解析式，再将它们联立求解即可； （2）先求出二次函数图象与x轴的交点坐标，再分类讨论，当时，点，点均在轴的上方，当时，点，点均在轴的上方，分别求解即可． 【详解】（1）由题意得，当时，， 解得， 故答案为：； （2）当时，， 解得或， 当时，若点，点均在轴的上方， 当时，则恒成立， ∴； 当时，若点，点均在轴的上方， 当时，则， 解得， ∴； 综上，， 故答案为：． 【变式3-1】 （23-24九年级上·安徽芜湖·期中）如图，抛物线交轴的负半轴于点，点是轴的正半轴上一点，点关于点的对称点恰好落在抛物线上．过点作轴的平行线交抛物线于另一点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点，轴对称的性质．明确各点横纵坐标的等量关系是解题的关键． 将代入得，，解得，或，即，由对称可得的横坐标为1，将代入得，，即，由与轴平行，可得点纵坐标为2，将代入得，，解得，或，进而可得点坐标． 【详解】解：将代入得，， 解得，或， ∴， ∵点、关于点对称，点是轴的正半轴上一点， ∴的横坐标为1， 将代入得，， ∴， ∵与轴平行， ∴点纵坐标为2， 将代入得，， 解得，或， ∴． 【变式3-2】 （23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一条抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 0 k 0 … (1)求这条抛物线对应的函数表达式； (2)求k的值； (3)这个抛物线经过两点和，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，将代入求出a，即可得到解析式； （2）把代入解析式即可； （3）求出抛物线的对称轴为直线，根据对称性得到，即可求出m的值． 【详解】（1）解：设，将代入， 得，解得， ∴抛物线解析式为， 即； （2）把代入，得， ∴； （3）∵图象经过点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵二次函数的图象经过点和两点， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的对称性，已知自变量的值求函数值，正确掌握待定系数法是解题的关键． 【变式3-3】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数． （1）当时，二次函数的最小值为 ． （2）当时，二次函数 的最小值为，则m的值为 ． 【答案】 或 【分析】（1）把代入可得，，即可求解； （2）根据，分两种情况：当时，，y取最小值，当时，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，结合二次函数图象与性质进行求解即可． 【详解】解：（1）当时，， ∵， ∴最小值为， 故答案为：； （2） ， ∵当时，二次函数 的最小值为， 当时，，y取最小值， 即， 解得， 当时，抛物线开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∴，y取最小值， 即， 解得， 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数的最值、二次函数的顶点式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 考点四：图象法确定一元二次方程的近似根 例4. （23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值： 1 0.59 1.16 那么方程的一个近似根的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．根据解析式求得，观察表格即可求解． 【详解】解：由，当时，， 当时，， ∴方程的一个近似根在和之间． 故选：B． 【变式4-1】（23-24九年级上·安徽黄山·期末）如图是二次函数的图象，图象上有两点分别为，，则方程的一个解只可能是（   ）     A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，根据题意得方程的一个解，进而即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象上有两点分别为，， ∴方程的一个解， ∴方程的解为：， 即． 故选：C． 【变式4-2】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数中与的部分对应值如下表，下列判断正确的是（    ） … 0 1 2 … … 1 3 1 … A．抛物线开口向上 B．抛物线与轴交于负半轴 C．当时，随的增大而减小 D．方程的正根在3与4之间 【答案】C 【分析】根据题意和表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图表可得，当时，随的增大而增大， ∴抛物线开口向下，故选项A错误，不合题意； 当时时，，即抛物线与轴的交点为， 即抛物线与轴交于正半轴，故选项B错误，不合题意； ∵该函数图像开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小，选项C正确，符合题意； 根据二次函数图像的对称性质可知，当时，， 可知方程的正根在2与3之间，故选项D错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的图像与性质解答． 【变式4-3】（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知二次函数，小明利用计算器列出了下表： x 那么方程的一个近似根是 （精确到） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，注意数形结合的思想方法． 【详解】解∶由可得： ， 当时，， 当时，， 故的一个近似根， 距离x轴更近， 的一个近似根是， 的另一个近似根是 故答案为：或 考点五：抛物线与x轴的交点问题 例5. （2024·安徽合肥·模拟预测）已知关于x的函数的图象与坐标轴共有两个不同的交点，则实数a的可能值有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据函数的图象与两坐标轴共有两个交点，可知该函数可能为一次函数，也可能为二次函数，然后分类讨论即可求得a的值，本题得以解决．本题考查抛物线与x轴的交点、根的判别式、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的思想解答． 【详解】解：函数的图象与坐标轴共有两个不同的交点， 当时，此时与两坐标轴两个交点， 当时，则或， 解得，或， 由上可得，的值是0，或1，共4个． 故选：A． 【变式5-1】（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交两点，则二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象，直线和抛物线的交点，交点坐标和方程的关系以及方程和二次函数的关系等，由一次函数与二次函数图象相交于两点，得出函数与轴有两个交点，两个交点为，利用对称轴即可进行判断的图象，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由一次函数与二次函数图象相交于两点的横坐标可得： 函数与轴有两个交点，两个交点为， ， 即， ， ， ， 故二次函数的图象开口向上，对称轴在轴左边，只有A选项的图象符合条件， 故选：A． 【变式5-2】 （2024·安徽淮北·三模）无论k取何值，直线与抛物线总有公共点，则a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题和数形结合思想．根据题意得到直线一定过定点，抛物线一定过定点和，再通过图象分别讨论当和时的情况求出a的取值范围． 【详解】解：由题意，直线， 则直线一定过定点， 同理，抛物线， 则抛物线过定点和， 如示意图，当时，直线与抛物线一定有公共点； 当时，为了保证直线与抛物线一定有公共点，则要求当时， 解得 综上，或， 故选：D 考点六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 例6. （23-24九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）已知抛物线与轴交于、，则关于的方程的解为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，将方程变形为，对应的抛物线为，得出抛物线与轴的交点坐标为，，即可得解，解题的关键是将变形为． 【详解】将方程变形为， 关于的方程对应的抛物线为． 抛物线是将抛物线向右平移一个单位长度得到，且抛物线与轴交于、， 抛物线与轴的交点坐标为，， 方程的解是，． 故选C． 【变式6-1】（23-24九年级上·安徽淮北·开学考试）如图是抛物线（）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是，与轴的一个交点，下列结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点是；④方程有两个相等的实数根；⑤若，且，则，则命题正确的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与的交点，以及函数图象上点的坐标特征，要求熟练掌握函数与坐标轴的交点，顶点等点坐标的求法以及这些点代表的意义及函数特征． 【详解】解：对称轴为直线， ，故①正确； ， 当时，，即，故②错误； 对称轴是直线，与轴的一个交点是，则与轴的另一个交点是，故③正确； 将抛物线向下平移3个单位，得到， 顶点坐标变为，此时抛物线与轴只有一个交点， 方程有两个相等的实数根，故④正确； 若，则，即， ，关于抛物线的对称轴对称， ，故⑤错误． 故选C． 【变式6-2】（2023·安徽·模拟预测）已知抛物线与直线（其中）． （1）若抛物线与直线存在一个交点，其横坐标为，则的值为 ； （2）若关于的一元二次方程在的范围内有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，二次函数与一元二次方程的关系等知识点．（1）把分别代入与即可求解；（2）分类讨论当时和当时两种情况即可． 【详解】解：（1）把分别代入与得： ， 解得． （2）当时，一元二次方程中， ， 均为负数，即不存在范围内的实数根． 当时，一元二次方程在的范围内有实数根， 即拋物线与轴存在一个交点且其横坐标在的范围内， ∵当时，；当时，， 即 解得． 故答案为：①；② 【变式6-3】 （2024·安徽安庆·二模）已知，如图，抛物线与x轴的交点分别为A，B（A在B的左侧），顶点为C，与y轴的交点为D．顺次连接A、B、C三点，构成等腰直角三角形． (1)求m的值； (2)如图，连接、，判断的形状，并求出其面积； (3)将抛物线在x轴下方部分图象向上翻折，在x轴上方部分图象保持不变，若直线与图象恰有3个交点时，求出k的值． 【答案】(1) (2)为直角三角形， (3)或 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的综合，函数图象翻折变换等知识； （1）先求出顶点坐标和点A、B坐标（用m表示），再根据等腰直角三角形性质列方程即可； （2）由（1）可得抛物线解析式为，求出，，三点坐标，再由两点距离公式和勾股定理判定为直角三角形即可求解； （3）由题意作出函数图象，分当直线与新图形抛物线相切时和直线经过点B时两种情况分别求出的b值即可； 【详解】（1）解:∵抛物线对称轴为直线，顶点为点C， ∴顶点 ∵为等腰直角三角形．过点C作， ∴， ∴ 当时， 解得：；， ∴； ∴，解得：； （2）由（1）得：抛物线 ∴当时，，解得：， ∵已知抛物线与x轴的交点分别为A，B（A在B的左侧） ∴， ∵时，， ∴ ∵，， ∴ ∴为直角三角形；， ∴ （3）∵抛物线在x轴下方部分图象向上翻折， ∴得到新函数关系式为 ∵直线与新的函数图象恰有3个交点 分类讨论： ①当直线与抛物线相切时，故联立得 整理得： ∵直线与抛物线相切 ∴方程有两个相等实数根 即： 解得：，（舍）， ②当当直线经过点时，，解得，故联立得 整理得：，解得，．满足题意． 综上所述：或． 【变式6-4】（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其顶点为C，连接．    (1)若，，求a的值； (2)若，， （ⅰ）当，请判断此时抛物线的图像与直线的图像公共点的情况； （ⅱ）已知点和点在该抛物线上，若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）抛物线的图像与直线的图像有两个公共点；（ⅱ）当，a的取值范围为或 【分析】本题主要考查抛物线与坐标轴交点问题、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的性质等知识点，综合运用二次函数的知识是解题关键． （1）如图：过C作轴于点D．设出各点坐标，则，，代入得到方程组求解即可； （2）将，代入可得；（ⅰ）列出方程再画成一般式，然后运用根的判别式判定即可；（ⅱ）分和两种情况，分别运用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：过C作轴于点D．    由题意可知， ∵， ∴， 设，则，， 抛物线解析式为， 把代入得：，解得． （2）解：∵，， ∴， （ⅰ）由题意可得：，即， ∵， ∴， ∴抛物线的图像与直线的图像有两个公共点； （ⅱ）∵，， ∴抛物线的对称轴为， 当时，由，则，解得：； 当时，由，则或，解得：； 综上，当，a的取值范围为或． 考点七：求x轴与抛物线的截线长 例7. （23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若抛物线与直线交于A，B两点，则点A与点B之间的距离 【答案】 【分析】联立方程组得，确定,，计算即可． 【详解】根据题意，得， 解得， ∴, ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与直线交点间距离计算，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【变式7-1】（21-22九年级上·安徽合肥·期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大3，那么称这样的方程为“友好方程”．例如:一元二次方程的两个根是2和5，则方程就是“友好方程”． (1)若一元二次方程是“友好方程”，求的值； (2)若是“友好方程”，求代数式的值； (3)若方程抛是“友好方程”，且相异两点M，N都在抛物线上，求一元二次方程的根． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，新定义，抛物线与轴的交点问题； （1）将一元二次方程的根转化为抛物线与轴交点问题，由一个根比另一个根大可得抛物线与轴交点距离对称轴个单位，从而求解． （2）由方程的一个解为可得另一根为或，然后根据根与对称轴的关系分类求解． （3）由抛物线上点，坐标求得抛物线对称轴为直线，进而求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， 的解或， 把代入得， 解得， 故答案为：． （2）解：∵的解为或 ∴或 （3）解：∵相异两点M，N都在抛物线上， ∴的对称轴为直线， ∵是“友好方程”， ∴一元二次方程的根为或 【变式7-2】（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知二次函数． (1)若抛物线与y轴交于，求m的值及抛物线在x轴上截得的线段长； (2)对于任意实数m，请判断该二次函数图像与x轴有没有交点，并说明理由． 【答案】(1)，在x轴上截得的线段长是 (2)有交点，见解析 【分析】（1）将点代入解析式求出m的值并得到抛物线的解析式，再求出抛物线与x轴交点即可得到抛物线在x轴上截得的线段长； （2）求出判别式即可判断． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于， ∴， ∴ ∴抛物线为， 当时，， 解得或， ∴抛物线在x轴上截得的线段长为； （2）， ∵， ∴ ∴该二次函数图像与x轴有交点． 【点睛】此题考查了二次函数与坐标轴的交点，判断二次函数与x轴交点个数，正确掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 【变式7-3】（2023·安徽宿州·三模）已知点在二次函数的图象上，且该抛物线的对称轴为直线． (1)求b和c的值． (2)当时，求函数值y的取值范围，并说明理由． (3)设直线与抛物线交于点A，B，与抛物线交于点C，D，求线段与线段的长度之比． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析； (3)2． 【分析】（1）根据抛物线过点以及对称轴公式可求得b和c的值； （2）根据二次函数的解析式可知，在的范围内，当时，二次函数取最小值，当时，取最大值，进而可得答案； （3）联立与抛物线，设点A，B的横坐标分别为，根据根与系数的关系求出，，则可得到，然后根据求得，即线段的长为，同理求出线段的长为，可得答案． 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴； （2）解：当时，函数值y的取值范围为：； 理由：由（1）可知抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴在的范围内，当时，二次函数取最小值，最小值为， ∵， ∴在的范围内，当时，二次函数取最大值，最大值为 ， ∴当时，函数值y的取值范围为：； （3）解：联立得：， 整理得：， 设点A，B的横坐标分别为， 则，， ∴， ∵， ∴，即线段的长为， 联立得：， 整理得：， 设点C，D的横坐标分别为， 则，， ∴， ∵， ∴，即线段的长为， ∴线段与线段的长度之比为：． 【点睛】本题考查了待定系数法的应用，二次函数的对称轴公式，二次函数的图象和性质以及根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系是解答本题的关键． 【例1】若函数的图象与轴有交点,试求的取值范围. 解：(1)当时,,所数图象与轴有一个交点. 当时,, 当时,,即当,且时，函数图象与轴有两个交点. 当时,,函数图象与轴有一个交点. 综上,当时,函数图象与轴有交点. 易错攻克 本题中的函数没有指明是一次函数还是二次函数，应分情况讨论.对于函数图象与x轴的交点个数，也要分情况讨论. 【例2】已知二次函数的图象与轴有交点，求的取值范围． 【答案】且． 【分析】令，则根的判别式△可以列出关于的不等式，通过解不等式来求的取值范围． 【解答】解：抛物线的图象和轴有交点， 关于的一元二次方程有实数根， △，且， 解得且． 即的取值范围是且． 【点评】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的定义．注意抛物线中的． 易错攻克 二次函数 与轴有交点需要满足①,②,二者缺一不可. 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点左边），与轴交于点，下列命题中不成立的是（    ） A．、两点之间的距离为个单位长度 B．若线段的端点为，，当抛物线与线段有交点时，则 C．若、在该抛物线上，当时，则 D．若，当时，的最大值与最小值的差为，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴交点问题，根据题意分别求得的坐标，即可判断A选项，将分别代入解析式，得出的值，结合函数图象，即可判定B选项，根据二次函数的性质，，则两点的中点在对称轴的右侧时，，进而求得的范围，即可判断C选项，根据题意得出在抛物线上，且，解方程，即可求解． 【详解】解：当时， 解得： ∴ ∴，故A选项正确； ∵ 对称轴为直线， ∵线段的端点为，， 当抛物线经过时， 解得： 当抛物线经过时， 解得： ∴当抛物线与线段有交点时，则，故B选项正确， ∵，对称轴为直线，、在该抛物线上，当时 ∴ 解得：，故C选项不正确； 若，则抛物线解析式为 顶点为 ∴当时最小值为， 当时， ∵时，的最大值与最小值的差为， ∴， ∴在抛物线上， 当时， 解得：或（舍去） 故D选项正确 故选：C． 2．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）下列函数的图象与轴正半轴有交点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数，二次函数和反比例函数的性质，根据一次函数，二次函数和反比例函数的图象性质进行判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】、当时，，与轴交点在负半轴上，不符合题意； 、由的图象与，轴无交点，不符合题意； 、当时，，与轴交点在负半轴上，不符合题意； 、当时，，与轴正半轴有交点，符合题意； 故选：． 3．（2024·安徽蚌埠·三模）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与二次函数的图象问题，求出交点坐标是解题的关键．先求出一次函数与轴交点排除A和D，再求出一次函数与二次函数的交点坐标排除B，最后得到正确答案． 【详解】解：令解得： 一次函数与轴交点为， 排除A和D， 令，解得， 二次函数与轴交点为和， 一次函数与二次函数的交点为， 排除B， 故选：C． 4．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知二次函数的图象与x轴只有一个交点，则k的值为（    ） A．1 B． C．2或 D．3或 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与x轴交点问题，根的判别式等知识点，根据二次函数图象与x轴有且只有一个交点，得出，即可求出k的值，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】∵二次函数的图象与x轴有且只有一个交点， ∴， ∴或， 故选：D． 5．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线，则： （1）该拋物线的对称轴为直线 ； （2）已知该抛物线与轴有交点，现有点，若线段与拋物线只有一个公共点，结合函数图像，则的取值范围为 ． 【答案】 1 或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与x轴交点，数形结合思想； （1）把解析式配方即可求解； （2）首先由抛物线与x轴有交点可确定m的取值范围为；分及两种情况讨论，结合图象即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴拋物线的对称轴为直线； 故答案为：1； （2）∵抛物线与x轴有交点， ∴， 即； 当时，，即抛物线与y轴的交点C的坐标为， ∵点Q的纵坐标也为m， ∴抛物线与y轴的交点与点Q在同一直线上，即轴； ①当分时，如图， 则或时，线段与抛物线只有一个公共点； 解得：或； ∴； 故答案为：1； ②当时，如图， 则或时，线段与抛物线只有一个公共点； 解得：或； ∴； 综上，满足条件的m取值范围为：或． 故答案为：或． 6．（23-24九年级上·吉林长春·期末）若函数与的图象的公共点落在轴上，则 . 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知两个图象的交点就是这两个函数解析式联立成方程组后的解是解题的关键．运用二次函数的图象与x轴交点的性质解答． 【详解】解：∵函数与的图象的公共点落在x轴上， ，即， ， 解得或． 当时， ∵二次函数与均为，图象上的任一点均可为公共点， 不合题意． ∵公共点在x轴上． 时，代入解析式中得， 解得． 故答案为：． 7．（15-16九年级上·北京海淀·期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知一次函数与二次函数的两个交点横坐标即为对应的一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：​抛物线​与直线​的两个交点坐标分别为​， ​方程组​的解为​， 即关于​的方程​的解为​． 故答案为：​． 8．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． (1)求b的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． （ⅰ）若，且，，求h的值； （ⅱ）若，求h的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）3；（ⅱ） 【分析】题目主要考查二次函数的性质及化为顶点式，解一元二次方程，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意求出的顶点为，确定抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2，即可求解； （2）根据题意得出， ，然后整理化简；（ⅰ）将代入求解即可；（ⅱ）将代入整理为顶点式，即可得出结果． 【详解】（1）解：， ∴的顶点为， ∵抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1， ∴抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2， ∴， ∴； （2）由（1）得 ∵点在抛物线上，点在抛物线上． ∴， ， 整理得： （ⅰ）∵， ∴， 整理得：， ∵，， ∴， ∴； （ⅱ）将代入， 整理得， ∵， ∴当，即时，h取得最大值为． 9．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知抛物线：与抛物线：关于y轴对称，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)写出抛物线的函数表达式，并求出的长； (2)在抛物线上是否存在一点P，在抛物线上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出此平行四边形的面积；若不存在，请说明理由； (3)设抛物线与x轴相交于C，D两点（点C在点D的左侧）．抛物线与y轴交于E，经过点A的直线与线段DE交于F，与y轴交于G，记的面积为，的面积为，若，求OG的长． 【答案】(1)函数表达式为， (2)存在，20或12 (3) 【分析】（1）先根据轴对称的性质求出抛物线的解析式，再求出其与x轴的交点坐标，即可求得的长； （2）设点P的坐标为，根据平行四边形的性质，分两种情况讨论，分别列方程求解，即得答案； （3）设直线AF的函数表达式为，可求出，则，然后联立方程组求出点F的坐标，以及，的表达式，再根据列方程求解，即得答案． 【详解】（1）抛物线：， 因为抛物线：与抛物线：关于y轴对称， 所以抛物线的函数表达式为， 令，解得或， 即，， ∴； （2）（2）存在；理由如下： 以为边，且以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形， ，.， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为或， 当点Q的坐标为时，，解得， 当时，，此时平行四边形ABQP的面积为20（如图1）； 当点Q的坐标为时，，解得， 当时，，此时平行四边形ABPQ的面积为12（如图2）； 综上，平行四边形的面积为20或12； （3）（3）令，解得或，即，. 如图3，设直线AF的函数表达式为， 直线AF经过点， ， ， 直线AF的函数表达式为，易得直线的函数表达式为， 联立， 解得， 点F的坐标为， ， ， ，即， ， ， 解得或， 点的纵坐标为或（不合题意，舍去）， ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，轴对称的性质，平行四边形的性质，二次函数与一元二次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$