专题15 二项式定理- 【暑假自学课】2024年新高二数学暑假提升精品讲义（沪教版2020，上海专用）

专题15 二项式定理 一、【新课导入】 1、二项式定理：一般地，对于任意正整数有 这个公式表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，它一共有项，其中各项的系数叫做二项式系数。 【注意】 ①项数：展开式中总共有项. ②顺序：注意正确选择，，其顺序不能更改。与是不同的. ③指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。的指数从逐项减到，是升幂排列。各项的次数和等于. ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的系数（包括二项式系数）. 2、通项： 3、二项式系数的性质： ①对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即，··· ②系数和：令,则二项式系数的和为， 变形式． ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令，则， 从而得到： ④奇数项的系数和与偶数项的系数和： ⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值． 如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值． ⑥系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来． 4、常用的结论： 令 令 【二项式定理主要应用】 求展开式中的特定项或特定项的系数； 求二项式系数和或各项的系数和，主要运用“赋值法”； 整除性的证明、求余数，主要运用“配凑法”、“消去法”； 近似值的计算； 不等式的证明. 考点剖析 【例1】. 设，它等于下式中的 （ ） A. B. C. D. 【变式训练1】二项式展开式的整数项是第几项 （ ） A. B. C. D. 【例2】．展开式中，的系数为 （ ） A. B. C. D. 【变式训练2】的二项展开式中，的系数是 40 （用数字作答）。 【例题3】的展开式中含的项的二项式系数是 10 （用数字作答）。 【变式训练3】展开式中，只有第6项的系数最大，展开式中的常数项是 210 。 【例题4】如右图所示的梯形数阵中，第行第个数的值为 【变式训练4】已知展开式中的第一项和第三项的二项式系数之和为，求： （1）的值；（2）展开式中所有的有理项。 【变式训练5】求的常数项。 【变式训练6】．设，求： （1） 的值； （2） 的值。 【例7】．求。 【变式训练7】．若为奇数，求被除的余数。 【变式训练8】．已知数列是首项为，公比为的等比数列。 （1）分别求下面两式的和：、； （2）由（1）的结论归纳概括出关于正整数的一个结论，并加以证明。 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．的二项展开式中的系数为 . 2．已知的展开式中二项式系数最大的项只有第8项，则 ． 3．设，则当时， ． 4．二项式的展开式中，有理项有 项. 5． ． 6．若，则 . 7．若的二项式展开式中的系数为10，则 . 8．在的展开式中各项的系数和是 ． 9．求的二项展开式中的常数项． B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 10．在的二项展开式中，项的系数为 . 11．若，则 12．在的二项展开式中，第四项是 ． 13．若（m、n为正整数）的二项展开式中关于x的一次项系数之和为11，则项系数的最小值为 14．的展开式中的系数为 ． 15．已知，则的值为 ． 16．已知的开展式共9项. (1)求n的值； (2)求展开式中的有理项. 17．已知，，求： (1)的值； (2)的值； (3)的展开式中系数绝对值最大的项． C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 18．若的展开式中各项系数之和为，则第四项与第五项的系数之比为（    ） A． B． C． D． 19．用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，若满足的五位数有个，则在的展开式中，的系数是 ．（用数字作答） 20．对一个量用两种方法各算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为“算两次”方法，已知，考察展开式中的系数，并据此化简： . 21．的二项展开式中的常数项为 ．（结果用数字表示） 22．已知今天是周一，那么天后是 .（填周几） 23．已知二项式的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是. (1)求展开式中含的项； (2)求该二项式展开式的各项系数之和. 24．（1）求的二项展开式中的常数项 （2）求的二项展开式中系数最大的项（结果保留通项形式） 25．（1）若在的二项展开式中，第3项的系数是第2项的系数的4倍，求展开式中的常数项； （2）求的二项展开式中系数最大的项. D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】 26．已知集合，记集合的非空子集为、、、，且记每个子集中各元素的乘积依次为、、、，则的值为 . 27．已知集合，规定：若集合，则称为集合的一个分拆，当且仅当：，，…，时，与为同一分拆，所有不同的分拆种数记为.例如：当，时，集合的所有分拆为：，，，即. (1)求； (2)试用、表示； (3)设，规定，证明：当时，与同为奇数或者同为偶数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 二项式定理 一、【新课导入】 1、二项式定理：一般地，对于任意正整数有 这个公式表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，它一共有项，其中各项的系数叫做二项式系数。 【注意】 ①项数：展开式中总共有项. ②顺序：注意正确选择，，其顺序不能更改。与是不同的. ③指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。的指数从逐项减到，是升幂排列。各项的次数和等于. ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的系数（包括二项式系数）. 2、通项： 3、二项式系数的性质： ①对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即，··· ②系数和：令,则二项式系数的和为， 变形式． ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令，则， 从而得到： ④奇数项的系数和与偶数项的系数和： ⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值． 如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值． ⑥系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来． 4、常用的结论： 令 令 【二项式定理主要应用】 求展开式中的特定项或特定项的系数； 求二项式系数和或各项的系数和，主要运用“赋值法”； 整除性的证明、求余数，主要运用“配凑法”、“消去法”； 近似值的计算； 不等式的证明. 考点剖析 【例1】. 设，它等于下式中的 （ ） A. B. C. D. 【答案】： 【变式训练1】二项式展开式的整数项是第几项 （ ） A. B. C. D. 【答案】：，所以与都是整数，可得。 【例2】．展开式中，的系数为 （ ） A. B. C. D. 【答案】：，含的项是从个括号中任取一个括号中的的一次项，其它都取常数项相乘所构成。所以为。 【变式训练2】的二项展开式中，的系数是 40 （用数字作答）。 【答案】：，解得，。所以系数为。 【例题3】的展开式中含的项的二项式系数是 10 （用数字作答）。 【答案】：，解得，所以二项式系数为。 【变式训练3】展开式中，只有第6项的系数最大，展开式中的常数项是 210 。 【答案】：每一项的系数即二项式系数，第六项最大，所以。，所以常数项为。 【例题4】如右图所示的梯形数阵中，第行第个数的值为 【答案】：观察、归纳梯形数阵规律，第一行每一个数提取系数，第二行每一个数提取系数，……，第行每一个数提取系数。提取系数之后，各数的分子均为，分母恰好成二项式系数所构成的杨辉三角分布，所以可求得第行第个数的值为。 【变式训练4】已知展开式中的第一项和第三项的二项式系数之和为，求： （1）的值；（2）展开式中所有的有理项。 【答案】：（1）所求系数之和为。 （2）∵，。 的有理项及。 ∴的有理项为， 【变式训练5】求的常数项。 【答案】：∵， ∴其中，。 ∴常数项为第项，。 【变式训练6】．设，求： （1） 的值； （2） 的值。 【答案】：设 （1） 。 （2） 。 【例7】．求。 【答案】： 【变式训练7】．若为奇数，求被除的余数。 【答案】：， 所以被除的余数为。 【变式训练8】．已知数列是首项为，公比为的等比数列。 （1）分别求下面两式的和：、； （2）由（1）的结论归纳概括出关于正整数的一个结论，并加以证明。 【答案】：（1）； 。 （2）归纳概括的结论为： 若数列是首项为，公比为的等比数列，则 。 证明： 。 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．的二项展开式中的系数为 . 【答案】56 【分析】写出二项展开式通项，令，解得，回代即可求解. 【详解】的二项展开式的通项公式为， 令，解得， 所以的二项展开式中的系数为. 故答案为：56. 2．已知的展开式中二项式系数最大的项只有第8项，则 ． 【答案】14 【分析】根据给定条件，利用二项式系数的性质求出. 【详解】由的展开式中二项式系数最大的项只有第8项，得的展开式共有15项， 所以. 故答案为：14 3．设，则当时， ． 【答案】 【分析】先求出的通项，求出，再由，即可求出的值. 【详解】展开式的通项为， 则，， 由，可得，即，所以． 故答案为：. 4．二项式的展开式中，有理项有 项. 【答案】7 【分析】写出展开式的通项，然后由x的指数为整数可得. 【详解】因为， 所以当时满足题意，共7项. 故答案为：7 5． ． 【答案】0 【分析】利用二项式定理展开式合并即可. 【详解】 . 故答案为：0 6．若，则 . 【答案】 【分析】利用赋值法，分别令、，即可求解. 【详解】由题意知， 当时，①， 当时，②， ①②，得， 所以. 故答案为： 7．若的二项式展开式中的系数为10，则 . 【答案】 【分析】先求出展开式的通项，再令的指数等于，进而可得出答案. 【详解】的展开式的通项为， 令，得， 所以的二项式展开式中的系数为，解得. 故答案为：. 8．在的展开式中各项的系数和是 ． 【答案】 【分析】由赋值法即可求解. 【详解】取，则, 故系数之和为， 故答案为： 9．求的二项展开式中的常数项． 【答案】252 【分析】得到二项展开式通项公式，进而求出常数项. 【详解】的二项展开式为， 令，解得， 故二项展开式中的常数项为. B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 10．在的二项展开式中，项的系数为 . 【答案】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对有， 令，则，有， 即项的系数为. 故答案为：. 11．若，则 【答案】 【分析】直接利用二项式的展开式和赋值法的应用求出结果． 【详解】根据的展开式，，1，2，，； 当时，； 当时，， 令时，， 所以， 故． 故答案为：． 12．在的二项展开式中，第四项是 ． 【答案】 【分析】利用二项式定理可求得展开式第四项. 【详解】在的二项展开式中，第四项是 故答案为： 13．若（m、n为正整数）的二项展开式中关于x的一次项系数之和为11，则项系数的最小值为 【答案】25 【分析】根据二项展开式确定对应项的系数，再由二次函数求得最小值. 【详解】由题意，的二项展开式中关于x的一次项系数为，即， 又展开式中项系数为, 所以当或时，该系数最小，最小值为. 故答案为：25. 14．的展开式中的系数为 ． 【答案】 【分析】利用二项式定理及通项公式即可求解. 【详解】由题意可知，展开式的通项公式为，其中 所以展开式中含的项为， 即含项的系数为. 故答案为：. 15．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合展开式的通项公式，即可求解的值，得到答案. 【详解】展开式的通项公式为，， 所以展开式中的值为. 故答案为：. 16．已知的开展式共9项. (1)求n的值； (2)求展开式中的有理项. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二项式展开式定理可知次方展开式有项，即可知道答案； （2）由二项式展开式的通项公式来计算，再判断的指数为整数时，是有理项，从而来求出指定项. 【详解】（1）由的展开式共有9项，可知， （2）由二项式展开式的通项公式：， 当，即时，为有理项， 所以， ， . 17．已知，，求： (1)的值； (2)的值； (3)的展开式中系数绝对值最大的项． 【答案】(1)19683 (2)118098 (3) 【分析】（1）由题意得，在所给条件等式中，令即可求解； （2）求导得，令即可求解； （3）的展开式中系数绝对值通项为，令，由此解出即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 在中，令，可得， . （2）令， 从而， 同样在上式中令，可得. （3）的展开式通项为， 从而的展开式中系数绝对值通项为， 设第项的系数绝对值最大， 则有，即， 也就是，解得，经检验符合题意， 所以此时，对应的项为. C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 18．若的展开式中各项系数之和为，则第四项与第五项的系数之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先令，根据各项系数之和解得，再求对应项系数计算比值即可. 【详解】的各项系数和：令，则， 所以，所以的通项，第四项的系数：令，得， 第五项的系数：令，得， 所以. 故选：D. 19．用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，若满足的五位数有个，则在的展开式中，的系数是 ．（用数字作答） 【答案】56 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题求出，再利用二项式定理结合组合数性计算即得. 【详解】由五位数满足，得，从2、3、4、5中任取两个分别作，另两个为， 因此，的展开式中的系数为： . 故答案为：56 20．对一个量用两种方法各算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为“算两次”方法，已知，考察展开式中的系数，并据此化简： . 【答案】 【分析】利用二项式定理的通项公式列方程求解即可. 【详解】等式两边含的系数是相同的， 则, 即. 故答案为： 21．的二项展开式中的常数项为 ．（结果用数字表示） 【答案】 【分析】由通项公式，令即可求得，代入即可得解. 【详解】， 由得， 所以常数项为. 故答案为： 22．已知今天是周一，那么天后是 .（填周几） 【答案】周日 【分析】对给定条件合理转化，结合二项式定理求解即可. 【详解】由题意得， 由二项式定理得， ， 因为可以整除7，则除7后余数为6，则天后是周日. 故答案为：周日 23．已知二项式的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是. (1)求展开式中含的项； (2)求该二项式展开式的各项系数之和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）化简通项，根据第五项与第三项的系数比列方程求出n，然后令x的指数等于求出r，可得所求； （2）令可得系数和. 【详解】（1）， 由题知，即，解得（舍去）或， 则， 令，解得， 所以展开式中含的项为. （2）令可得展开式的各项系数之和为：. 24．（1）求的二项展开式中的常数项 （2）求的二项展开式中系数最大的项（结果保留通项形式） 【答案】（1）84；（2） 【分析】（1）应用二项式展开式的通项公式，保证的指数为时，求出的值，进而求出常数项即可； （2）求二项展开式中系数最大的项，只需保证该项系数比较前后两项系数满足不等式，求解得出的值，进而求出该项即可. 【详解】（1）设为常数项，则， 则的二项展开式中的常数项为； （2）设为系数最大的项，则， 则， 则的二项展开式中系数最大的项为：. 25．（1）若在的二项展开式中，第3项的系数是第2项的系数的4倍，求展开式中的常数项； （2）求的二项展开式中系数最大的项. 【答案】（1）84；（2），. 【分析】（1）根据项的系数的关系求出，再由展开式通项公式求常数项即可； （2）设为系数最大项，列出不等式组求出即可得解. 【详解】（1）由题意知 所以 设为常数项， 则， 则展开式中的常数项为. （2）设为系数最大项， 则 ， 则的二项展开式中系数最大的项为. D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】 26．已知集合，记集合的非空子集为、、、，且记每个子集中各元素的乘积依次为、、、，则的值为 . 【答案】 【分析】构造函数，设该函数展开式中所有项系数之和为，则，利用赋值法可求得结果. 【详解】设集合的十个元素分别为、、、. . 设函数展开式中所有项系数之和为， 则， 因为，所以． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查的集合子集的判定，构造函数求解，属于难题．本题的关键是根据二项定理的推导过程构造出函数，这种转化思想是本题的难点． 27．已知集合，规定：若集合，则称为集合的一个分拆，当且仅当：，，…，时，与为同一分拆，所有不同的分拆种数记为.例如：当，时，集合的所有分拆为：，，，即. (1)求； (2)试用、表示； (3)设，规定，证明：当时，与同为奇数或者同为偶数. 【答案】(1)9 (2) (3)证明见解析 【分析】(1)根据新定义,结合集合元素个数和和不同分拆种数计算即可; (2)先考虑至少进入其中一个的情况类比得到所有元素的情况再应用乘法原理可得; (3) 运用二项式定理将展开，把转化为, 即可证明与同为奇数或者同为偶数. 【详解】（1）集合， 对于每一个，都有进入或不进入两种可能， 而且至少进入其中一个， 所以有种进入、的不同方法； 同理有种进入、的不同方法； 由分步计数原理，、进入、共有种不同方法， 即. （2）因为集合， 下面按是否进入分为步求， 第一步：对于每一个，都有进入或不进入两种可能， 而且至少进入其中一个， 所以有种进入、、…、的不同方法； 第二步：同理有种进入、、…、的不同方法； … 第步：同理有种进入、、…、的不同方法. 由分步计数原理，、、…、进入、、…、， 共有种不同方法，即. （3）运用二项式定理将展开， ， 其中， ，其中， 所以当为奇数时，为奇数； 当为偶数时，也为偶数， 即与同为奇数或者同为偶数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$