专题11 立体几何测试卷- 【暑假自学课】2024年新高二数学暑假提升精品讲义（沪教版2020，上海专用）

专题11 立体几何测试卷（原卷版） 一、填空题 1．已知正四棱锥的所有棱长均为为的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为 ． 2．在四面体中，平面平面，是直角三角形，，则二面角的正切值为 ． 3．如图，在三棱锥中，，，平面ABC，E为CD的中点，则直线BE与AD所成角的余弦值为 ． 4．已知空间四边形的对角线，，，分别为，的中点，若，则异面直线，所成角为 ． 5．在正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为 ． 6．已知三棱锥中，，则三棱锥外接球半径与内切球半径之比为 ． 7．已知正四棱锥的底边长为2，过棱PA上点作平行于底面的截面，截面边长为，则截得的台体的体积为 ． 8．某数学课外兴趣小组对一圆锥筒进行研究，发现将该圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内首次转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周.如图，若该兴趣小组已测得圆锥的底面半径为2，则该圆锥的体积为 . 9．如图，在直三棱柱中，侧面ABCD的面积为为直角，，则三棱柱的外接球的半径取最小值时，四棱锥的体积为 . 10．在棱长为4的正方体中，分别为线段上的动点，点为侧面的中心，则周长的平方的最小值为 . 11．在长方形中，，点E在线段AB上，，沿将折起，使得，此时四棱锥的体积为 ． 12．如图某机器零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的体积和为 . 二、单选题 13．国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上、下底面边长分别为，，侧棱长为的正四棱台，则该台基的体积约为（    ） A． B． C． D． 14．如图，在正方体中，在线段上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 15．已知、是不重合的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 16．已知正四棱锥的所有棱长均为为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 三、解答题 17．如图，在三棱锥中，底面，，，分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：． 18．如图，四边形和四边形都是梯形，，且分别为的中点. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四点共面. 19．如图，在正四棱台中，，，球与正四棱台的各面均相切，半径为，平面与平面的交线为. (1)证明：直线平面； (2)求球与正四棱台的体积之比； (3)求平面与平面夹角的大小. 20．图①是一块正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为和，，分别是上、下底面的中心，棱台高. (1)求正四棱台的表面积； (2)若将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台（如图②），求削去部分与圆台的体积之比. 21．如图所示，在正四棱锥中，，求 (1)正四棱锥的表面积； (2)若为的中点，求证：平面． 22．如图，在直三棱柱中，，，是边的中点，. (1)求直三棱柱的体积； (2)求证：面； (3)一只小虫从点沿直三棱柱表面爬行到点，求小虫爬行的最短距离. 23．P是平面ABC外一点，，D，E分别为PC，AB的中点，且.求异面直线PA与BC所成的角的大小. 24．如图，在四棱锥中，平面，，且，是的中点． (1)证明：； (2)若，直线与直线所成角的余弦值为． （ⅰ）求直线与平面所成角； （ⅱ）求二面角的余弦值． 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 立体几何测试卷（解析版） 一、填空题 1．已知正四棱锥的所有棱长均为为的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为 ． 【答案】/0.5 【分析】分析证明为异面直线的公垂线段，由此可求动点M到直线BE的距离的最小值即可. 【详解】 因为为等边三角形，为的中点， 所以， 由已知，，， 所以， 所以， 所以为异面直线，的公垂线段， 所以的长为动点M到直线BE的距离最小值， 所以动点M到直线BE的距离最小值为. 故答案为：. 2．在四面体中，平面平面，是直角三角形，，则二面角的正切值为 ． 【答案】/ 【分析】设的中点分别为，证得平面，得到，再由，证得平面，得到BD，得出为二面角的平面角，在直角中，即可求解． 【详解】设的中点分别为，连接，则, 因为BC，所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为是直角三角形，且，所以， 所以且， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，则BD，所以为二面角的平面角， 在直角中，可得． 故答案为：.    3．如图，在三棱锥中，，，平面ABC，E为CD的中点，则直线BE与AD所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】根据线面垂直的性质定理及异面直线所成角的定义，结合勾股定理及余弦定理即可求解. 【详解】由平面，平面，得，， 又，，则， 取的中点，连结，由为的中点，得， 因此直线BE与AD所成角为或其补角， 在中，，，， 由余弦定理得， 所以直线BE与AD所成角的余弦值为. 故答案为： 4．已知空间四边形的对角线，，，分别为，的中点，若，则异面直线，所成角为 ． 【答案】 【分析】取的中点，利用异面直线所成角的定义求解即得. 【详解】在四面体中，取的中点，连接， 由M、N分别为，的中点，得， 则是异面直线AC与BD所成的角或其补角， 显然，而，有， 于是， 所以异面直线AC与BD所成的角是. 故答案为： 5．在正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为 ． 【答案】 【分析】作出辅助线，得到平面截该四棱柱所得截面为五边形，求出各边边长，相加得到答案. 【详解】延长相交于点，连接交于点，连接， 因为正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点， 所以，，， 因为∽，，故，， 在上取点，连接，则， 同理可知，所以四边形为平行四边形， 故四点共面， 则平面截该四棱柱所得的截面为五边形， ，， 同理， 故截面周长为. 故答案为： 6．已知三棱锥中，，则三棱锥外接球半径与内切球半径之比为 ． 【答案】 【分析】可以将三棱锥放置在长方体中，外接球的直径即为长方体的对角线，由此可得外接球的半径；利用等体积法，将三棱锥的体积分成四个小三棱锥的体积和，根据可求得内切球的半径，可得答案． 【详解】将三棱锥放置于长、宽、高分别是的长方体中（如图所示）， 则，解得， 而三棱锥外接球即为该长方体的外接球， 所以三棱锥外接球半径； 三棱锥的体积， 而三棱锥的表面积， 在中，由余弦定理得，， 所以，故； 设三棱锥内切球的半径为r， 则，所以． 故答案为：． 7．已知正四棱锥的底边长为2，过棱PA上点作平行于底面的截面，截面边长为，则截得的台体的体积为 ． 【答案】/ 【分析】运用线面垂直性质及勾股定理求出正四棱台的高，结合台体体积公式计算即可. 【详解】如图所示，为正方形的中心，连接，则平面， 过作交于点，则平面， 又因为，所以为的中点，所以为的中点， 所以， 所以， 由题可知，， 故台体的体积. 故答案为：. 8．某数学课外兴趣小组对一圆锥筒进行研究，发现将该圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内首次转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周.如图，若该兴趣小组已测得圆锥的底面半径为2，则该圆锥的体积为 . 【答案】 【分析】设圆锥的母线长为l，求出以S为圆心，SA为半径的圆的面积以及圆锥的侧面积，根据题意，列出方程求解圆锥的高，然后利用圆锥的体积公式求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为l，则以S为圆心，SA为半径的圆的面积为， 又圆锥的侧面积为， 因为当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周， 所以，解得，所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为 故答案为： 9．如图，在直三棱柱中，侧面ABCD的面积为为直角，，则三棱柱的外接球的半径取最小值时，四棱锥的体积为 . 【答案】/ 【分析】由题意，直三棱柱的外接球的球心为矩形的中心，设，则，又为直角，，则，可得外接球的半径，由重要不等式当时外接球的半径取得最小值，即可求出四棱锥的体积. 【详解】由题意，直三棱柱的外接球的球心为矩形的中心， 且平面，侧面均为矩形， 设，因为侧面ABCD的面积为，所以， 因为为直角，， 所以，则， 所以直三棱柱的外接球的半径， 由，当且仅当，即时不等式取等号， 此时直三棱柱的外接球的半径取得最小值， 此时，又， 则四棱锥的体积为. 故答案为：. 10．在棱长为4的正方体中，分别为线段上的动点，点为侧面的中心，则周长的平方的最小值为 . 【答案】/ 【分析】将侧面绕着旋转至与平面在同一平面上，当三点在一条直线即可求出答案. 【详解】如图①，设侧面的中心为，根据正方体的结构特征可得： ， 则周长的最小值即的最小值. 将侧面绕着旋转至与平面在同一平面上， 将平面绕着旋转至与平面在同一平面上，如图②，则 ， 故周长的平方的最小值为. 故答案为：. 11．在长方形中，，点E在线段AB上，，沿将折起，使得，此时四棱锥的体积为 ． 【答案】/ 【分析】设点在平面上的投影为，证得平面和平面，得到，设，求得，在直角中，解得，结合锥体的体积公式，即可求解. 【详解】设点在平面上的投影为，当时， 因为平面，平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 过点作，因为平面，平面，所以， 又因为且平面，所以平面， 因为平面，所以， 设，则， 在中，可得，，则， 在中，， 延长，易知， 在中，，， 所以，解得， 所以四棱锥的体积为． 故答案为：. . 【点睛】方法点睛：求空间几何体的表面积与体积的求解策略： （1）公式法：对于规则的几何体的表面积和体积，可直接利用公式进行求解； （2）割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积的计算，或不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算； （3）等体积法：等体积法也称积转化或等积变形，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决锥体的体积，特别时三棱锥的体积. 12．如图某机器零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的体积和为 . 【答案】/ 【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、中、小内切于正四面体的高即可求解. 【详解】如图所示正四面体，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，过作交于，连接， 则为正四面体内切球的半径， 因为，，， 所以， 所以，解得， 所以正四面体内切球的体积， 由图可知最大球内切于高的正四面体中，最大球半径， 故最大球体积为； 中等球内切于高的正四面体中，中等球半径， 故中等球的体积为； 最小求内切于高的正四面体中，最小球半径， 故最小求的体积为； 所以九个球的体积和， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于求出大球、中球以及小球的半径，由此结合体积公式即可顺利得解. 二、单选题 13．国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上、下底面边长分别为，，侧棱长为的正四棱台，则该台基的体积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意先求出棱台的高，然后利用棱台体积公式可求解. 【详解】由题意作出正四棱台图象，如下图所示：   为正四棱台，，，， 连接，得，， 过作，过作， 所以，， 在直角三角形中，， 所以正四棱台的高，正四棱台上、下底面积为和， 所以体积 . 故选：A. 14．如图，在正方体中，在线段上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，将平面和平面展开到同一平面，连接求解即可． 【详解】如图，连接，，将平面和平面展开到同一平面， 连接，交于点， 则， 因为，所以， 所以四边形为菱形，， 则， 故选：C． 15．已知、是不重合的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】A 【分析】对于A，先判断，然后由线面平行判定定理可判断；对于BCD，通过正方体模型举反例即可判断. 【详解】对于A，因为，，所以， 又，，所以，A正确； 对于B，在正方体中， 记平面为，平面为，为，为， 则，，，但与不平行，B错误； 对于C，记平面为，平面为，为，为， 由正方体性质可知，平面，平面，所以， 则，，，但不垂直，C错误； 对于D，记为，为，平面为， 则，，但与不垂直，D错误. 故选：A 16．已知正四棱锥的所有棱长均为为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中条件连接，取的中点，连接，作出异面直线所成角或补角，利用余弦定理求解即可. 【详解】连接，取的中点，连接， 由题意可得，则异面直线与所成角为或其补角， 在中，， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C 三、解答题 17．如图，在三棱锥中，底面，，，分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据三角形的中位线可得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）根据线面垂直的性质可得，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明. 【详解】（1）因为，分别是，的中点，所以， 而平面，平面， 所以平面； （2）因为底面，平面，所以， 又，且，，平面， 所以平面，又平面， 所以． 18．如图，四边形和四边形都是梯形，，且分别为的中点. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四点共面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）结合三角形中位线性质可证得且，由此可得结论； （2）由，可证得四边形为平行四边形，结合（1）的结论可得，，由此可知四边形为平行四边形，得到，由此可得四点共面. 【详解】（1）因为分别为的中点，则，， 又因为，，则，， 所以四边形是平行四边形. （2）因为，，为中点，则，， 可知四边形为平行四边形，则，， 由（1）知：，，可得，， 所以四边形为平行四边形，则， 即，所以四点共面. 19．如图，在正四棱台中，，，球与正四棱台的各面均相切，半径为，平面与平面的交线为. (1)证明：直线平面； (2)求球与正四棱台的体积之比； (3)求平面与平面夹角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)90°. 【分析】（1）先证平面，再根据线面平行的性质证明，再证线面平行即可； （2）分别求出球与正四棱台的体积，即可； （3）根据题意为平面与平面的夹角，借助相似三角形可求其值. 【详解】（1）因为，平面，平面， 所以平面，平面， 因为平面与平面的交线为，由线面平行的性质定理知， 又，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）如图，取，，，的中点，，，作此几何体的轴截面， 则由对称性知四边形为等腰梯形，，，内切圆的半径为球的半径， 与，，分别切于点，，，则为内切圆的直径， 由切线的性质知，，，所以， 过点作于点，则，所以， 所以， 所以球的半径为，四棱台的高为， 则球的体积， 正四棱台的体积为， 所以. （3）如图，连接，， 因为，，，所以平面， 因为，所以平面，所以，，平面平面， 所以为平面与平面的夹角， 由切线的性质知，，因为，， 所以，同理， 所以，， 则， 所以平面与平面夹角的大小为90°. 20．图①是一块正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为和，，分别是上、下底面的中心，棱台高. (1)求正四棱台的表面积； (2)若将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台（如图②），求削去部分与圆台的体积之比. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出棱台的侧面的高，结合棱台的结构特征以及表面积公式即可求得答案； （2）由题意可知圆台的上下底面圆与与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高，由此可求出圆台以及正四棱台的体积，即可求得答案. 【详解】（1）如图，正四棱台的每个侧面皆为全等的等腰梯形， 分别取的中点为，连接， 过点M作于H， 则， 故， 所以正四棱台的表面积为； （2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台， 则圆台的上下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高， 则圆台的上底面半径为10cm，下底面半径为20cm，高为30cm， 则圆台的体积为， 而正四棱台的体积为， 所以消去部分的体积为， 则削去部分与圆台的体积之比为. 21．如图所示，在正四棱锥中，，求 (1)正四棱锥的表面积； (2)若为的中点，求证：平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，求出，进而求出正四棱锥的侧面积，进而求解； （2）连接交于，则，结合线面平面的判定定理即可证明. 【详解】（1）因为， 取的中点，连接， 由题意可得， 由题意可得， 所以正四棱锥的表面积为； （2）连接交于，由题意可得为的中点， 连接为的中点，在中，得， 平面，平面， 所以平面． 22．如图，在直三棱柱中，，，是边的中点，. (1)求直三棱柱的体积； (2)求证：面； (3)一只小虫从点沿直三棱柱表面爬行到点，求小虫爬行的最短距离. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用柱体体积公式计算即可； （2）连接，借助三角形中位线，利用线面平行的判定推理可得； （3）分情况把点及点所在的几何体表面展开置于同一平面，求出两点间的距离并比较得解. 【详解】（1）因为在直三棱柱中，，， ， 所以四边形为正方形，且，， 故直三棱柱的体积 （2）连接，连接， 因为在正方形中，是的的中点，而是边的中点， 则，又面，面， 所以面 （3）(i)小虫从点沿爬到点，把矩形与置于同一平面内，如图，连接，交于点， 因为，是边的中点，所以是的中点，， 则， (ii)小虫从点沿爬到点，把正方形与置于同一平面内，或把正方形与矩形置于同一平面内，如图， ①在左图中，取中点，连接，显然、、、共线， 且，，，， 所以， ②在右图图中，，所以， (iii) 小虫从点沿爬到点，同(ii)， 因为，故小虫爬行的最短距离为. 23．P是平面ABC外一点，，D，E分别为PC，AB的中点，且.求异面直线PA与BC所成的角的大小. 【答案】. 【分析】首先取AC的中点F，连接DF，EF，证明为异面直线PA与BC所成的角，再用勾股定理证明其为直角即可. 【详解】如图，取AC的中点F，连接DF，EF，在中， ∵D是PC的中点，F是AC的中点，. 同理可得. 为异面直线PA与BC所成的角（或其补角）. 在中，， 又，， ， ，即异面直线PA与BC所成的角为. 24．如图，在四棱锥中，平面，，且，是的中点． (1)证明：； (2)若，直线与直线所成角的余弦值为． （ⅰ）求直线与平面所成角； （ⅱ）求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析. (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）取的中点，利用线面垂直的性质、异面直线垂直推理即得. （2）（ⅰ）利用线面垂直的判定性质证得，再由异面直线夹角余弦求出，确定线面角并求出大小；（ⅱ）过作于，过作交于，再借助图形求出二面角的余弦值. 【详解】（1）取的中点，连接，由平面，，得平面， 而平面，则，由为的中点，得， 则四边形是平行四边形，因此， 所以. （2）（ⅰ）由为的中点，，则，而， 平面，于是平面，平面， 则，由，得直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，为， 在中，，而， 解得，则，由平面，得直线与平面所成角为， 显然，则， 所以直线与平面所成角为. （ⅱ）过作于，由（ⅰ）可得，为等腰三角形， ，，由三角形面积法得， 由勾股定理得，过作交于，与延长线交于点， 在直角梯形中，，则， ，显然∽，则， 于是，，为线段的中点， 显然是二面角的平面角，在正中，， 由平面，平面，则，平面， 于是平面，而平面，则，， 所以二面角的余弦值. 【点睛】思路点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$