2024年秋季上海高二第一次月考卷- 【暑假自学课】2024年新高二数学暑假提升精品讲义（沪教版2020，上海专用）

高二第一次月考卷（原卷版） 一、填空题 1．从3，4，5，6四个数中任取两个数，则两个数之差为2的概率是 ． 2．已知正方体中，、分别为和的中心，则和所成角大小为 ． 3．甲、乙两个家庭共10人周末到某景区游玩，他们在景区门口站成两排拍照，每排5人且从左到右按从高到矮的顺序排列，则有 种排法.(用数字作答) 4．在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，，则直线与平面所成角的余弦值为 ． 5．在的展开式中，项的系数为 . 6．已知一个棱长为2的正四面体和一个圆锥的底面均处于同一平面，若用任意平行于平面的平面去截这两个几何体，所得的截面面积总是相等，则该圆锥的高为 . 7．已知，且．若，，则 ． 8．在正四棱柱 中， 已知底面的边长为2， 点P是的中点，直线与平面成角. 则正四棱柱的高为 . 9．如图,在矩形ABCD中,,,沿BD将△ABD折起至的位置．若点在平面BCD上的射影落在△BCD的内部（包含边界）,则四面体体积的最小值为 ． 10．在三棱锥中，，若该三棱锥的所有顶点均在球的表面上，则球的表面积为 . 11．早在公元5世纪，我国数学家祖暅就提出：“幂势既同，则积不容异”．如图，抛物线C的方程为，过点（1，0）作抛物线C的切线l（l的斜率不为0），将抛物线C、直线l及x轴围成的阴影部分绕y轴旋转一周，所得的几何体记作，利用祖暅原理，可得出几何体的体积为 ． 12．如图，在中，，，为中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，则三棱锥外接球的表面积为 ． 二、单选题 13．若，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的有（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 14．重庆火锅、朝天门、解放碑、长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人、铜梁龙舞、红岩村为重庆十大文化符号.甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍重庆十大文化符号的文章，若第一个介绍的是重庆火锅，且长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人的介绍顺序必须相邻（这五大文化符号的介绍顺序中间没有其他文化符号），则该文章关于重庆十大文化符号的介绍顺序共有（    ） A．16000种 B．14400种 C．2880种 D．2400种 15．建盏是福建省南平市建阳区的特产，是中国国家地理标志产品，其多是口大底小，底部多为圈足且圈足较浅（如图所示），因此可将建盏看作是圆台与圆柱拼接而成的几何体.现将某建盏的上半部分抽象成圆台，已知该圆台的上､下底面积分别为和，高超过，该圆台上､下底面圆周上的各个点均在球的表面上，且球的表面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 16．袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，取出后不放回，取得白球得1分，取得黑球得2分，取得红球得3分，直到取到的球的总分大于或等于4分时终止，用表示终止取球时所需的取球次数，则（    ） A． B． C． D． 三、解答题 17．甲、乙两人组成“超级星队”参加猜成语活动，在每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求一轮活动甲猜对且乙没有猜对的概率； (2)求两轮活动“超级星队”猜对3个成语的概率． 18．已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且，，求球面面积与球的体积. 19．已知． (1)若，求的值； (2)若，求m的值． 20．上海中心大厦是上海市的地标建筑，现为中国第一高楼.为有效减少建筑所受的风荷载，通常对建筑体型进行一定的扭转.上海中心大厦的主楼可近似看成将正三棱柱的一个底面扭转所得的几何体；将正三棱柱的底面在其所在平面内绕的中心逆时针旋转得到，再分别连接、、、、、所得的几何体.已知大厦的主楼高度约为米，底层面积（即的面积）约为平方米.        (1)求证：； (2)试分别以正三棱柱和几何体为模型估算大厦主楼的体积. 21．如图，在梯形中，，，且，，，在平面内点作，以为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积． 22．如图，在正四棱锥中，为底面的中心． (1)若，，求正四棱锥的体积； (2)若，为的中点， 求直线与平面所成角的大小． 23．如图，在正方体中，    (1)求证：平面平面； (2)求直线和平面所成角． 24．如图，在棱长为1的正四面体中，是的中点，，分别在棱和上（不含端点），且平面. (1)证明：平面； (2)若为中点，求平面截该正四面体所得截面的面积； (3)当直线与平面所成角为时，求. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二第一次月考卷（解析版） 一、填空题 1．从3，4，5，6四个数中任取两个数，则两个数之差为2的概率是 ． 【答案】 【分析】写出任取两个不同的数的所有取法和两个数之差为2的情况，然后利用古典概型概率计算公式求解. 【详解】从3，4，5，6中任取2个数， 可能结果有，，，，，，共6种， 满足要求的有，，共2种， 所以两数相差2的概率是. 故答案为：. 2．已知正方体中，、分别为和的中心，则和所成角大小为 ． 【答案】/ 【分析】利用三角形的中位线得到平行关系，将异面直线和所成的角转化为相交直线所成的角，再求解即可. 【详解】连接，，交点即为正方形的中心，连接， 在中，分别为的中点， 则，又，所以即为直线和直线所成的角， 在中，，所以，即和所成角大小为. 故答案为：. 3．甲、乙两个家庭共10人周末到某景区游玩，他们在景区门口站成两排拍照，每排5人且从左到右按从高到矮的顺序排列，则有 种排法.(用数字作答) 【答案】252 【分析】由题意，10人选5人为一排，另5人为另一排，且每排排法只有一种即可求解. 【详解】由题意，10人选5人为一排，另5人为另一排，且每排排法只有一种， 所以共有种. 故答案为：. 4．在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，，则直线与平面所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】利用空间垂直关系，作图并证明线与平面所成的平面角，再进行余弦值计算即可. 【详解】 由平面，平面，所以，又因为， ，平面，所以平面， 取的中点为，由，，分别是棱，，的中点， 可知，所以四边形是平行四边形， 再过点作，垂足为，由平面，可得， 又因为，所以 ，平面，所以平面， 即直线与平面所成角的平面角是， 由已知得，由勾股定理得：， 所以. 故答案为：. 5．在的展开式中，项的系数为 . 【答案】 【分析】由，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为，， 所以的展开式中含的项为， 所以项的系数为. 故答案为： 6．已知一个棱长为2的正四面体和一个圆锥的底面均处于同一平面，若用任意平行于平面的平面去截这两个几何体，所得的截面面积总是相等，则该圆锥的高为 . 【答案】/ 【分析】由题意正四面体和圆锥底面积、体积均相等，故只需求出正四面体的高即可得解. 【详解】正四面体底面外接圆的半径为，所以正四面体的高为， 若用任意平行于平面的平面去截这两个几何体，所得的截面面积总是相等， 则圆锥的体积和正四面体的体积相等， 且当平行于平面的平面无限接近于平面时，此时截面面积可以直接视为四面体底面面积，圆锥底面积， 从而可设正四面体和圆锥底面积均为（它们也是相等的），圆锥的高为， 所以，即. 故答案为：. 7．已知，且．若，，则 ． 【答案】0.12/ 【分析】由条件可得相互独立，即可得到，再由相互独立事件概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】∵，∴A，B相互独立，进而可知也相互独立， ∵，∴． ∵，∴． ∴． 故答案为：. 8．在正四棱柱 中， 已知底面的边长为2， 点P是的中点，直线与平面成角. 则正四棱柱的高为 . 【答案】 【分析】根据线面角的定义得即为直线与平面所成的角，在中由可得结果. 【详解】连接，因为在正四棱柱 中，所以平面， 所以为直线在平面内的射影， 所以即为直线与平面所成的角，即 设正四棱柱的高为h，又，在中，， 解得， 故答案为：. 9．如图,在矩形ABCD中,,,沿BD将△ABD折起至的位置．若点在平面BCD上的射影落在△BCD的内部（包含边界）,则四面体体积的最小值为 ． 【答案】 【分析】在翻折中,由于底面积不变,体积最小转化为高最小. 点在平面BCD上的射影M落在BC上时,高最小.画出图形,构造方程求出高即可. 【详解】如图,在翻折中,由于底面积不变,所以当点在平面BCD上的射影M落在BC上时,高最小, 此时四面体的体积最小,设,则, 由勾股定理得, 解得,,此时四面体的体积． 故答案为: . 10．在三棱锥中，，若该三棱锥的所有顶点均在球的表面上，则球的表面积为 . 【答案】/ 【分析】由三棱锥三条侧棱相等可知三棱锥的外接球球心在正三棱锥的高上且点在底面的射影即为的外心,可先由正弦定理求得外接圆半径，再由勾股定理求得外接球半径,即可求得球的表面积. 【详解】因为，所以点在平面上的射影为的外心， 如下图，又，所以的外接圆的半径， 从而三棱锥的高为. 设该三棱锥外接球的半径为，则，即，解得， 故球的表面积为. 故答案为：. 11．早在公元5世纪，我国数学家祖暅就提出：“幂势既同，则积不容异”．如图，抛物线C的方程为，过点（1，0）作抛物线C的切线l（l的斜率不为0），将抛物线C、直线l及x轴围成的阴影部分绕y轴旋转一周，所得的几何体记作，利用祖暅原理，可得出几何体的体积为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，切线方程为，Ω的水平截面为圆环，外半径为，内半径为，故截面面积，利用祖暅原理，可以构造一个下底面半径为1，高为4的圆锥．Ω与圆锥的体积相等，直接用圆锥的体积公式求V． 【详解】设切线方程为x＝ky+1，代入y＝x2，得kx2﹣x+1＝0，由＝1﹣4k＝0，得， 故切线方程为，且切点坐标为 过点（0，t）（0≤t≤1）作Ω的水平截面，截面为圆环，当y＝t时，代入得截面圆环外半径， 当y＝t时，代入y＝x2得截面圆环内半径，截面圆环面积为． 为了截出面积为的图形，可以构造一个下底面半径为1，高为4的圆锥PO， 圆锥及其轴截面如下图：其中,， 在距离底面为t的处作底面的平行截面，设此时截面半径为r0，，即，解得， 此截面的面积为，与截面圆环面积相同， 圆锥体积为，所以的体积为. 故答案为：. 12．如图，在中，，，为中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，则三棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】如图，根据面面垂直的性质可得平面，确定球心的位置，利用勾股定理求出外接球的半径，结合球的表面积公式计算即可求解. 【详解】在中，，为的中点， 则，. 又平面平面，平面平面平面，， 所以平面，又， 取的中点，连接，则， 过作，则平面， 所以三棱锥的外接球球心必位于上，如图， 设球心为，半径为，则， 有，即，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 二、单选题 13．若，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的有（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据空间中线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】因为，是两条不同的直线，，是两个不同的平面， 对于A：若，，则或与相交，故A错误； 对于B：若，，则或，故B错误； 对于C：两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面， 即若，，则，故C正确； 对于D：若，，则或或或与相交（不垂直），故D错误. 故选：C 14．重庆火锅、朝天门、解放碑、长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人、铜梁龙舞、红岩村为重庆十大文化符号.甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍重庆十大文化符号的文章，若第一个介绍的是重庆火锅，且长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人的介绍顺序必须相邻（这五大文化符号的介绍顺序中间没有其他文化符号），则该文章关于重庆十大文化符号的介绍顺序共有（    ） A．16000种 B．14400种 C．2880种 D．2400种 【答案】B 【分析】利用捆绑法结合排列的知识求解即可. 【详解】先将长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人捆绑，再和其他4个文化符号排列，共有种. 故选:B. 15．建盏是福建省南平市建阳区的特产，是中国国家地理标志产品，其多是口大底小，底部多为圈足且圈足较浅（如图所示），因此可将建盏看作是圆台与圆柱拼接而成的几何体.现将某建盏的上半部分抽象成圆台，已知该圆台的上､下底面积分别为和，高超过，该圆台上､下底面圆周上的各个点均在球的表面上，且球的表面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出图形，首先根据球的表面积公式计算得球的半径为，通过勾股定理得的值，进而得圆台的高，结合圆台的体积公式即可得解. 【详解】 设球的半径为，上､下底面分别为圆（这里上底面是指大的那个底面）， 依题意，，解得， 因为， 则，同理可得，，因为圆台的高超过，则该圆台的高为，该圆台的体积为. 故选：B. 16．袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，取出后不放回，取得白球得1分，取得黑球得2分，取得红球得3分，直到取到的球的总分大于或等于4分时终止，用表示终止取球时所需的取球次数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求出时，取球的情况，结合独立事件的乘法公式求解即可. 【详解】由题意，时，取球的情况为：白白红，白白黑，白黑白，白黑黑，白黑红， 黑白白，黑白黑，黑白红， 所以. 故选：A. 三、解答题 17．甲、乙两人组成“超级星队”参加猜成语活动，在每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求一轮活动甲猜对且乙没有猜对的概率； (2)求两轮活动“超级星队”猜对3个成语的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式求解； （2）所求事件可分为甲猜对2个乙猜对1个，甲猜对1个乙猜对2个两互斥事件的和求解. 【详解】（1）一轮活动乙猜对且甲没有猜对的概率为； （2）两轮活动甲都猜对的概率为，甲仅猜对一个的概率为， 乙都猜对的概率为，乙仅猜对一个的概率为， 则两轮活动“超级星队”猜对3个成语的概率为． 18．已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且，，求球面面积与球的体积. 【答案】， 【分析】 求出外接圆半径，再利用勾股定理求出球半径即可. 【详解】如图，设球心为O，球半径为R，作平面ABC于点， 由于，则是的外心， 设M是AB的中点，由于，则. 设，易知， 则，， 又，∴， 解得，∴. 在中，，，， 由勾股定理得，解得， 则，. 19．已知． (1)若，求的值； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）通过赋值法求系数和； （2）通过二项式定理的通项求参数值． 【详解】（1）在中， 取，得， 取，得， 以上两式相减，得． （2）的通项为， 若，可得， 所以，解得或． 20．上海中心大厦是上海市的地标建筑，现为中国第一高楼.为有效减少建筑所受的风荷载，通常对建筑体型进行一定的扭转.上海中心大厦的主楼可近似看成将正三棱柱的一个底面扭转所得的几何体；将正三棱柱的底面在其所在平面内绕的中心逆时针旋转得到，再分别连接、、、、、所得的几何体.已知大厦的主楼高度约为米，底层面积（即的面积）约为平方米.        (1)求证：； (2)试分别以正三棱柱和几何体为模型估算大厦主楼的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）证明出四边形为平行四边形，即可证得结论成立； （2）利用柱体的体积公式可求得正三棱柱的体积，将几何体补成四棱柱。利用柱体和锥体的体积公式可求得几何体的体积. 【详解】（1）解：在正三棱柱中，且，则四边形为平行四边形， 将正在其所在平面内绕的中心逆时针旋转得到，如下图所示：    由正三角形的几何性质可知，，旋转后，， 所以，， 所以，，故、、三点共线， 同理可知，、、三点也共线， 又因为，则四边形为平行四边形，则且， 故且，故四边形为平行四边形，故. （2）解：以正三棱柱来估算大厦主楼的体积为（立方米）， 以、为邻边作菱形，以、为邻边作菱形， 连接、，则几何体为四棱柱， 且该四棱柱的底面积为平方米，高为米， 以何体为模型估算大厦主楼的体积为 （立方米）.    21．如图，在梯形中，，，且，，，在平面内点作，以为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积． 【答案】表面积为，体积为 【分析】先判断出以为轴将梯形旋转一周后，形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥，分析圆锥与圆锥的基本量，然后利用圆锥和圆柱的表面积公式以及体积公式求解即可． 【详解】在梯形中，，，且，，， ， ， ． 以为轴将梯形旋转一周后，形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥， 且圆柱高为，底面半径为，圆锥的母线长为，底面半径为， 圆柱的侧面积， 圆锥的侧面积， 圆柱的底面积， 圆锥的底面积， 组合体上底面积， 旋转体的表面积． 又由题意知，形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积， 圆柱的体积， 圆锥的体积， 旋转体的体积． 22．如图，在正四棱锥中，为底面的中心． (1)若，，求正四棱锥的体积； (2)若，为的中点， 求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正四棱锥的数据，先算出直角三角形的边长，再利用体积公式计算即可得； （2）连接，结合正四棱锥的性质与线面垂直的判定定理可先证平面，根据线面角的定义得出所求角为，然后结合题目数量关系求解. 【详解】（1）正四棱锥满足平面，由平面，则， 又正四棱锥底面是正方形，由可得，， 故，则； （2）连接，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形， 由是中点，则，又平面， 故平面，即平面，又平面， 于是即为直线与平面所成角， 设，则，， 又线面角的范围是，故，即直线与平面所成角的大小为. 23．如图，在正方体中，    (1)求证：平面平面； (2)求直线和平面所成角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在正方体中，可得，则得平面，同理平面，所以得平面平面； （2）在正方体中，可得AC⊥平面，则得为直线和平面所成角，则在中，，即可的. 【详解】（1）在正方体中， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 同理，平面， 又， 所以平面平面. （2）    设，连接， 因为平面ABCD，所以， 又因为AC⊥BD，，平面， 所以AC⊥平面， 所以为在平面的射影， 则为直线和平面所成角， 设正方体的棱长为a， 则在中，， 所以. 24．如图，在棱长为1的正四面体中，是的中点，，分别在棱和上（不含端点），且平面. (1)证明：平面； (2)若为中点，求平面截该正四面体所得截面的面积； (3)当直线与平面所成角为时，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）线面平行的判定定理和性质定理证明即可； （2）取中点，则平面即为平面截正四面体的截面，求解即可. （3）方法一：取中点，连接，过点作的垂线，垂足为，连接，由线面角的定义可知即为直线与平面所成角，求解即可；方法二：如图，取中点，连接，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，由向量法求解即可. 【详解】（1）证明：因为平面，平面， 平面平面， 所以，又面，面， 所以平面； （2）因为，，为，，中点，取中点， 则平面即为平面截正四面体的截面， 且为边长是的正方形， 所以； （3）方法一：取中点，连接，过点作的垂线，垂足为，连接 易知，平面， 所以即为直线与平面所成角， 又，， 所以，， 所以，即 方法二：如图，取中点，连接，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系， ，设， 所以，即， 所以， 又平面的法向量为， 所以， 解得，即. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$