专题13 二次函数（续）- 【暑假自学课】2024年新高一数学暑假提升精品讲义（沪教版2020必修第一册，上海专用）

专题13 二次函数（续） 一、复习引入 1 二、知识梳理 1 （一）二次函数的定义 1 （二）二次函数的图象 2 （三）二次函数的性质 2 （四）二次函数的最值求法 2 （五）韦达定理与根（零点）的分布 3 考点剖析 4 过关检测 4 A组 双基过关 5 B组 巩固提高 5 C组 综合训练 6 D组 拓展延伸 8 【应知应会】 一、复习引入 在初中阶段，我们已经学习过二次函数和（）的图像和部分性质，那么高中阶段我们又会重点研究二次函数的什么问题呢？ 二、知识梳理 【难度系数：★★★   参考时间：20 min】 （一）二次函数的定义 形如（）的函数叫二次函数（quadratic functions）. 【注】（1）决定开口方向，开口大小：与图像“全等”； （2）影响对称轴（）【同左异右】和顶点坐标（，）； （3）决定与轴的交点. （二）二次函数的图象 1. 画出、和的图像. 2. 画出和的图像. （三）二次函数的性质 1. 定义域： 2. 值域：，；， 3. 单调性：，在区间上严格减，在区间严格增； ，在区间上严格增，在区间严格减 4. 对称性：关于直线成轴对称图形 5. 最值：，；， 6. 与坐标轴交点： （1）与轴交点：（，） （2）与轴交点：，两个不同的交点；，一个交点；，没有交点 定义 对于函数，，如果存在实数，使得 ， 我们就把叫做该函数的零点. 【零点不是点，是数】 （四）二次函数的最值求法 核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论. 一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设，求在上的最大值与最小值. 分析：将配方，得对称轴方程 （1）当时，抛物线开口向上 若，则必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值； 若，此时函数在上具有单调性，在离对称轴较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值. （2）当时，同上. 综上，对二次函数的区间最值结合函数图像总结如下： （1）当时， （2）当时， （五）韦达定理与根（零点）的分布 1. 韦达定理：一元二次方程的两个根为，那么，. 【注意】解题过程中不能忽视对方程的判别式进行判断. 2. 二次函数对应方程根的分布（实根；）【两根异号】 一个 图像 等价条件 （1）不同区间，只看端点 （2）同一区间，要看三点：（开口方向），对称轴，区间端点 考点剖析 【难度系数：★★★   参考时间：30 min】 例1. 求值域：（1）， （2）， 例2. 设常数，则在区间的最大值为 . 例3. 已知函数在区间上有最小值3，求的值. 例4. 若和分别是一元二次方程的两根. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 例5. 若方程的根满足下列条件，分别求出实数的取值范围. （1）方程两实根均为正数； （2）方程有一正根一负根. 例6. 若关于的方程的一个根大于1、另一根小于1，求实数的取值范围. 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（22-23高一下·上海宝山·阶段练习）函数在区间上严格增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高一上·上海徐汇·阶段练习）二次函数的图像如图所示，则下列结论中正确的个数是 ． （1）异号；（2）当和时，函数值相等；（3）；（4）当时，的取值只能为0. 3．（21-22高一上·上海普陀·期中）若关于的多项式方程恒成立，则实数 ． 4．（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）函数，，且的最大值是，则实数的取值范围是 ． 5．（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）已知二次函数的最小值是3，最大值是4，则实数的取值范围是 . 6．（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）若抛物线的开口方向向下，交轴于正半轴，则拋物线的顶点位于第 象限. 7．（2022高一·上海·专题练习）已知函数的定义域和值域均是[1，a]，则实数a＝ ． 8．（22-23高一上·上海普陀·期末）已知函数，，则该函数的值域为 ． 9．（21-22高一上·上海虹口·阶段练习）已知集合，，则 ． B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 10．（23-24高一上·上海·阶段练习）函数的值域为 11．（23-24高一上·上海·阶段练习）函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是 ． 12．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 13．（22-23高一下·上海·期中）函数的严格减区间为 ． 14．（22-23高一上·上海崇明·期末）已知函数在区间上是严格减函数，则实数a的取值范围是 ． 15．（22-23高一上·上海金山·期末）函数，若时，函数值均小于0，则实数的取值范围为 . 16．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知函数． (1)证明函数在区间上是严格减函数； (2)求函数在区间上的最值． 17．（23-24高一上·上海·期末）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现，某水果的产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，且施用肥料及其它成本总投入为元．已知这种水果的市场售价大约10元/千克，且生产的水果都能售出．记该水果利润为（单位：元）．（利润销售额成本） (1)写出利润（元）关于施用肥料x（千克）的关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果利润最大？最大利润是多少？ 18．（22-23高一上·上海闵行·期末）已知函数严格单调，且的最大值为8，求实数的值. 19．（22-23高一上·上海静安·阶段练习）已知函数，. (1)讨论函数的奇偶性，并说明理由； (2)求实数的取值范围，使在区间上是单调函数. C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 20．（23-24高一下·上海·期中）已知向量，，函数，. (1)若，求的值； (2)用表示，若时，的最小值为，求实数的值； (3)设为正整数，函数在区间上恰有2024个零点，请求出所有满足条件的的值及相应的取值范围. 21．（23-24高一上·上海·阶段练习）设函数的定义域,若对任意，均有成立，则称为“无奇”函数． (1)判断函数①和②是否为“无奇”函数，说明理由； (2)若函数是定义在上的“无奇”函数，求实数a的取值范围； (3)若函数是“无奇”函数，求实数m的取值范围． 22．（23-24高一上·上海·期末）已知，设. (1)若，求函数的值域； (2)已知，若函数的最大值为，求的值； (3)已知，若存在两个不同的正实数、，使得当函数的定义域为时，其值域为，求的取值范围. 23．（23-24高一上·上海·期末）已知函数． (1)若的最大值为0，求实数a的值； (2)设在区间上的最大值为，求的表达式； (3)令，若在区间上的最小值为1，求正实数a的取值范围． 24．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数. (1)若有零点，求实数的取值范围； (2)若，函数的值域为，且，求的取值范围； (3)当时，是否存在这样的实数，使得方程在区间内有且只有一个根？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 25．（23-24高一上·上海·期中）已知函数，其中是实数． (1)在区间上的最大值记为，求的表达式； (2)在区间上的最小值记为，求的表达式； (3)若，求实数的值． 26．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，且不等式的解集为． (1)求实数的值； (2)已知，若存在，，使得成立，求实数的取值范围． 27．（23-24高一上·上海松江·期末）对于定义域为 的函数 ，若存在区间 (其中 ，使得函数同时满足：①函数 在 上是严格增函数或严格减函数；②当定义域是 时，函数 的值域也是 ,则称 是函数 的“等域区间” (1)若区间 是函数的“等域区间”，求实数 的值： (2)判断函数 是否存在“等域区间”，并说明理由； (3)若区间 是函数 的一个“等域区间”，求 的最大值. D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】28．（23-24高一上·上海·期末）已知函数的定义域为.若存在实数，使得对于任意，都存在，使得，则称函数具有性质. (1)分别判断：及是否具有性质；（结论不需要证明） (2)若函数的定义域为，且具有性质，证明：“”是“函数存在零点”的充分非必要条件； (3)已知，设，若存在唯一的实数，使得函数，具有性质，求的值. 29．（23-24高一上·上海浦东新·期中）在平面直角坐标系中，两点、的“曼哈顿距离”定义为，记为．如，点、的“曼哈顿距离”为9，记为． (1)动点在直线上，点，若，求点的横坐标的取值范围； (2)动点在直线上，动点在函数图象上，求的最小值； (3)动点在函数的图象上，点，的最大值记为．如，当点的坐标为时，．求的最小值，并求此时点的坐标． 30．（23-24高一上·上海黄浦·期中）若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”． (1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由： (2)若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值； (3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 二次函数（续） 一、复习引入 1 二、知识梳理 1 （一）二次函数的定义 1 （二）二次函数的图象 1 （三）二次函数的性质 2 （四）二次函数的最值求法 2 （五）韦达定理与根（零点）的分布 3 考点剖析 4 过关检测 5 A组 双基过关 5 B组 巩固提高 9 C组 综合训练 13 D组 拓展延伸 24 【应知应会】 一、复习引入 在初中阶段，我们已经学习过二次函数和（）的图像和部分性质，那么高中阶段我们又会重点研究二次函数的什么问题呢？ 二、知识梳理 【难度系数：★★★   参考时间：20 min】 （一）二次函数的定义 形如（）的函数叫二次函数（quadratic functions）. 【注】（1）决定开口方向，开口大小：与图像“全等”； （2）影响对称轴（）【同左异右】和顶点坐标（，）； （3）决定与轴的交点. （二）二次函数的图象 1. 画出、和的图像. 2. 画出和的图像. （三）二次函数的性质 1. 定义域： 2. 值域：，；， 3. 单调性：，在区间上严格减，在区间严格增； ，在区间上严格增，在区间严格减 4. 对称性：关于直线成轴对称图形 5. 最值：，；， 6. 与坐标轴交点： （1）与轴交点：（，） （2）与轴交点：，两个不同的交点；，一个交点；，没有交点 定义 对于函数，，如果存在实数，使得 ， 我们就把叫做该函数的零点. 【零点不是点，是数】 （四）二次函数的最值求法 核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论. 一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设，求在上的最大值与最小值. 分析：将配方，得对称轴方程 （1）当时，抛物线开口向上 若，则必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值； 若，此时函数在上具有单调性，在离对称轴较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值. （2）当时，同上. 综上，对二次函数的区间最值结合函数图像总结如下： （1）当时， （2）当时， （五）韦达定理与根（零点）的分布 1. 韦达定理：一元二次方程的两个根为，那么，. 【注意】解题过程中不能忽视对方程的判别式进行判断. 2. 二次函数对应方程根的分布（实根；）【两根异号】 一个 图像 等价条件 （1）不同区间，只看端点 （2）同一区间，要看三点：（开口方向），对称轴，区间端点 考点剖析 【难度系数：★★★   参考时间：30 min】 例1. 求值域：（1）， （2）， 【答案】（1）； （2） 例2. 设常数，则在区间的最大值为 . 【答案】 【提示】对称轴严格减 例3. 已知函数在区间上有最小值3，求的值. 【答案】或 【提示】对称轴漂流记，对称轴，区间 ①“上游”：； ②“中游”：无解； ③“下游”： 例4. 若和分别是一元二次方程的两根. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】同第五讲例7 例5. 若方程的根满足下列条件，分别求出实数的取值范围. （1）方程两实根均为正数； （2）方程有一正根一负根. 【答案】（1）； （2） 【提示】两根异号 例6. 若关于的方程的一个根大于1、另一根小于1，求实数的取值范围. 【答案】 【提示】不同区间，只看端点： 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（22-23高一下·上海宝山·阶段练习）函数在区间上严格增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的开口方向与对称轴性质，列出关于的不等式即可求解. 【详解】依题意知， 函数的图象对称轴为，开口向上， 因为函数在区间上严格增， 所以，解得. 故选：C. 2．（21-22高一上·上海徐汇·阶段练习）二次函数的图像如图所示，则下列结论中正确的个数是 ． （1）异号；（2）当和时，函数值相等；（3）；（4）当时，的取值只能为0. 【答案】3 【分析】根据二次函数的图象得到对称轴即可结合二次函数的性质求解. 【详解】根据图象可知：是二次函数与的两个交点，所以可得对称轴方程为 ，故对称轴为，故异号且，（1）（3）正确； 因为对称轴为，故当和时，函数值相等， 当时，的取值为0和4，故（2）正确，（4）错误；故正确的个数是3. 故答案为：3. 3．（21-22高一上·上海普陀·期中）若关于的多项式方程恒成立，则实数 ． 【答案】2 【分析】根据题意结合二次函数和一次函数分析运算. 【详解】∵，则恒为0， 当，即时，则二次函数不恒为0，不合题意，舍去； 当，即时，则恒为0， ①当，即时，则一次函数不恒为0，不合题意，舍去； ②当，即时，则，解得； 综上所述：. 故答案为：2. 4．（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）函数，，且的最大值是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数图像及性质判断函数在上最大值是，进而确定参数取值范围. 【详解】因为，故函数如图所示： 因为当时，，且， 所以有：， 故答案为：. 5．（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）已知二次函数的最小值是3，最大值是4，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】结合二次函数的图象求得正确答案. 【详解】二次函数， 由解得或， 画出二次函数的图象如下图所示， 由图可知，的取值范围是. 故答案为： 6．（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）若抛物线的开口方向向下，交轴于正半轴，则拋物线的顶点位于第 象限. 【答案】二 【分析】根据顶点坐标公式确定正确答案. 【详解】抛物线的开口方向向下，交轴于正半轴，所以. 抛物线的定点坐标为. 其中， 所以拋物线的顶点位于第二象限. 故答案为：二 7．（2022高一·上海·专题练习）已知函数的定义域和值域均是[1，a]，则实数a＝ ． 【答案】2 【分析】由二次函数的图象与性质可以判定在内是减函数，由值域也是列方程中，可求出的值． 【详解】∵二次函数的图象是抛物线， 开口向上，对称轴是， ∴在上是减函数， 又f（x）在上的值域也是， ∴，即， 解得a＝2. 故答案为：2 8．（22-23高一上·上海普陀·期末）已知函数，，则该函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用二次函数的性质即可得解. 【详解】函数的图像为抛物线，开口向上，对称轴为， 故其在区间上单调递减，在上单调递增， 当时取得最小值，没有最大值，无限接近于， 所以该函数的值域为. 故答案为： 9．（21-22高一上·上海虹口·阶段练习）已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】解分式不等式得到，得到，进而求出交集. 【详解】等价与，解得：或， 故或， 又，故， 所以． 故答案为：. B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 10．（23-24高一上·上海·阶段练习）函数的值域为 【答案】 【分析】设，求出新函数的定义域即可求出值域. 【详解】设，，所以， 由图象易知值域为. 故答案为：. 11．（23-24高一上·上海·阶段练习）函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质列出不等式求解即可. 【详解】由题意函数开口向上，对称轴为， 若函数在区间上是严格减函数， 则，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 12．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】当时，，，则有，分类讨论此时函数的值域即可. 【详解】函数的值域为， 当时，，， 则有， 时，，不合题意， 由二次函数的性质可知，时不合题意， 故，又由，故时，， 解得. 所以的取值范围是. 故答案为： 13．（22-23高一下·上海·期中）函数的严格减区间为 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用指数型复合函数求出单调递减区间作答. 【详解】函数的定义域为R，令， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在R上是增函数，因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的严格减区间为. 故答案为： 14．（22-23高一上·上海崇明·期末）已知函数在区间上是严格减函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性求解作答. 【详解】函数在上是严格减函数，依题意，， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 15．（22-23高一上·上海金山·期末）函数，若时，函数值均小于0，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】对a分类讨论，运用函数的单调性求解. 【详解】 ， 当 时， ， 是减函数， ； 当 时， ，不符合题意； 故答案为： . 16．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知函数． (1)证明函数在区间上是严格减函数； (2)求函数在区间上的最值． 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为8，最小值为 【分析】（1）根据函数单调性的定义即可求证， （2）根据二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）任取，， 由，可得，，所以，又， 所以，即， 所以函数在区间上是严格减函数． （2）由于函数在单调递减，在单调递增， 又， 所以的最大值为8，最小值为 17．（23-24高一上·上海·期末）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现，某水果的产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，且施用肥料及其它成本总投入为元．已知这种水果的市场售价大约10元/千克，且生产的水果都能售出．记该水果利润为（单位：元）．（利润销售额成本） (1)写出利润（元）关于施用肥料x（千克）的关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当施用肥料为3千克时，该水果利润最大，最大利润是400元 【分析】（1）根据题目信息直接写出表达式即可； （2）根据分段函数性质，结合二次函数和基本不等式分别求解最大值并比较即可. 【详解】（1）由已知， 又， 所以， 整理得 （2）当时，， 所以当时，， 当时， ， 当且仅当，即时等号成立，， 因为，所以的最大值为400， 故当施用肥料为3千克时，该水果的利润最大，最大利润是400元 18．（22-23高一上·上海闵行·期末）已知函数严格单调，且的最大值为8，求实数的值. 【答案】 【分析】先求出二次函数的对称轴，再分，两种情况，进行分类讨论，根据最大值列出方程，求出实数的值. 【详解】，对称轴为，开口向上， 当时，在上单调递增， 故当时，取得最大值，，解得：，满足， 当时，在上单调递减， 故当时，取得最大值，，解得：，与矛盾，舍去； 综上：. 19．（22-23高一上·上海静安·阶段练习）已知函数，. (1)讨论函数的奇偶性，并说明理由； (2)求实数的取值范围，使在区间上是单调函数. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据奇偶性定义可直接求解； （2）根据二次函数性质，讨论对称轴位置即可得到结果. 【详解】（1）， 当，即时，，则为偶函数； 当时，且，则为非奇非偶函数. （2）为开口方向向上的抛物线，对称轴为； 当，即时，在上单调递减； 当，即时，在上单调递增； 综上所述：实数的取值范围为. C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 20．（23-24高一下·上海·期中）已知向量，，函数，. (1)若，求的值； (2)用表示，若时，的最小值为，求实数的值； (3)设为正整数，函数在区间上恰有2024个零点，请求出所有满足条件的的值及相应的取值范围. 【答案】(1) (2)；. (3)时，;时， 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算得到的解析式，再求的值. （2）利用向量数量积的坐标运算求向量的模；转化成二次函数在给定区间上的值域问题，分类讨论求参数的值. （3）由求出的值，结合余弦函数的图象和性质，明确函数在一个周期上解的个数，然后确定区间，使得函数有2024个解. 【详解】（1）当时， ， 所以. （2）， 又，所以，所以. 所以. 设，，则，最小值为. 若，由（舍去）； 若，由，无解； 若，由. 综上可知：. （3）， 由. 若，则； 若，则. 由. 当时，或，所以在上有2024个零点，此时. 当时，在上有两解，，在上有两解，所以在上有四解， 所以在上有2024个解.此时. 所以当，或，时，函数在区间上恰有2024个零点. 21．（23-24高一上·上海·阶段练习）设函数的定义域,若对任意，均有成立，则称为“无奇”函数． (1)判断函数①和②是否为“无奇”函数，说明理由； (2)若函数是定义在上的“无奇”函数，求实数a的取值范围； (3)若函数是“无奇”函数，求实数m的取值范围． 【答案】(1)①不是，②是；理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）由，结合“无奇”函数的定义可判断①；由恒成立，可判断②； （2）根据条件转化为方程无解，参变分离后，可求得所求范围； （3）若函数不是“无奇”函数，转化为方程有解，参变分离并换元后，可求得实数m的范围，进一步计算即可. 【详解】（1）①因为，符合， 所以不是"无奇"函数； ②恒成立， 所以是“无奇”函数； （2）在无解， 即在无解， 所以 （3）若不是“无奇”函数， 则有解， 即， 即有解， 令， 则 所以，即， 所以是“无奇”函数时，实数的取值范围是 22．（23-24高一上·上海·期末）已知，设. (1)若，求函数的值域； (2)已知，若函数的最大值为，求的值； (3)已知，若存在两个不同的正实数、，使得当函数的定义域为时，其值域为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意结合指数函数性质分析求解； （2）令，可得的最大值为，结合二次函数性质分析求解； （3）令，由题意可知在内有两个零点，结合二次函数零点分布求解. 【详解】（1）若，则， 因为，则， 所以函数的值域为. （2）令，则， 因为，可知开口向下，对称轴为， 当，二次函数取到最大值， 整理得，解得或， 且，所以. （3）令，则 因为，开口向上，对称轴， 可知在内单调递增， 且在内单调递增， 可知在内单调递增， 由题意可知：至少有2个不同的正根， 即，整理得， 可得在内有两个零点， 且，则，解得， 所以的取值范围. 23．（23-24高一上·上海·期末）已知函数． (1)若的最大值为0，求实数a的值； (2)设在区间上的最大值为，求的表达式； (3)令，若在区间上的最小值为1，求正实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）利用二次函数最值可得答案； （2）分类讨论对称轴与区间的关系，结合二次函数可得最值； （3）利用对勾函数的最值问题，分情况讨论，结合单调性的可得答案. 【详解】（1）， 因为的最大值为0，所以， 所以或. （2）函数的对称轴为， 当，即时，在上是减函数，所以； 当，即时， 当时，是减函数，当时，是增函数， 所以； 当，即时，在上是增函数，所以， 所以. （3）由题意， 令可得，简图如下， 当时，即时，在是增函数， 所以，成立. 当时，即时， 在上是减函数，在上是增函数， 所以，解得，不成立； 当时，即时，在上是减函数， 所以，解得，不成立； 综上所述，. 24．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数. (1)若有零点，求实数的取值范围； (2)若，函数的值域为，且，求的取值范围； (3)当时，是否存在这样的实数，使得方程在区间内有且只有一个根？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）分，进行讨论，分别求出有零点时，实数的取值范围即可； （2）根据函数的值域可确定其为二次函数，求出等量关系，再由与不等式得出范围，化简，并求出其取值范围； （3）根据函数在区间上的单调性，再根据在区间内有且只有一个根，结合单调性即可求出的取值范围. 【详解】（1）当时，，满足有零点； 当，故； 综上，若有零点，实数的取值范围为. （2）由题知，值域为， 可得： ； ，故且， 又，当且仅当时取等号， 所以，平方得， 则 ， 所以的取值范围为. （3）当时，函数，在区间上单调递减， 当时，的对称轴为， 当时，，函数开口向上，在区间上单调递减， 当时，，函数开口向下，在区间上单调递减， 所以当时在区间上单调递减， 令单调递增. 原命题等价于两个函数与的图象在区间内有唯一交点， 则当且仅当即时原命题成立， 解得，又，所以． 25．（23-24高一上·上海·期中）已知函数，其中是实数． (1)在区间上的最大值记为，求的表达式； (2)在区间上的最小值记为，求的表达式； (3)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3)或. 【分析】（1）根据对称轴与的大小关系分类讨论，结合二次函数的性质即可得出； （2）根据对称轴与的大小关系分类讨论，结合二次函数的性质即可得出； （3）结合（1）（2），分类讨论确定与，解方程即可. 【详解】（1），对称轴为， 当，即时，， 当，即时，， 综上，. （2）当，即时，函数在区间上单调递增，， 当，即时，函数在区间上单调递减，， 当，即时，， 综上，. （3）当时，，， 由，得，解得（舍）； 当时，，， 由，得，即， 解得或（舍）； 当时，，， 由，得，即， 解得（舍）或； 当时，，， 由，得，解得（舍）， 综上，或. 26．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，且不等式的解集为． (1)求实数的值； (2)已知，若存在，，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意判断出即是方程的两根，即可求解； （2）设的值域为，的值域为，判断出，列不等式组，求出的范围. 【详解】（1）不等式，即， 因为不等式的解集为，即是方程的两根， 将代入方程得，解得， 再由韦达定理得，故. （2）因为存在，，使得成立， 设的值域为，的值域为，则， 的对称轴为，故在上单调递增， 则，即，所以， 当时，，不满足题意； 当时，在上单调递增， 则，即，所以， 由，得，解得； 当时，在上单调递减， 则，即，所以， 由，得，解得， 综上所述，. 27．（23-24高一上·上海松江·期末）对于定义域为 的函数 ，若存在区间 (其中 ，使得函数同时满足：①函数 在 上是严格增函数或严格减函数；②当定义域是 时，函数 的值域也是 ,则称 是函数 的“等域区间” (1)若区间 是函数的“等域区间”，求实数 的值： (2)判断函数 是否存在“等域区间”，并说明理由； (3)若区间 是函数 的一个“等域区间”，求 的最大值. 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析； (3). 【分析】（1）利用给定函数单调性，结合“等域区间”的定义，列式计算即得. （2）假定函数存在“等域区间”，结合函数单调性，构造方程，再判断方程解的情况即得. （3）借助的单调性及“等域区间”的定义，将问题转化为是方程的两个同号的实数根，再结合二次函数与韦达定理求解问题. 【详解】（1）函数是R上的增函数， 由区间是函数的“等域区间”，得，解得， 所以. （2）函数在和上都单调递增， 假设是函数的“等域区间”，则在上单调， 于是或，因此在上为增函数， 则，即方程有两个不等实根m，n， 而方程化为：，，即无实根， 所以函数不存在“等域区间”. （3）函数在和上均为增函数， 而是函数的“等域区间”，则在上单调， 于是或，因此在上为增函数， 则，即是方程的两个同号且不等的实根， 是方程，即的两个同号的不等实根， 于是，解得或， 此时，且， 因此， 所以当时，取得最大值. 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】 28．（23-24高一上·上海·期末）已知函数的定义域为.若存在实数，使得对于任意，都存在，使得，则称函数具有性质. (1)分别判断：及是否具有性质；（结论不需要证明） (2)若函数的定义域为，且具有性质，证明：“”是“函数存在零点”的充分非必要条件； (3)已知，设，若存在唯一的实数，使得函数，具有性质，求的值. 【答案】(1)不具有性质，具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）根据新定义判断即可； （2）由定义结合必要不充分条件证明即可； （3）将问题转化为，再对进行分类讨论，求得的值域，结合的唯一性求得的值，从而得解. 【详解】（1）不具有性质，具有性质，理由如下： 因为指数函数的定义域为， 对于，，恒成立， 所以不存在满足， 因此函数不具有性质； 因为一次函数的定义域为， 对于，，取， 则，因此具有性质. （2）当时，由于函数具有性质， 取，则存在，使得， 所以，因此函数存在零点，即充分性成立； 当函数存在零点时， 设，，则， 因为对于任意，取，则， 且满足， 所以函数具有性质，但，即必要性不成立； 因此“”是“函数存在零点”的充分非必要条件. （3）依题意，存在唯一的实数，使得函数，具有性质， 即存在唯一的实数，对任意，都存在满足，即， 因为，则，故， 记的值域为，则， 当时，，，即， 所以，得，显然不唯一，不符合题意； 当时，的对称轴为，， 当，即时，在上递增，所以， 所以，得， 由于唯一，所以，解得，不符合题意； 当，即时，在上递增， 所以，则，得， 由于唯一，所以，解得，符合题意； 当，即时， 的最大值是，最小值是，则， 所以，得， 由于唯一，所以，解得，不符合题意； 当，即时， 的最大值是，最小值是，则， 所以，得， 由于唯一，所以，解得（舍去），满足题意； 综上，的值为或. 【点睛】思路点睛：对新定义的题型要注意一下几点： （1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点 （2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件 （3）含有参数是要注意分类讨论的思想. 29．（23-24高一上·上海浦东新·期中）在平面直角坐标系中，两点、的“曼哈顿距离”定义为，记为．如，点、的“曼哈顿距离”为9，记为． (1)动点在直线上，点，若，求点的横坐标的取值范围； (2)动点在直线上，动点在函数图象上，求的最小值； (3)动点在函数的图象上，点，的最大值记为．如，当点的坐标为时，．求的最小值，并求此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)最小值为，点 【分析】（1）利用“曼哈顿距离”的定义，分类讨论去绝对值解不等式即可； （2）设出动点，利用曼哈顿距离的定义列出二元函数，将它视为以为参数，为自变量的函数，分类讨论求其最值即可； （3）先取特值确定出最小值，再验证有实数a，b即可． 【详解】（1）由已知，则根据“曼哈顿距离”定义得 ，， 当时，成立，解得； 当时，，解得； 当时，，解得 综上所述点的横坐标的取值范围是； （2）设出动点，则， 又，所以， 当时，， 此时， 当时，， 此时 当时，， 此时 又 所以 综合得，当时取等号. 即的最小值为 （3）设点，则， 若存在实数使得，则对任意成立， 取，有，取,有， 得， 所以 取，是上是偶函数， 当时，若，， 若，，当且仅当时取等． 所以存在实数且，使得最小值为，点 30．（23-24高一上·上海黄浦·期中）若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”． (1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由： (2)若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值； (3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围． 【答案】(1)不是，理由见解析； (2)1； (3). 【分析】（1）根据给定的定义，取，判断 在没有实数解，即可得解. （2）根据给定的定义，当时，用表示并判断单调性，求出值域，借助集合的包含关系求解即得. （3）根据给定的定义，函数在区间,上的值域包含函数在区间,上的值域，再结合二次函数的性质，分类讨论即可求解． 【详解】（1）假定函数是区间上的“2阶自伴函数”， 取，，由，得，显然此方程无实数解， 所以函数不是区间上的“2阶自伴函数”. （2）函数为区间上的“1阶自伴函数”， 则对任意，总存在唯一的，使得， 即，整理得，显然函数在上单调递减， 且当时，，当时，， 因此对内的每一个，在内有唯一值与之对应，而， 于是，则有，解得，即， 所以的值是1. （3）由函数在上单调递减，得函数的值域为， 由函数是在区间上的“2阶伴随函数”， 得对任意的，总存在唯一的时，使得成立， 于是，则在区间上的值域必定包含区间， 且的值域在对应的自变量是唯一的，而函数图象开口向上，对称轴为， 显然，， ①当时，在上单调递增，则， 即，解得； ②当时，在上单调递减，则， 即，解得； ③当时，在上单调递减，在上单调递增，则， 即，解得； ④当时，在上单调递减，在上单调递增，则， 即，解得， 所以a的取值范围是. 【点睛】思路点睛：本题首先要理解“m阶自伴函数”或“m阶伴随函数”的意义，然后根据每一小问函数的类型设计出解决问题的思路，对于第三问，存在对称轴问题，需要仔细分类讨论，特别是当时，要考虑对称轴在区间时，二次函数的图像的形状，以此来建立不等式求出a的范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$