2024年新高一数学暑期效果阶段测试卷- 【暑假自学课】2024年新高一数学暑假提升精品讲义（沪教版2020必修第一册，上海专用）

阶段测试（解析版） 一、填空题 1．设：，：，则是的 条件（充分不必要条件、必要不充分条件） 【答案】必要不充分 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】因为 ⫋， 所以：，是：的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分 2．已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】变形得到，并得到，变形得到，利用基本不等式求出最小值. 【详解】正实数满足，故，所以， 则，又，解得， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 3．已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】借助交集定义计算即可得. 【详解】由，可得、，则. 故答案为：. 4．函数（且）的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则 . 【答案】 【分析】根据对数的性质结合题意求出点的坐标，再点的坐标代入中求出，从而可求出的解析式. 【详解】因为函数（且）的图象恒过定点A， 所以点的坐标为， 设，则，得， 所以， 故答案为： 5．定义在R上的函数满足（），，则 . 【答案】 【分析】根据周期性可得，带入解析式即可得解. 【详解】根据题意函数的周期为, 所以, 故答案为： 6．已知幂函数在内是单调递增函数，则实数 . 【答案】 【分析】结合幂函数定义与单调递增性质计算即可得. 【详解】由函数为幂函数且在内单调递增， 所以，解得. 故答案为：. 7． 【答案】 【分析】根据题意，利用对数的运算法则，以及对函数的换底公式，准确运算，即可求解. 【详解】由. 故答案为：. 8．若，关于的不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】合理构造目标式，利用基本不等式求出最值，得到，再求解参数范围即可. 【详解】若关于的不等式恒成立，则， 因为，故， 当且仅当时取等，故得，解得. 故答案为： 9．已知，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用待定系数法可得，利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】解：设， 所以，解得， 因为，， 则， 因此，. 故答案为：. 10．记不超过x的最大整数为，若集合，则 ． 【答案】 【分析】首先求解集合，再分区间讨论求的值，代入方程，即可求解. 【详解】集合， 当，则，此时方程，无解， 当，则，此时方程，无解， 当，则，此时方程，此时（舍去1） 当，则，此时方程，此时，（都舍去） 当，则，此时方程，此时，（都舍去） 当，则，此时方程，此时，，（舍去） 当，则，此时方程，此时，，（舍去） 综上可知，． 故答案为： 11．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先分别求两个函数的值域，再根据题意转化为两个函数值域的包含关系，即可分和两种情况，列式求解. 【详解】当时，. 当时，当，， 又，，使得， 所以， 所以，解得； 当时，当，， 又，，使得， 所以， 所以，解得. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 12．已知（且），则 ．（结果用表示） 【答案】 【分析】根据指数幂的运算性质即可得，进而，代入可求解. 【详解】由且知，于是，即， 从而， 由于，因此． 故答案为：. 二、单选题 13．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据指数函数、对数函数的性质借助中间值1比较可得. 【详解】因为，所以，即，又，即， 又，所以，所以； 因为，所以，所以，所以 所以. 故选：A. 14．若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】由正数，满足， 得， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 故选：B 15．已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（    ）． A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】由新定义及集合的概念可化简集合，再由可知，分类讨论的归属，从而得到集合的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合的子集的个数. 【详解】由题设可知，， 又因为，所以， 而， 因为的解为或，的两根满足， 所以分属方程与的根， 若是的根，是的根，则有，解得， 代入与，解得或与或， 故； 若是的根，是的根，则有，解得， 代入与，解得或与或， 故； 所以不管如何归属方程与，集合总是有4个元素， 故由子集个数公式可得集合的子集的个数为. 故选：C 16．人们发现，可以通过公式来求方程（均为正实数）的正实数根.例如，方程的正实数根为，我们知道是的唯一正实数根，所以，这里规定.根据以上材料可得（    ） A．3 B．6 C．9 D．4 【答案】B 【分析】在公式中令求解即可. 【详解】设， 令 解得则即方程的正实数根. 由， 可得. 因为方程的实数根为负数， 所以，即， 故. 故选：B. 三、解答题 17．已知全集，集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】分别求出集合A与，再根据交集运算求结果； 由得，建立不等关系即可得a的范围. 【详解】（1）由题意得， 当时，，则或 所以或. （2）因为，所以， 所以，解得， 即. 18．已知集合，. (1)求A和B； (2)若，且，求的取值范围. 【答案】(1), (2) 【分析】（1）分别根据指数函数、对数函数单调性以及运算性质化简运算即可得解. （2）由题意当且仅当，从而，解不等式即可得解. 【详解】（1）由题意，， 解得，即. （2）由（1）可知， 若，则，所以当且仅当，解得，所以的取值范围. 19．已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)判断并证明在上的单调性． 【答案】(1) (2)为上的增函数，证明见解析 【分析】（1）首先求出函数的定义域，根据奇函数的性质，求出参数的值，再检验即可； （2）根据题意，由（1）的结论可得函数的解析式，设，由作差法分析可得结论． 【详解】（1）解：函数的定义域为，又函数为奇函数， 所以，即，解得， 所以，则， 故为奇函数，符合题意，所以. （2）解：由（1）可知，，则为上的增函数， 证明如下：设， 则， 又由，则，即，， 则， 则函数在上为增函数． 20．（1）已知，，用a、b表示. （2）设，为方程的两个根，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据对数的换底公式和对数的运算性质即可用，表示出； （2）根据韦达定理得出，然后根据立方差和平方差公式化简分式，并代值求解． 【详解】（1）已知，， 则，故 （2）设，为方程的两个根，则，易知， . 21．对于直角坐标平面上的两个点，记． (1)若点在函数图像上，点的坐标为，求满足的的集合； (2)若，点是直角坐标平面上的任意一点，求的最小值，并指出取得最小值时的点的集合． 【答案】(1) (2)最小值为3，集合为且 【分析】（1）根据题意，把不等式转化为，分类讨论，即可求解； （2）根据题意，得到，结合绝对值的三角不等式，即可求解. 【详解】（1）点在函数图像上，则， 则， 因为，即， 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为，解得，此时解集为空集； 当时，不等式可化为，解得， 综上可得，不等式的解集为； （2）若，点是直角坐标平面上的任意一点， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 此时的最小值为，此时点的集合为且. 22．已知幂函数在上单调递减. (1)求m的值； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由幂函数的定义以及单调性得出m的值； （2）由解不等式得出a的取值范围. 【详解】（1）解：由幂函数的定义可得，即，解得或. 因为在上单调递减，所以，即， 则. （2）设，是R上的增函数. 由（1）可知，即， 则，解得， 即a的取值范围为. 23．某新建居民小区欲建一面积为的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道．设计要求绿地外南北两侧人行道宽3m，东西两侧人行道宽4m，如图所示（图中单位：m）．设矩形绿地的南北侧边长为x米．    (1)当人行道的占地面积不大于时，求x的取值范围； (2)问x取多少时，才能使人行道的占地面积最小．（结果精确到0.1m）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知得出人行道的占地面积为.进而得出不等式，求解不等式，即可得出答案； （2）根据基本不等式求解，即可得出的最小值. 【详解】（1）由已知可得，矩形绿地的东西侧边长为米， 则人行道的占地面积为. 由已知可得，， 整理可得，，解得. （2）由（1）知，人行道的占地面积为， ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，矩形绿地的南北侧边长为时，人行道的占地面积最小． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 阶段测试（原卷版） 一、填空题 1．设：，：，则是的 条件（充分不必要条件、必要不充分条件） 2．已知正实数满足，则的最小值为 . 3．已知集合，，则 ． 4．函数（且）的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则 . 5．定义在R上的函数满足（），，则 . 6．已知幂函数在内是单调递增函数，则实数 . 7． 8．若，关于的不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 9．已知，，则的取值范围为 . 10．记不超过x的最大整数为，若集合，则 ． 11．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 12．已知（且），则 ．（结果用表示） 二、单选题 13．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 14．若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 15．已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（    ）． A．4 B．8 C．16 D．32 16．人们发现，可以通过公式来求方程（均为正实数）的正实数根.例如，方程的正实数根为，我们知道是的唯一正实数根，所以，这里规定.根据以上材料可得（    ） A．3 B．6 C．9 D．4 三、解答题 17．已知全集，集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围. 18．已知集合，. (1)求A和B； (2)若，且，求的取值范围. 19．已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)判断并证明在上的单调性． 20．（1）已知，，用a、b表示. （2）设，为方程的两个根，求的值. 21．对于直角坐标平面上的两个点，记． (1)若点在函数图像上，点的坐标为，求满足的的集合； (2)若，点是直角坐标平面上的任意一点，求的最小值，并指出取得最小值时的点的集合． 22．已知幂函数在上单调递减. (1)求m的值； (2)若，求a的取值范围. 23．某新建居民小区欲建一面积为的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道．设计要求绿地外南北两侧人行道宽3m，东西两侧人行道宽4m，如图所示（图中单位：m）．设矩形绿地的南北侧边长为x米．    (1)当人行道的占地面积不大于时，求x的取值范围； (2)问x取多少时，才能使人行道的占地面积最小．（结果精确到0.1m）． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$