2024年秋季上海高一名校分班模拟卷- 【暑假自学课】2024年新高一数学暑假提升精品讲义（沪教版2020必修第一册，上海专用）

分班测试卷（原卷版） 一、填空题 1．不等式的解集为 ． 2．已知，则“成立”是“成立”的 条件. 3．已知，（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是 . 4．已知集合，，且，则实数的取值范围是 . 5．如图是对数函数的图像，已知a取则相应于的a值依次为 .    6．函数的单调递减区间是 ． 7．如图为三个幂函数在其定义域上的局部图像，则实数从小到大的排列顺序为 .（请用“”连接） 8．已知，则 .（用含的式子表示） 9．已知，则 ． 10．对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 11．已知，记的最大值为，最小值为，则 ． 12．已知函数的值域为，则实数的取值范围是 . 二、单选题 13．下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 14．为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为（    ）年． A．7 B．8 C．9 D．10 15．数集，，，若，，则（    ） A． B． C． D．A，，都有可能 16．已知，，且，有下列不等式：①，②，③，④．其中成立的不等式的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题 17．（1）已知，，用、表示﹒ （2）已知，求的值． 18．设集合存在正实数，使得定义域内任意x都有． (1)若，证明：； (2)若，且，求实数a的取值范围； (3)若，且，求函数的最小值． 19．若，， (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 20．已知幂函数的图像关于点对称． (1)求该幂函数的解析式； (2)设函数，在如图的坐标系中作出函数的图象； （提示：列表、描点、连线作图） 21．在自由声场（开阔空间）条件下，点声源的声波遵循球面发散规律，在与声源距离为（单位：m）处，声音强度的衰减量 （单位:dB）. 若在位置的声源的强度为(单位: dB),与声源距离为(单位：m)的位置的声音强度为(单位: dB),则, (1)有两个距离某一声源分别为20m和50m的声音探测仪和，它们的读数相差多少分贝?（结果精确到1dB） (2)已知某单一声源、两个声音探测仪与，依次在同一条直线上，与间的距离为400m. 假设两个探测仪的读数分别为61.05dB和47.07dB，试求声源与探测仪的距离（结果精确到1m）以及声源处的声音强度（结果精确到1dB）.参考数据：， 22．已知定义在上的函数． (1)当时，求的值域； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为函数的局部对称点．若是的局部对称点，求实数的取值范围． 23．设是集合的一个元子集（即由个元素组成的集合），且的任何两个非空子集的元素之和不相等；而集合的包含集合的任意元子集，则存在的两个子集，使这两个子集的元素之和相等. (1)当时，试写出一个三元子集； (2)当时，证明：. 24．设在二维平面上有两个点，它们之间的距离有一个新的定义为，这样的距离在数学上称为曼哈顿距离或绝对值距离．在初中时我们学过的两点之间的距离公式是，这样的距离称为欧几里得距离（简称欧氏距离）或直线距离． (1)已知两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离不大于3，那么的取值范围是多少？ (2)已知两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离要恒大于2，那么的取值范围是多少？ (3)若点在函数图象上且，点的坐标为，求的最小值并说明理由． 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 分班测试卷（解析版） 一、填空题 1．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将分数不等式转换为与之等价的不等式组即可求解. 【详解】，即，则且．解得， 不等式的解集为. 故答案为：. 2．已知，则“成立”是“成立”的 条件. 【答案】充要 【分析】先证充分性，由求出的取值范围，再根据的取值范围化简即可，再证必要性,根据绝对值的性质可知． 【详解】充分性：若，则， ， 必要性：若，又， ， 由绝对值的性质：若，则， ， 所以“成立”是“成立”的充要条件. 故答案为：充要 3．已知，（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用小范围是大范围的充分不必要条件转换成集合的包含关系求解. 【详解】因为q的一个充分不必要条件是p， 所以是的一个真子集， 则，即实数a的取值范围是. 故答案为：. 4．已知集合，，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】按并集定义计算即可得解. 【详解】，又 所以 故答案为： 5．如图是对数函数的图像，已知a取则相应于的a值依次为 .    【答案】，，， 【分析】根据对数函数底数在第一象限由左向右、从小到大分布规律解答. 【详解】的底数都大于1，当时底数大的图低(第一象限内)， 所以对应的a值分别为，， 的底数都大于0小于1，当时底数大的图低(第四象限内)， 所以对应的a值分别为，， 综合以上分析，可得对应的a值依次为，，，. 故答案为：. 6．函数的单调递减区间是 ． 【答案】 【分析】根据复合函数单调性求得正确答案. 【详解】令，解得， 令，对称轴为， 则在上单调递增，则在上单调递减， 而在上单调递减， 所以在上单调递减. 故答案为：. 7．如图为三个幂函数在其定义域上的局部图像，则实数从小到大的排列顺序为 .（请用“”连接） 【答案】 【分析】利用幂函数的性质判断的大小即可得解. 【详解】对于，由其图象可知，例如； 对于，由其图象可知，例如； 对于，由其图象可知，例如； 所以. 故答案为：. 8．已知，则 .（用含的式子表示） 【答案】 【分析】根据指数与对数的关系得到，再由换底公式及对数的运算性质计算可得. 【详解】因为，所以，又， 所以 . 故答案为： 9．已知，则 ． 【答案】 【分析】借助分段函数的性质代入计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 10．对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】借助换元法，令，则原不等式可化为，化简可得，又表示点到的距离，表示点到的距离，，即直线上任意两不同点到原点的距离之和大于，结合，数形结合即可得解. 【详解】恒成立，恒成立， 令且， ，且恒成立， ， ， 又表示点到的距离， 表示点到的距离，， 即直线上任意两不同点到原点的距离之和大于， 当最小时，即且， 此时， 又，可取， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 11．已知，记的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】 【分析】借助基本不等式可得其最小值，借助不等式的性质可得其最大值，即可得解. 【详解】由，故， 当且仅当时，等号成立，即， 由，故，则， 故. 故答案为：. 12．已知函数的值域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分段函数在两段上分别根据自变量范围求函数值范围,跟值域对比求实数的取值范围. 【详解】因为，值域为,所以对于时的函数值范围应包含，若函数值含有正数则正数部分不超过，根据图像可知 故答案为： 二、单选题 13．下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据相同函数的知识确定正确答案. 【详解】A选项，的定义域为，的定义域为，所以不是相同函数. B选项，的定义域为，的定义域为，所以不是相同函数. C选项，，两个函数定义域、值域、对应关系相同，是相同函数. D选项，的定义域为，的定义域为，所以不是相同函数. 故选：C 14．为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为（    ）年． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】表示出平均利润，然后利用基本不等式求最值以及最值的成立条件. 【详解】平均利润为， 当且仅当，即时取最大值. 故选：A. 15．数集，，，若，，则（    ） A． B． C． D．A，，都有可能 【答案】A 【分析】根据可知：集合A为奇数集，结合B为偶数集，结合元素与集合之间的关系分析判断. 【详解】由题意可知：集合A为奇数集，集合B为偶数集， 即a为奇数，b为偶数，则为奇数， 所以BD错误，A正确； 例如，令，即， 解得，所以，故C错误； 故选：A. 16．已知，，且，有下列不等式：①，②，③，④．其中成立的不等式的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】对于①，根据，结合即可判断；对于②，根据，，且，可得，即可判断；对于③，将式子变形利用基本不等式即可求解；对于④，可利用基本不等式求的最值，从而得出结果. 【详解】①因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 即，①正确； ②因为，，，所以， 所以，②正确； ③，当且仅当时等号成立，所以③错误； ④， 所以，当且仅当时等号成立，④正确； 所以有个不等式成立. 故选：. 三、解答题 17．（1）已知，，用、表示﹒ （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由指数与对数的互化可得出，再利用换底公式以及对数的运算性质可得出关于、的表达式； （2）将等式两边平方，可得出的值. 【详解】（1）因为，则， 又因为，则； （2）因为，则， 所以，. 18．设集合存在正实数，使得定义域内任意x都有． (1)若，证明：； (2)若，且，求实数a的取值范围； (3)若，且，求函数的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）利用集合定义证明即可； （2），化简，通过判别式小于0，求出的范围即可． （3）由，推出，得到对任意都成立，然后分离变量，通过当时，当时，分别求解最小值即可． 【详解】（1）设集合存在正实数，使得定义域内任意x都有， 则，，则， 所以，解得：， 不满足对定义域内任意x都有，． （2）由 ， 故； （3）由， 即 对任意都成立， 当时，令在上单调递增， 在定义域内单调递增，由复合函数的单调性知， 在上单调递增， ； 当时，令在上单调递增， 在定义域内单调递增，由复合函数的单调性知， 在单调递增， ； 当时，令在上单调递减，在上单调递增， 在定义域内单调递增，由复合函数的单调性知， 在上单调递减，在上单调递增， 所以． 综上：. 19．若，， (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）解不等式化简集合，把代入，再利用补集、交集的定义求解作答. （2）由给定条件，可得，再利用集合包含关系列出不等式求解作答. 【详解】（1）由，得，即有，解得，即， 由，得，即，解得或，则，， 当时，，所以 （2）由（1）知，， 由是的充分条件，得，则或，解得或， 所以实数的取值范围是或. 20．已知幂函数的图像关于点对称． (1)求该幂函数的解析式； (2)设函数，在如图的坐标系中作出函数的图象； （提示：列表、描点、连线作图） 【答案】(1) (2)图象见解析 【分析】（1）根据题意结合幂函数的定义和性质分析求解； （2）由（1）可得：，列表、描点、连线作图. 【详解】（1）因为为幂函数，则，解得或， 若，则，图象关于原点对称，符合题意； 若，则，图象不关于原点对称，不符合题意； 综上所述：. （2）由（1）可得：，则的定义域为， 可得 1 2 3 2 3 1 则的图象为： 21．在自由声场（开阔空间）条件下，点声源的声波遵循球面发散规律，在与声源距离为（单位：m）处，声音强度的衰减量 （单位:dB）. 若在位置的声源的强度为(单位: dB),与声源距离为(单位：m)的位置的声音强度为(单位: dB),则, (1)有两个距离某一声源分别为20m和50m的声音探测仪和，它们的读数相差多少分贝?（结果精确到1dB） (2)已知某单一声源、两个声音探测仪与，依次在同一条直线上，与间的距离为400m. 假设两个探测仪的读数分别为61.05dB和47.07dB，试求声源与探测仪的距离（结果精确到1m）以及声源处的声音强度（结果精确到1dB）.参考数据：， 【答案】(1)8dB (2)声源与探测仪的距离为100m, 声源处的声音强度为100dB 【分析】（1）根据所给公式即可代入求解， （2）根据，结合对数的运算即可求解距离，进而可求解声源处的声音强度. 【详解】（1）设对应的声音强度分别为，声音强度分别为， 所以， 则 （2）设声源与探测仪的距离为，声源强度为,声音强度衰减量为 则声源与探测仪的距离为，声源强度为，声音强度衰减量为, 所以， 所以，故，解得， 所以, 故声源处的声音强度为100dB. 22．已知定义在上的函数． (1)当时，求的值域； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为函数的局部对称点．若是的局部对称点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二次函数的性质求得的值域. （2）利用换元法，对进行分类讨论，结合二次函数的性质求得的取值范围. （3）由分离参数，利用换元法，结合二次函数的性质求得的取值范围. 【详解】（1）当时，， 由于，所以，当时等号成立， 所以的值域为. （2）依题意，函数在上单调递增， ， 当时，令，则①， 当时，，在上单调递减， 即在上单调递减，不符合题意. 当时，①的对称轴， 要使在上单调递增，则在上单调递增， 所以，解得. 当时，①的对称轴， 函数的开口向下，在区间上单调递减，不符合题意. 综上所述，的取值范围是. （3）根据局部对称函数的定义可知，， 即， ， ， ，令， 当且仅当时等号成立， 则 ， 所以， 则， 函数在区间上单调递增，所以， 所以， 所以的取值范围是. 【点睛】关键点睛：形如二次函数、指数函数结合的问题，无论是单调性还是值域（最值），都可以考虑利用换元法，再结合二次函数的性质来进行求解.研究含参数的二次函数的性质，关键点是对参数进行分类讨论，结合二次函数的开口方向、单调性、值域等知识可将问题解决. 23．设是集合的一个元子集（即由个元素组成的集合），且的任何两个非空子集的元素之和不相等；而集合的包含集合的任意元子集，则存在的两个子集，使这两个子集的元素之和相等. (1)当时，试写出一个三元子集； (2)当时，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）根据集合的新定义结合反证法证明即可. 【详解】（1）当时，， 取，则满足题意， （2）当时，， 假设若，则的非空子集有个， 而其中每个子集元素和不超过，但，必有两个子集的和相等，矛盾． 假设若，考虑的一、二、三、四元子集，共有个不同的子集，其元素和都在区间内 因为任意一个这样的和，且由知：，，，不同时属于 若，则由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 若则由知．，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾， 若和都不属于，则最小的和不小于于是，其和都属于区间，最多有个不同的和． 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 综上所述，． 【点睛】关键点点睛：本题考查了集合的新定义，考查反证法的应用，解题的关键是正确的对集合新定义的理解，属于难题． 24．设在二维平面上有两个点，它们之间的距离有一个新的定义为，这样的距离在数学上称为曼哈顿距离或绝对值距离．在初中时我们学过的两点之间的距离公式是，这样的距离称为欧几里得距离（简称欧氏距离）或直线距离． (1)已知两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离不大于3，那么的取值范围是多少？ (2)已知两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离要恒大于2，那么的取值范围是多少？ (3)若点在函数图象上且，点的坐标为，求的最小值并说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)1，理由见解析 【分析】（1）根据曼哈顿距离的定义可得，解绝对值不等式可得答案. （2）根据曼哈顿距离的定义可得恒成立，结合绝对值不等式的意义求出其最小值，解不等式即可求得答案. （3）根据曼哈顿距离的定义可得的解析式，分段讨论，结合函数单调性求得每段上的最小值，综合可得答案. 【详解】（1）因为，故， 由曼哈顿距离不大于3可得，即， 则，解得，故的取值范围是. （2）因为，故， 由题意可得:恒成立， ， 当且仅当时等号成立，即的最小值为， ，则或，解得或. 故的取值范围是或. （3）点在函数图象上且，点的坐标为， 故，， 当时，，函数在上单调递增， 故， 当时，； 令，由于，故， ，， 故，即此时最小值为1，此时时取到. 当时，， 函数在上单调递减，故， 当且仅当时取等号， 综合以上可知，的最小值为1. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于理解曼哈顿距离或绝对值距离的定义，并根据此定义去解答问题，特别是第三问的解答，要注意分段讨论，判断函数的单调性，求解最值. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$