精品解析：四川省荥经中学2023-2024学年高一下学期期末数学模拟试卷

四川省荥经中学2023-2024学年高一下学期期末数学模拟试卷 考试时间：120分钟；命题人：王雨晔；审题人：王皓历 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.） 1. 复数（是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知平面向量与为单位向量，它们的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　） A. 若m//α，n//β，α//β，则m//n B. 若m//α，m//β，α∩β＝n，则m//n C. 若n//α，n//β，则α//β D. 若m//n，n⊂α，则m//α 5. 如图所示，是直角三角形，，，点是斜边的中点，点是线段靠近点的三等分点，则（ ） A. 0 B. C. D. 6. 已知数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，，…，的平均数为，方差为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱锥中，和均为正三角形，，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.） 9. 某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图： 则下列结论中正确的是（ ） A. 招商引资后，工资净收入较前一年增加 B. 招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍 C. 招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的 D. 招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍 10. 已知函数部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图像关于点对称 C. 在区间上的值域为 D. 方程有7个不相等的实数根 11. 在中，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则边上的中线长 B. 若，则 C. 若，则面积的最大值为2 D. 若，则面积的最大值为 三．填空题（共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 如图所示的是用斜二测画法画出的的直观图（图中虚线分别与轴，轴平行），则原图形的面积是 _____． 13. 已知两个粒子，从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，，则在上的投影向量为__________． 14. 如图，在直角梯形中，，将沿翻折成，使二面角为，则三棱锥外接球的表面积为__________. 四．解答题（本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数，. （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数在上的最小值及相应自变量的值. 16. 5月11日是世界防治肥胖日.我国超过一半的成年人属于超重或肥胖，6～17岁的儿童青少年肥胖率接近20%，肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题.目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康.我国成人的BMI数值标准为：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<24为正常；24≤BMI<28为偏胖；BMI≥28为肥胖.为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了60名男员工、40名女员工的身高和体重数据，通过计算得到男女员工的BMI值并将女员工的BMI值绘制成如图所示的频率分布直方图： （1）求图中a的值，并估计样本中女员工BMI值的70%分位数； （2）已知样本中男员工BMI值的平均数为22，试估计该公司员工BMI值的平均数. 17. 如图，在四棱锥中，底面，在直角梯形中，，，，是中点.求证： （1）平面； （2）平面平面. 18. 在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，D为BC边上的动点． （1）若D为BC的中点，，，求边BC； （2）若AD平分∠BAC，，，求△ABC的面积． 19. 已知平面四边形ABCD，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省荥经中学2023-2024学年高一下学期期末数学模拟试卷 考试时间：120分钟；命题人：王雨晔；审题人：王皓历 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.） 1. 复数（是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数除法运算可求得，根据对应点的坐标可得结果. 【详解】， 对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 2. 已知平面向量与为单位向量，它们的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量数量积定义可得，根据向量数量积的运算律可由求得结果. 【详解】， . 故选：D. 3. 如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知该几何体的体积是由半球的表面积加上圆柱的侧面积，再加上圆的面积即可. 【详解】解：由题意得，球的半径，圆柱的底面半径，高， 则该几何体的表面积为. 故选：D. 4. 已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　） A. 若m//α，n//β，α//β，则m//n B. 若m//α，m//β，α∩β＝n，则m//n C. 若n//α，n//β，则α//β D. 若m//n，n⊂α，则m//α 【答案】B 【解析】 【分析】由平行于同一平面的两直线的位置关系判断A；直接证明B正确；由平行于同一直线的两平面的位置关系判断C；由直线与直线平行分析直线与平面的关系判断D． 【详解】对于A，若m//α，n//β，α//β，则m//n或m与n相交或m与n异面，故A错误； 对于B，若m//α，则在平面α内存在不同于n的直线l，使得l//m，则l//β， 从而l//n，故m//n，故B正确； 对于C，若n//α，n//β，则α//β或α与β相交，故C错误； 对于D，若m//n，n⊂α，则m//α或m⊂α，故D错误． 故选：B． 5. 如图所示，是直角三角形，，，点是斜边的中点，点是线段靠近点的三等分点，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用、作为一组基底表示、，再根据数量积的运算律计算可得. 【详解】依题意，，， 所以， 所以 . 故选：C 6. 已知数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，，…，的平均数为，方差为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数和方差的性质得到答案. 【详解】已知样本数据的平均数为，方差为， 记数据的平均数为，方差为， 则， ， 由题意可得，. 故选：C 7. 将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值. 【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则， 解得，又，故当时，的最小值为. 故选：C. 8. 如图，在三棱锥中，和均为正三角形，，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二面角的大小可得长度关系，利用线线平行得异面直线所成角，根据余弦定理即可求解. 【详解】取中点为连接，由于和均为等边三角形，所以故为二面角的平面角，即， 由于为等边三角形，故，进而, 又, 由余弦定理可得, 由于,所以即为直线与所成角或其补角， 所以直线与所成角的余弦值为， 故选：B 第Ⅱ卷（非选择题） 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.） 9. 某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图： 则下列结论中正确的是（ ） A. 招商引资后，工资净收入较前一年增加 B. 招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍 C. 招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的 D. 招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍 【答案】AD 【解析】 【分析】根据已知条件及扇形图的特点即可求解. 【详解】设招商引资前经济收入为，而招商引资后经济收入为，则 对于A，招商引资前工资性收入为，而招商引资后的工资性收入为，所以工资净收入增加了，故A正确； 对于B，招商引资前转移净收入为，招商引资后转移净收入为，所以招商引资后，转移净收入是前一年的倍，故B错误； 对于C，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和为，所以招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的，故C错误； 对于D，招商引资前经营净收入为，招商引资后转移净收入为，所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D正确. 故选：AD. 10. 已知函数部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图像关于点对称 C. 在区间上的值域为 D. 方程有7个不相等的实数根 【答案】BD 【解析】 【分析】先根据图象求出函数的解析式，进而根据三角函数的图象及性质可判断ABC选项；对于D选项，将问题转化为函数和的交点问题，结合图象求解即可. 【详解】由图可知，， 又，故，因为，所以， 此时， 又， 即，即，，即，， 又，所以， 所以. 对于A，当时，，不是最值，故A错误； 对于B，当时，则，故B正确； 对于C，当时，， 所以，即，故C错误； 对于D，由，即， 画出函数和， 令，，即，， 所以函数的对称轴为，， 且当，时，， 当，时，， 所以大致图象如下： 由图象可知函数和有7个交点， 所以方程有7个不相等的实数根，故D正确. 故选：BD. 11. 在中，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则边上的中线长 B. 若，则 C. 若，则面积的最大值为2 D. 若，则面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量的线性运算及数量积的运算律即可得到边角关系，可判断A、B，利用同角三角函数基本关系及余弦定理，结合基本不等式求解面积最值判断C，利用余弦定理及面积公式建立面积函数，利用二次函数求解最值判断D. 【详解】对于选项A，设为中点，则，， 所以，解得，正确； 对于选项B，因为，所以，所以，即，正确； 对于选项C，由于，所以， 由余弦定理可知，故，当且仅当时，等号成立， 所以，此时面积的最大值为3，所以错误； 对于选项，设，则，由余弦定理， 则， 故， 当且仅当即时，等号成立，正确. 故选：ABD 三．填空题（共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 如图所示的是用斜二测画法画出的的直观图（图中虚线分别与轴，轴平行），则原图形的面积是 _____． 【答案】40 【解析】 【分析】根据斜二测画法还原原图形，求出其面积. 【详解】根据题意，原图形如下图： 的底边AB的长为5，高为16， 其面积为. 故答案为：40 13. 已知两个粒子，从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，，则在上的投影向量为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得与夹角的余弦值，再根据投影向量的定义求出在上的投影向量即可． 【详解】设与的夹角为， 则， 所以在上的投影向量为. 故答案为：. 14. 如图，在直角梯形中，，将沿翻折成，使二面角为，则三棱锥外接球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】外接球的球心为，半径为为中点，为中点，由二面角的定义可得为二面角的平面角，所以有，作于，由题意可求得，进而可得，即可得答案. 【详解】解：如图，设外接球的球心为，半径为为中点，为中点， 因为，所以，∥， 又因为，， 所以， 所以,, 所以，， 所以为二面角的平面角， 所以， 作于， 因为，，， 所以平面， 又因为平面， 所以 ， 又因为，, 则平面，所以∥， 则有， 即， 由题意可求得：， 设， 由题上式可得：， 求得：，从而求得：， 故三棱锥外接球的表面积为. 故答案为： 四．解答题（本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数，. （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数在上的最小值及相应自变量的值. 【答案】（1）函数的最小正周期，单调递减区间为，. （2）最小值为，相应的. 【解析】 【分析】（1）化简，根据余弦函数的最小正周期公式和单调递减区间可得结果； （2）根据余弦函数的图象可求出结果. 【小问1详解】 ， 函数的最小正周期. 由，， 得，， 所以的单调递减区间为，. 【小问2详解】 当时，， 所以当，即时，取得最小值. 16. 5月11日是世界防治肥胖日.我国超过一半的成年人属于超重或肥胖，6～17岁的儿童青少年肥胖率接近20%，肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题.目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康.我国成人的BMI数值标准为：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<24为正常；24≤BMI<28为偏胖；BMI≥28为肥胖.为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了60名男员工、40名女员工的身高和体重数据，通过计算得到男女员工的BMI值并将女员工的BMI值绘制成如图所示的频率分布直方图： （1）求图中a的值，并估计样本中女员工BMI值的70%分位数； （2）已知样本中男员工BMI值的平均数为22，试估计该公司员工BMI值的平均数. 【答案】（1），样本中女员工BMI值的70%分位数为， （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的矩形面积之和为1可求出a的值，再根据百分位数的定义求解70%分位数； （2）先根据频率分布直方图计算女员工的平均BMI值，再求解该公司员式BMI值的平均数即可. 【小问1详解】 由题意得，解得， 因为，， 所以分位数在，设分位数为，则 ，解得， 所以样本中女员工BMI值的70%分位数为， 【小问2详解】 由题意得，样本中女员工BMI值的平均数为 ， 所以估计该公司员工BMI值的平均数为 17. 如图，在四棱锥中，底面，在直角梯形中，，，，是中点.求证： （1）平面； （2）平面平面. 【答案】（1） 取线段的中点，连接， 分别为中点，，， 又，，，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面. （2） 平面，平面，； 设，则， ，，，，， ，； ，平面，平面， 平面，平面平面. 【解析】 【分析】（1）取线段的中点，可证得四边形为平行四边形，从而得到，由线面平行的判定可证得结论； （2）由线面垂直性质和勾股定理可分别证得，，由线面垂直和面面垂直的判定可证得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，D为BC边上的动点． （1）若D为BC的中点，，，求边BC； （2）若AD平分∠BAC，，，求△ABC的面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由已知可得，进而可求，进而得，两边平方结合已知可求，再结合余弦定理可求得； （2）设，由角平分线可求得，利用角平分线可得，可求，进而结合余弦定理，可求三角形的面积. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，，所以，所以， ∵为的中点， ∴， 平方得 又， ，， 由余弦定理得：， ∴； 【小问2详解】 设， ∵平分，∴， 又，得， ∵平分，则， 所以，解得，则，， 在中，，则， 所以． 19. 已知平面四边形ABCD，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值 【答案】（1） 因为，，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以. 取的中点，连接，，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为，，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一定理及线面垂直的性质定理，再利用线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理即可证明； （2）根据线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理.再利用线面角的定义及勾股定理，结合同角三角函数基本关系求解即可； （3）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，再利用面面角的定义及勾股定理，结合等面积法及三角函数定义即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作，垂足为．如图所示，          由（1）知平面，因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面. ，因为平面，所以， ，，平面，所以平面， 所以为与平面所成角. 由（1）知，平面，平面，所以， 在中，因为，，所以， 因为为的中点，所以， 在中，， 在中，， 在中，， 所以由同角三角函数的基本关系得. 所以与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 取的中点为，连接，因为为线段的中点， 所以， 由（1）知，平面，所以平面，平面. 所以，过点作，垂足为，连接，， ，平面，所以平面．平面，所以， 所以为二面角的平面角. 在中，， 由（1）知，为等边三角形，为线段的中点， 所以， 由（1）知，平面，平面．所以， 在中，，由（2）知，， 即，解得. 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以，即二面角的平面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $