高二数学期末模拟卷二-2023-2024学年新高二数学同步精讲精练宝典（人教A版2019选修第三册）

高二数学期末模拟卷二 考试范围：选修 试卷结构：8+3+3+5 时间：120分钟 分值：150分 班级___ 姓名________ 组号_____ 1、 单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．已知集合，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．“”是“函数是增函数”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国人民代表大会在北京召开．会议圆满结束后，某市为了宣传好二十大会议精神，市宣传部决定组织去甲、乙、丙、丁4个村开展二十大宣讲工作，每村至少1人，其中A不去甲村，且不去同一个村，则宣讲的分配方案种数为（   ） A．158 B．162 C．180 D．198 5．已知函数在区间[1，2]上单调递增，则实数a的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 6．抛掷甲、乙两颗质地均匀的骰子，记事件：“甲骰子的点数大于4”，事件：“甲、乙两骰子的点数之和等于8”，则的值等于（    ） A． B． C． D． 7．在图1杨辉三角和图2高尔顿板模型中，在一块木板上钉着若干排相互平行且相互错开的圆柱形钉子，钉子之间留有空隙作为通道，让一个小球从高尔顿板上方的入口落下，小球在下落的过程中与钉子碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉到下方的某一球槽内，如图，小球从高尔顿板第1行的第一个缝隙落下的概率是，第二个缝隙落下的概率是；从第2行第一个缝隙落下的概率是，第二个缝隙落下的概率，第三个缝隙落下的概率是，小球从第行第个缝隙落下的概率可以由杨辉三角快速算出，那么小球从第6行某个缝隙落下的概率可能为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列命题正确的是（    ） A．若随机变量满足，则 B．以模型去拟合一组数据时，为了求出线性回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2 C．已知，若，则事件M，N相互独立 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 10．下列对各事件发生的概率判断正确的是（    ） A．某学生在上学的路，上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为 C．设两个独立事件和都不发生的概率为发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是 D．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 11．对于三次函数 ，现给出定义: 设 是函数 的 导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函 数 的 “拐点”. 经过探究发现: 任何一个三次函数都 有 “拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且 “拐点” 就是对称中心. 已知函数 ，则（    ） A．函数 有三个零点 B．函数 有两个极值点 C．点 是曲线 的对称中心 D．方程 有三个不同的实数根 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．在的展开式中，项的系数为 . 13．已知随机变量服从正态分布，若，则 . 14．已知函数，，若使不等式成立，的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，若在区间上的最小值为，求a的值． 16．（15分） 为了引导学生阅读世界经典文学名著，某学校举办“名著读书日”活动，每个月选择一天为“名著读书日”，并给出一些推荐书目.为了了解此活动促进学生阅读文学名著的情况，该校在此活动持续进行了一年之后，随机抽取了校内100名学生，调查他们在开始举办读书活动前后的一年时间内的名著阅读数量，所得数据如下表： 多于5本 少于5本 合计 活动前 35 65 100 活动后 60 40 100 合计 95 105 200 (1)试通过计算，判断是否有的把握认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用； (2)已知某学生计划在接下来的一年内阅读6本文学名著，其中4本国外名著，2本国内名著，并且随机安排阅读顺序.记2本国内名著恰好阅读完时的读书数量为随机变量，求的数学期望. 参考公式：. 临界值表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17．（15分） 若，请求值： (1)； (2)； (3). 18．（17分） 某歌手选秀节目，要求参赛歌手先参加初赛．歌手晋级与否由A、B、C三名导师负责．首先由A、B两位导师对歌手表现进行初评，若两位老师均表示通过，则歌手晋级；若均表示不通过，则歌手淘汰；若只有一名导师表示通过，则由老师C进行复合审查，复合合格才能通过；并晋级．已知每个歌手通过A、B、C三位导师审核的概率分别为，，，且各老师的审核互不影响． (1)在某歌手通过晋级的条件下，求他（她）经过了复合审查的概率； (2)从参赛歌手中选出3人，设其中通过晋级的人数为X，求X的分布列和数学期望． 19．（17分） 已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)在（2）的条件下，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学期末模拟卷二 考试范围：选修 试卷结构：8+3+3+5 时间：120分钟 分值：150分 班级___ 姓名________ 组号_____ 1、 单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．已知集合，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交集、并集运算即可得解. 【详解】由，，， 可得，，，， 故选：C 2．“”是“函数是增函数”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】利用导数，求出是增函数的的取值范围，再用充分性和必要性知识来进行判别即可． 【详解】是增函数，求导，即恒成立， 参变分离即恒成立，则．则“”是“函数是增函数”的充分不必要条件． 故选：A. 3．函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】由函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为，即. 故选：A 4．2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国人民代表大会在北京召开．会议圆满结束后，某市为了宣传好二十大会议精神，市宣传部决定组织去甲、乙、丙、丁4个村开展二十大宣讲工作，每村至少1人，其中A不去甲村，且不去同一个村，则宣讲的分配方案种数为（   ） A．158 B．162 C．180 D．198 【答案】B 【分析】分A单独去某一个村和A和中的某一个一起去某个村两种情况，结合排列组合知识求出每种情况下分配方法，相加即可. 【详解】当A单独去某一个村时，从乙、丙、丁3个村中选择1个安排，有种情况， 剩下的4个人安排到3个村，有种情况， 故有种情况， 当A和中的某一个一起去某个村时， 先从选择1个，再从乙、丙、丁3个村中选择1个安排，有种情况， 再安排另外3个人，每个人去1个村，有种情况， 故有种情况， 综上，共有种情况. 故选：B 5．已知函数在区间[1，2]上单调递增，则实数a的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数求导，从而将函数单调性问题转化为导数不等式在给定区间上的恒成立问题，继而通过参变分离法求出函数的最值,即可得到参数的范围. 【详解】由函数在区间上单调递增,可得在[1，2]上恒成立， 即， 设，则，，， 故当时，即时，， 故得，即a的最大值为. 故选：B. 6．抛掷甲、乙两颗质地均匀的骰子，记事件：“甲骰子的点数大于4”，事件：“甲、乙两骰子的点数之和等于8”，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意结合古典概型的概率公式求出，然后利用条件概率公式可求得结果. 【详解】由题意知事件为甲骰子的点数大于4，且甲、乙两骰子的点数之和等于8， 则事件包含的基本事件为，而抛掷甲、乙两颗质地均匀的骰子共有36种情况，所以， 因为甲骰子的点数大于4的有5，6两种情况，所以， 所以， 故选：C 7．在图1杨辉三角和图2高尔顿板模型中，在一块木板上钉着若干排相互平行且相互错开的圆柱形钉子，钉子之间留有空隙作为通道，让一个小球从高尔顿板上方的入口落下，小球在下落的过程中与钉子碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉到下方的某一球槽内，如图，小球从高尔顿板第1行的第一个缝隙落下的概率是，第二个缝隙落下的概率是；从第2行第一个缝隙落下的概率是，第二个缝隙落下的概率，第三个缝隙落下的概率是，小球从第行第个缝隙落下的概率可以由杨辉三角快速算出，那么小球从第6行某个缝隙落下的概率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用次独立重复试验中事件恰好发生次的概率公式，计算取各个值的概率即可判断作答． 【详解】小球落下要经过6次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为， 小球从第6行第个缝隙落下，则6次碰撞有次向右， 则小球从第6行第个缝隙落下的概率为， 于是得， ， ，， 所以A、B、D不可能，C可能． 故选：C． 8．已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意的值域包含于的值域，再分别求导分析函数的单调性与最值，进而根据值域区间端点满足的不等式列式求解即可. 【详解】，，令，解得， 令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增， 又，所以的值域为. 当时，，所以在上单调递增， 又，所以的值域为， 又，使得，所以，解得， 即实数的取值范围是． 故选：B． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列命题正确的是（    ） A．若随机变量满足，则 B．以模型去拟合一组数据时，为了求出线性回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2 C．已知，若，则事件M，N相互独立 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 【答案】BCD 【分析】对于A，给出反例，即可判断；对于B，利用得到即可判断；对于C，利用事件独立的定义即可判断；对于D，利用独立性检验的相关知识即可判断. 【详解】对于A，若恒有，，则，且. 所以，故A错误； 对于B，由于有线性回归方程，故，即，所以，，故B正确； 对于C，由于，故，即，所以事件M，N相互独立，C正确； 对于D，由于，故有的把握判断X与Y有关联，即判断错误的概率不超过，D正确. 故选：BCD 10．下列对各事件发生的概率判断正确的是（    ） A．某学生在上学的路，上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为 C．设两个独立事件和都不发生的概率为发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是 D．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 【答案】ABD 【分析】根据相互独立事件的概率公式，可判断A、B、C，根据古典概型概率公式，可判断D. 【详解】对A：该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯， 第3个路口是红灯，所以概率为，故A正确； 对B：用、、分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码， 则，，， “三个人都不能破译出密码”发生的概率为， 所以此密码被破译的概率为，故B正确； 对C：由题意可得，即， 即，即， 又，故，∴，故C错误； 对D：从1，2，3，4中任取2个不同的数，有， 共6个结果，其中取出的2个数之差的绝对值为2的包含和两个样本点， 则概率，故D正确； 故选：ABD. 11．对于三次函数 ，现给出定义: 设 是函数 的 导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函 数 的 “拐点”. 经过探究发现: 任何一个三次函数都 有 “拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且 “拐点” 就是对称中心. 已知函数 ，则（    ） A．函数 有三个零点 B．函数 有两个极值点 C．点 是曲线 的对称中心 D．方程 有三个不同的实数根 【答案】BCD 【分析】利用导数研究的单调性，根据零点的定义与存在性定理即可判断A；根据极值点的定义即可判断B；根据拐点的定义即可判断C；根据数形结合的思想即可判断D. 【详解】由得， 令或， 所以在单调递减，在、单调递增. A：因为， 所以在存在1个零点，故在R上有2个零点，故A错误； B：的极大值点为，极小值点为， 所以有2个极值点，故B正确； C：令，得，， 所以是的拐点，进而是的对称中心，故C正确； D：因为的极大值为，极小值为， 作出直线与函数的图象，如图， 由图可知，直线与函数的图象有3个交点， 所以方程有3个不同的实根，故D正确. 故选：BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．在的展开式中，项的系数为 . 【答案】 【分析】由，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为，， 所以的展开式中含的项为， 所以项的系数为. 故答案为： 13．已知随机变量服从正态分布，若，则 . 【答案】/ 【分析】根据正态分布的性质计算可得. 【详解】因为且， 所以， 所以. 故答案为： 14．已知函数，，若使不等式成立，的取值范围是 ． 【答案】． 【分析】将不等式恒成立转化为，构造函数并求出函数的最大值，即可得. 【详解】因为，使不等式成立， 则，即， 则问题转化为． 设，由， 令，得． 当在区间内变化时，，随的变化情况如下表： ＋ 0 － 单调递增 极大值 单调递减 由上表可知，当时，函数有极大值，即最大值为，所以． 故的取值范围是． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，若在区间上的最小值为，求a的值． 【详解】（1）当时，，则，，所以， 所以曲线在处的切线方程为：，即． （2），令，解得或， 当时，时，，则在上单调递减， 所以，考虑，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以的极大值为，所以由得； 当时，时，，则在上单调递减， 时，，则在上单调递增， 所以，则，不合题意； 当时，时，，则在上单调递减， 所以，不合题意； 综上，． 16．为了引导学生阅读世界经典文学名著，某学校举办“名著读书日”活动，每个月选择一天为“名著读书日”，并给出一些推荐书目.为了了解此活动促进学生阅读文学名著的情况，该校在此活动持续进行了一年之后，随机抽取了校内100名学生，调查他们在开始举办读书活动前后的一年时间内的名著阅读数量，所得数据如下表： 多于5本 少于5本 合计 活动前 35 65 100 活动后 60 40 100 合计 95 105 200 (1)试通过计算，判断是否有的把握认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用； (2)已知某学生计划在接下来的一年内阅读6本文学名著，其中4本国外名著，2本国内名著，并且随机安排阅读顺序.记2本国内名著恰好阅读完时的读书数量为随机变量，求的数学期望. 参考公式：. 临界值表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【详解】（1）由表中数据可知，， 所以有的把握认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用； （2）由题意可知，的可能取值为， 则， ， 所以. 17．若，请求值： (1)； (2)； (3). 【详解】（1）令得； （2）等于的展开式的各个项系数的和， 令代入， 则 （3）令，. 则， 且， 令，则， 且， 所以. 18．某歌手选秀节目，要求参赛歌手先参加初赛．歌手晋级与否由A、B、C三名导师负责．首先由A、B两位导师对歌手表现进行初评，若两位老师均表示通过，则歌手晋级；若均表示不通过，则歌手淘汰；若只有一名导师表示通过，则由老师C进行复合审查，复合合格才能通过；并晋级．已知每个歌手通过A、B、C三位导师审核的概率分别为，，，且各老师的审核互不影响． (1)在某歌手通过晋级的条件下，求他（她）经过了复合审查的概率； (2)从参赛歌手中选出3人，设其中通过晋级的人数为X，求X的分布列和数学期望． 【详解】（1）设事件A＝{A老师表示通过}，事件B＝{B老师表示通过}，事件C＝{C老师表示通过}，事件D＝{歌手通过晋级}，事件E＝{歌手经过复审}， 则，，， ，因此， 所以在某歌手通过晋级的条件下，求他（她）经过了复合审查的概率为． （2）依题意，X的可能取值为0，1，2，3，显然，， 则， ， 所以X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 数学期望为． 19．已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)在（2）的条件下，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围． 【详解】（1）因为，所以． 所以． 所以，． 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）因为，定义域为， 所以． 因为，令，即， 解得，，所以． 当x变化时，，的变化情况如下表所示． x 2 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 所以的单调递减区间为和，单调递增区间为． （3）在（2）的条件下，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 因为对于任意，不等式成立， 所以，，． 所以，得，，得； ，得． 因为， 所以． 所以a的取值范围是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$