1.9特殊平行四边形的最值问题（特色专题培优提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

1.9特殊平行四边形的最值问题 （特色培优提分练） 一、单选题 1．（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是，上的动点，M，N分别是，的中点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． （第1题） （第2题） （第3题） 2．（22-23八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，已知正方形的边长为4，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（21-22九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是（    ） A．5 B．10 C．12 D．14 4．（20-21·全国·期末）如图，为正方形内一动点，，为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． （第4题） （第5题） （第6题） 5．（2021·广西·二模）如图，在矩形中，，，点E为中点，P、Q为边上两个动点，且，当四边形周长最小时，的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（20-21九年级上·河南焦作·阶段练习）如图，在边长为6的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 7．（20-21八年级上·广东深圳·期中）如图，正方形的两边在坐标轴上，，，点P为OB上一动点，的最小值是（    ） A．8 B．10 C． D． （第7题） （第8题） （第9题） 8．（23-24·湖北十堰·期中）如图，正方形的边长为12，点E、F分别为、上动点（E、F均不与端点重合），且，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（    ） A．12 B．13 C． D． 9．（22-23·湖南湘西·期中）如上图所示，矩形，，，点是边上的一个动点，点是对角线上一个动点，连接，，则的最小值是（    ） A．6 B． C．12 D． 10．（22-23·江苏扬州·期末）如图，在正方形中，点E、F、G分别在、、上，，，，，与交于点P．连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 11．（2023九年级·全国·专题练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，BC=12，∠ABC=60°，E，F是AD边上的动点，且EF=2，则四边形BEFC周长的最小值为 ． （第11题） （第12题） （第13题） 12．（22-23九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，在矩形中，，，E为上一点，且，F为上一个动点，连接，将绕点E顺时针旋转到位置，连接和，则的最小值为 ． 13．（22-23·福建福州·阶段练习）如图，在边长为2的等边中，是上一动点，连接，以、为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为 ． 14．（2024·河南郑州·三模）在正方形中，，O为上一点，且，将线段绕点O逆时针旋转（旋转角小于），得到线段，连接并延长，交边于点P，则点D到的最小距离为 ． （第14题） （第15题） （第16题） 15．（2024·陕西渭南·三模）如图，在四边形中，，，，点、分别在边、上，连接，点为的中点，连接，若，则的最小值为 ． 16．（23-24·山东聊城·期中）如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且为对角线上一点，则的最大值为 ． 17．（2022·黑龙江大庆·模拟预测）如图，在矩形中，，，为中点，为边上一动点，将沿折叠，得到，则的最小值为 ． 18．（2020九年级·河北唐山·学业考试）如图，在长方形中，是的中点，是上任意一点．若，，则的最小值为 ，最大值为 ． 三、解答题 19．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，连接PE，PB． (1)在AC上找一点P，使△BPE的周长最小（作图说明）； (2)求出△BPE周长的最小值． 20．（21-22·湖北武汉·期中）如图，正方形中，点为边的上一动点，作交、分别于、点，连．    (1)若点E为的中点，求证：F点为的中点； (2)若点E为的中点，，，求的长； (3)若正方形边长为4，直接写出的最小值________． 21．（2021·山东济宁·一模）如图，菱形的边长为，，点是边上任意一点(端点除外)，线段的垂直平分线交，分别于点，，，的中点分别为，． (1)求证：； (2)求的最小值． 22．（21-22·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作交CB的延长线于点G． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，四边形DEBF是菱形（不需要证明） (3)请利用备用图分析，在（2）的条件下，若，，点M为BF的中点，当点P在BD边上运动时，求的最小值． 23．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，四边形为平行四边形，延长到点，使，且． (1)求证：四边形为菱形； (2)若是边长为2的等边三角形，点、、分别在线段、、上运动，求的最小值． 24．（20-21·广西河池·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，将沿所在直线折叠，得到． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，是边上的动点，是边上的动点，那么的最小值是多少？ 25．（2022·重庆北碚·模拟预测）已知正方形的边长为4，为等边三角形，点E在边上，点F在边的左侧． (1)如图1，若D，E，F在同一直线上，求的长； (2)如图2，连接，并延长交于点H，若，求证： (3)如图3，将沿翻折得到，点Q为的中点，连接，若点E在射线上运动时，请直接写出线段的最小值． 26．（2024·陕西西安·三模）【问题背景】 （1）如图1，四边形是平行四边形，，则的度数为______； 【问题探究】 （2）如图2，是等腰直角三角形，，，连接，延长至点E，使得，连接，那么与相等吗？请说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，四边形是某公园的一片空地，在上的点D处有一凉亭，公园规划人员计划铺设四条小路（小路宽度忽略不计），将这块空地分割成四部分，分别种植不同的鲜花供游客欣赏，已知，，，，其中四边形区域是平行四边形，求小路的长．    ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.9特殊平行四边形的最值问题 （特色培优提分练） 一、单选题 1．（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是，上的动点，M，N分别是，的中点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先证明出是的中位线，得出，然后由正方形的性质和勾股定理得到，证明出当最大时，最大，此时最大，进而得到当点和点重合时，最大，即的长度，最后代入求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ，分别是，的中点， 是的中位线， ， 四边形是正方形，， ， 当最大时，最大，此时最大， 点是上的动点， 当点和点重合时，最大，即的长度， 此时， ， 的最大值为． 故选B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 2．（22-23八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，已知正方形的边长为4，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线对称，连接交于点，即为所求，在中利用勾股定理即可求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴点B与D关于直线对称， 连接交于点，连接， 则， ， 当B、N、M三点共线时，取得最小值， 则即为所求的点， 则的长即为的最小值， ∵四边形是正方形， ∴是线段的垂直平分线， 又， 在中，， 故的最小值是5． 故选：C． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，根据点B与点D关于直线对称，可知的长即为的最小值是解答此题的关键． 3．（21-22九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是（    ） A．5 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小． ∵四边形ABCD是正方形， ∴B、D关于AC对称， ∴PB=PD， ∴PB+PE=PD+PE=DE． ∵BE=2，AE=3BE， ∴AE=6，AB=8， ∴AD=8， ∴DE==10， 故PB+PE的最小值是10． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段最短的性质得出． 4．（20-21八年级下·全国·期末）如图，为正方形内一动点，，为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接MN，根据三角形中位线的性质可求出MN的长度，然后根据三角形三边关系即可求出CM的最小值． 【详解】解：因为，为的中点， 取的中点，连接MN，CN， 易得， 所以. 在点的运动过程中，的值不变， 因为， 当，，三点在同一条直线上时，最小， 此时． 故选：D 【点睛】此题考查了三角形中位线的性质和三角形三边的关系，解题的关键是由题意作出辅助线． 5．（2021·广西·二模）如图，在矩形中，，，点E为中点，P、Q为边上两个动点，且，当四边形周长最小时，的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】四边形周长等于,其中为定值，即求最小值，，作F关于BC的对称点,当共线时最小，此时的P位置即为所求． 【详解】解：如图：四边形周长等于, 作使 则， 作F关于BC的对称点,连接，交于点 四边形周长=，其中为定值， 当共线时最小，即四边形周长最小 四边形是矩形，， 则 ，    故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，将军饮马，线段和最小值问题，相似三角形的性质与判定，正确的作出辅助线，转化未知线段为已知线段的长是解题的关键． 6．（20-21九年级上·河南焦作·阶段练习）如图，在边长为6的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】A 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，点B关于AC的对称点是点D，连接ED，EF+BF最小值等于ED的长，然后解直角三角形即可求解． 【详解】解：如图，连接BD， ∵菱形ABCD中，∠DAB=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∵在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分， ∴点B、D关于AC对称， 如图，连接ED，则ED的长就是所求的EF+BF的最小值， ∵E为AB的中点，∠DAB=60°， ∴DE⊥AB， ∴ED=， ∴EF+BF的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质和解直角三角形，关键是判断出ED的长就是所求的EF+BF的最小值． 7．（20-21八年级上·广东深圳·期中）如图，正方形的两边在坐标轴上，，，点P为OB上一动点，的最小值是（    ） A．8 B．10 C． D． 【答案】C 【分析】先找到点A关于OB的对称点C，连结CD交OB于点P′，当点P运动到P′时PA+PD最短，在Rt△COD中用勾股定理求出CD即可． 【详解】正方形ABCO， A、C两点关于OB对称， 连接CD，交OB于， ， ， 当C、P、D三点共线时，取最小值， ，， ， 故选择：C． 【点睛】本题考查动点问题，掌握正方形的性质，与轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理，会利用对称性找对称点，会利用P、C、D三点一线最短，会用勾股定理求出最短距离是解题关键． 8．（23-24八年级下·湖北十堰·期中）如图，正方形的边长为12，点E、F分别为、上动点（E、F均不与端点重合），且，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（    ） ， A．12 B．13 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理等知识．确定和最小值时的情况是解题的关键． 作点E关于的对称点，连接，过F作于点G，当、P、F三点共线时，，此时最小，即为所求，由题意确定在边上，证明四边形是矩形，则，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点，连接，过F作于点G， ，， 当、P、F三点共线时，，此时最小，即为所求， 四边形是正方形， ， 点在边上， ，， 四边形是矩形， ， ， ， 由勾股定理得，， 的最小值是13 故选：B． 9．（22-23八年级下·湖南湘西·期中）如上图所示，矩形，，，点是边上的一个动点，点是对角线上一个动点，连接，，则的最小值是（    ）    A．6 B． C．12 D． 【答案】B 【分析】作点关于的对称点，过点作于点，交于点，即可得到的最小值为，再解直角三角形即可解答． 【详解】解：作点关于的对称点，过点作于点，交于点，如图：    由对称性可得， ， 当，，三点共线，且时，即点在点处，点在点处时，的值最小． ，， ，， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形的性质和线段和最小值问题，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，解题的关键在于作出适当的辅助线． 10．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，在正方形中，点E、F、G分别在、、上，，，，，与交于点P．连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，取的中点，连接、，根据正方形的性质证明≌，然后根据直角三角形性质可得，当、、共线时，有最小值，根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点，取的中点，连接、，      四边形是正方形， ，，， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形，是的中点， ， ，， ， ， ， 当、、共线时，有最小值， ，， ， ， 的最小值为． 故选A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边关系，在几何证明中常利用三角形的三边关系解决线段的最值问题，解题的关键是得到≌． 二、填空题 11．（2023九年级·全国·专题练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，BC=12，∠ABC=60°，E，F是AD边上的动点，且EF=2，则四边形BEFC周长的最小值为 ． 【答案】14+2 【详解】如图，将点B沿BC向右平移2个单位长度得到点B'，作点B'关于AD的对称点B″，连接CB″，交AD于点F，在AD上截取EF=2，连接BE，B'F， ∴BE=B'F，B″F=B'F，此时四边形BEFC的周长为BE+EF+FC+BC=B″F+EF+FC+BC=B″C+EF+BC．当点C，F，B″三点共线时，四边形BEFC的周长最小．∵AB=4，BB'=2，∠ABC=60°，∴B'B″经过点A，∴AB'=2，∴B'B″=4． ∵BC=12，∴B'C=10，∴B″C=2，∴B″C+EF+BC=14+2，∴四边形BEFC周长的最小值为14+2． 12．（22-23九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，在矩形中，，，E为上一点，且，F为上一个动点，连接，将绕点E顺时针旋转到位置，连接和，则的最小值为 ．    【答案】4 【分析】由旋转的性质可得，，，由“”可证，可得，可得点在直线HG上运动，则当时，有最小值为，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转30度，得到，连接HG，过点作于，过点作于，     将绕着点顺时针旋转到的位置，将绕点顺时针旋转30度，得到， ，，， ， 在和中， ， ， ， 点在直线HG上运动， 当时，有最小值为， ，， ， ，， 四边形是矩形， ， ，， ， ，， ，， ， 的最小值为4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 13．（22-23八年级下·福建福州·阶段练习）如图，在边长为2的等边中，是上一动点，连接，以、为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为 ． 【答案】 【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当时，线段取最小值． 【详解】解：如图，与相交于点， 在中，， 四边形是平行四边形， ，． 当取最小值时，线段最短，此时． 点是的中点， ， ，，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，以及垂线段最短．解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质． 14．（2024·河南郑州·三模）在正方形中，，O为上一点，且，将线段绕点O逆时针旋转（旋转角小于），得到线段，连接并延长，交边于点P，则点D到的最小距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了四边形中的最值问题，涉及三角形的面积，轨迹圆，四边形的性质，熟练掌握轨迹圆求最值是解题的关键．过点作于点，先利用等面积法得，可知当最大时，最小，再利用轨迹圆得出最大值的位置，计算即可． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，， 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最小， ∵， ∴点在以为圆心，为半径的圆上，如图， 当与相切时，最大， 由得此时最大， 由相切得， ∴， ∴， 即， 解得：， 所以此时， 故答案为：． 15．（2024·陕西渭南·三模）如图，在四边形中，，，，点、分别在边、上，连接，点为的中点，连接，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，最值问题，勾股定理，解题的关键是灵活运用这些知识．连接，根据题意可证明，得到，根据勾股定理可求出，当时，有最小值，最后利用等面积法求解即可． 【详解】解：连接， ，，， ，， ， 当，且点在上时，有最小值， ， ， 解得：， 的最小值为， 故答案为：． 16．（23-24八年级下·山东聊城·期中）如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且为对角线上一点，则的最大值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的判定与性质，最值问题等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．以为对称轴作N的对称点，连接，根据对称性质可知，，由此可得，当三点共线时，取“”，此时即的值最大，由正方形的性质求出的长，继而可得，，再证明，可得，，判断出为等腰直角三角形，求得长即可得答案． 【详解】解：如图，以为对称轴作N的对称点，连接，    根据轴对称性质可知，， ∴，当三点共线时，取“”， ∵在正方形中，， ， ∴， ∵O为中点， ∴， ∵N为中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故答案为：2． 17．（2022·黑龙江大庆·模拟预测）如图，在矩形中，，，为中点，为边上一动点，将沿折叠，得到，则的最小值为 ．      【答案】8 【分析】首先根据题意得到点在以点M为圆心，以5为半径的圆上，连接交于点，得到当点M，，C三点共线时，有最小值，即的长度，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】如图所示，    ∵为中点，， ∴， ∵将沿折叠，得到， ∴， ∴点在以点M为圆心，以5为半径的圆上， 连接交于点， ∴当点M，，C三点共线时，有最小值，即的长度， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴的最小值为8． 故答案为：8． 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，圆的概念，解题的关键是得出的轨迹是圆． 18．（2020九年级·河北唐山·学业考试）如图，在长方形中，是的中点，是上任意一点．若，，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查线段的和差，线段最短，最长的计算方法，掌握两点之间线段最短，勾股定理的运用是解题的关键． 根据题意，当时，线段的值最小；当点与点（或点）重合时，线段的值最大，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴当的值最小时，的值最小； 当的值最大时，的值最大； ∴①如图所示，当时，的值最小， ∵四边形是长方形，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最小值为：， 故答案为：； ②如图所示，当点与点（或点）重合时，线段的值最大， ∵四边形是长方形， ∴，，且， ∴， ∴， ∴的最大值为：， 故答案为：． 三、解答题 19．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，连接PE，PB． (1)在AC上找一点P，使△BPE的周长最小（作图说明）； (2)求出△BPE周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）连接DE，交AC于点P′，连接BP′，当点P在点P′处时，△BPE的周长最小．理由：证明△AB P′≌△AD P′，即可求解； （2）根据（1）可得P′B＋P′E＝DE．再由AE＝3BE，可得AE＝6．从而得到AD＝AB＝8．再由勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接DE，交AC于点P′，连接BP′，当点P在点P′处时，△BPE的周长最小． 理由：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAC=∠DAC， ∵AP′=AP′， ∴△ABP′≌△ADP′， ∴BP′=DP′， ∴BP+PE= DP′+ P′E≥DE， 即当点P位于PP′时，△BPE的周长PB+EP+BE最小； （2）解：由（1）得：B P′=DP′， ∴P′B＋P′E＝DE． ∵BE＝2，AE＝3BE， ∴AE＝6． ∴AD＝AB＝8． ∴DE＝＝10． ∴PB＋PE的最小值是10． ∴△BPE周长的最小值为10＋BE＝10＋2＝12． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，最短距离，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 20．（21-22八年级下·湖北武汉·期中）如图，正方形中，点为边的上一动点，作交、分别于、点，连．    (1)若点E为的中点，求证：F点为的中点； (2)若点E为的中点，，，求的长； (3)若正方形边长为4，直接写出的最小值________． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3) 【分析】（1）证明，推出，由，，推出，即可证明点为的中点； （2）延长到，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质即可解决问题． （3）取的中点，连接，，由直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，当、、共线时，的值最小，则可求出答案． 【详解】（1）解：证明：如图1中，   四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 点为的中点； （2）延长到，使得，连接，   ， ， 又，分别是，的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． （3）取的中点，连接，，   ， ， ， 、、共线时，的值最小，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 21．（2021·山东济宁·一模）如图，菱形的边长为，，点是边上任意一点(端点除外)，线段的垂直平分线交，分别于点，，，的中点分别为，． (1)求证：； (2)求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据FG垂直平分CE和菱形的对称性即可得到，，从而求证结论； （2）利用M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE的中点，即可得到，当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，最小，此时最小，结合已知推断为等边三角形，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 垂直平分， ， 四边形为菱形， 和关于对角线对称， ， ； （2）解：连接， 和分别是和的中点，点为中点， ，即 当点与菱形对角线交点重合时，最小， 即此时最小， 菱形边长为，， 为等边三角形，， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，中位线的性质、等边三角形性质的知识，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用． 22．（21-22八年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作交CB的延长线于点G． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，四边形DEBF是菱形（不需要证明） (3)请利用备用图分析，在（2）的条件下，若，，点M为BF的中点，当点P在BD边上运动时，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)当∠ADB=90°时，四边形DEBF是菱形，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到DF=BE，AB∥CD，根据平行四边形的判定定理证明四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论； （2）根据矩形的判定定理得到四边形AGBD是矩形，根据直角三角形的性质得到ED=EB，证明结论； （3）连接EM交BD于P，根据轴对称的性质证明此时PF+PM的值最小，根据等边三角形的性质计算即可． 【详解】（1）解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∵E、F分别为边AB、CD的中点， ∴DF=BE，又AB∥CD， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴DE∥BF； （2）当∠ADB=90°时，四边形DEBF是菱形． 理由：∵∠ADB=90°，又E为边AB的中点， ∴ED=EB，又四边形DEBF是平行四边形， ∴四边形DEBF是菱形； （3）连接EF，连接EM交BD于P， ∵四边形DEBF是菱形， ∴点E和点F关于BD轴对称，此时PF+PM的值最小， ∵四边形DEBF是菱形，∠DEB=120°， ∴∠EBF=60°， ∴△BEF是等边三角形，又BE=2， ∴EM=，即PF+PM的最小值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查的是平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质，轴对称变换的性质以及等边三角形的性质的综合运用，掌握相关的判定定理和性质定理、正确作出辅助性是解题的关键． 23．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，四边形为平行四边形，延长到点，使，且． (1)求证：四边形为菱形； (2)若是边长为2的等边三角形，点、、分别在线段、、上运动，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据四边形为平行四边形的性质和证明四边形为平行四边形，再根据，即可得证； （2）先根据菱形对称性得，得到，进一步说明的最小值即为菱形的高，再利用三角函数即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 又∵点在的延长线上， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形． （2）解：如图，由菱形对称性得，点关于的对称点在上， ∴， 当、、共线时， ， 过点作，垂足为， ∵， ∴的最小值即为平行线间的距离的长， ∵是边长为2的等边三角形， ∴在中，，，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了最值问题，考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角函数等知识，运用了转化的思想方法．将最值问题转化为求菱形的高是解答本题的关键． 24．（20-21八年级下·广西河池·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，将沿所在直线折叠，得到． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，是边上的动点，是边上的动点，那么的最小值是多少？ 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据矩形的性质即可得到OC=OD，再根据翻折，即可得到四边相等，即可求证菱形； （2）作于，交于，证明OP=PE，所以转化为OP+PQ，当时，即OQ最短，即可解决． 【详解】解：（1）证明：四边形是矩形 与相等且互相平分 关于的对称图形为 ， 四边形是菱形 （2）解：作于，交于，则如图所示： 沿所在直线折叠，得到 ， 在中， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和最短路径问题，熟练菱形的判定方法以及最短路径的方法是解决本题的关键． 25．（2022·重庆北碚·模拟预测）已知正方形的边长为4，为等边三角形，点E在边上，点F在边的左侧． (1)如图1，若D，E，F在同一直线上，求的长； (2)如图2，连接，并延长交于点H，若，求证： (3)如图3，将沿翻折得到，点Q为的中点，连接，若点E在射线上运动时，请直接写出线段的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质和锐角三角函数可求出的长，即可； （2）先证明，可得，再由等边三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，从而得到，即可； （3）先求出点Q的轨迹，可得当时，有最小值，即可． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，延长，交于点G， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点E在线段上时，如图，取的中点N，连接， ∵将沿翻折得到， ∴， ∵点Q为的中点， ∴， ∴， ∴点Q在过线段的中点，且与成角的直线上移动， ∴当时，有最小值， 如图，延长，交于点H，连接， ∵点N是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴此时点E不在线段上， ∴点E在线段上时，， 综上所述，的最小值为． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 26．（2024·陕西西安·三模）【问题背景】 （1）如图1，四边形是平行四边形，，则的度数为______； 【问题探究】 （2）如图2，是等腰直角三角形，，，连接，延长至点E，使得，连接，那么与相等吗？请说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，四边形是某公园的一片空地，在上的点D处有一凉亭，公园规划人员计划铺设四条小路（小路宽度忽略不计），将这块空地分割成四部分，分别种植不同的鲜花供游客欣赏，已知，，，，其中四边形区域是平行四边形，求小路的长．    【答案】（1）50；（2）；（3） 【分析】（1）根据平行四边形邻角互补的性质即可求得答案； （2）由等腰直角三角形性质可得，，可证得，利用证得，即可得出； （3）连接、，延长交于，可证得，得出，，，进而证得四边形是圆内接四边形，得出，推出是等腰直角三角形，可得，运用勾股定理可得， 【详解】解：（1）四边形是平行四边形， ， ， ， 故答案为：50； （2），理由如下： 是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）如图，连接、，延长交于，   四边形是平行四边形， ，，， ，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，，， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， ，即， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 故小路的长为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆内接四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． ( 37 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$