1.8特殊平行四边形的动点问题（特色专题培优提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

· 1.8特殊平行四边形的动点问题 · （特色专题培优提分练） 一、单选题 1．（2023江苏·专题练习）1.如图，在矩形ABCD中，AD＝6，点P从点A以每秒2个单位长度的速度向点D运动，同时，点Q从点C以每秒1个单位长度的速度向点B运动．当点P到达点D时，P，Q停止运动．设运动时间为t秒，则当四边形PDCQ为矩形时，t的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（21-22八年级上·山东烟台·期末）如图，点O为矩形的对称中心，点E从点A出发沿向点B运动，移动到点B停止，延长EO交于点F，则四边形形状的变化依次为（    ）    A．矩形→菱形→平行四边形→矩形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 D．平行四边形→菱形→正方形→矩形 3．（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，在长方形中，已知，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若某时刻以A、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．2或 D．2或 4．（22-23·四川南充·期末）如图，四边形中，，．点从点A出发，以的速度向点D运动；点从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒，下列结论错误的是（    ）    A．当时， B．当时， C．当或时， D．当时，四边形的最大面积为 5．（2023·河北·二模）如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动.设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（    ）    A．当时，四边形为矩形 B．当时，四边形为平行四边形 C．当时， D．当时，或 6．（2022·浙江绍兴·一模）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状不可能是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．正方形 D．矩形 7．（2022·河南洛阳·一模）如图1，在矩形中，，点E为边的中点，点P为边上一个动点，连接．设的长为x，，其中y关于x的数图象如图2，则矩形的面积为（    ） A．15 B．24 C．35 D．36 8．（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，平面直角坐标系中，已知点，，，，动点从点出发，以每秒个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第次相遇点的坐标是（   ）      A． B． C． D． 9．（20-21·河北廊坊·期中）如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是BC上的一点且CE=3，连接DE，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿AB-BC-CD-DA向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是（   ） A．3.5 B．5.5 C．6.5 D．3.5或6.5 10．（20-21·浙江杭州·期末）如图，点P，Q分别是菱形的边，上的两个动点，若线段长的最大值为，菱形的边长为10，则线段长的最小值为（    ） A． B．8 C．6 D． 二、填空题 11．（22-23·河南驻马店·期末）如图在矩形中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当的面积为时，值为 ．    12．（22-23·河南郑州·期末）如图，在平行四边形中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C向点B运动．两个点同时出发，当点Q到达点B时停止运动（同时点P也停止运动）．当运动时间为 秒时，线段．    13．（22-23九年级上·四川达州·期中）在矩形中，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．那么 秒后四边形为矩形？ 14．（20-21·湖南永州·期中）如图，在菱形中，，°，点同时由两点出发，分别沿向点匀速移动（到点为止），点的速度为，点的速度为，经过秒为等边三角形，则的值为 ． 15．（22-23·北京顺义·期末）如图，在矩形中，分别是边上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中，①存在四边形是矩形；②存在四边形是菱形；③存在四边形是矩形；④存在四边形是正方形．所有正确结论的序号是 ．    16．（2023·湖北黄冈·二模）如图甲，在梯形中，，，动点P从点C出发沿线段向点D运动，到达点D即停止，若E、F分别是、的中点，设，的面积为y，则y与x的函数关系的图象如图乙所示，则梯形的面积为 ． 17．（20-21·江苏苏州·期中）如图，矩形中，，，动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段运动，动点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线段运动，已知P、Q同时开始移动，当动点P到达D点时，P、Q同时停止运动．设运动时间为t秒．若线段的中点为M，在整个运动过程中，写出点M运动路径的长度为 ． 18．（2022·江苏泰州·三模）如图，在矩形中，，，点P从点A出发，每秒个单位长度的速度沿方向运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线方向运动．已知P，Q两点同时出发，当点Q到达点A时，P，Q两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．在运动过程中，若将沿翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形，则运动时间t的值为 ． 三、解答题 19．（22-23·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，点，的坐标分别为，，动点从点A沿以每秒个单位的速度运动；动点从点沿以每秒个单位的速度运动，同时出发，当一个点到达终点后另一个点继续运动，直至到达终点，设运动时间为秒． (1)在时，点坐标______，点坐标______． (2)当为何值时，四边形是矩形？ 20．（22-23·甘肃庆阳·期中）如图，在四边形中，，，，，动点从开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿向点以的速度运动，，分别从点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动的时间为秒．      (1)为何值时，四边形为矩形？ (2)为何值时，四边形为平行四边形？ 21．（22-23·河南周口·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发沿边以的速度向点移动；同时，点从点出发沿边以的速度向点移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为．    (1)_____，____；（用含的式子表示） (2)当时，四边形是哪种特殊四边形？请说明理由； (3)当时，四边形是哪种特殊四边形？请说明理由． 22．（23-24·安徽六安·阶段练习）如图，在矩形中，，点P与点Q同时出发，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止，点P，Q的速度都是，连接，设点P，Q的运动时间为． (1)求当t为何值时，四边形是正方形； (2)求当t为何值时，； (3)当四边形的面积为时，求矩形的周长与四边形的周长的比值． 23．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动 (1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？ (2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是？ 24．（20-21·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为矩形，，．点E是的中点，动点M在线段上以每秒2个单位长度的速度由点A向点B运动（到点B时停止）．设动点M的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)若四边形是平行四边形，请判断四边形的形状，并说明理由； (3)在线段上是否存在一点N，使得以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 25．（23-24·重庆忠县·期中）如图，在平面直角坐标系中，点B为原点，有一个，，，，点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时．过点D作于点F，连接． (1)求证：． (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． (3)当t为何值时，为直角三角形？ 26．（23-24·湖南株洲·期中）如图，在菱形中，，菱形的面积为60，点从点出发沿折线向终点运动．过点作点所在的边（或）的垂线，交菱形其它的边于点，在的右侧作矩形． (1)求菱形的高． (2)如图1，点在上.求证：． (3)若，当过中点时，求的长． 27．（23-24·重庆铜梁·期中）如图，四边形中，，，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接．设运动时间为t秒． (1)________，________．（用含t的代数式表示） (2)当四边形为平行四边形时，求t的值． (3)如图，当M和N在运动的过程中，是否存在某时刻t，使为直角三角形，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ · 1.8特殊平行四边形的动点问题 · （特色专题培优提分练） 一、单选题 1．（2023·江苏·专题练习）1.如图，在矩形ABCD中，AD＝6，点P从点A以每秒2个单位长度的速度向点D运动，同时，点Q从点C以每秒1个单位长度的速度向点B运动．当点P到达点D时，P，Q停止运动．设运动时间为t秒，则当四边形PDCQ为矩形时，t的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得PD=CQ，列出方程可求解． 【详解】解：∵四边形PDCQ为矩形， ∴PD＝CQ， ∴6﹣2t＝t， ∴t＝2， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，矩形的性质，找到正确的数量关系列出方程式解题的关键． 2．（21-22八年级上·山东烟台·期末）如图，点O为矩形的对称中心，点E从点A出发沿向点B运动，移动到点B停止，延长EO交于点F，则四边形形状的变化依次为（    ）    A．矩形→菱形→平行四边形→矩形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 D．平行四边形→菱形→正方形→矩形 【答案】B 【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况：这个四边形先是平行四边形，当对角线互相垂直时是菱形，然后又是平行四边形，最后点E与点B重合时是矩形． 【详解】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，根据EF与AC的位置关系即可求解． 3．（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，在长方形中，已知，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若某时刻以A、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．2或 D．2或 【答案】D 【分析】本题考查了特殊四边形的动点问题，全等三角形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．设运动时间为，由题意得可知，，，，分两种情况讨论：①；②，利用全等三角形的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得：，，则， ①若，则，， ，， ，； ②若，则，， ，， 解得：， ， 解得：a＝， 综上，a的值为2或． 故选：D． 4．（22-23·四川南充·期末）如图，四边形中，，．点从点A出发，以的速度向点D运动；点从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒，下列结论错误的是（    ）    A．当时， B．当时， C．当或时， D．当时，四边形的最大面积为 【答案】C 【分析】根据点、点的速度及、的长，分别用表示出、、、的长，根据值，利用平行四边形及矩形的判定定理可判断、选项正确，利用选项的结论、矩形的性质及勾股定理可判断选项错误，根据梯形的面积公式及一次函数的性质可判断选项正确，即可得答案． 【详解】∵点的速度为，点的速度为，， ∴，，，， 当时，，， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴，故选项正确，不符合题意， 如图，过点作于，    ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 当时，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，故选项正确，不符合题意， 由选项可知：当时，四边形是平行四边形， ∴， 如图，当时，过点作于，    ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，故选项错误，符合题意， ∵，， ∴， ，， ∵其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，四边形的面积最大，最大面积为，故选项正确，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查四边形中的动点问题、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理及一次函数的性质，正确表示出各线段的长，熟练掌握平行四边形、矩形的判定定理及一次函数的性质是解题关键． 5．（2023·河北·二模）如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动.设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（    ）    A．当时，四边形为矩形 B．当时，四边形为平行四边形 C．当时， D．当时，或 【答案】D 【分析】对于选项A、B，分别计算当与时相应线段的长度结合平行四边形的判定方法判断即可；对于C、D选项，作，垂足分别为E、F，如图，证明，得出，进而得出关于t的方程，解方程判定即可. 【详解】解：当时，，cm，， ∴， ∴四边形不为矩形，故选项A结论错误； 当时，，，cm， ∴， ∴四边形不为平行四边形，故选项B结论错误； 当时，作，垂足分别为E、F，如图， ∵， ∴， ∴四边形都是矩形， ∴， ∴当时，，， ∴， ∵， ∴， 解得：或，故选项C错误、选项D正确； 故选：D.    【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、善于动中取静是解题的关键. 6．（2022·浙江绍兴·一模）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状不可能是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．正方形 D．矩形 【答案】C 【分析】根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况，由此可得结论． 【详解】解：连接AC，∵四边形ABCD是矩形， ∴ AO＝CO，CDAB， ∴∠OAE＝∠OCF， ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形， 当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形， 当点E和点B重合时，四边形AECF是矩形， 可知四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形，不可能是正方形， 故选：C． 【点睛】考查了全等三角形的判定和性质、矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，根据EF与AC的关系即可求解． 7．（2022·河南洛阳·一模）如图1，在矩形中，，点E为边的中点，点P为边上一个动点，连接．设的长为x，，其中y关于x的数图象如图2，则矩形的面积为（    ） A．15 B．24 C．35 D．36 【答案】B 【分析】根据矩形的性质，结合图2，得，代入相关数据，求解得AB、AD，即可求矩形的面积； 【详解】解：结合图2 当x=0时， 当P、E重合时，， 设 则即 解得：（不符合题意舍去）， ∴ ∴ ∴ 故选：B 【点睛】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、掌握相关性质，并结关系图求出矩形的面积是解题的关键． 8．（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，平面直角坐标系中，已知点，，，，动点从点出发，以每秒个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第次相遇点的坐标是（   ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为和，、的速度和是，求得每一次相遇的地点，然后找出规律即可解答． 【详解】解：，，，， ，，即， 经过秒钟时，与在处相遇， 接下来两个点走的路程为的倍数时，两点相遇， 第二次相遇在的中点， 第三次相遇在， 第四次相遇在 第五次相遇在， 第六次相遇在点 每五次相遇点重合一次， ， 即第次相遇点的坐标与第一次相遇点的坐标重合，即． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了行程问题中的相遇问题，通过计算发现规律是解答问题的关键． 9．（20-21·河北廊坊·期中）如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是BC上的一点且CE=3，连接DE，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿AB-BC-CD-DA向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是（   ） A．3.5 B．5.5 C．6.5 D．3.5或6.5 【答案】D 【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BM=2t-4=3和AM=16-2t=3即可求得． 【详解】解：如图，当点M在BC上时， ∵△ABM′和△DCE全等， ∴BM=CE， 由题意得：BM′=2t-4=3， 所以t=3.5（秒）； 当点M在AD上时， ∵△ABM″和△CDE全等， ∴AM″=CE， 由题意得：AM″=16-2t=3， 解得t=6.5（秒）． 所以，当t的值为3.5秒或6.5秒时．△ABM和△DCE全等． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定，解题的关键是掌握正方形的性质． 10．（20-21·浙江杭州·期末）如图，点P，Q分别是菱形的边，上的两个动点，若线段长的最大值为，菱形的边长为10，则线段长的最小值为（    ） A． B．8 C．6 D． 【答案】B 【分析】过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，由题意可得当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC=，利用勾股定理求出AH，再由当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线CD，直线AB的距离为8，即CH的长． 【详解】解：如图，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB=BC， ∵点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点， ∴当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC=， ∵菱形的边长为10，即AB=BC=10， 设BH=x，则AH=10+x， 则， 即， 解得：x=6， ∴AH=16， ∴CH==8， 当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线CD，直线AB的距离为8，即CH=8， 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键． 二、填空题 11．（22-23·河南驻马店·期末）如图在矩形中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当的面积为时，值为 ．    【答案】6或11/11或6 【分析】分在上、在上两种情况，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：①当在上时， 的面积等于， ， 解得：； ②当在上时， 的面积等于， ， ， 解得：； 综上所述，的值为6或11， 故答案为：6或11． 【点睛】本题考查了矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握矩形的性质，分情况讨论是解题的关键． 12．（22-23·河南郑州·期末）如图，在平行四边形中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C向点B运动．两个点同时出发，当点Q到达点B时停止运动（同时点P也停止运动）．当运动时间为 秒时，线段．    【答案】3 【分析】根据平行四边形的性质，得出，，根据，得出四边形为平行四边形，证明，设运动时间为x秒，则，，得出，解方程即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 设运动时间为x秒，则，， ∴， 解得：， 即当运动时间为3秒时，线段． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定得出． 13．（22-23九年级上·四川达州·期中）在矩形中，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．那么 秒后四边形为矩形？ 【答案】5 【分析】设动点的运动时间为秒，根据题意得，，根据矩形的对边相等，求出的值，即可解决问题． 【详解】解：设动点的运动时间为秒， 由题意得：，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ 解得． 即当秒时，四边形是矩形． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了矩形的性质，解题的关键是灵活运用矩形的性质． 14．（20-21·湖南永州·期中）如图，在菱形中，，°，点同时由两点出发，分别沿向点匀速移动（到点为止），点的速度为，点的速度为，经过秒为等边三角形，则的值为 ． 【答案】 【分析】延长AB至M，使BM=AE，连接FM，证出△DAE≌△EMF，得到△BMF是等边三角形，再利用菱形的边长为5求出时间t的值． 【详解】解：延长AB至M，使BM=AE，连接FM， ∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°， ∴AB=AD，∠A=60°， ∵BM=AE， ∴AD=ME， ∵△DEF为等边三角形， ∴∠DAE=∠DFE=60°，DE=EF=FD， ∴∠MEF+∠DEA═120°，∠ADE+∠DEA=180°-∠A=120°， ∴∠MEF=∠ADE， ∴在△DAE和△EMF中， ∴△DAE≌EMF（SAS）， ∴AE=MF，∠M=∠A=60°， 又∵BM=AE， ∴△BMF是等边三角形， ∴BF=AE， ∵AE=t，CF=2t， ∴BC=CF+BF=2t+t=3t， ∵BC=5， ∴3t=5， ∴t=， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是运用三角形全等得出△BMF是等边三角形． 15．（22-23·北京顺义·期末）如图，在矩形中，分别是边上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中，①存在四边形是矩形；②存在四边形是菱形；③存在四边形是矩形；④存在四边形是正方形．所有正确结论的序号是 ．    【答案】①②③ 【分析】设两点速度为每秒1个单位长度，则，，由题意可得四边形是平行四边形，再利用矩形，菱形，正方形的性质分别进行求解即可． 【详解】解：设两点速度为每秒1个单位长度，则，， ∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， 当时，点与点重合，点与点重合，此时四边形是矩形，故①正确； 当四边形是菱形时，， 则，解得：，符合题意， 即：当时，四边形是菱形，故②正确； 当四边形是矩形时，，则，解得， 即：当时，四边形是矩形，故③正确； 当四边形是正方形时，， 则，解得，但此时，不符合题意，故④不正确， 综上，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查动点问题，特殊四边形的存在问题，特殊四边形的性质等知识点，理解并熟练掌握相关图象的性质是解决问题的关键． 16．（2023·湖北黄冈·二模）如图甲，在梯形中，，，动点P从点C出发沿线段向点D运动，到达点D即停止，若E、F分别是、的中点，设，的面积为y，则y与x的函数关系的图象如图乙所示，则梯形的面积为 ． 【答案】20 【分析】先证明是的中位线，从而得出，再分两种情况计算面积：当时，点P与点C重合；当时，点P与点D重合；然后求和即可． 【详解】∵E、F分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵当时，点P与点C重合， ， ∵当时，点P与点D重合， ， ， ， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象在几何图形面积问题中的应用，数形结合并分段讨论是解题的关键． 17．（20-21·江苏苏州·期中）如图，矩形中，，，动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段运动，动点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线段运动，已知P、Q同时开始移动，当动点P到达D点时，P、Q同时停止运动．设运动时间为t秒．若线段的中点为M，在整个运动过程中，写出点M运动路径的长度为 ． 【答案】 【分析】分类讨论点Q在线段上和点Q在线段上时点M的轨迹，计算出轨迹即可． 【详解】解：①如图，点Q在线段上，过点O作于点K，过点Q作于点H， 矩形， ， ， ， ， ， ， ， 点M在线段上，当点P到达K点时，点Q到达O点，此时点M在点E处， 这时段点M的运动轨迹为； ②如图，点Q在线段上，取的中点，的中点M，连接，则点M的运动轨迹是线段， 在中，． 在整个过程中，点M的运动轨迹的长度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，中位线的性质，勾股定理，解决本题的关键是找到点Q和点P的轨迹之间的关系． 18．（2022·江苏泰州·三模）如图，在矩形中，，，点P从点A出发，每秒个单位长度的速度沿方向运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线方向运动．已知P，Q两点同时出发，当点Q到达点A时，P，Q两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．在运动过程中，若将沿翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形，则运动时间t的值为 ． 【答案】2 【分析】根据题意得：，过点Q作于点M，然后根据30°角直角三角形的性质得到，最后根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】根据题意得：， 如图所示，过点Q作于点M， ∵翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在，， ∴， 解得：或6（舍去）． 故答案为：2． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题 19．（22-23·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，点，的坐标分别为，，动点从点A沿以每秒个单位的速度运动；动点从点沿以每秒个单位的速度运动，同时出发，当一个点到达终点后另一个点继续运动，直至到达终点，设运动时间为秒． (1)在时，点坐标______，点坐标______． (2)当为何值时，四边形是矩形？ 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了矩形的判定、坐标与图形性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． （1）根据点、的坐标求出、、，再根据路程速度时间求出、，然后求出，即可得出结论； （2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，当时，四边形是矩形，然后列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ，，， 当时，，， ， 点，； 故答案为：；； （2）解：根据题意：，， 则， 当四边形是矩形时，， ， 解得：， 时，四边形是矩形． 20．（22-23·甘肃庆阳·期中）如图，在四边形中，，，，，动点从开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿向点以的速度运动，，分别从点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动的时间为秒．      (1)为何值时，四边形为矩形？ (2)为何值时，四边形为平行四边形？ 【答案】(1)当秒时，四边形为矩形 (2)当秒时，四边形为平行四边形 【分析】（1）根据，矩形的判定和性质，得，求出，即可； （2）根据平行四边形的判定和性质，得，求出，即可． 【详解】（1）∵， ∴， 当时，四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为矩形， ∵动点从开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿向点以的速度运动， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴当秒时，四边形为矩形． （2）∵， ∴， 当时，四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得：， ∴当秒时，四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查动点与几何的综合，矩形和平行四边形的知识，解题的关键是掌握矩形和平行四边形的判定和性质． 21．（22-23·河南周口·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发沿边以的速度向点移动；同时，点从点出发沿边以的速度向点移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为．    (1)_____，____；（用含的式子表示） (2)当时，四边形是哪种特殊四边形？请说明理由； (3)当时，四边形是哪种特殊四边形？请说明理由． 【答案】(1)； (2)四边形为矩形．理由见解析 (3)四边形为菱形．理由见解析 【分析】（1）根据点从点出发沿边以的速度向点移动；同时，点从点出发沿边以的速度向点移动，表示和的长； （2）当时，可得，根据，可判定四边形是平行四边形，再根据，即可得证； （3）当时，可得，根据，可判定四边形是平行四边形，进一步说明，即可得证． 【详解】（1）解：∵点从点出发沿边以的速度向点移动；同时，点从点出发沿边以的速度向点移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为， ∴，， ∵，，， ∴，， 故答案为：；； （2）四边形PBCQ为矩形． 理由如下： ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （3）四边形APQD为菱形． 理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定等，根据点的运动表示出和的长度是解题的关键． 22．（23-24·安徽六安·阶段练习）如图，在矩形中，，点P与点Q同时出发，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止，点P，Q的速度都是，连接，设点P，Q的运动时间为． (1)求当t为何值时，四边形是正方形； (2)求当t为何值时，； (3)当四边形的面积为时，求矩形的周长与四边形的周长的比值． 【答案】(1)当时，四边形是正方形； (2)当时； (3) 【分析】（1）设经过后四边形是正方形，则，，在矩形中，，，则当时，四边形是正方形，即，然后解方程即可解答； （2）由于，，得四边形为平行四边形，当时，四边形为菱形，，再利用勾股定理列方程求解即可； （3）四边形为平行四边形，四边形的面积为，即，解得，则，，再分别求矩形的周长与四边形的周长即可解答． 【详解】（1）解：∵ 在矩形中，， ，， 设经过后四边形是正方形，则，， 在矩形中，，， 当时，四边形是正方形， ∴，解得， ∴当时，四边形是正方形； （2）解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， ， ∵， ，解得， ∴当时； （3）解：∵四边形为平行四边形， ∴ 四边形的面积为，即，解得， ，， ∴四边形的周长， ∴矩形的周长， ∴矩形的周长与四边形的周长的比值为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定、平行四边形的判定和性质、菱形的判定及性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 23．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动 (1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？ (2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是？ 【答案】(1)5秒 (2)秒 【分析】本题主要考查了矩形中的动点问题，勾股定理， 对于（1），根据面积相等列出方程，求出解即可； 对于（2），作，再根据勾股定理列出方程，求出解. 【详解】（1）当运动时间为t秒时，，，依题意，得 ， 解得：． 答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形的面积为； （2）过点Q作于点M，如图所示． ∵，， ∴， 即， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：P，Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离第一次是． 24．（20-21·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为矩形，，．点E是的中点，动点M在线段上以每秒2个单位长度的速度由点A向点B运动（到点B时停止）．设动点M的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)若四边形是平行四边形，请判断四边形的形状，并说明理由； (3)在线段上是否存在一点N，使得以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6.5秒 (2)四边形是矩形，理由见解析 (3)线段存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形，t的值为12.5秒或6秒 【分析】（1）根据点C坐标可得，根据中点定义可得，根据矩形的性质可得，，根据平行四边形的性质可得，即可得出的长，根据点M的速度即可得答案； （2）如图，由（1）可得，可证明四边形是平行四边形，由可得四边形是矩形； （3）当点M在点N右侧时，根据菱形的性质可得，利用勾股定理可求出的长，进而可得出的长，根据点M的速度可求出t值；当点M在点N左侧时，则，利用勾股定理可求出的长，根据点M的速度即求得出t值，综上即可得答案． 【详解】（1）解：如图，∵四边形为矩形，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵动点的速度为每秒个单位长度， ∴（秒）． （2）解：如图，四边形是矩形； 理由如下：由（1）可知， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （3）解：如图，点M在点N右侧时， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）， 如图，点M在点N左侧时， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴（秒）， 综上所述：线段存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形，t的值为12.5秒或6秒． 【点睛】本题考查坐标与图形性质、矩形的判定与性质、菱形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理并灵活运用分类讨论的思想是解题关键． 25．（23-24·重庆忠县·期中）如图，在平面直角坐标系中，点B为原点，有一个，，，，点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时．过点D作于点F，连接． (1)求证：． (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． (3)当t为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1)见解析 (2)时，四边形为菱形，理由见解析 (3)或4时，为直角三角形． 【分析】（1）利用已知用未知数表示出的长，进而得出； （2）首先得出四边形为平行四边形，进而利用菱形的判定与性质得出时，求出t的值，进而得出答案； （3）分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时，分别分析得出即可． 【详解】（1）（1）证明：在中，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：四边形能够成为菱形． 理由如下： 设， ∵， ， ∴， ，即， 解得：， ∴． ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴四边形为平行四边形． 四边形为菱形， ，即， 解得：． 即当时，四边形为菱形． （3）解：当或4时，为直角三角形，理由如下： 分情况讨论： ①当时，，即， ∴． ②时，，即， ∴， ③时，此种情况不存在． 综上，当或4时，为直角三角形． 【点睛】此题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握 以上知识是解题的关键． 26．（23-24·湖南株洲·期中）如图，在菱形中，，菱形的面积为60，点从点出发沿折线向终点运动．过点作点所在的边（或）的垂线，交菱形其它的边于点，在的右侧作矩形． (1)求菱形的高． (2)如图1，点在上.求证：． (3)若，当过中点时，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)长为或 【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，分类讨论方法是解题的关键． （1）根据菱形的面积公式计算，即可； （2）由菱形性质可证，进而证明，即可得出结论； （3）记中点为点O．分点E在上和点E在上两种情况，求出，进而解题． 【详解】（1）解：∵，面积为60， ∴菱形的高为； 故答案为：6； （2）证明：如图1， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：记中点为点O， ①如图中，当点在上时，作．则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图中，当点在上时，作． 同理，，，， ∴， 综上所述，长为或． 27．（23-24·重庆铜梁·期中）如图，四边形中，，，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接．设运动时间为t秒． (1)________，________．（用含t的代数式表示） (2)当四边形为平行四边形时，求t的值． (3)如图，当M和N在运动的过程中，是否存在某时刻t，使为直角三角形，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或2 【分析】本题主要考查了四边形综合题，矩形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，运用数形结合、方程思想是解题的关键． （1）由，根据，即可求出；先证明四边形为矩形，得出，则； （2）根据四边形为平行四边形时，可得，解方程即可； （3）分两种情况：①当时，②当时，进行讨论即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， ， ， ∴四边形为矩形， ， 故答案为：； （2）∵当四边形为平行四边形时，， 根据（1）可算出， ∴， 解得． （3）由其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动可知，， ∵， ∴为等腰直角三角形，即：， 则也是等腰直角三角形， ， ∵此种情况不存在； ①当时，∵， ∴，为等腰直角三角形， 则， ∴， 解得； ②当时，∵， ∴，为等腰直角三角形， 则， ∴， 解得：； 综上，当或2时，为直角三角形． ( 35 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$