预习01 空间向量及其运算（八大考点）-2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019）

2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019） 预习01空间向量及其运算 一、空间向量的有关概念 1．空间向量的定义及表示 定义 在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量 长度或模 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模 表示方法 几何表示法 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模 符号表示法 若向量的起点是A，终点是B，则也可记作，其模记为或 2.几类特殊的空间向量 名称 方向 模 表示法 零向量 任意 0 记为 单位向量 1 或 相反向量 相反 相等 记为 共线向量 相同或相反 或 相等向量 相同 相等 或 二、空间向量的线性运算 1.空间向量的加减运算 加法运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 2.空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 与向量的方向相同 的长度是的长度的倍 与向量的方向相反 ，其方向是任意的 3.空间向量的运算律 交换律 结合律 ， 分配律 三、共线向量与共面向量 1.直线的方向向量 定义：把与平行的非零向量称为直线的方向向量． 2．共线向量与共面向量的区别 共线(平行)向量 共面向量 定义 位置关系 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 特征 方向相同或相反 特例 零向量与任意向量平行 充要条件 共线向量定理：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数使 共面向量定理：若两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 对空间任一点O， 空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有 四、空间向量的数量积运算 1.空间向量的夹角 如图，已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作， 夹角的范围：，特别地，如果，那么向量互相垂直，记作 2．空间向量的数量积 已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作，即． 零向量与任意向量的数量积为0，即. 3．数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 交换律 分配律 4．投影向量 在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量． 5．数量积的性质 若，为非零向量， 则（1）；（2）；（3），； （4）；（5） 考点01 空间向量的有关概念 【方法点拨】（1）判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素：大小和方向．两者缺一不可，相互制约；（2）两个向量相等，起点和终点未必相同，即起点和终点相同是两个向量相等的充分不必要条件． 【例1】（多选）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（    ） A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B．平行且模相等的两个向量是相等向量 C．若，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【例2】在正方体中，与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量满足，，则．其中正确的个数为（    ）． A． B． C． D． 【变式1-2】（多选）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D．同向且等长的有向线段表示同一向量 【变式1-3】如图，从长方体的八个顶点中任取两点作为向量的起点和终点： (1)写出所有与相等的向量； (2)写出的相反向量． 考点02 空间向量的线性运算 【方法点拨】结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． 【例3】如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，则（　　） A． B． C． D． 【例4】已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【变式2-1】如图，三棱柱中，，，，点为四边形的中心点，则（    ）    A． B． C． D． 【变式2-2】（多选）在平行六面体中，的重心为点，则（    ） A． B．若为的中点，则 C． D． 【变式2-3】如图，在正方体中，为其中心． （1）化简； （2）若，则可以是图中有向线段所示向量中的哪一个？（至少写出两个） 考点03 共线问题 【方法点拨】共线向量的充要条件：若，则存在唯一实数λ，使；若存在唯一实数，使，)，则 【例5】在平行六面体中，点P在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【例6】已知是空间的一个基底，若，，若，则（    ） A． B． C．3 D． 【变式3-1】在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则 ． 【变式3-2】已知三点共线，为直线外空间任意一点，若，求证：． 【变式3-3】在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，请判断与是否共线. 考点04 向量共面问题 【方法点拨】对空间任意四点，可通过证明下列结论来证明四点共面： （1）；（2）对空间任意一点. 【例7】（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例8】若空间四点满足，则（    ） A．直线 B．直线 C．点P可能在直线上，也可能不在直线上 D．直线，且 【变式4-1】（多选）已知是空间的一个基底，则可以与向量构成空间的一个基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知为空间任意一点，满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【变式4-3】已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则 ． 考点05 空间向量数量积的运算 【方法点拨】①利用定义：直接利用并结合运算律进行计算； ②利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算． 【例9】已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则与共线 C．若，则 D． 【例10】如图，各棱长都为的四面体中 ，，则向量（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，在斜三棱柱中，，，，则（    ） A．48 B．32 C． D． 【变式5-2】如图，在正三棱柱中，，P为的中点，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式5-3】（多选）正方体的棱长为1，体对角线与，相交于点，则（    ） A． B． C． D． 考点06 用空间向量的数量积解决夹角问题 【方法点拨】由公式可得，所以求两个向量的夹角可以先求解数量积及向量的模，再代入公式求解，注意：异面直线的夹角为不大于90°的角 【例11】空间四边形中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【例12】已知空间四边形中，，求的值. 【变式6-1】在平行六面体中，，，，，则（    ） A． B． C．0 D． 【变式6-2】如图，长方体的棱长，，．    (1)求； (2)求与所夹角的余弦值． 【变式6-3】如图，在平行六面体中，，且的两两夹角都是． (1)若，求线段的长度； (2)求直线与所成角的余弦值． 考点07 利用数量积证明空间垂直关系 【方法点拨】用向量法证明垂直关系的步骤：①把几何问题转化为向量问题；②用已知向量表示要证明向量；③结合数量积公式和运算律证明数量积为0. 【例13】设ABCD是空间四边形，求证：． 【例14】如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，点M，N分别是AB，CD的中点．证明：．    【变式7-1】在空间四面体中，，．求证：． 【变式7-2】如图，在平行六面体中，，，，M，N分别为，中点． (1)求的长； (2)证明：． 【变式7-3】如图，平行六面体的底面是菱形，且，，求证：平面． 考点08 用数量积求两点间距离 【方法点拨】利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算． 【例15】平行六面体 中，，， 则（    ） A． B． C． D． 【例16】已知平面和平面的夹角为，，已知A，B两点在棱上，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，则的长度为（    ） A． B． C． D．或 【变式8-1】如图，圆柱的底面半径为2，高为分别是上、下底面圆周上的两个点，若，则 . 【变式8-2】在平行六面体中，，，，，，则= 【变式8-3】如图，有一长方形的纸片，的长度为4 cm，的长度为3 cm，现沿它的一条对角线把它折叠成的二面角，则折叠后 ，线段的长是 cm. 一、单选题 1．已知平行六面体，则下列四式中错误的是（ ） A． B． C． D． 2．已知，，三点不共线，对空间任意一点，若，则可以得到结论是四点（    ） A．共面 B．不一定共面 C．无法判断是否共面 D．不共面 3．如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（　） A．1 B．2 C．4 D．8 4．如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是（　　）    A．30° B．45° C．60° D．90° 5．已知为正方形的中心，分别为的中点，若将正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．在平行六面体中，，则（    ） A．为棱的中点 B．为棱上更靠近的三等分点 C． D．平面 7．正方体的棱长为1，若动点P在线段，则可能的取值是（    ） A． B． C． D．2 三、填空题 8．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由确定的一点P与A，B，C三点共面，则 ． 9．空间四边形中，，，，且异面直线与成，则异面直线与所成角的大小为 . 10．在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是 ． 四、解答题 11．如图，在直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱，，的中点．    (1)求的值； (2)证明：C，E，F，G四点共面． 12．如图，平行六面体的底面是菱形，且，，． (1)求的长． (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 13．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形.侧棱的长为4，且.    (1)求的长； (2)求直线与所成角的余弦值. 14．在如图所示的斜三棱柱中，.    (1)设，，，用，，表示，； (2)若，，求的长. 15．等边三角形的边长为，将它沿平行于的线段折起，使平面平面，若翻折后的长为，求的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019） 预习01空间向量及其运算 一、空间向量的有关概念 1．空间向量的定义及表示 定义 在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量 长度或模 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模 表示方法 几何表示法 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模 符号表示法 若向量的起点是A，终点是B，则也可记作，其模记为或 2.几类特殊的空间向量 名称 方向 模 表示法 零向量 任意 0 记为 单位向量 1 或 相反向量 相反 相等 记为 共线向量 相同或相反 或 相等向量 相同 相等 或 二、空间向量的线性运算 1.空间向量的加减运算 加法运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 2.空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 与向量的方向相同 的长度是的长度的倍 与向量的方向相反 ，其方向是任意的 3.空间向量的运算律 交换律 结合律 ， 分配律 三、共线向量与共面向量 1.直线的方向向量 定义：把与平行的非零向量称为直线的方向向量． 2．共线向量与共面向量的区别 共线(平行)向量 共面向量 定义 位置关系 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 特征 方向相同或相反 特例 零向量与任意向量平行 充要条件 共线向量定理：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数使 共面向量定理：若两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 对空间任一点O， 空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有 四、空间向量的数量积运算 1.空间向量的夹角 如图，已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作， 夹角的范围：，特别地，如果，那么向量互相垂直，记作 2．空间向量的数量积 已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作，即． 零向量与任意向量的数量积为0，即. 3．数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 交换律 分配律 4．投影向量 在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量． 5．数量积的性质 若，为非零向量， 则（1）；（2）；（3），； （4）；（5） 考点01 空间向量的有关概念 【方法点拨】（1）判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素：大小和方向．两者缺一不可，相互制约；（2）两个向量相等，起点和终点未必相同，即起点和终点相同是两个向量相等的充分不必要条件． 【例1】（多选）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（    ） A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B．平行且模相等的两个向量是相等向量 C．若，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】BCD 【详解】对于选项A：由相等向量的定义知A正确； 对于选项B：平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，B错； 对于选项C：若两个向量不相等，但模长仍可能相等，例如不共线的单位向量，C错； 对于选项D：相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，D错， 故选：BCD． 【例2】在正方体中，与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】    如图所示，可知是的相反向量. 故选：A 【变式1-1】给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量满足，，则．其中正确的个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同，①错误； 对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量与的方向不一定相同，②错误； 对于③，根据正方体的性质，在正方体中，向量与向量的方向相同，模也相等，则，③正确； 对于④，由向量相等关系可知，④正确． 故选：C. 【变式1-2】（多选）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D．同向且等长的有向线段表示同一向量 【答案】BD 【详解】对于A：零向量的方向是任意的，A错误； 对于B：空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小，B正确； 对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量， 所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；D符合定义，正确. 故选：BD. 【变式1-3】如图，从长方体的八个顶点中任取两点作为向量的起点和终点： (1)写出所有与相等的向量； (2)写出的相反向量． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意可知，与相等的向量有； （2）解：由题意可知，与的相反向量有. 考点02 空间向量的线性运算 【方法点拨】结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． 【例3】如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A. 【例4】已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，图见解析 (2)，图见解析 (3)，图见解析 【详解】（1）， 向量如图所示，    （2）； 向量如图所示，    （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示，    【变式2-1】如图，三棱柱中，，，，点为四边形的中心点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，， 又，所以，    故选：A. 【变式2-2】（多选）在平行六面体中，的重心为点，则（    ） A． B．若为的中点，则 C． D． 【答案】AC 【详解】对于，设为的中点， 因为为的重心， 所以， 则 又，所以， 故，故A正确； 对于B，， 故，故B错误； 对于C，由A选项可知，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：AC． 【变式2-3】如图，在正方体中，为其中心． （1）化简； （2）若，则可以是图中有向线段所示向量中的哪一个？（至少写出两个） 【答案】（1）；（2）可以是中的任一个． 【详解】解：（1） ， （2）因为，所以 ． 所以，所以． 又因为， 所以可以是中的任一个． 考点03 共线问题 【方法点拨】共线向量的充要条件：若，则存在唯一实数λ，使；若存在唯一实数，使，)，则 【例5】在平行六面体中，点P在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， ， 所以有，因此， 故选：C 【例6】已知是空间的一个基底，若，，若，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【详解】，， 因为，所以存在实数，使， 所以， 所以， 所以，得，， 所以， 故选：C 【变式3-1】在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则 ． 【答案】/ 【详解】因为正方体中，， 设，又， 所以，即， 因为A、E、F三点共线，所以，解得，即. 故答案为：. 【变式3-2】已知三点共线，为直线外空间任意一点，若，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】由三点共线，得， 即． 整理得． 又因为， 所以． 所以． 【变式3-3】在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，请判断与是否共线. 【答案】证明见解析. 【详解】解：连接AC，取AC的中点G，连接EG、FG， ∵E、F分别为AB、CD的中点. ∴. 又∵E、F、G三点共面， ∴，即与共线.    考点04 向量共面问题 【方法点拨】对空间任意四点，可通过证明下列结论来证明四点共面： （1）；（2）对空间任意一点. 【例7】（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，故三个向量共面，故A符合题意； 对于B，假设，，共面， 则，使得， 故有，方程组无解，故假设不成立，即，，不共面； 故B不符合题意； 对于C，，故三个向量共面，故C符合题意； 对于D，，故三个向量共面，故D题意符合． 故选：ACD． 【例8】若空间四点满足，则（    ） A．直线 B．直线 C．点P可能在直线上，也可能不在直线上 D．直线，且 【答案】A 【详解】由于，所以四点共面， 由于，所以三点共线， 根据平行四边形法则可知：是线段上，靠近的三等分点（如下图所示）. 所以A选项正确，BCD选项错误. 故选：A 【变式4-1】（多选）已知是空间的一个基底，则可以与向量构成空间的一个基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A：因为，所以共面，故不符题意； 对于B：假设存在，使得， 即，此方程组无解，即不存在， 所以假设不成立，所以不共面，故符合题意； 对于C：假设存在，使得， 即，此方程组无解，即不存在 所以假设不成立，所以不共面，故符合题意； 对于D：因为，所以共面，故不符合题意； 故选：BC. 【变式4-2】已知为空间任意一点，满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】因为为空间任意一点，， 所以， 所以， 因为A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面， 所以，解得． 故选：C． 【变式4-3】已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则 ． 【答案】 【详解】四点共面且任意三点不共线，， ，． 故答案为： 考点05 空间向量数量积的运算 【方法点拨】①利用定义：直接利用并结合运算律进行计算； ②利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算． 【例9】已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则与共线 C．若，则 D． 【答案】B 【详解】对A，若，则，不能得出，故A错误； 对B，，当与存在零向量时，与共线成立； 当与均不为零向量时，，故夹角为或，则与共线，故B正确； 对C，若，则，不能得出，故C错误； 对D，，，故不成立，故D错误； 故选：B 【例10】如图，各棱长都为的四面体中 ，，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题得夹角，夹角，夹角均为， ， ， ， 故选：A. 【变式5-1】如图，在斜三棱柱中，，，，则（    ） A．48 B．32 C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C 【变式5-2】如图，在正三棱柱中，，P为的中点，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由正三棱柱可得，， 而， 故 ， 故选：A. 【变式5-3】（多选）正方体的棱长为1，体对角线与，相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】方法一：，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误； 方法二： ，故A正确； 由正方体的性质可知，，， ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：AC． 考点06 用空间向量的数量积解决夹角问题 【方法点拨】由公式可得，所以求两个向量的夹角可以先求解数量积及向量的模，再代入公式求解，注意：异面直线的夹角为不大于90°的角 【例11】空间四边形中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 所以 所以， 故选：D． 【例12】已知空间四边形中，，求的值. 【答案】0 【详解】， 【变式6-1】在平行六面体中，，，，，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【详解】因为， 则，即， , 则 ， 即， 则 故选：C. 【变式6-2】如图，长方体的棱长，，．    (1)求； (2)求与所夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，，， 则，，， ， ． 因为 ，所以． （2）因为， 所以．因为 ， 所以与所夹角的余弦值为． 【变式6-3】如图，在平行六面体中，，且的两两夹角都是． (1)若，求线段的长度； (2)求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）以为空间一组基底． ， ， 所以． （2）， ， 所以． ，， 所以． ． 设直线与直线所成角为， 则． 考点07 利用数量积证明空间垂直关系 【方法点拨】用向量法证明垂直关系的步骤：①把几何问题转化为向量问题；②用已知向量表示要证明向量；③结合数量积公式和运算律证明数量积为0. 【例13】设ABCD是空间四边形，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】因为 ， 所以 ．    【例14】如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，点M，N分别是AB，CD的中点．证明：．    【答案】证明见解析 【详解】证明：由题意可知，，且向量，，两两的夹角均为，连接AN，则， ∴ ， ∴，即．    【变式7-1】在空间四面体中，，．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】因为，，所以，； 因为，， 所以 . . 所以. 【变式7-2】如图，在平行六面体中，，，，M，N分别为，中点． (1)求的长； (2)证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）设，，，则，，，， ． 因为 ， 所以 （2）证明：因为 ， 所以． 【变式7-3】如图，平行六面体的底面是菱形，且，，求证：平面． 【答案】证明见解析 【详解】设，，， 由于四边形为菱形，则，即， 所以，，同理可得， 由题意可得，， 所以，，所以，， 同理可证， 因为，因此，平面. 考点08 用数量积求两点间距离 【方法点拨】利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算． 【例15】平行六面体 中，，， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为六面体是平行六面体， 所以， 所以 ， 所以. 故选：B 【例16】已知平面和平面的夹角为，，已知A，B两点在棱上，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，则的长度为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】平面和平面的夹角为，则二面角的大小为或， 因为，所以或， 由题可知， ， 故或， 或． 故选：D. 【变式8-1】如图，圆柱的底面半径为2，高为分别是上、下底面圆周上的两个点，若，则 . 【答案】 【详解】解：因为分别是圆柱的上下底面的中心， 所以, 又因为圆柱的底面半径为2，高为5，， 且， 所以， ， ， 所以， 故答案为：. 【变式8-2】在平行六面体中，，，，，，则= 【答案】 【详解】因为， 所以 ， 故. 故答案为：. 【变式8-3】如图，有一长方形的纸片，的长度为4 cm，的长度为3 cm，现沿它的一条对角线把它折叠成的二面角，则折叠后 ，线段的长是 cm. 【答案】 【详解】如图所示，作，，垂足分别为，，则，， ，，折叠后，，，的长度保持不变， 所以，， 因为二面角为直二面角，，平面平面， 平面，所以平面，平面，所以， 所以， 因为 ， 所以，即. 故答案为：； 一、单选题 1．已知平行六面体，则下列四式中错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：因为，所以，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：因为，所以， 故D错误.    故选：D. 2．已知，，三点不共线，对空间任意一点，若，则可以得到结论是四点（    ） A．共面 B．不一定共面 C．无法判断是否共面 D．不共面 【答案】A 【详解】, 则， 所以，则， 故四点共面. 故选：A 3．如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（　） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【详解】因图中是四个相同的正方体排成的正四棱柱，故在上的投影都是， 所以，， 即的值只有一个． 故选：A. 4．如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是（　　）    A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【详解】∵平面，平面，平面， ∴. ∵，，∴， 又，∴E为的中点， ∴. ∵，∴. ∵ ∴＝, 又，∴. 故选：C. 5．已知为正方形的中心，分别为的中点，若将正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，易知，所以结合已知有， 易知， 设正方形边长为2，所以， , 故选：A. 二、多选题 6．在平行六面体中，，则（    ） A．为棱的中点 B．为棱上更靠近的三等分点 C． D．平面 【答案】ABD 【详解】因为， 所以，则为棱的中点，A正确. 因为，所以，则为棱上更靠近的三等分点，B正确. 因为为棱的中点，为棱上更靠近的三等分点，易得，C错误. 因为平面平面平面，所以平面，D正确. 故选：ABD. 7．正方体的棱长为1，若动点P在线段，则可能的取值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】BC 【详解】以为基底，分别记为，易知， 设， 则. 易知BC符合题意. 故选：BC 三、填空题 8．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由确定的一点P与A，B，C三点共面，则 ． 【答案】 【详解】因为P，A，B，C四点共面，所以存在不全为0的使得， O是平面ABC外任意一点，则， 即， 若A，B，C三点共线，则，即， 整理得：，所以， 此时若，则， 因为A，B，C三点不共线，， 所以， 所以， 令，则， 所以，所以． 故答案为： 9．空间四边形中，，，，且异面直线与成，则异面直线与所成角的大小为 . 【答案】/ 【详解】因为异面直线与成角，则与夹角为或， 又，. 两边平方，得， 即， 或， （或舍去）. 即与夹角为，所以异面直线与所成角为. 故答案为：. 10．在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】如图，设，， 在中，， ，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 四、解答题 11．如图，在直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱，，的中点．    (1)求的值； (2)证明：C，E，F，G四点共面． 【答案】(1)6 (2)证明见解析 【详解】（1）解：在直四棱柱中，， 易得，，，两两垂直. 故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，    , ，，，．                      ，．                      ． （2）证明：由（1）得：．                             令，即 ，解得， ． 故C，E，F，G四点共面． 12．如图，平行六面体的底面是菱形，且，，． (1)求的长． (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ， 所以， 即的长为. （2） ， 又由余弦定理得， 所以设所求异面直线所成角为，. 13．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形.侧棱的长为4，且.    (1)求的长； (2)求直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由图，可得. 则 （2）注意到， 则 ，，. . 则与所成角的余弦值为. 14．在如图所示的斜三棱柱中，.    (1)设，，，用，，表示，； (2)若，，求的长. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）在三棱柱中，侧面为平行四边形， 则， 所以. （2）由，，， 所以，， 所以 ， 即， 所以的长为. 15．等边三角形的边长为，将它沿平行于的线段折起，使平面平面，若翻折后的长为，求的最小值. 【答案】 【详解】在翻折前作于，交于，则点、分别为、的中点， 设，则，， 平面平面，平面平面，，平面，平面， 、平面，，， ， ， 所以，当时，取最小值，即. 【点睛】本题考查利用空间向量数量积计算线段长的最值，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力与推理能力，属于中等题. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$