浙江省宁波市九校2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题

宁波市九校联考高一数学参考答案 第1页 共4页 宁波市 二 2023学年 第 学期 期末九校联考 高一数学参考答案 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C B A C C B 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分 题号 9 10 11 答案 ACD BD BCD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 12． 1 2 13．3 14．3 3 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分． 15．解： （1）易判断等腰梯形 ABCD中， 3 BAD   = ， 又因为 ,E F 分别为 ,AB AD的中点， 1 2 2 BF AF AB AD AE= − = − . （2）因为 , ,B M F 三点共线，则 ( ) 1 1 2 2 AM AB AF AE AD     − = + − = + . 又因为 , ,D M E 三点共线，则有 1 2 1 2   − + = ，解得 1 3  = ， 故有 2 1 3 3 AM AE AD= + . 所以 2 2 1 7 3 3 3 AM AE AD a   = + =    . 16．解： （1）由直线方程 ( ) ( )1 2 3 1a y a x− = − + 变形可得 ( )2 3 1 0a y x x y− + − − = 则有 2 0 3 1 0 y x x y − =  − − = ，解得 1 2 x y =  = ，所以直线 l 过定点 ( )1,2 （2）结合图像易得 当直线 l 斜率不存在时，即 1a = 时，直线 : 1l x = 符合题意； 当直线 l 斜率存在时， 2 3 2 1 a a −  − ，解得 1a  ； 综上可得，实数 a的取值范围为 1a  . （3）已知直线 ( ) ( ): 1 2 3 1l a y a x− = − + ， 令 0x = ，得 1 0 1 y a =  − ，得 1a  ，令 0y = ，得 1 0 3 2 x a =  − ，得 3 2 a  . 宁波市九校联考高一数学参考答案 第2页 共4页 则 2 1 1 1 1 2 1 3 2 4 10 6 S a a a a  =   = − − − + − ，当 5 4 a = 时， S 取到最大值. 此时，直线 l 的方程为： 2 4 0x y+ − = ． 17．解： （1）由频率分布直方图有 ( )10 1 10 0.005 0.010 2 0.020 0.025a = −  +  + + ，得 0.030a = . 设数学成绩的中位数为 x ，则有 ( ) ( )10 0.005 0.010 0.020 0.03 70 0.5x + + +  − = ， 得 75x = ．所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为 75. （2）设 A = “任选一道题，甲答对”， B = “任选一道题，乙答对”，C = “任选一道题，丙答对”. 则由古典概型概率计算公式得： ( ) 12 3 20 5 P A = = ， ( ) 8 2 20 5 P B = = ， ( ) 20 n P C = ， 所以有 ( ) 2 5 P A = ， ( ) 3 5 P B = ， ( ) 1 20 n P C = − . （i）记 D = “甲、乙两位同学恰有一人答对”，则有 D AB AB= ，且有 AB 与 AB 互斥. 因为每位同学独立作答，所以 ,A B 互相独立，则 A 与 B ， A 与 B ， A 与 B 均相互独立 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 13 5 5 5 5 25 P AB AB P AB P AB P A P B P A P B= + = + =  +  = 答：任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率 13 25 （ii）记 E = “甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对”，则 E ABC= 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 22 1 1 1 1 1 5 5 20 25 n P E P E P ABC P A P B P C   = − = − = − = −   − =    ， 解得： 10n = ． 18．解： （1）如图，连接 EC 交 AD 于 N ，则 N 为 CE 的中点. 由正六边形的性质，可知 ,AD NG AD NC⊥ ⊥ ， 因为 , ,NG NC N NG NC GNC= 平面 ． 故 AD ⊥平面GNC ．而CG 平面GNC ， 所以 AD CG⊥ ． （2）如图，连接 AC ，在正六边形中，有 4 3, 4, 8AC CD AD= = = ， 则有 2 2 2AC CD AD+ = ， 即 AC CD⊥ ，又因为 AH CD⊥ ，故CD AHC⊥平面 ， 连接 FD，同理 AF FD⊥ ，即 AH HD⊥ ，即有 AH ⊥平面CDH ． 所以有 AH CH⊥ . 因为 4, 4 3AH AC= = ，所以 4 2CH = ． 由体积法 H ACD D AHCV V− −= ，有 1 1 3 3 ACD AHCS h S CD   =   ， 解得 4 2 3 h = . 设CH 与平面 ABCD所成的角为 ，则 3 sin 3 h CH  = = . 所以CH 与平面 ABCD所成角的正弦值为 3 3 . 宁波市九校联考高一数学参考答案 第3页 共4页 （3）由（1）知 AD ⊥平面GNC ， 所以 GNC 就是二面角 H AD B− − 的平面角，即 3 GNC   = ， 过 M 作 1MM NC⊥ ，垂足为点 1M ，过M 作 2MM NG⊥ ，垂足为点 2M . 因为 AD ⊥平面GNC ，所以 1AD MM⊥ ， 2AD MM⊥ ， 所以 1MM ⊥平面 ABCD， 2MM ADGH⊥平面 ， 所以 1 2 1 1 3 3 M ABCD M ADGH ABCD ADGH V V S MM S MM− −+ =  + 梯形 梯形 ( ) ( )1 2 1 2 1 4 8 2 3 4 3 3 2 MM MM MM MM + =   + =  + . 在 GNC 中， 2 3NG NC= = ， 3 GNC   = ，所以 1 3 2 MM MC= ， 2 3 2 MM MG= ， 得 ( )1 2 3 3 2 3 3 2 2 MM MM MC MG+ = + =  = . 故 ( )1 24 3 12 3M ABCD M ADGHV V MM MM− −+ = + = . 即四棱雉M ABCD− 与四棱雉M ADGH− 的体积之和是定值12 3 . 19．解： （1）①若 AP AR= ，则此时 R 与 D 重合， 2 sin 2  = ； ②若 AP PR= ，则 AP PR⊥ ， 2 sin 2  = ； ③若 AR PR= ，因为 AD AR= ，此时有 1 tan 2 2  = ，则 2 2 tan 42sin 5 1 tan 2    = = + ； 综上， 2 sin 2  = 或 4 5 （2）不妨设 ( )1, 0,1AD AP PQ QB AR h= = = = =  要证 BRP   ，即证 1 tan tanBRP h   = ， 又有 ( ) 3 tan BRP h  + = ， 故 ( ) 2 2 2 2 1 tan tan tan 3 3 1 hhBRP BRP h h h    = + − = =  = + + .故得证！ （3）设 1AD AP PQ QB= = = = ，作 RH AB H⊥ 于 ， 由对称性，不妨设 AH HB ， 设 1 , 1AH x BH y= + = + ， 则有 1x y+ = ， 1 2 1 2 x y    − 宁波市九校联考高一数学参考答案 第4页 共4页 ( ) ( ) 2 1 1 tan tan 1 1 1 x x ARH PRH x x x x  + − =  − = = + + + + ①当 H 在 PQ上时， ( ) ( ) 2 1 1 tan tan 1 1 1 y y BRH QRH y y y y  + − =  − = = + + + + ； ②当 H 在QB 上时， ( ) ( ) ( )( ) 2 1 1 tan tan 1 1 1 y y BRH QRH y y y y  + + − =  + = = − + − + + ； 故 2 1 tan 1 y y  = + + . 所以 ( ) 2 2 2 2 1 1 tan tan 1 1 tan 1 11 tan tan 1 1 1 x x y y x x y y       + + + + + + + = = − −  + + + + ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 3 1 2 1 1 1 x y x y xy x y x y xy xy x y x yx x y y + + + + + − = = + + + + + + ++ + + + − 2 2 4 2 1 2, 2 4 xy xy t x y −    = =  −  +    令 2 4 2 7 2 ,4 2 4 t m t t −    = = −   +    令 ( ) 2 2 2 2 6 2 6 22 6 42 2 4 m m m m + = =  = −+ − + − 当且仅当 6m = ，即 2 6xy = − 时去等，故 ( ) max 6 2 tan 2   + + = .