第二十二章 二次函数 重难点检测卷-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

第二十二章 二次函数 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列函数解析式中，一定是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）抛物线经过原点，那么a的值等于（    ） A．0 B．1 C． D．35 3．（2024·广东揭阳·一模）抛物线是由抛物线经过某种平移得到，则这个平移可以表述为（   ） A．向左平移1个单位 B．向左平移2个单位 C．向右平移1个单位 D．向右平移2个单位 4．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（  ） A．或 B． C． D．或 5．（24-25九年级上·全国·假期作业）函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ 　　） A．B． C． D． 6．（2024·山西阳泉·三模）数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具，撑开后如图1所示，由此发现数学知识——抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为轴，以伞骨，的交点为坐标原点建立平面直角坐标系．点为抛物线的顶点，点，在抛物线上，，关于轴对称．抛物线的表达式为，若点A到轴的距离是，则，两点之间的距离是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·福建莆田·一模）坐标平面上有两个二次函数的图像，其顶点、皆在轴上，且有一水平线与两图像相交于、、、四点，各点位置如图所示，若，，，则的长度是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 8．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（2024·湖北十堰·模拟预测）已知，二次函数（a，b，c为常数，）的图像经过点，其中，下列结论：①；②；③时，y随x的增大而减小；④关于x的方程一定有一个小于1的正数根．其中结论正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 10．（2024·四川南充·三模）在平面直角坐标系中有两点、，若二次函数的图象与线段只有一个交点，则（　　） A．a的值可以是 B．a的值可以是 C．a的值不可能是 D．a的值不可能是1 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（2024·广东东莞·模拟预测）已知抛物线经过点和，则 （填“>” “<”或“=”）． 12．（2024·宁夏银川·二模）若二次函数的图象都在x轴下方，则m的取值范围是 ． 13．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，则直线的表达式为 ． 14．（2024·江苏扬州·二模）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为 ． 15．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线的对称轴在y轴右侧，当时，y随x增大而增大，若抛物线上的点纵坐标，则m的取值范围为 16．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）小王和小李先后从地出发沿同一直道去地设小李出发第时，小李、小王离地的距离分别为、，与之间的函数表达式是，与之间的函数表达式是． （1）小李出发时，小王离地的距离为 ． （2）小李出发至小王到达地这段时间内，当小李出发 时两人相距最近这个最近距离是 ． 17．（2024·上海·模拟预测）若直线与抛物线与抛物线有三个不同交点，则的取值范围为 ． 18．（2024·山东德州·二模）二次函数 的图象如图所示，其对称轴 ，且与x轴交于，点，点P为x轴上一动点，则的最小值为 ． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知抛物线的图象顶点为，且过，试求a、b．c的值． 20．（24-25九年级上·全国·假期作业）下列函数在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①；②；③；④．根据图象回答下列问题： (1)这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？ (2)图象有最高点或最低点吗？如果有，最高点或最低点的坐标是什么？ 21．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示，有一抛物线形状的桥洞．桥洞离水面最大距离为，跨度． (1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式； (2)一艘小船上平放着一些长，宽且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？ 22．（2024·北京延庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线． (1)若，求t的值； (2)点在该抛物线上，若对于都有，求t的取值范围． 23．（2024·湖南长沙·三模）如图，已知抛物线经过点． (1)求出此抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 24．（2024·河南信阳·三模）亮亮同学喜欢课外时间做数学探究活动．他使用内置传感器的“智能小球”进行掷小球活动，“智能小球”的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，“智能小球”从出手到着陆的过程中，竖直高度与水平距离可以用二次函数刻画，将“智能小球”从斜坡点处抛出，斜坡可以用一次函数刻画．某次活动时，小球能达到的最高点的坐标为． (1)请求出和的值； (2)“智能小球”在斜坡上的落点是，求点的坐标； (3)若“智能小球”在自变量的值满足的情况时，与其对应的函数值的最大值为，直接写出的值为________． 25．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线与轴相交于点，与轴相交于点和点，直线：经过定点．    (1)求和的值及点的坐标； (2)如图，当时，位于直线上方的抛物线上有一点，过点作轴交直线于点，求的最大值； (3)如图，连接并延长，将射线绕点顺时针旋转后，与抛物线相交于点，求点的坐标． 26．（2024·四川乐山·中考真题）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A． (1)若，求抛物线的顶点坐标； (2)若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围； (3)若抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 二次函数 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列函数解析式中，一定是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的识别，形如的函数是二次函数，根据定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A，当时，，不是二次函数，不合题意； B，，是的一次函数，不合题意； C，，一定是的二次函数，符合题意； D，中含有分式，不是二次函数，不合题意； 故选C． 2．（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）抛物线经过原点，那么a的值等于（    ） A．0 B．1 C． D．35 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与点的关系，熟练掌握把代入函数解析式，求解关于a的一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线经过原点， ∴，解得：， 故选C． 3．（2024·广东揭阳·一模）抛物线是由抛物线经过某种平移得到，则这个平移可以表述为（   ） A．向左平移1个单位 B．向左平移2个单位 C．向右平移1个单位 D．向右平移2个单位 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：抛物线是由抛物线向左平移2个单位长度得到的， 故选：B． 4．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（  ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与不等式的解集，解题的关键是当函数图象在轴的上方时，，即可得到答案． 【详解】由函数图象可知，当或时，函数图象在轴的上方，即， ∴的解集为：或， 故选：D． 5．（24-25九年级上·全国·假期作业）函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ 　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键．先根据一次函数的性质确定与两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论． 【详解】解： A. 函数图形可得，则开口方向向下正确，但顶点坐标应交于原点，而不是交轴正半轴，故选项A不正确； B. 函数图形可得，则开口方向向下正确，顶点坐标为,故选项B正确； C. 函数图形可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项C不正确； D. 函数图形可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项D不正确； 故选B． 6．（2024·山西阳泉·三模）数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具，撑开后如图1所示，由此发现数学知识——抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为轴，以伞骨，的交点为坐标原点建立平面直角坐标系．点为抛物线的顶点，点，在抛物线上，，关于轴对称．抛物线的表达式为，若点A到轴的距离是，则，两点之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求二次函数自变量的值，两点之间的距离，根据题意可知，将其代入函数关系式求出x的值，进而得出答案． 【详解】根据题意可知， 当时，， 解得， ∴（）． 故选：A． 7．（2024·福建莆田·一模）坐标平面上有两个二次函数的图像，其顶点、皆在轴上，且有一水平线与两图像相交于、、、四点，各点位置如图所示，若，，，则的长度是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，线段长度的相关计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由，，的长度以及根据二次函数的对称性可以知道，和，和，和横坐标的差，从而推出和的横坐标之差，得到的长度． 【详解】由、、、四点在同一水平线，可以知道四点纵坐标相同 ，，， ， 又 ． 故选：B． 8．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， 解得，， 故选：C． 9．（2024·湖北十堰·模拟预测）已知，二次函数（a，b，c为常数，）的图像经过点，其中，下列结论：①；②；③时，y随x的增大而减小；④关于x的方程一定有一个小于1的正数根．其中结论正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，将点坐标代入抛物线解析式可得根据即可判断①；把其中c替换成a，可得，即可判断②；抛物线对称轴，所以时y随x的增大而减小判断③；根据根与系数的关系判断④； 【详解】解：①将点坐标代入抛物线解析式得：， ∵, ∴，故结论①错误； ②∵，，把其中c替换成a，，即， 故②正确 ③∵ ∴ ∵， ∴， ∴抛物线开口向上， ∴时，y随x的增大而减小，故③正确； 令，则，两根之和，，两根之积，， ∴均大于0， 当时，，，抛物线开口向上， ∴抛物线有1个根在0到1之间，即有1个根在0到1之间，故④正确； ∴正确的结论是②③④， 故选：B 10．（2024·四川南充·三模）在平面直角坐标系中有两点、，若二次函数的图象与线段只有一个交点，则（　　） A．a的值可以是 B．a的值可以是 C．a的值不可能是 D．a的值不可能是1 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征．本题中能分情况讨论，并能画出函数大致图，根据大致图去分析是解决此题的关键． 先计算二次函数的对称轴，首先计算函数与直线相交时a的取值范围．然后分别计算函数与A，B相交时的值，并由此分别画出函数的大致图，根据大致图判断的取值范围．对上述 a的取值范围综合分析即可得出a的最终取值范围，最后依次对各选项进行判断即可． 【详解】由二次函数的对称轴可知，是该函数的对称轴， 当函数与直线相交时，有解， 整理得， 根据根的判别式， 解得或， 因为， 所以或，且时，二次函数与有唯一的交点． 若函数与B点相交时，将代入得， 解得，则此时如下图： 函数恰好与线段有两个交点，所以根据图象，当时抛物线与线段只有一个交点，解得； 若函数与A点相交时，把代入得， 解得， 则此时如下图： 函数恰好与线段有一个交点，根据图象当时，抛物线与线段也只有一个交点， 解得． 综上所述或或， A． 因为，所以a的值不可以是，故该选项不符合题意； B． 因为，所以a的值不可以是，故该选项不符合题意； C． 因为，所以a的值不可能是，正确，故该选项不符合题意； D． 因为，所以 a的值可能是1，故该选项不符合题意； 故选：C． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（2024·广东东莞·模拟预测）已知抛物线经过点和，则 （填“>” “<”或“=”）． 【答案】> 【分析】将和代入中，求出和，再进行比较即可． 本题考查二次函数的图像上点的特点；能够用代入法求二次函数点的坐标是解题的关键． 【详解】∵抛物线经过点和， ， ， ． 故答案为：> 12．（2024·宁夏银川·二模）若二次函数的图象都在x轴下方，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．抛物线的解析式化为顶点式，由顶点在轴下方，可得顶点纵坐标小于0，即可求出答案． 【详解】解：抛物线， ∴抛物线的顶点为， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，则直线的表达式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式．求出、点的坐标，用待定系数法求直线的解析式即可． 【详解】解：， 顶点的坐标为， 令，则， 的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的表达式为， 故答案为：． 14．（2024·江苏扬州·二模）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为 由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 水管的高度为， 故答案为：． 15．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线的对称轴在y轴右侧，当时，y随x增大而增大，若抛物线上的点纵坐标，则m的取值范围为 【答案】 【分析】题目主要考查二次函数的性质，化为顶点式等，根据题意将二次函数化为顶点式，得出，顶点坐标为，最小值为，确定，再由，得出，然后求不等式解集即可，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 【详解】解：∵ ， ∴对称轴为， ∵对称轴在y轴右侧，当时，y随x增大而增大，开口向上， ∴，顶点坐标为，最小值为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）小王和小李先后从地出发沿同一直道去地设小李出发第时，小李、小王离地的距离分别为、，与之间的函数表达式是，与之间的函数表达式是． （1）小李出发时，小王离地的距离为 ． （2）小李出发至小王到达地这段时间内，当小李出发 时两人相距最近这个最近距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合，掌握一次函数与二次函数在行程中的数量关系是解题的关键． （1）根据小李出发时，时间为零，代入计算即可求解； （2）设两人相距，根据题意可得，结合二次函数最值的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）小李：，小王：， 当时，小李：，小王：， ∴（米）； （2）设小李和小王相距米， ∴ ， ∴当时，小李与小王相距最近，最近为米， ∴小李出发分钟时两人相距最近，最近距离为米， 故答案为：，， ． 17．（2024·上海·模拟预测）若直线与抛物线与抛物线有三个不同交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数和一次函数的图象和性质，一次函数和二次函数的综合应用，解题的关键时利用数形结合的方法，画出图像，分析图像和性质才能得出结论，属于较难题型．在坐标系中画出抛物线与抛物线的图象，分情况找到临界位置的的值，进而确定的取值范围． 【详解】对于抛物线，当时，或， 对于抛物线，当时，或， 两条抛物线如下图： ∴，，， 当直线经过时，，得， 此时直线与抛物线与抛物线有两个交点，此时， 结合图象可知，当直线在下方时，只有两个交点不符合题意； 当直线与抛物线只有一个交点时， 即：方程只有一个解，即：方程只有一个解， ∴，解得：， 此时直线与抛物线与抛物线有两个交点，此时， 结合图象可知，当直线在上方时，最多只有两个交点不符合题意； 综上，当时，直线与抛物线与抛物线有三个不同交点， 故答案为：． 18．（2024·山东德州·二模）二次函数 的图象如图所示，其对称轴 ，且与x轴交于，点，点P为x轴上一动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线，转化线段是解题的关键．过点C作交y轴于点E，过点P作于点F，过点D作于点H，先用待定系数法求二次函数的解析式，再证明，然后将转化为，当D，P，F三点共线时，取最小值，再求出的长，即得答案． 【详解】解：如图，过点C作交y轴于点E，过点P作于点F，过点D作于点H， 由题意得， 解得， 所以二次函数的解析式为， 令，则， ， 令，则， 解得，， ， ， ， ， ， ， ， ， 当D，P，F三点共线时，取最小值， ，， ， ， ， ， 而在中，， ， 即取最小值为， 的最小值为． 故答案为：4． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知抛物线的图象顶点为，且过，试求a、b．c的值． 【答案】，， 【分析】由题意设出抛物线为，把代入即可求出；本题主要考查二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：由题意设抛物线为；           把代入，得： 解得：           ∴ ∴，， 20．（24-25九年级上·全国·假期作业）下列函数在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①；②；③；④．根据图象回答下列问题： (1)这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？ (2)图象有最高点或最低点吗？如果有，最高点或最低点的坐标是什么？ 【答案】(1)这四个函数的图象都是轴对称图形，对称轴都是y轴 (2)函数和的图象有最低点，函数和的图象有最高点，这些最低点和最高点的坐标都是 【分析】本题考查了对称轴的性质，二次函数的图形和性质，解题的关键是画出二次函数的图像；（1）画出二次函数的图像，根据轴对称的性质，即可求解；（2）根据图像可以观察出函数的二次函数的最低点和最高点． 【详解】（1）要画出已知四个函数的图象，需先列表，因为在这些函数中，自变量的取值范围是全体实数，故应以原点O为中心，对称地选取x的值，列出函数的对应值表． 解：列表： 4 描点、连线，函数图象如图所示． 这四个函数的图象都是轴对称图形，对称轴都是轴； （2）函数和的图象有最低点，函数和的图象有最高点，这些最低点和最高点的坐标都是． 21．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示，有一抛物线形状的桥洞．桥洞离水面最大距离为，跨度． (1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式； (2)一艘小船上平放着一些长，宽且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？ 【答案】(1)； (2)这些木板最高可堆放米 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． （1）可令O为坐标原点，平行于的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则可设此抛物线函数关系式为，由题意可得B点的坐标为，由此可求出抛物线的函数关系式． （2）当时，求得的值，据此求解即可． 【详解】（1）解：以O点为坐标原点，过O且平行于线段的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的函数关系式为， 由题意可得B点坐标为， ∴，解得， ∴抛物线的函数关系式为； （2）解：当时，， ∵， ∴木板最高可堆放(米)． 22．（2024·北京延庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线． (1)若，求t的值； (2)点在该抛物线上，若对于都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数性质，熟悉相关结论是解题关键． （1）由题意得，据此即可求解； （2）分类讨论①当时，②当时，两种情况即可求解； 【详解】（1）解：点，点在抛物线上， 且，抛物线的对称轴为， ， ． （2）解：点，点，点在抛物线上， ，，． 且． ①当时，有， ②当时，有， ． ． ． ． 综上：． 23．（2024·湖南长沙·三模）如图，已知抛物线经过点． (1)求出此抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质： （1）抛物线经过点，可得，求解即可得到答案； （2）抛物线的对称轴：，开口向下，可知当时，随的增大而减小，据此即可求得答案． 【详解】（1）解：抛物线经过点，可得 ． 解得：． 所以，抛物线的解析式为． （2）抛物线的对称轴：，开口向下，可知 当时，随的增大而减小． 当时，． 当时，． 所以，当时， 的取值范围为． 24．（2024·河南信阳·三模）亮亮同学喜欢课外时间做数学探究活动．他使用内置传感器的“智能小球”进行掷小球活动，“智能小球”的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，“智能小球”从出手到着陆的过程中，竖直高度与水平距离可以用二次函数刻画，将“智能小球”从斜坡点处抛出，斜坡可以用一次函数刻画．某次活动时，小球能达到的最高点的坐标为． (1)请求出和的值； (2)“智能小球”在斜坡上的落点是，求点的坐标； (3)若“智能小球”在自变量的值满足的情况时，与其对应的函数值的最大值为，直接写出的值为________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握二次函数对称轴的计算，二元一次方程组的计算，不同自变量的取值函数最值的计算方法时解题的关键． （1）根据二次函数对称轴，顶点坐标即可求解； （2）联立方程解二元一次方程组即可求解； （3）根据二次函数图象的对称轴，分类讨论，当时，取到最大值；当时，取到最大值；由此即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴为， ∵小球达到的最高的的坐标为， ∴， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴； （2）解：根据题意联立方程组得， ， 解得，（不符合题意，舍去）或， ∴； （3）解：已知二次函数的顶点坐标为， ∴当时，随的增大而增大； ∵时的最大值为， ∴当时取到最大值，且，即， ∴， 解得，，（不符合题意，舍去）； ∴； 当时，随的增大而减小， ∴当时取得最大值，且，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 25．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线与轴相交于点，与轴相交于点和点，直线：经过定点．    (1)求和的值及点的坐标； (2)如图，当时，位于直线上方的抛物线上有一点，过点作轴交直线于点，求的最大值； (3)如图，连接并延长，将射线绕点顺时针旋转后，与抛物线相交于点，求点的坐标． 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【分析】（）由待定系数法求出函数表达式，由，即可求解； （）由，即可求解； （）证明，则且，求取，进而求解． 【详解】（1）设抛物线的表达式为：， 则， 则， 则， 则抛物线的表达式为：， ∵， 则点； （2）当时，直线的表达式为：，如题干图， 设点，则点， 则， 故的最大值为； （3）过点作于点， ∵，则为等腰直角三角形， 则， 过点作轴的垂线交轴于点，交点和轴的平行线于点，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 则且， 即且， 解得：， 即点， 设直线的表达式为， 由点的坐标得，， 解得：， ∴直线的表达式为：， 将上式和抛物线的表达式联立得：， 解得：（舍去）或， 则． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，全等三角形的判定与性质，一次函数的图象与性质，解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 26．（2024·四川乐山·中考真题）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A． (1)若，求抛物线的顶点坐标； (2)若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围； (3)若抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的特征．数形结合解题是解题的关键． （1）把代入后再将抛物线化成顶点式为，即可求顶点坐标； （2）根据整点个数的范围确定点A纵坐标的范围； （3）结合图象确定有4个“完美点”时a的最大和最小值，进而确定a的范围． 【详解】（1）解：当时，抛物线． ∴顶点坐标． （2）令，则， ∴， ∵线段上的“完美点”的个数大于3个且小于6个， ∴“完美点”的个数为4个或5个． ∵， ∴当“完美点”个数为4个时，分别为，，，； 当“完美点”个数为5个时，分别为，，，，． ∴． ∴a的取值范围是． （3）根据， 得抛物线的顶点坐标为，过点，，． ∵抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”， 显然，“完美点”，，符合题意． 下面讨论抛物线经过，的两种情况： ①当抛物线经过时，解得此时，，，． 如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，共4个． ②当抛物线经过时，解得此时，，，． 如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，，，共6个． ∴a的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $$