专题05 二次函数图象与系数的关系选填压轴题专训（45道）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题05 二次函数图象与系数的关系选填压轴题型专训（45道） 【选取全国各地区最新题型】 【二次函数图象与系数的关系选填压轴题型专训 】 1．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知抛物线（为常数，且）经过点，下列结论：；②该抛物线的对称轴为直线；③若点都在该抛物线上，则；④关于x的方程的解为.其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（2024·河北唐山·模拟预测）抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2024·湖北鄂州·模拟预测）如图，二次函数（）的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（   ） A． B．若抛物线与x轴交于，两点，则 C． D．对任意实数t，总有 4．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（    ） ①； ②； ③； ④若方程两根为，则． A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2024·天津南开·三模）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且．则下列结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．（2024·内蒙古赤峰·三模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2024·河北唐山·模拟预测）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，顶点为，则下列结论：①；②；③当是等腰三角形时，的值有个；④当是直角三角形时，的值有个；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2024·湖北恩施·二模）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点．下列说法： ①； ②； ③； ④若，是抛物线上的两点，则； ⑤（其中）． 其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2024·山东烟台·一模）如图，抛物线（）与x轴交于点，，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为.其中正确结论的是（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．①④ 10．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，抛物线交 轴于点， 对称轴为，与 轴的另一个交点为 ，为抛物线的顶点．下列结论： ；②；③；④；⑤若是等腰直角三角形，则．其中结论正确的个数有(      ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点．若，则下列四个结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·陕西西安·模拟预测）如图是二次函数图像的一部分，对称轴为直线，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．当时， D．若，，在该函数图像上，则 13．（2024·江苏常州·二模）如图，二次函数的图像过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中，的结论是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 14．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，已知二次函数 (、、为常数，且)的图象顶点为，经过点；有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而增大；⑤对于任意实数，总有，其中正确的有(    ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 15．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，抛物线交x轴于，，交y轴负半轴于点C，顶点为D，下列结论：①；②；③若方程的两根分别为m，n，则；④当是等腰直角三角形时，；⑤抛物线上有两点、，且，若，则．正确的有（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 16．（2024·四川广元·二模）如图， 已知二次函数 (a，b，c是常数)的图象关于直线对称， 则下列五个结论∶ ①； ②； ③；④(m为任意实数)；⑤．其中结论正确的个数为（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 17．（2024·山东菏泽·一模）如图是二次函数 图象的一部分，是对称轴，且经过点．有下列判断∶①；②；③；④若是抛物线上两点，则 ，其中正确的是（  ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．③④ 18．（2024·湖南永州·二模）如图，已知抛物线的对称轴是直线，直线轴，且交抛物线于点，，下列结论错误的是（   ） A． B． C．若实数，则 D．当时， 19．（2024·广西钦州·二模）如图所示，二次函数（，，常数，）的图象与轴交于点．有下列结论：①；②若点和均在抛物线上，则；③；④．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．（2024·新疆喀什·三模）如图，二次函数图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为，3．与y轴负半轴交于点C，在下面结论中： ①； ②； ③当时，； ④若，且，则． 其中正确的结论个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）抛物线经过，两点，且．下列四个结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小；④方程必有两个不相等的实数根．则正确的结论有 （填写序号）． 22．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数（）．图象的顶点为，其图象与轴的交点的横坐标分别为，下面四个结论：；；只有当时，是等腰直角三角形；使为等腰三角形的的值可以有三个．那么，其中正确的结论是 ．（只填你认为正确结论的序号） 注：二次函数（）图象的顶点坐标为 23．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图像如图所示，有下列结论： ①当时，则，②， ③当时， x的取值范围是， ④当时， 有． 其中正确结论的序号为 ． 24．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 ，为抛物线上的两点，下列结论中一定正确的是 ．（填序号）；②；（是一个常数）；④若，则． 25．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）二次函数（，，均为常数，且）的图像经过点，点，则下列结论： ①； ②； ③若点，在抛物线上，若，则； ④若关于的方程没有实数根，则． 其中结论正确的序号是 ． 26．（23-24九年级上·福建泉州·期末）抛物线（a，c是常数且，）经过点． 下列四个结论： ①该抛物线一定经过点； ②； ③若点，在该抛物线上，，则的取值范围为： ④若是方程的两个根，其中，则． 其中正确的是 ．（填写序号） 27．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知二次函数（，为常数且）经过，且，下列结论：；；若关于的方程有整数解，则符合条件的的值有个；当时，二次函数的最大值为，则. 其中一定正确的有 .（填序号即可） 28．（23-24九年级上·山东青岛·期末）二次函数（）的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程（）必有一个根大于2且小于3；③若，是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数，都有，其中正确的结论是 ． 29．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数的图象过点，，，且交轴的正半轴于点，下列结论：；；若直线与抛物线只有一个公共点，则；抛物线上的两点，，在的左边，若，则；，请将所有正确的序号填在横线上 ． 30．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）二次函数（为常数，）的图象开口向下，与轴交于和，且．有下列结论：①；②；③若方程有两个不相等的实数根，则；④当时，若方程有四个根，则这四个根的和为，其中，正确结论的 31．（23-24九年级上·新疆省直辖县级单位·阶段练习）二次函数的部分图象如图，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③当时，的值随值的增大而增大；④当函数值时，自变量的取值范围是或；⑤若，为函数图象上的两点，则；⑥（的实数）．其中正确的结论是 （填写正确结论的序号）． 32．（23-24九年级上·湖北·阶段练习）已知抛物线 (a，b，c均为常数)的顶点坐标为 其中，与x轴的一个交点位于和之间，则下列结论： ① ； ②； ③若该抛物线经过点，，则 ④若关于x的一元二次方程 无实数根，则． 其中正确的结论是 ．(只填序号) 33．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图所示，二次函数的图像的对称轴是直线，且经过点．有下列结论：①；②；③（为常数）；④和时函数值相等；⑤若，，在该函数图像上，则；⑥．其中错误的结论是 （填序号）．    34．（23-24九年级下·安徽亳州·开学考试）若抛物线过点和两点，且顶点在第二象限． （1）若该抛物线的对称轴，则 ． （2）设，则P的取值范围是 ． 35．（2023·广东广州·二模）已知二次函数满足：（1）； （2）；（3）图像与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有 ． ①； ②； ③； ④． 36．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动时，形状保持不变，且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），给出下列结论：①；②当时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为；④当四边形为平行四边形时，．其中正确的是 ． 37．（23-24九年级上·福建泉州·期中）抛物线的最低点为，其中，抛物线与x轴交于点，则下列结论中，正确的结论有 ． ①；②；③；④关于x的方程有两个不相等实数根． 38．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图，二次函数（）的图象过点，且与x轴相交于，两点，其中，．现给出以下结论：①；②；③；④方程的解为，．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 39．（23-24九年级上·湖北咸宁·阶段练习）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②16a﹣4b+c＜0；③若方程ax2+bx+c＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8．其中正确结论的是 ． 40．（23-24九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，已知顶点为（-3，-6）的抛物线经过点（-1，-4），则下列结论：① ②  ③若点在抛物线上，则④关于的一元二次方程的两根为-5和-1  ⑤，其中正确的有 ． 41．（23-24·四川·一模）已知二次函数的对称轴是直线，图像如图所示．给出下面五个结论：①；②；③；④为实数，且；⑤．其中正确的有   写出所有正确结论的序号． 42．（19-20九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图是二次函数，，是常数，图像的一部分，与轴的交点在和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④为实数）；⑤当时，．其中正确的是 ．（填序号） 43．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线的顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间．下列结论：①；②；③；④一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的序号是 ． 44．（23-24·四川绵阳·一模）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），且对称轴为直线x＝1，其部分图象如图所示，对于此抛物线有如下四个结论：①ac>0；②9a+3b+c>0；③若m>n>0，则x＝1+m时的函数值大于x＝1﹣n时的函数值；④点（﹣，0）一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是 （填写所有正确结论的序号）． 45．（23-24九年级上·重庆·期末）如图，函数的图象过点和，下列判断： ①； ②； ③； ④和处的函数值相等． 其中正确的是 （只填序号）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二次函数图象与系数的关系选填压轴题型专训（45道） 【选取全国各地区最新题型】 【二次函数图象与系数的关系选填压轴题型专训 】 1．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知抛物线（为常数，且）经过点，下列结论：；②该抛物线的对称轴为直线；③若点都在该抛物线上，则；④关于x的方程的解为.其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质、解一元二次方程等，将点代入抛物线解析式求出a，b，可判断①；根据对称轴为直线可判断②；根据开口方向及各点到对称轴的距离，可判断③；将a，b的值代入，解一元二次方程可判断④． 【详解】解：将点代入抛物线， 得：，解得， 即抛物线的函数表达式为． ，故①正确； 该抛物线的对称轴为直线，故②错误； 该抛物线的开口向上，对称轴为直线，， ，故③错误； 关于的方程为， 解得，故④错误， 综上可知，正确的个数有1个， 故选D． 2．（2024·河北唐山·模拟预测）抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用图象的信息与已知条件求得a，b的关系式，利用待定系数法和二次函数的性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：抛物线的开口方向向下， 抛物线的对称轴为直线 ， ， 故①的结论正确； 抛物线经过点 故②的结论正确； 抛物线的对称轴为直线 点关于直线对称的对称点为 ， 当时，随的增大而减小 故③的结论不正确； 抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点 抛物线一定经过点， 抛物线与轴的交点的横坐标分别为，1， 方程的两根为，， 故④的结论正确； 直线经过点， ， ， ． 函数 ， 当时，函数有最大值， 故⑤的结论不正确． 综上，结论正确的有：①②④， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数与一元二次方程的联系，利用图象的信息与已知条件求得，的关系式是解题的关键． 3．（2024·湖北鄂州·模拟预测）如图，二次函数（）的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（   ） A． B．若抛物线与x轴交于，两点，则 C． D．对任意实数t，总有 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系及抛物线与轴的交点，能根据所给函数图象得出，，的正负，再利用抛物线的对称性来求解，根据所给函数图象中抛物线的对称轴可得出，之间的等量关系，再结合抛物线与轴的交点情况可解决问题． 【详解】解：由图知开口向下， ， 与交于正半轴， ， 图象关于直线对称， ， ， ，A选项错误； 若抛物线与x轴交于，两点， ，则，故B选项正确； ， ， 由图知，当时，， 不成立，故C选项错误； 当时，有，故D选项错误． 故选：B． 4．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（    ） ①； ②； ③； ④若方程两根为，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得，，，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为，即可判断②错误；将c和b用a表示，即可得到，即可判断③正确；结合抛物线和直线与轴得交点，即可判断④正确． 【详解】解：由图可知， ∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，， 则， ∵抛物线与轴的交点在，之间， ∴， 则，故①错误； 设抛物线与轴另一个交点， ∵对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，解得， 则，故②错误； ∵，，， ∴，解得，故③正确； 根据抛物线与轴交于点和，直线过点和，如图， 方程两根为满足，故④正确； 故选：B． 5．（2024·天津南开·三模）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且．则下列结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：①由抛物线开口方向得，由抛物线的对称轴位置可得，由抛物线与轴的交点位置可得，则可对①进行判断；②根据抛物线与轴有两个交点，则△，作判断；③利用可得到，再把代入即可作出判断；④根据一元二次方程根的判别式可以作出判断． 【详解】解：①抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴在轴的右侧， ， 抛物线与轴的交点在轴上方， ， ，所以①正确； ②抛物线与轴有两个交点， ， ， ， 所以②错误； ③，， ， 把代入得， ， 所以③错误； ④对于方程，， ∵， ∴ 方程有两个不相等的实数根，本小题结论正确；， 所以④正确； 本题正确的有：①④2个， 故选：C． 6．（2024·内蒙古赤峰·三模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由抛物线可知：， 对称轴， ， ，故①正确； ②由对称轴可知：， ， 抛物线过点， ， ，故②正确； ③关于的对称点为， 时，，故③正确； ④抛物线与轴有两个交点， ， 即， ，故④正确； 故正确的有：①②③④． 故选：D． 7．（2024·河北唐山·模拟预测）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，顶点为，则下列结论：①；②；③当是等腰三角形时，的值有个；④当是直角三角形时，的值有个；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由二次函数的图象与轴交于两点，得对称轴为直线，从而得，故①正确，当时，，进而得，，故②错误；先求得点，当时，，，当时，，，从而得的值有个，故③正确；由二次函数，得顶点，进而得，再分类讨论即可得解． 【详解】解：二次函数的图象与轴交于两点， 对称轴为直线， ， ， 故①正确， 当时，， ， ， ， 故②错误； 二次函数， 点， 当时，， ， 当时，， ， 当是等腰三角形时，的值有个， 故③正确； 二次函数， 顶点， ， 若，可得， ， ， 若，可得， ， ， 当是直角三角形时，或， 的值有个， 故④错误， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，根据二次函数的性质判断各项符号，勾股定理以及等腰三角形，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 8．（2024·湖北恩施·二模）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点．下列说法： ①； ②； ③； ④若，是抛物线上的两点，则； ⑤（其中）． 其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查根据函数图象判断式子符号，根据抛物线开口方向、与y轴的交点位置、对称轴位置可判断①；将点代入二次函数的解析式可判断结论②③；根据，到对称轴的距离，结合开口方向可判断④；根据二次函数的性质可求出其最大值，由此可判断⑤． 【详解】解：由图可知，二次函数图象开口向下，与y轴的交点位于正半轴， ， ， 对称轴为直线， ， ， ，故①正确； 图象经过点 ，即，故③错误； ，， ， ，故②正确； ，，二次函数图象开口向下， 若，是抛物线上的两点，则，故正确； ，， ，， 对称轴为直线，图象开口向下， 函数的最大值为， 当时，， 当时，，故⑤正确； 综上可知，正确的有①②⑤，共4个， 故选D． 9．（2024·山东烟台·一模）如图，抛物线（）与x轴交于点，，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为.其中正确结论的是（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．①④ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用二次函数的图象和性质依次判断即可，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键． 【详解】解：抛物线开口向上，对称轴在轴右边，与轴交于正半轴， ，，， ， ①正确． 当时，， ， ②错误． 抛物线过点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ③正确． 如图： 设，， 由图知，时，， 故④正确． 故选：C． 10．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，抛物线交 轴于点， 对称轴为，与 轴的另一个交点为 ，为抛物线的顶点．下列结论： ；②；③；④；⑤若是等腰直角三角形，则．其中结论正确的个数有(      ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象分析出基本信息，然后逐项判断即可． 【详解】由函数图象可知，，，， ，故①正确； 抛物线对称轴为直线，、关于对称轴对称， 的坐标为， 当时，函数值， 即：，故②正确； 对称轴为直线， ，，， ， ，故③正确； 由点坐标可得：， 将代入可得：， ， 即：，故④正确； 由题意，、是关于对称轴对称的，为顶点， 当是等腰直角三角形，则 又， ；故⑤错误； ∴正确的有：①②③④， 故选：C． 11．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点．若，则下列四个结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系及抛物线与x轴的交点，根据所给函数图象中抛物线的对称轴可得出a，b之间的等量关系，再结合抛物线与x轴的交点情况及点A横坐标的取值范围即可解决问题． 【详解】解：由题知， A，B两点关于直线对称， 又， 且，， 所以． 故A正确，不符合题意． 由抛物线的对称轴是直线得，， 则， 所以， 又， 所以． 故B错误，符合题意． 因为抛物线与x轴有两个交点， 所以， 又当时，函数值小于0， 即， 所以， 又， 所以， 所以， 故C正确，不符合题意． 因为当时，函数值， 故D正确，不符合题意． 故选：B 12．（2024·陕西西安·模拟预测）如图是二次函数图像的一部分，对称轴为直线，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．当时， D．若，，在该函数图像上，则 【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，然后根据对称轴判定；根据当时，，即，然后由函数图象对称性可得，当与时，函数值相同，根据图象即可判断． 【详解】解：如图：根据抛物线对称性补全图象得： ∵抛物线开口方向向下，交轴于正半轴， ∴，， 又∵对称轴为直线，即， ∴， ∴，故B错误，不符合题意； 由函数图象可得，当时，，即，故A正确，符合题意； ∴由函数图象可得当当时，有可能，C错误，不合题意； 由函数图象对称性可得，当与时，函数值相同， ∵， ∴由函数的增减性可得：，D错误，不合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当与同号时（即），对称轴在轴左； 当与异号时（即），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与轴交点，抛物线与y轴交于． 13．（2024·江苏常州·二模）如图，二次函数的图像过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中，的结论是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由题意知，，，则，可得，可判断①的正误；由题意知，关于对称轴对称的点坐标为，可知当时，，可判断②的正误；由，可得，将代入得，，可判断③的正误；由，可知、关于对称轴对称，则，可判断④的正误． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ∴，①正确，故不符合要求； 由题意知，关于对称轴对称的点坐标为， ∴当时，，②正确，故不符合要求； ∵， ∴， 将代入得，，③错误，故符合要求； ∵， ∴、关于对称轴对称，则，④正确，故不符合要求； 故选：C． 14．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，已知二次函数 (、、为常数，且)的图象顶点为，经过点；有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而增大；⑤对于任意实数，总有，其中正确的有(    ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图像的性质确定、、的正负即可解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图像即可解答；⑤根据顶点以及开口方向即可求解． 【详解】解：①由抛物线的开口方向向下，则，故①正确； ②抛物线的顶点为， ，， ， ， 抛物线与轴的交点在正半轴， ， ，故②错误； ③抛物线经过点， ，即，故③正确； ④抛物线的顶点为，且开口方向向下， 时，随的增大而减小，即④错误； ⑤抛物线的顶点为，抛物线开口向下， 当时，是最大值， 对于任意实数，总有， 则⑤正确； 综上，正确的共有个． 故选：B． 15．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，抛物线交x轴于，，交y轴负半轴于点C，顶点为D，下列结论：①；②；③若方程的两根分别为m，n，则；④当是等腰直角三角形时，；⑤抛物线上有两点、，且，若，则．正确的有（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】依据题意，由抛物线交轴的负半轴于点，从而令，又对称轴是直线，故可判断①；抛物线过，从而，又，即，进而，最后可以判断②；依据，代入方程，可化为，根据一元二次方程根与系数关系即可判断③；由是等腰直角三角形，为顶点，从而，结合顶点为，对称轴是直线，故，再由抛物线为，又抛物线过点，计算可以判断④；根据，判断出点在直线左侧，点在直线右侧，根据二次函数增减性即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线交轴的负半轴于点，开口向上， ∴令． ∵ ∴对称轴是直线， ∴．， ∴，故①错误． ∵抛物线过， ∴． 又，即， ∴． ∴，故②错误． ∵， 则可化为，即， 若方程的两根分别为m，n，即方程的两根分别为m，n， 则；故③正确； 是等腰直角三角形， 又为顶点， ∵抛物线交x轴于，， 故设顶点为，对称轴是直线， ， ∴可设抛物线为， 又抛物线过点， ∴． ∴，故④正确． 因为， 所以点在直线左侧，点在直线右侧， 又因为， 则． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 所以，故⑤正确． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质及二次函数与一元二次方程之间的关系是解题的关键． 16．（2024·四川广元·二模）如图， 已知二次函数 (a，b，c是常数)的图象关于直线对称， 则下列五个结论∶ ①； ②； ③；④(m为任意实数)；⑤．其中结论正确的个数为（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键； 由图象可知：，，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断①②，由对称轴是直线，且与x轴交点到对称轴距离大于1，小于2，当时，可判断③；由当时，函数有最大值，可判断④；由及，可判断⑤． 【详解】解：抛物线开口往下， ， 抛物线与y轴交于正半轴， ， 抛物线的对称轴为， ， ， ，故①正确． 即，故②正确． 抛物线的对称轴为直线，且时，函数值小于零， 抛物线与x轴交点到对称轴距离大于1，小于2， 当时，函数值小于零， 即，故③正确． 抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 当时，函数值最大， 当时，， 当时，， 则， ， 所以，故④正确． 由函数图象可知， 当时，函数值小于零， 则， ， 所以，故⑤正确． 综上所述：正确的有， 故选：D． 17．（2024·山东菏泽·一模）如图是二次函数 图象的一部分，是对称轴，且经过点．有下列判断∶①；②；③；④若是抛物线上两点，则 ，其中正确的是（  ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质并数形结合是解题的关键． ①根据直线是对称轴，确定的值； ②根据时，确定的符号； ③根据时，，求得，即可得到结论； ④根据抛物线的对称性，得到与的大小关系即可． 【详解】解：∵直线是对称轴， ∴，即， ∴，故①正确； ∵直线是对称轴，二次函数图象经过点， ∴抛物线经过点， ∴当时，， 即，故②错误； 当时，， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，则函数值越小， ∵，，与是抛物线上两点， ∴，故④正确， 综上，正确的是①③④，故B正确． 故选：B． 18．（2024·湖南永州·二模）如图，已知抛物线的对称轴是直线，直线轴，且交抛物线于点，，下列结论错误的是（   ） A． B． C．若实数，则 D．当时， 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，数形结合思想等知识，掌握二次函数图象的性质是解题关键． 根据函数图象可知，由此可判断出A；根据抛物线的对称轴可得出，也可得出函数的最小值，在处取到，由此可判断C；令，则，即抛物线与轴交于点，根据函数图象可直接判断D；C没有直接条件判断． 【详解】解：根据函数图象可知，根据抛物线的对称轴公式可得， ， ， ∴，．故A正确，不符合题意； ∵函数的最小值在处取到， ∴若实数，则，即若实数，则．故C正确，不符合题意； ∵轴， ， 令，则，即抛物线与轴交于点， ∴当时，． ∴当时，．故D正确，不符合题意； ， ∴，没有条件可以证明．故B错误，符合题意； 故选：B． 19．（2024·广西钦州·二模）如图所示，二次函数（，，常数，）的图象与轴交于点．有下列结论：①；②若点和均在抛物线上，则；③；④．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与轴交点问题逐项分析判断即可． 【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点， ，． ， ． ． 故①正确． 是关于二次函数对称轴对称， ． 在对称轴的左边，在对称轴的右边，如图所示，   ． 故②正确． 图象与轴交于点， ，故③正确 根据函数图象可知，当时，，即 故④不正确． 综上所述，正确的有①②③． 故选：C． 20．（2024·新疆喀什·三模）如图，二次函数图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为，3．与y轴负半轴交于点C，在下面结论中： ①； ②； ③当时，； ④若，且，则． 其中正确的结论个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据二次函数的图象与轴的交点、的横坐标分别为，，得出对称轴为，判断①，结合图象过点，判断②，根据开口方向顶点的纵坐标为最小值即可判断③，根据二次函数图象的对称性即可判断④． 【详解】解：①二次函数的图象与轴的交点、的横坐标分别为，， 该二次函数图象对称轴为：直线， ，即，故①错误； ②由题意可知：图象过点， ， 又， ，即，故②正确； ③由①可知，二次函数图象的顶点为， ， 又在二次函数中，当时， ， ，故③正确； ④若，则， ∴关于对称， ，即故④正确； 故选C． 二、填空题 21．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）抛物线经过，两点，且．下列四个结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小；④方程必有两个不相等的实数根．则正确的结论有 （填写序号）． 【答案】①④ 【分析】本题考查二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，以及二次函数与一元二次方程之间的联系，结合二次函数的图形与性质，以及二次函数与一元二次方程之间的联系逐项分析即可．掌握二次函数的图像与性质和各项系数之间的关系是解题关键． 【详解】解：∵抛物线经过，两点， ∴抛物线的对称轴为，， ∵， ∴，即： ∴，则，故①正确； 当时，，则，即：， 当时，，则，即：， 故②不正确； 当时，当时，y随x的增大而增大； 当时，当时，y随x的增大而减小； 故③不正确； 方程整理为：， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴方程必有两个不相等的实数根，故④正确； 综上，正确的结论有①④． 故答案为：①④． 22．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数（）．图象的顶点为，其图象与轴的交点的横坐标分别为，下面四个结论：；；只有当时，是等腰直角三角形；使为等腰三角形的的值可以有三个．那么，其中正确的结论是 ．（只填你认为正确结论的序号） 注：二次函数（）图象的顶点坐标为 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的定义，先根据图象与轴的交点的横坐标分别为确定出的长及对称轴，由对称轴即可判断；根据对称轴及函数图象即可判断；由为等腰直角三角形，必须保证到轴的距离等于长的一半，得到，与、联立方程组解答即可判断；由为等腰三角形，则必须保证或或，分三种情况利用勾股定理解答即可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵图象与轴的交点的横坐标分别为， ∴， ∴对称轴， ∴， ∴，故本选项正确； ∵对称轴，当时，， ∴，故本选项错误； 要使为等腰直角三角形，必须保证到轴的距离等于长的一半， 而到轴的距离就是当时，的值的绝对值， 当时，， 即， ∵当时，， ∴， 又∵图象与轴的交点的横坐标分别为， ∴当时，，即， 当时，，即， 解方程组得， ， ∴只有当时，是等腰直角三角形， 故本选项正确； 要使为等腰三角形，则必须保证或或， 当时， ∵，为直角三角形， 又∵的长即为， ∴， ∵由抛物线与轴的交点在轴的负半轴上， ∴， 与、联立组成方程组得， ， 解得； 同理当时， ∵，为直角三角形， 又∵的长即为， ∴， ∵由抛物线与轴的交点在轴的负半轴上， ∴， 与、联立组成方程组得， ， 解得； 同理当时， 在中，， 在中，， ∵， ∴，此方程无解， ∴满足条件的只有两个，故本选项错误； ∴正确的结论是， 故答案为：． 23．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图像如图所示，有下列结论： ①当时，则，②， ③当时， x的取值范围是， ④当时， 有． 其中正确结论的序号为 ． 【答案】①④ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．由图象开口方向可知，由对称轴可知，与x轴的另一个交点坐标为，结合图象可判断③，根据对称轴可求得时，函数有最大值为，进而可判断①，根据与x轴的一个交点坐标为，可求得，进而可知，即可判断②，根据当时，可知，，，得，即，再结合，，即可判断④． 【详解】解：由图象开口方向可知：， ∵抛物线对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， ∴，与x轴的另一个交点坐标为， 结合图象可知，当时， x的取值范围是，故③错误； ∴，则当时，， ∴，则当时，函数有最大值，最大值为， 当时，， ∴当时，则，故①正确； ，故②错误， 当时，则，，，即：， ∴，即：， ∴， ∵，则， ∴，即：，亦即：， ∴，故④正确； 综上，正确的有①④， 故答案为：①④． 24．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 ，为抛物线上的两点，下列结论中一定正确的是 ．（填序号）；②；（是一个常数）；④若，则． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数决定抛物线的开口方向，②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置（左同右异）③常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于．④顶点决定了最值． 由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线对称轴的位置判断与0的关系；当时，；然后由图象确定，继而，再根据，抛物线开口方向向上，故A点到对称轴距离大于B点到对称轴距离得出，继而解不等式即可． 【详解】解：①如图所示，抛物线开口方向向上，则． 对称轴在轴右侧， 、异号， ， 故①正确； ②， ． ． ． 故②正确； ③根据图示知，当时，有最小值； 当时，有， 所以（是一个常数）． ∴ 故③正确． ④若， ∵抛物线开口方向向上，故A点到对称轴距离大于B点到对称轴距离， 即，即 解得：，故④错误， 综上所述，正确的结论是：①②③． 故答案为：①②③． 25．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）二次函数（，，均为常数，且）的图像经过点，点，则下列结论： ①； ②； ③若点，在抛物线上，若，则； ④若关于的方程没有实数根，则． 其中结论正确的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】由且A、B两点位于y轴两侧，可判断①；由对称轴为，可得，把代入抛物线的表达式中可判断②；由可知可能在A、B之间，也可能在B点右侧，而在B点右侧，分两种情况讨论，可判断③；由方程没有实数根可得，由此可判断④． 本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图像与系数的关系．二次函数系数a决定抛物线的开口方向和大小，一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，常数项c决定抛物线与y轴交点． 【详解】∵, ∴抛物线开口向下， 又∵抛物线与x轴的两个交点、位于y轴两侧， ∴， 故结论①正确； ∵抛物线的对称轴为 ∴， 由可知时，， ， ， 故结论②错误； ∵ ∴可能在A、B之间，也可能在B点右侧，而在B点右侧， ， 当点在A、B之间时，此时； 当在B点右侧时， 此时、都在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴， ∴当时，， 故结论③正确； 若关于x的方程没有实数根， 则， ， ， 故结论④正确． 综上，正确的有①③④ 故答案为：①③④ 26．（23-24九年级上·福建泉州·期末）抛物线（a，c是常数且，）经过点． 下列四个结论： ①该抛物线一定经过点； ②； ③若点，在该抛物线上，，则的取值范围为： ④若是方程的两个根，其中，则． 其中正确的是 ．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的性质及数形结合思想，掌握二次函数的基本性质并会灵活应用是解题的关键． 根据题意确定抛物线的对称轴，再根据图象与系数的关系逐个判断即可． 【详解】解：①抛物线经过点， ， ， 当时，， 该抛物线一定经过， 故此项正确； ②由①得：， ， ， ， ， ， ， 故此项正确； ③抛物线的对称轴为直线， ， 当时， ， 解得，或， 故此项错误． ④抛物线，对称轴为直线， 抛物线经过点，， ∵是方程的两个根，其中，， 所以两个根就是抛物线与直线交点的横坐标， ， ∴， 故此项正确， 故答案为：①②④． 27．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知二次函数（，为常数且）经过，且，下列结论：；；若关于的方程有整数解，则符合条件的的值有个；当时，二次函数的最大值为，则. 其中一定正确的有 .（填序号即可） 【答案】///// 【分析】本题考查了二次函数的性质，当时，，则，根据得，根据，得，根据得，则，即可判断正确，根据，得，即可得点在轴的下方，根据抛物线的对称轴为直线，，得抛物线与直线交点的横坐标为整数的有，则关于x的方程有整数解，则符合条件的的值有个，故正确；根据抛物线对称轴为直线，与轴的交点为，得抛物线过，根据当时，二次函数的最大值为得或，即可得；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数，当时，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ， ∴正确， ∵，， ∴， ∴点在轴的下方， ∵抛物线的对称轴为直线，，， ∴抛物线与直线交点的横坐标为整数的有， ∴关于的方程有整数解，则符合条件的的值有个， 故正确； ∵抛物线对称轴为直线，与轴的交点为， ∴抛物线过， ∵当时，二次函数的最大值为，且， ∴， ∴， 故错误， 综上，正确， 故答案为：． 28．（23-24九年级上·山东青岛·期末）二次函数（）的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程（）必有一个根大于2且小于3；③若，是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数，都有，其中正确的结论是 ． 【答案】①②⑤ 【分析】①根据函数图象分别判断a、b、c的正负，求出的正负； ②将方程转化为函数与x轴的交点，利用已知交点和对称轴找出另一交点的范围； ③根据二次函数图象的性质：当图象开口向上，离对称轴越近的点y值越小； ④用a来表示改变函数解析式，根据图象，令，得到，即，因为，所以得出； ⑤化简不等式，用a表示b，根据及不等式的性质得到只含有m的不等式，解不等式即可． 【详解】解：①根据图象可知， ∵对称轴是直线， ，即，，．故①正确． ②方程，即为二次函数与x轴的交点， 根据图象已知一个交点，关于对称， ∴另一个交点． 故②正确． ③∵对称轴是直线， ， ∴点离对称轴更近，， 故③错误． ④，，， 根据图象，令，，，，， 故④错误． ⑤，， 即证：，， ∴m为任意实数，恒成立． 故⑤正确． 综上①②⑤正确． 【点睛】本题以二次函数为背景考查了二次函数图象与系数的关系，考察查学生在函数图象中数形结合的能力．运用待定系数法，二次函数图象与x轴的交点，利用图象求出a、b、c的范围以及用特殊值法代入解析式中得到特殊的式子是解决问题关键．这类题型是中考常考题，很有参考价值． 29．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数的图象过点，，，且交轴的正半轴于点，下列结论：；；若直线与抛物线只有一个公共点，则；抛物线上的两点，，在的左边，若，则；，请将所有正确的序号填在横线上 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系及二次函数的性质，抛物线与 轴的交点，抛物线的对称性等知识点，根据二次函数的图象进行逐项分析即可，灵活运用有关知识来分析是解题的关键． 【详解】∵图象过点，，， ∴抛物线对称轴为直线，， ∴与轴交于点，即有，故正确； ∵交轴的正半轴于点， ∴抛物线开口向下， ∴，，，则，故正确； 由抛物线对称轴为直线， ∴，则， ∴代入得：， ∴抛物线，直线与抛物线只有一个公共点， ∴，整理得： ∴，解得：， ∴直线，代入得：， ∴，故正确； ∵抛物线上的两点，， ∴，， ∴， ∵，，， 即， ∴，故错误； ∵， ∴错误， ∴正确； 故答案为：． 30．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）二次函数（为常数，）的图象开口向下，与轴交于和，且．有下列结论：①；②；③若方程有两个不相等的实数根，则；④当时，若方程有四个根，则这四个根的和为，其中，正确结论的 【答案】①②③ 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，由抛物线对称性及和可得抛物线对称轴的位置，由抛物线开口向下，可得a与b的符号，由抛物线开口向下，抛物线与x轴有2个交点可得，从而判断①②，由抛物线与直线有两个交点时，抛物线顶点纵坐标大于1，可判断③，由可得函数的对称轴，由函数的对称性可得四个根的和，从而判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，在y轴左右两侧， ∴抛物线与y轴交点在x轴上方，即， ∴，①正确． ∵， ∴， ∵抛物线经过， ∴， ∴ ∴，②正确． ∵抛物线开口下， ∴抛物线与直线有两个交点时，抛物线顶点纵坐标大于1， 即， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根时，③正确． ∵， ∴抛物线对称轴为直线， 方程的根为函数与直线的交点横坐标， 由函数的对称性可得． ∴④错误． 所以，正确的结论是①②③， 故答案为：①②③． 31．（23-24九年级上·新疆省直辖县级单位·阶段练习）二次函数的部分图象如图，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③当时，的值随值的增大而增大；④当函数值时，自变量的取值范围是或；⑤若，为函数图象上的两点，则；⑥（的实数）．其中正确的结论是 （填写正确结论的序号）． 【答案】④⑥ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，地物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即），对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于．也考查了二次函数图象上点的坐标特征． 根据函数图象可得，即可判断①；利用时，可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，然后利用抛物线在轴下方对应的自变量的范围可对④进行判断；由抛物线对称轴和增减性，则可对⑤进行判断；根据函数值以及最值可判断⑥． 【详解】解：根据图象可得：， ，所以①错误； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴时，， ∴，即，所以②错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，的值随值的增大而增大，所以③错误； ∵抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴当函数值时，自变量的取值范围是或，所以④正确； 当时，若，为函数图象上的两点，则，故⑤错误； 当时，y有最大值，最大值为， 当时，， 即（的实数），故⑥正确； 故答案为：④⑥． 32．（23-24九年级上·湖北·阶段练习）已知抛物线 (a，b，c均为常数)的顶点坐标为 其中，与x轴的一个交点位于和之间，则下列结论： ① ； ②； ③若该抛物线经过点，，则 ④若关于x的一元二次方程 无实数根，则． 其中正确的结论是 ．(只填序号) 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了抛物线的性质，抛物线与一元二次方程的关系，熟练掌握性质是解题的关键，根据顶点坐标，根的判别式，点到对称轴的距离大小比较计算判断即可． 【详解】∵抛物线 (a，b，c均为常数)的顶点坐标为 其中，与x轴的一个交点位于和之间， ∴，，，， ∴，，， ∴， 故①正确；②错误； ∵，，距离对称轴越远，函数值越小， ∴， 故③正确； ∵关于x的一元二次方程 无实数根， ∴， ∴， 即 ∵， 则． 故④错误； 故答案为：①③． 33．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图所示，二次函数的图像的对称轴是直线，且经过点．有下列结论：①；②；③（为常数）；④和时函数值相等；⑤若，，在该函数图像上，则；⑥．其中错误的结论是 （填序号）．    【答案】①⑤ 【分析】根据二次函数图像与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴是直线， ∴，即， ∴， ∵经过点， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故②正确； ∵当时，函数取得最大值，最大值为， ∴当时，， ∴，故③正确； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴直线和直线与对称轴距离相等，则和时的函数值相等，故④正确； ∵抛物线的对称轴是直线，且开口向下， ∴离对称轴越近，函数值越大， ∴，故⑤错误； 当时，， ∴， ∴，故⑥正确； 故答案为：①⑤． 【点睛】本题考查二次函数图像与性质，灵活掌握利用二次函数图像与性质解决代数式符号问题的解法是解决问题的关键． 34．（23-24九年级下·安徽亳州·开学考试）若抛物线过点和两点，且顶点在第二象限． （1）若该抛物线的对称轴，则 ． （2）设，则P的取值范围是 ． 【答案】 【分析】（1）根据题意，列方程组求解即可得到答案； （2）根据题意得到，代入使，再由顶点在第二象限，分类讨论，确定抛物线开口方向，进而得到，利用不等式性质求出范围即可． 【详解】解：（1）抛物线过点和两点， ， 抛物线的对称轴， ， ，解得， ， 故答案为：； （2）抛物线过点和两点， ， ， ， 顶点坐标为，且顶点在第二象限， ， 当抛物线开口向上时，，则，，与顶点在第二象限矛盾， 抛物线开口向下，则， ， ，则，解得， ， ，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图像与性质，涉及待定系数法确定函数系数、顶点坐标及利用二次函数图像与性质确定式子范围，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键． 35．（2023·广东广州·二模）已知二次函数满足：（1）； （2）；（3）图像与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有 ． ①； ②； ③； ④． 【答案】①②④ 【分析】由可得图像过点，由、可得可判断①；图像与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2，则另一交点坐标在右侧，再代入解析式可判断②且图像对称轴一定在x轴的正半轴，即；再结合a，b异号可判定③；由可得，再代入可得，然后再根据不等式的性质给两边同除以即可解答． 【详解】解：∵ ∴图像过点 ∵，， ∴，故①正确； ∵图像与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2 ∴图像一定不过，且另一交点坐标在右侧， ∴，即②正确； ∴图像对称轴一定在x轴的正半轴， ∴， ∵a，b异号， ∴，故③此选项错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故④选项正确． 故答案为①②④． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、不等式的性质等知识点，理解二次函数的性质是解答本题的关键． 36．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动时，形状保持不变，且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），给出下列结论：①；②当时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为；④当四边形为平行四边形时，．其中正确的是 ． 【答案】②④/④② 【分析】根据顶点在线段上抛物线与y轴的交点坐标为可以判断出c的取值范围，得到①错误；根据二次函数的增减性判断出②正确；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③错误；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断出④正确． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为和， ∴线段与y轴的交点坐标为， 又∵抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与y轴的交点坐标为， ∴，（顶点在y轴上时取“=”），故①错误； ∵抛物线的顶点在线段上运动， ∴当时，y随x的增大而增大， 因此，当时，y随x的增大而增大，故②正确； 若点D的横坐标最大值为5，则此时对称轴为直线， 根据二次函数的对称性，点C的横坐标最小值时，对称轴为直线，点C的横坐标为，故③错误； 令，则， ∴， 根据顶点坐标公式可知：， ∴， ∴， ∵四边形ACDB为平行四边形， ∴， ∴， 解得，故④正确； 综上所述，正确的结论有②④． 故答案为②④． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质及平行四边形的性质，对于二次函数（a，b，c为常数，a≠0），其对称轴是直线：；．当时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小． 37．（23-24九年级上·福建泉州·期中）抛物线的最低点为，其中，抛物线与x轴交于点，则下列结论中，正确的结论有 ． ①；②；③；④关于x的方程有两个不相等实数根． 【答案】①②③ 【分析】画出大致图形，再结合二次函数的性质分析即可． 【详解】∵的最低点为，其中，抛物线与x轴交于点 ∴函数图像大致如图所示： ∵抛物线的最低点为， ∴，， ∴，， ∴， 故①正确； ∵抛物线与x轴交于点， ∴当时，； 当时，； ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 整理得： ∵ ∴ ∴，解得 ∴ 故③正确； ∵抛物线的最低点为， ∴直线与没有交点 ∴关于x的方程没有实数根 故④错误． 综上所述，正确的有①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键． 38．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图，二次函数（）的图象过点，且与x轴相交于，两点，其中，．现给出以下结论：①；②；③；④方程的解为，．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③④ 【分析】由抛物线的开口方向判断出；由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系；根据对称轴在y轴的右侧，可得a，b异号，从而可得；根据对称轴的位置判断①；根据顶点的纵坐标大于2判断②；根据图象经过点，且和时，判断③；将与联立，判断④． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线与x轴相交于，两点，其中，， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的顶点的纵坐标大于2， ∴， ∴，即，故②正确； ∵（）的图象过点， ∴， 由图象知，当时，，当时，， ∴，， 由，，得， ∴， 由，，得， ∴，故③正确； 由，，得， ∴， ∴， ∴方程的解为，．故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，涉及到抛物线的对称轴、顶点坐标、与x轴的交点、与一元二次方程的关系等，有一定难度，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 39．（23-24九年级上·湖北咸宁·阶段练习）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②16a﹣4b+c＜0；③若方程ax2+bx+c＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8．其中正确结论的是 ． 【答案】②③④ 【分析】根据抛物线图象判断参数符号判断①，由顶点坐标可得b＝4a、c＝﹣5a，进而判断②；由方程有两个根和，且，即可判断③；讨论，结合根与系数关系求四个根的和判断④． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的左侧，则b＞0，交y轴的负半轴，则c＜0， ∴abc＜0，①错误； ∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a）， ∴﹣＝﹣2，＝﹣9a， ∴b＝4a，c＝﹣5a， ∴抛物线的解析式为， ∴16a﹣4b+c＝16a﹣16a﹣5a＝﹣5a＜0，②正确； ∵抛物线交x轴于（﹣5，0），（1．0）， ∴若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根和，且，则，③正确； 若方程有四个根，设方程的两根分别为， 则＝﹣2，可得， 设方程的两根分别为，则＝﹣2，可得， 所以这四个根的和为﹣8，④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点，熟练掌握二次函数图像与系数的关系是解题的关键． 40．（23-24九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，已知顶点为（-3，-6）的抛物线经过点（-1，-4），则下列结论：① ②  ③若点在抛物线上，则④关于的一元二次方程的两根为-5和-1  ⑤，其中正确的有 ． 【答案】①②④ 【分析】利用二次函数与一元二次方程的关系及其与一元一次不等式的关系，以及二次函数的对称性可以求解． 【详解】由图象知，抛物线与x轴有两个不同的交点，只是左边那个没画出来而已， ∴由二次函数与一元二次方程的关系可知，Δ=b2-4ac＞0，从而b2＞4ac，故①正确； 已知该抛物线是开口向上，顶点为（-3，-6），故ax2+bx+c≥-6正确，从而②正确； 由抛物线的对称轴为x=-3，点（-2，m），（-5，n）在抛物线上，则点（-2，m）离对称轴的距离为1，而点（5，n）离抛物线的距离为2，开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，从而m＜n，故③错误； 由图象可知，x=-1为关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的一个根，由二次函数的对称性，可知-5为另一个根，从而④正确； ∵抛物线顶点为（-3，-6），经过点（-1，-4）， ∴抛物线解析式可以化为：， ∴， ， ∴， ∴，故⑤错误； 综上，正确的是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题属于二次函数图象的综合问题，考查了二次函数与一元二次方程，二次函数与一元一次不等式，及二次函数的对称性，难度中等． 41．（23-24·四川·一模）已知二次函数的对称轴是直线，图像如图所示．给出下面五个结论：①；②；③；④为实数，且；⑤．其中正确的有   写出所有正确结论的序号． 【答案】②③④ 【分析】利用二次函数的开口方向，对称轴直线，图像与坐标轴的交点及其二次函数的最值逐项判断即可． 【详解】∵二次函数的图像开口向下，对称轴直线在y轴的右边，且y轴交于正半轴， ∴，，， ∴，故①不正确； ∵二次函数的对称轴是直线， ∴， ∴，故②正确； ∵二次函数的图像与x轴有两个交点， ∴，故③正确； ∵二次函数的图像开口向下， ∴二次函数有最大值，且时，， ∴当，且时，， ∴， ∴，故④正确； 由图像可得，当时， ∵， ∴， ∴， ∴，故⑤不正确， 故答案为：②③④ 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 42．（19-20九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图是二次函数，，是常数，图像的一部分，与轴的交点在和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④为实数）；⑤当时，．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，然后再根据对称轴判定与0的关系，得到；当时，；然后由图像确定当取何值时，． 【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是x=1 ∴ ∴ ∴， 故②正确； ∵a≠0 ∴，故①正确； ∵与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间 结合题意，当时， ∴ 故③错误； ∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是x=1，且与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间 设点A坐标为 当时， 故⑤错误； 将代入a+b≥m（am+b） ∴ ∴ ∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下 ∴ ∴ ∵恒成立 ∴a+b≥m（am+b）成立，故④正确； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查了二次函数、不等式的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质，从而完成求解． 43．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线的顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间．下列结论：①；②；③；④一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况画出大致图象，根据二次函数与一元二次方程的关系，利用根的判别式进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵与x轴的一个交点在点和之间，图象大致如下图： ∴当时，，即，故①结论正确； ∵抛物线的对称轴为直线，即， ∴， ∵， ∴，故②结论错误； ∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线与直线有唯一交点， 即方程有两个相等的实数根， ∴， ∴故③结论正确； ∵， ∴， ∵， ∴且， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故④结论正确． 故答案为：①③④． 【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用二次函数的系数画出大致图像，会利用对称轴求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的联系，利用根的判别式判断方程的根． 44．（23-24·四川绵阳·一模）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），且对称轴为直线x＝1，其部分图象如图所示，对于此抛物线有如下四个结论：①ac>0；②9a+3b+c>0；③若m>n>0，则x＝1+m时的函数值大于x＝1﹣n时的函数值；④点（﹣，0）一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是 （填写所有正确结论的序号）． 【答案】②④ 【分析】利由抛物线的位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（4，0），代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的对称性和二次函数的性质可对③进行判断；抛物线的对称性得出点（-2，0）的对称点是（4，0），由c=-8a 即可得出-=4，则可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线交y轴的正半轴， ∴c＞0， ∴ac＜0，故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线x=1， 而点（-2，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（4，0）， ∴x=3时，y＞0，则9a+3b+c＞0，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1， ∴横坐标是1-n的点的对称点的横坐标为1+n， ∵若m＞n＞0， ∴1+m＞1+n， ∴x=1+m时的函数值小于x=1-n时的函数值，故③错误； ∵抛物线的对称轴为-=1， ∴b=-2a， ∴抛物线为y=ax2-2ax+c， ∵抛物线y=ax2+bx+c经过点（-2，0）， ∴4a+4a+c=0，即8a+c=0， ∴c=-8a， ∴-=4， ∵点（-2，0）的对称点是（4，0）， ∴点（-，0）一定在此抛物线上，故④正确， 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置；常数项c决定抛物线与y轴交点位置；抛物线与x轴交点个数由Δ决定． 45．（23-24九年级上·重庆·期末）如图，函数的图象过点和，下列判断： ①； ②； ③； ④和处的函数值相等． 其中正确的是 （只填序号）． 【答案】①③④ 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴以及与轴的交点即可判断①；根据、的符号得出，即可得到，根据时，得到，即可得到，即可判断②；根据抛物线与一元二次方程的关系即可判断③；根据抛物线的对称性即可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线交轴于正半轴， ， ， ， ，故①正确， ，， ， ， 时，，则， ， ，故②错误， 的图象过点和， 方程的根为，， 方程的根为， ， ，故③正确； 的图象过点和， 抛物线的对称轴为直线， ， 和处的函数值相等，故④正确， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于；△决定抛物线与轴交点个数：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点． 学科网（北京）股份有限公司 $$