2024年全国一卷新高考数学题型细分1-4——指对运算2

2024-06-27

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2024年全国一卷新高考题型细分1-4

——指对运算2

1、试卷主要是2024年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计202套。其中全国高考真题4套，广东47套，山东22套，江苏18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。

2、题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。

3、题型纯粹按照个人经验进行分类，没有固定的标准。

4、《指对运算》主要分类有：指对运算，指数不等式，指数值域，对数不等式，对数定义域值域，比较大小，结合不等式，指对应用等，大概112道题。

指对运算2（结合不等式）：

（2024年粤J133江门开平忠源）8．已知函数，若（其中．），则的最小值为（[i] ）．
A． B． C．2 D．4

                                                                                                                                                              （2024年湘J35湖师附一模）1. 已知，且，则是的（ [ii] ）
A. 充要条件        B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件        D. 既不充分也不必要条件

（2024年鲁J46烟台二模）4．已知，，若是的充分不必要条件，则（ [iii]）
A． B． C． D．

（多选，2024年粤J109珠海一中冲刺）10．若，则下列不等关系正确的有（ [iv] ）
A． B． C． D．

（2024年苏J02前黄一模）3. “”是“”的（ [v] ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

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C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件

（2024年冀J13示范高中）2. 已知，则下列结论一定正确的是（ [vi] ）
A. B. C. D.

（2024年冀J35部分中学评估）13．已知函数，若，则当取得最小值时， [vii] ．

（2024年湘J51师附二模）6．已知实数，则下列选项可作为的充分条件的是（ [viii] ）
A． B． C． D．

（2024年闽J19南平三检）6．关于的实系数二次不等式的解集为，若，，则的最小值为（ [ix]）
A． B． C．2 D．

（2024年闽J24漳州四检）4．设，且，则的（[x] ）
A．最小值为-3 B．最小值为3 C．最大值为-3 D．最大值为3

（2024年苏J24苏锡常镇一调）13. 已知，，则的最小值为 [xi]__________.（涉后导数）

（2024年苏J24苏锡常镇一调）13. 已知，，则的最小值为 [xii]__________.（涉后导数）

（2024年鲁J33潍坊三模）14．已知均为正实数，函数．

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（1）若的图象过点，则的最小值为；
（2）若的图象过点，且恒成立，则实数的最小值为 [xiii] ．
（中下）

（多选，2024年浙J35金华义乌三模）11．已知正实数，满足，则下列不等式可能成立的有（[xiv] ）
A． B． C． D．（涉后导数，中下）

指对运算2应用：

（2024年鲁J42青岛二适）4．对数螺线广泛应用于科技领域．某种对数螺线可以用表达，其中为正实数，是极角，是极径．若每增加个单位，则变为原来的（ [xv] ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍（指对应用）

（2024年粤J14华附二调）6. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，则15h后还剩污染物的百分数为（ [xvi] ）
A. B. C. D.

（2024年冀J26保定十校三模）8．假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为（ [xvii] ）
A． B． C． D．

（2024年浙J02嘉兴一中一模）5. 已知某物种年后的种群数量近似满足函数模型：（，当时表示2023年初的种群数量）.自2023年初起，经过年后，当该物种的种群数量不足2023年初的时，的最小值为（参考数据：）（ [xviii] ）
A. 16 B. 17 C. 18 D. 19

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[xxxiii] 8．B

【分析】根据二次函数的性质及对数的运算可得，利用均值不等式求最值即可.

【详解】,

由，

，

即，

，当且仅当，即时等号成立，

故选：B

[xxxvii] 【答案】D

【解析】

【分析】利用不等式的性质、对数运算及充分、必要条件的定义判定即可.

【详解】若，符合，但此时，不满足充分性，

若，符合，但是，不满足必要性.

故选：D

[xxxviii] 4．A

【分析】首先化简命题，依题意可得当时恒成立，参变分离可得在上恒成立，结合函数的单调性计算可得.

【详解】命题，即，

因为是的充分不必要条件，

显然当时满足，

所以当时恒成立，

则在上恒成立，

又函数在上单调递增，且，

所以.

故选：A

[xxxix] 【答案】BCD

【分析】根据题意分析可知，结合不等式性质以及基本不等式逐项分析判断.

【详解】因为，则，可得，

对于选项A：因为，可得，故A错误；

对于选项B：因为，注意，故B正确；

对于选项C：因为，注意，故C正确；

对于选项D：因为，注意，故D正确；

故选：BCD.

[xli] 【答案】A

【解析】

【分析】解指数不等式和对数不等式，求出两个命题的等价命题，进而根据充要条件的定义，可得答案．

【详解】“”“”，

“” “”，

“”是“”的充分而不必要条件，

故“”是“”的的充分而不必要条件，

故选：．

[xlii] 【答案】D

【解析】

【分析】由，得到，结合不等式的基本性质、作差比较、基本不等式和对数的运算法则，逐项判定，即可求解.

【详解】由，可得，则，

对于A中，由，所以，所以A不正确；

对于B中，由，且，则，所以B不正确；

对于C中，由，且学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材以及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！，

当时，学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材以及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！，此时；

当时，学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材以及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！，此时，所以C不正确；

对于D中，由，因为，可得，

所以，可得，所以D正确.

故选：D.

[xliv] 13．

【分析】根据题意，由条件可得，令，结合基本不等式代入计算，即可得到结果.

【详解】由得，即，令，

则

当且仅当，即时，取得最小值，此时z也取得最小值．

故答案为：.

[xlv] 6．C

【分析】利用特殊值判断A、B、D，根据指数函数的性质证明C.

【详解】取，，满足，但是推不出，故排除A；

取，，满足，但是推不出，故排除B；

取，，满足，但是推不出，故排除D；

由，，可推出，即，即，故充分性成立.

故选：C.

[xlvi] 6．C

【分析】由已知可得是一元二次方程的根，进而可得，可得

，可求的最小值.

【详解】因为关于的实系数二次不等式的解集为，

所以是一元二次方程的根，

所以，解得，所以，所以，

所以

当且仅当时取等号.

所以的最小值为.

故选：C.

[xlviii] 4．C

【分析】由已知结合基本不等式先求的范围，然后结合对数的运算性质即可求解.

【详解】因为，且，

所以，即，

当且仅当时取等号，

所以，

即.

故选：C.

[xlix] 【答案】##

【解析】

【分析】依题意可得，则，令，利用导数求出的最小值，即可得解.

【详解】，，

，，，

即，所以，

令，，

则，

所以当时，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以，当且仅当时取得.

故答案：

[li] 【答案】##

【解析】

【分析】依题意可得，则，令，利用导数求出的最小值，即可得解.

【详解】，，

，，，

即，所以，

令，，

则，

所以当时，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以，当且仅当时取得.

故答案：

[lii] 14． 9

【分析】（1）由的图象过点得，根据基本不等式“1”的妙用计算即可；

（2）由的图象过点得，进而得出，利用换元法及基本不等式即可求得的最大值，即可得出的最小值．

【详解】（1）由的图象过点得，，即，

所以，当且仅当，即时等号成立．

由恒成立得，，

（2）因为的图象过点，则，即，

当时，不合题意舍，

所以，即，则，则由得，

所以 eqIde40835cdbdd3d1559af1377cd0d372ad ，

设，

所以 eqId33e64597f1dd571125ec0466ad72f55c

eqId01b4d1ff349a7b4083d594a9e25f0d09 ，

当且仅当，即，则时，等号成立，

故答案为：9；．

【点睛】方法点睛：第二空由的图象过点得出，代入消元得出关于的齐次式，换元后根据基本不等式计算可得．

[liv] 11．ACD

【分析】将变形为，构造，，利用导数求解的单调性，即可判断的大小关系，结合

函数图像即可求解.

【详解】由可得，

记，

由于函数均为上的单调递增函数，故为上的单调递增函数，

记，则，

令，得，故在单调递增，

令，得，故在单调递减，

而，，故存在使得，

故当，，即

当时，

当时，，

故作出的大致图象如下：

$@@@6ba7efa4-fa5f-4e05-a917-7c1f328aafc9$

由图可知：当时，

当时，可得，

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：构造函数，求导判断单调性，由此判断的大小关系，数形结合求解.

[lvii] 4．B

【分析】设所对应的极径为，所对应的极径为，根据所给表达式及指数幂的运算法则计算可得.

【详解】设所对应的极径为，则，

则所对应的极径为，所以 eqId1d7c67d1a3f3dcb03fba18bfeb6948dc ，

故每增加个单位，则变为原来的倍. 故选：B

[lviii] 【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，求出，然后带入，即可求出15h后还剩污染物的百分数.

【详解】根据题意时，，又在前5h消除了的污染物，

则，

则15h后还剩污染物为，

所以15h后还剩污染物的百分数为.

故选：C

[lix] 8．C

【分析】经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌，由题意可得，，进一步求出，的通项公式，即可得出答案.

【详解】设经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌，

则，.

又，，所以，，

则，则，

所以是首项为和公差均为的等差数列，

所以，

所以，所以.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是找到的相关推递式，从而得解.

[lxi] 【答案】D

【解析】

【分析】确定2023年初的种群数量为时的函数值，根据题意可列不等式，结合对数运算即可求得答案.

【详解】由题意可知2023年初的种群数量为时的函数值，

故令，即，

则，，

由于，故n的最小值为19，

故选：D

[lxii] 【答案】C

【解析】

【分析】结合条件及对数的运算法则计算即可.

【详解】，

而学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材以及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！，故．

故选：C．

[lxiii] 4．A

【分析】根据题意，由得到求解.

【详解】解：，

，，（舍）．

eqId4efd2fed60798b574c583220c4be2be9 ，

．

故选：A

[lxv] 【答案】B

【解析】

【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数.

【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时，

由题意可得，，两边同时取自然对数并整理，

得，，

则，则给氧时间至少还需要小时

故选： B

[lxvi] 【答案】D

【解析】

【分析】由题意可知，分别将数据代入利用对数运算法则计算出，，即可求得.

【详解】根据题意，将，代入可得；

将，代入可得；

所以可知.

故选：D

[lxvii] 6.答案：B

【命题意图】：本小题考查了指对数的运算，考查了阅读能力和运算能力

【解析】由题意可知解得，则

，所以选B

[lxix] 【答案】A

【解析】

【分析】设，两种物质的初始质量均为1，求出100天后，两种物质的质量，再根据给定的关系列式化简即得.

【详解】设开始时，两种物质的质量均为1，天后，两种物质的质量分别为，，

则，，于是100天后有，，

由，得，即，于是，

所以.

故选：A

[lxx] 【答案】B

【解析】

【分析】由题意解出解析式中的参数，后解对数不等式求解即可.

【详解】由题意得，当时，，将其代入解析式，解得，

故解析式为，令，解得，

化简得，结合，可得，

所以该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为13分钟.

故选：B.

[lxxi] 【答案】C

【解析】

【分析】根据指数函数模型列不等式求解．

【详解】依题意，第n时投入资金为亿元，

设2020年后第n年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元，

则,得，

两边同取常用对数，得，所以，

所以从2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元.

故选：C．

[lxxiii] 【答案】B

【解析】

【分析】先求得，然后根据“的3倍”列方程，化简求得需要的时间.

【详解】依题意，，且时，，

即，所以，，

令，两边取以为底对数得，

所以至少需要天.

故选：B

[lxxiv] 【答案】D

【解析】

【分析】根据给定信息，列出方程并求解即可作答.

【详解】依题意，由，，得，即，

则有，解得，，

所以带宽为.

故选：D

[lxxv] 4．A

【分析】由，得到，分别代入、，得到和的值，进而得到，求解即可.

【详解】由，得到，

当时，；

当时，.

依题意，明年的产量将是今年的倍，得：，

，即，解得.

，.

故选：A.

[lxxvii] 7．D

【分析】易知，它们的初速度相等，故点的速度为，然后可以根据，求出在中点、三等分点时的，则点移动的距离可求，结合速度、时间可求．

【详解】解：由题意，点初始速度即为点的速度．

当在靠近点的三等分点时：，解得：，

当在中点时：，解得：，

所以经过的时间为：．

故选：D．

[lxxviii] 4．B

【分析】利用正态分布性质，根据信噪比的定义列式计算即可求解.

【详解】由Y服从正态分布，则的信噪比为，

又接收一次信号的信噪比为，所以 eqId42cafff5d20d3438a41fb1b6279b25e1 ，

所以累积信号Y的信噪比是接收一次信号的m倍.

故选：B

[lxxx] 【答案】B

【解析】

【分析】根据题意可得，，两式相比结合对数式与指数式的互化及换底公式即可得出答案.

【详解】解：根据题意可得，，

两式相比得，即学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材以及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！，

所以学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材以及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！ .

故选：B.

[lxxxi] 【答案】C

【解析】

【分析】根据题意得到方程组，求出，根据得到.

【详解】依题意，学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材以及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！，两式相减可得，，

故，而，故.

故选：C．

[lxxxii] 【答案】B

【解析】

【分析】先求得，然后根据“的3倍”列方程，化简求得需要的时间.

【详解】依题意，，且时，，

即，所以，，

令，两边取以为底的对数得，

所以至少需要天.

故选：B