1.4.1 空间中点、直线和平面的向量表示（第1课时）（教学课件）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第一课时 空间中点、直线和平面的向量表示 1.4.1 用空间向量研究直线、 平面的位置关系 人教A版2019高二数学（选修一）第一章 空间向量与立体几何 1 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量. 会求直线的方向向量与平面的法向量. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系. 能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判断． 牌楼与牌坊类似,是中国传统建筑之一,最早见于周朝.在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种,多设于要道口.牌楼中有一种有柱门形构筑物,一般较高大. 如图,牌楼的柱子与地面是垂直的,如果牌楼上部的下边线与柱子垂直, 我们就能知道下边线与地面平行. 这是为什么呢? 情景导入 我们已经把向量由平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题.我们发现，建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决几何问题的关键. 类比推广 建系运算 平面向量 空间向量 代数运算 5 问题1 空间向量解决立体几何中那些问题？ 可以解决立体几何中： 问题2 利用空间向量解决立体几何问题的关键是什么？ 空间向量 立体几何 对应关系 ? 点 线 面 用空间向量表示空间中点、线、面 新知探究 6 问题3 如何用向量表示一个点？ 如图，在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量. O P 定原点（参照物） 7 问题4 如何用空间向量表示空间中的直线？ a l A B P 空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l 几何中 一个点 一个方向 + 向量中 点 方向向量 如图，是直线l的方向向量，在直线l上取= ，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知： 点P在直线l上充要条件存在实数t，使得，即 (1)= 为方向向量 (2)A,B,P三点共线 除了表示直线l,还有其他方法表示吗？ （A,B,P三点共线，还有其他表示方法吗？） 8 追问 除了表示直线l,还有其他方法表示吗？ (1)= 为方向向量 (2)A,B,P三点共线（三角形法则） 空间直线的向量表示式 三角形法则 9 空间直线的向量表示式 = 方向向量 空间任意直线由直线上一点和直线的方向向量唯一确定. 概念归纳 10 问题5 如何用空间向量表示平面？ （1）不共线的三点确定一个平面 （2）直线和直线外一点确定一个平面 （3）两条相交直线确定一个平面 （4）两条平行直线确定一个平面 立体几何 空间向量 ？ 在直线中：由直线上一点和直线的方向向量唯一确定. 一个定点和两个方向向量确定一个平面？ 11 O α P 追问1 一个定点和两个方向向量确定一个平面？ 共面向量定理:如果两个向量,不共线，那么向量与向量,共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使＝x＋y OP=xa+yb 点O与向量,不仅可以确定平面α,还可以具体表示出面α内的任意一点. 这种表示在解决几何问题时有重要作用. 12 α A C P O 如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使OP＝OA＋xAB+yAC．（三角形法则） 进一步： 我们把上式称为空间平面ABC的向量表示式．由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 空间中一点和一个向量是否可以表示一个平面？ 13 问题6 空间中一点与一个方向向量如何表示一个平面？ 给定空间一点A和一条直线l 过点A且垂直于直线l的平面是唯一确定的 利用点A和直线l的方向向量来确定平面. 14 如图，直线l．取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量. 给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|·=0}. 为面的法向量 共线 如果另有一条直线m面α，在直线m 上任取向量，与有什么关系? 一个平面的法向量有无数条，他们之间的关系是共线的 概念归纳 15 空间向量表示形式 点 直线 平面 1.点+两个不共线向量 2.点+平面法向量 = 为方向向量 OP=xa+yb {P|=0} 概念归纳 16 例1：如图，在长方体 中, AB=4，：BC=3, =2, M是AB的中点. 以D为原点, DA, DC, 所在直线分别为x轴、y轴、z轴, 建立如图所示的空间直角坐标系. （1）求直线CD的方向向量； （2）求平面 的法向量； （3）求平面 的法向量. 探究：如何求直线的方向向量与求平面的法向量？ 17 （1）求直线CD的方向向量； （2）求平面 的法向量； （3）求平面 的法向量. 分析： 求直线的方向向量， 就是找到一个向量，满足它所在的直线与已知直线是平行或重合的； 18 分析： 求平面的法向量， 就是要找到一个向量，满足它所在的直线与已知平面垂直. （1）求直线CD的方向向量； （2）求平面 的法向量； （3）求平面 的法向量. 19 （1）求直线CD的方向向量； 解： D(0, 0, 0), C(0, 4, 0), 所以直线CD的方向向量是 （1）依题意可知, 20 （1）求直线CD的方向向量； 解： （1） 追问：直线CD还有其他的方向向量吗？ 共线向量 21 （2）求平面 的法向量； 解： （2）因为在长方体 中， 22 （2）求平面 的法向量； 解： 所以 面 . 所以平面 的一个法向量是 （2）因为在长方体 中， 23 （2）求平面 的法向量； 解： 因为 面 . 所以平面 的一个法向量是 追问：平面 还有其他的法向量吗？ 24 （2）求平面 的法向量； 解： 共线向量 追问：平面 还有其他的法向量吗？ （1）去两点 （2）算向量 25 （3）求平面 的法向量； 解： 所以M(3,2,0), C(0,4,0), A1(3,0,2). 所以 设 是平面 的 法向量， 则 （3）因为AB=4, BC=3, CC1=2, M是AB的中点, 26 （3）求平面 的法向量； 解： 取z =3, 则x=2, y=3. 于是 是平面 的一个法向量. （3）所以 所以 （1）算点，设法 （2）取向量:面内两个不共线向量 （3）建方程组 （4）取解 27 （1）建系 （2）算点 （3）取向量 （4）建方程组 （5）取解 几何直观 运算 逻辑 直线的方向向量 法向量的运算 概念归纳 28 同一条直线的方向向量有无穷多个，它们互相平行； 同一个平面的法向量有无穷多个，它们互相平行. 概念归纳 例题小结 29 ② 求内的不共线向量； 向量名称 图 示 求 法 直线的方向向量 平面的法向量 直线的方向向量和平面的法向量的求法 ① 设的法向量； ③ 列方程组； ④解方程组，得出结论. ① 找到； ② l 的方向向量即为平面的法向量. ① 取两点； ② 定向量. 例题小结 概念归纳 30 求平面的法向量的步骤： （1）设平面的法向量 ； （2）找出（求出）平面内两个不共线的向量的坐标 ； （3）根据法向量的定义建立关于x, y, z的方程组 （4）解方程组, 取其中一组解, 即得法向量. 概念归纳 例题小结 31 　(1)若向量a＝(2,1)是直线l1的一个方向向量，向量b＝(－1,3)是直线l2的一个法向量，则直线l1与l2的夹角的余弦值为________． 题型1　求直线的方向向量和平面的法向量 典例剖析 (2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系Oxyz，点E，F分别在棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是 (　　) A．(1，－1,3) B．(1，－1，－3) C．(2，－3,6) D．(－2,3，－6) 素养点睛：考查数学抽象、直观想象的 核心素养． 概念归纳 (5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 2．求平面法向量的三个注意点 (1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量． (2)取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量． (3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0. 练一练 √ √ × 课本练习 A B C D D1 A1 B1 C1 O A B C D D1 A1 B1 C1 x y z A B C D D1 A1 B1 C1 x y z 　已知u是平面α的一个法向量，a是直线l的一个方向向量，若u＝(3,1,2)，a＝(－2,2,2)，则l与α的位置关系是________． 错解：因为u·a＝(3,1,2)·(－2,2,2)＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0， 所以u⊥a，所以l∥α. 错解分析：错误的根本原因是忽视了直线与平面平行和向量与平面平行的区别．实际上，本例中由向量u⊥a可得l⊂α或l∥α. 正解：因为u·a＝(3,1,2)·(－2,2,2)＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0， 所以u⊥a.所以l⊂α或l∥α. 易错警示　利用向量法判断直线与平面平行 错因分析 防范措施：向量法证明线面平行的两个关注点 (1)明确理论依据 如果一条直线与一个平面的垂线垂直，那么，这条直线在平面内或与平面平行． (2)区分有关概念 直线与平面平行，直线一定在平面外，向量与平面平行，向量对应的直线可在平面内. 错因分析 分层练习-基础 B B 分层练习-基础 3．若平面α，β的法向量分别为m＝(1，－5,2)，n＝(－3,1,4)，则 (　　) A．α⊥β B．α∥β C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确 【解析】m·n＝1×(－3)＋(－5)×1＋2×4＝0，则m⊥n，所以α⊥β. 分层练习-基础 A 4．已知直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n.下列可能使l∥α的是 (　　) A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1) 【解析】要使l∥α，当且仅当a⊥n，即a·n＝0，只有D中a·n＝1×0－1×3＋3×1＝0. D 分层练习-基础 5.已知直线l与平面α垂直,直线l的一个方向向量为u=(1,-3,z),向量v=(3,-2,1)与平面α平行,则z等于(　　) A.3 B.6 C.-9 D.9 解析 由题意,得u⊥v,∴1×3+3×2+z×1=0,解得z=-9. 答案 C 分层练习-基础 6.已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则直线AB(　　) A.与坐标平面xOy平行 B.与坐标平面yOz平行 C.与坐标平面xOz平行 D.与坐标平面yOz相交 解析 因为A(9,-3,4),B(9,2,1),所以 =(0,5,-3),而坐标平面yOz的法向量为(1,0,0),显然(0,5,-3)·(1,0,0)=0,故直线AB与坐标平面yOz平行. 答案 B 分层练习-基础 7.若平面α∥β,则下面可以是这两个平面的法向量的是(　　) A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1) B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1) C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1) D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2) 解析 因为平面α∥β,所以两个平面的法向量应该平行,只有D项符合. 答案 D 分层练习-基础 8.已知平面α内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一个法向量 n=(-1,-1,-1),则不重合的两个平面α与β的位置关系是　　　　.  答案 α∥β 分层练习-基础 1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证: (1)FC1∥平面ADE; (2)平面ADE∥平面B1C1F. 分层练习-巩固 证明 如图,建立空间直角坐标系Dxyz, 则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),所以 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 2．长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求证：EF∥AC1. 分层练习-巩固 分层练习-巩固 如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求证:平面AB'D'∥平面BDC'. 解题提示： 证明面面平行常用的方法有两种,一是证明它们的法向量共线;二是转化为线面平行、线线平行即可. 分层练习-拓展 【规范答题】 证明 (方法1)设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(1,0,0),B'(1,1,1), D'(0,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0),C'(0,1,1), 分层练习-拓展 设平面AB'D'的法向量为n1=(x1,y1,z1), 令y1=1,则x1=-1,z1=-1,可得平面AB'D'的一个法向量为n1=(-1,1,-1). 设平面BDC'的法向量为n2=(x2,y2,z2). 令y2=1,则x2=-1,z2=-1,可得平面BDC'的一个法向量为n2=(-1,1,-1). 所以n1=n2,所以n1∥n2,故平面AB'D'∥平面BDC'. 分层练习-拓展 分层练习-拓展 点评：建立空间直角坐标系的关键是根据几何体的特征,尽可能找到三条两两互相垂直且相交于一点的线段,特别是有垂直关系的一些几何体,如正方体、长方体、直棱柱,有一条侧棱垂直于底面的棱锥等,其中长方体(或正方体)是最简单的模型. 分层练习-拓展 1、空间中点、直线和平面的向量表示 点→点+位置向量 线→点+方向向量 平面→点+法向量 2.求直线的方向向量 3.求平面的方向向量 课堂小结 67 【答案】(1)eq \f(7\r(2),10)　(2)A 【解析】(1)∵b＝(－1,3)是直线l2的一个法向量，∴c＝(3,1)是直线l2的一个方向向量．∴cos〈a，c〉＝eq \f(a·c,|a||c|)＝eq \f(7,\r(5)×\r(10))＝eq \f(7\r(2),10).∴直线l1与l2的夹角的余弦值为eq \f(7\r(2),10). (2)设正方体的棱长为1，平面AEF的法向量n＝(x，y，z)，则A(1,0,0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,3)))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(2,3)))，∴eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,3)))，eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,3)))，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n·\o(AE,\s\up16(→))＝0，,n·\o(EF,\s\up16(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,3)z＝0，,－x＋\f(1,3)z＝0.))不妨取x＝1，则y＝－1，z＝3，故n＝(1，－1,3)． 1．利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (2)选向量：在平面内选取两不共线向量． (3)列方程组：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up16(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up16(→))＝0，))列出方程组． (4)解方程组：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up16(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up16(→))＝0.)) 1．已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1,3)，且直线l过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y－z＝ (　　) A．0 B．1 C．eq \f(3,2) D．3 【答案】A 【解析】∵A(0，y,3)和B(－1,2，z)，∴eq \o(AB,\s\up16(→))＝(－1,2－y，z－3)．∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1,3)，∴可设eq \o(AB,\s\up16(→))＝km.∴－1＝2k,2－y＝－k，z－3＝3k，解得k＝－eq \f(1,2)，y＝eq \f(3,2)＝z.∴y－z＝0.故选A． 2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ACB1的一个法向量为 (　　) A．eq \o(BD1,\s\up16(→)) B．eq \o(DB,\s\up16(→)) C．eq \o(BA1,\s\up16(→)) D．eq \o(BB1,\s\up16(→)) 【答案】A 【解析】以D为原点建立空间直角坐标系Oxyz，正方体棱长为1. ∴B(1,1,0)，A(1,0,0)，B1(1,1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)D1(0,0,1)，C(0,1,0)，C1(0,1,1)． ∴eq \o(B1A,\s\up16(→))＝(0，－1，－1)，eq \o(B1C,\s\up16(→))＝(－1,0，－1)，eq \o(BD1,\s\up16(→))(－1，－1,1)． ∴eq \o(BD1,\s\up16(→))·eq \o(B1A,\s\up16(→))＝eq \o(BD1,\s\up16(→))·eq \o(B1C,\s\up16(→))＝0. 又∵B1A，B1C⊂平面B1AC，B1A∩B1C＝B1， ∴BD1⊥平面ACB1.同理，选项B，C，D均不符题意． 1．已知直线l的方向向量b＝(2，－1,3)，且过A(0，y,3)，B(－1,2，z)两点，则 (　　) A．y＝eq \f(1,2)，z＝eq \f(1,2) B．y＝eq \f(3,2)，z＝eq \f(3,2) C．y＝eq \f(1,2)，z＝eq \f(3,2) D．y＝eq \f(3,2)，z＝eq \f(1,2) 【解析】∵eq \o(AB,\s\up16(→))＝(－1,2－y，z－3)，b∥eq \o(AB,\s\up16(→))， ∴eq \f(2,－1)＝eq \f(－1,2－y)＝eq \f(3,z－3).∴y＝eq \f(3,2)，z＝eq \f(3,2). 2．已知A(3,5,2)，B(－1,2,1)，把eq \o(AB,\s\up16(→))按向量a＝(2,1,1)平移后所得的向量是 (　　) A．(－4，－3,0) B．(－4，－3，－1) C．(－2，－1,0) D．(－2，－2,0) 【解析】eq \o(AB,\s\up16(→))＝(－4，－3，－1)，平移后向量的模和方向是不改变的． 解析 设平面α的法向量为m=(x,y,z),由m·=0,得x·0+y-z=0,即y=z,由m·=0,得x-z=0,即x=z,取x=1,所以平面α的一个法向量m=(1,1,1),m=-n,所以m∥n,所以α∥β. =(0,2,1),=(2,0,0),=(0,2,1). (1)(方法1)设n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量,则n1⊥,n1⊥, 即得 令z1=2,则y1=-1, 所以n1=(0,-1,2).因为·n1=-2+2=0,所以⊥n1. 又因为FC1⊄平面ADE,所以FC1∥平面ADE. (方法2)设=λ+μ, 则(0,2,1)=λ(2,0,0)+μ(0,2,1), 所以解得=0·, 所以是共面向量. 又因为FC1⊄平面ADE,所以FC1∥平面ADE. (2)=(2,0,0). 设n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的法向量. 由n2⊥,n2⊥,得 令z2=2,则y2=-1,所以n2=(0,-1,2). 因为n1=n2,所以平面ADE∥平面B1C1F. 证明：如图，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则得下列各点的坐标： A(a,0,0)，C1(0，b，c)， Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a，\f(2,3)b，c))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,3)，\f(2,3)c)). 所以eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，－\f(b,3)，－\f(c,3)))，eq \o(AC1,\s\up16(→))＝(－a，b，c)， 所以eq \o(EF,\s\up16(→))＝－eq \f(1,3) eq \o(AC1,\s\up16(→)). 又因为FE与AC1不共线，所以直线EF∥AC1. 于是=(0,1,1), =(1,1,0), =(1,1,0), =(0,1,1). 则n1⊥,n⊥,即 则n2⊥,n2⊥,即 (方法2)由方法1知=(-1,0,1),=(-1,0,1),=(0,1,1),=(0,1,1),所以,即AD'∥BC',AB'∥DC', 所以AD'∥平面BDC',AB'∥平面BDC'. 又AD'∩AB'=A,所以平面AB'D'∥平面BDC'. (方法3)同方法1得平面AB'D'的一个法向量为n1=(-1,1,-1).易知=(1,1,0),=(0,1,1). 因为n1·=(-1,1,-1)·(1,1,0)=0,n1·=(-1,1,-1)·(0,1,1)=0, 所以n1也是平面BDC'的一个法向量,所以平面AB'D'∥平面BDC'. $$