2024年全国一卷数学新高考题型细分S2-4——数列 多选

2024年全国一卷新高考题型细分S2-4 ——数列——多选 1、 试卷主要是2024年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计202套。其中全国高考真题4套，广东47套，山东22套，江苏18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题型纯粹按照个人经验进行分类，没有固定的标准。 4、 《数列——多选》题目较少，分基础、中下、中档三类，大概31道题。 数列 多选（基础）： 1. （多选，2024年闽J10泉州三测）9. 等差数列中，，，若，，则（ [endnoteRef:2] ） A. 有最小值，无最小值 B. 有最小值，无最大值 C. 无最小值，有最小值 D. 无最大值，有最大值 （等差计算，基础；） [2: 【答案】AD 【解析】 【分析】先利用等差数列的通项公式求得基本量，从而得到，利用它们的表达式进行分析即可得解. 【详解】设等差数列的公差为， 依题意，得，解得， ， ， 当时，有最小值无最大值， 而， 易得，，且， 当时，， 当时，有最大值，无最小值. 故选：AD. ] 数列 多选（中下）： 2. （多选，2024年鄂J03武汉二联）10. 下列命题正确的是（[endnoteRef:3] ） A. 若、均为等比数列且公比相等，则也是等比数列 B. 若为等比数列，其前项和为，则，，成等比数列 C. 若为等比数列，其前项和为，则，，成等比数列 D. 若数列的前项和为，则“”是“为递增数列”的充分不必要条件 （等比数列，中下；） [3: 【答案】BD 【解析】 【分析】A令即可判断，B、C由等比数列定义，结合特殊值为偶数，判断；D由充分、必要性定义，结合特殊数列判断. 【详解】A：若且、公比相等，则，显然不满足等比数列，错； B：若的公比为，而，，， 所以，，是公比为的等比数列，对； C：同B分析，，，， 若为偶数，时，显然各项均为0，不为等比数列，错； D：当，则且，易知为递增数列，充分性成立； 当为递增数列，则且，显然为满足，但不恒成立，必要性不成立， 所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件，对. 故选：BD ] 3. （多选，2024年湘J08长沙适应，末）12. 设等比数列公比为，前项积为，下列说法正确的是（ [endnoteRef:4] ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且为数列的唯一最大项，则 D. 若，且，则使得成立的的最大值为20 （等比数列，中下；） [4: 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据前项积的定义和性质即可结合等比数列的性质即可逐一求解. 详解】若，则，可得，即选项A错误； 而，即选项B正确. 若，且是数列的唯一最大项. 当时，，不合题意； 当时，由，可得， 即，解得，即选项C正确. 若，当时，， 又，不满足，不合题意； 当时，由可得，，， 所以，， 则为单调递减数列， 因此当时，故，当时，故， 因此当时，数列单调递增，当时，数列单调递减， 又，，， 所以使得成立的的最大值为20，即选项D正确. 故选：BCD 【点睛】结论点睛：由首项和公比确定等比数列的单调性的几种情况： （1），时，等比数列为单调递减数列， （2），时，等比数列为单调递增数列， （3），时，等比数列为单调递增数列， （4），时，等比数列为单调递减数列， （5）时，等比数列为摆动数列， （6）时，等比数列为常数列， ] 4. （多选，2024年粤J14华附二调）9. 已知数列的前项和为，首项，且满足，则下列四个结论中正确的是（[endnoteRef:5] ） A. 数列是等比数列 B. C. D. （构造法，等比数列，中下；） [5: 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据递推关系代入即可求解AB，根据递推关系可证明是首项为，公比为的等比数列，可得，即可利用分组求和，结合等比求和公式求解CD. 【详解】对于A选项， 取，得，又，所以， 取，得，所以，显然， 即数列一定不是等比数列，所以A错误； 对于B选项， 取，得，取，得，所以，所以B正确； 对于C，D选项， 由，得， 又，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以， ，， ， 所以C，D均正确． 故选:BCD． ] 5. （多选，2024年浙J12金华一中模拟）10. 已知公差为d的等差数列前n项和为，若存在正整数，对任意正整数m，恒成立，则下列结论一定正确的是（ [endnoteRef:6] ） A. B. 有最小值 C. D. （等差，中下；） [6: 【答案】ABD 【解析】 【分析】由条件可得，然后可判断A，，然后可判断B，举例可判断C不正确，由条件可得，，可得，同号，可判断D. 【详解】由知，否则与同号． 当时，有否则与同号或， 当时，有否则与同号或，故A正确． 对于选项B，因为，所以等差数列的前n项和满足， 又的图象是抛物线， 所以必有最小值，故B正确． 对于选项C，例如数列，2，5，，选项C不成立． 由恒成立，可得，， 即，同号， 不妨设，都为负，则为正，且， 即，， 所以，故D正确， 故选：ABD． ] 6. （多选，2024年鄂J15十一校二联考）10. 如图所示的数阵的特点是：每行每列都成等差数列，该数列一共有n行n列，表示第i行第j列的数，比如，，则（ [endnoteRef:7] ） A B. 数字65在这个数阵中出现的次数为8次 C. D. 这个数阵中个数的和 （二维数列，中下；） [7: 【答案】AC 【解析】 【分析】选项AC可由等差数列的基本量法确定；选项B把65代入通项，求出共有7种组合可得B错误；选项D代入特殊值检验可判断为错误. 【详解】对于A，C选项：第i行是以为首项，以为公差的等差数列， ， 所以，故A，C正确； 对于B选项：故共出现7次，故B错误； 对于D选项，令时，，而数阵中无1，故D错误； 故选：AC. ] 7. （多选，2024年湘J22一起考二模，末）11. 已知函数是上的奇函数，等差数列的前项的和为，数列的前n项的和为.则下列各项的两个命题中，是的必要条件的是（ [endnoteRef:8] ） A. ， B. ， C. ， D. ， （等差，中下；） [8: 【答案】AD 【解析】 【分析】若是的必要条件，需证， 选项A：由及等差数列的性质可得，进而可得； 选项BC：可设，由反例证明不是的必要条件； 选项D：由等差数列的性质结合奇函数可证; 【详解】选项A：因为为等差数列，所以，得， 因函数是上的奇函数，， 所以是的必要条件，故A正确； 选项B：若，则时满足， 此时， 故不是的必要条件，故B错误； 选项C：若，满足， 但，故不是的必要条件，故C错误； 选项D：由且为等差数列 可得， 因函数是上的奇函数， 所以， 故， 故是的必要条件，故D正确； 故选：AD ] 8. （多选，2024年冀J13示范高中，末）11. 在数列中，对于任意的都有，且，则下列结论正确的是（ [endnoteRef:9] ） A. 对于任意的，都有 B. 对于任意的，数列不可能为常数列 C. 若，则数列为递增数列 D. 若，则当时， （单调性分析，中下；） [9: 【答案】ACD 【解析】 【分析】A由递推式有上，结合恒成立，即可判断：B反证法：假设为常数列，根据递推式求判断是否符合，即可判断；C、D由上，讨论、研究数列单调性，即可判断. 【详解】A：由，对有，则，即任意都有，正确； B：由，若为常数列且，则满足，错误； C：由且， 当时，此时且，数列递增； 当时，此时，数列递减； 所以时数列为递增数列，正确； D：由C分析知：时且数列递减，即时，正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：选项B应用反证法，假设为常数列求通项，判断是否与矛盾；对于C、D，将递推式变形为，讨论、时研究数列的单调性. ] 9. （多选，2024年苏J02前黄一模）10. 已知等差数列的前项和为，的公差为，则（ [endnoteRef:10] ） A. B. C. 若为等差数列，则 D. 若为等差数列，则 （等差数列，中下；） [10: 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，根据等差数列性质得到，A错误；B选项，由等差数列性质得到；C选项，计算出，要想为常数，则，故C不正确；D选项，根据等差数列通项公式的函数特征得到，D正确. 【详解】A选项，，而不一定相等，A不正确； B选项，因为，， 所以，故B正确； C选项，因为， 若为等差数列，则 ， 要想为常数，则，故C不正确； D选项，由题可知， 若为等差数列，则为关于的一次函数， 所以，即，故D正确． 故选：BD ] 10. （多选，2024年鲁J30泰安二模）9．已知等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（  [endnoteRef:11]  ） A． B． C．为递减数列 D．的前5项和为 （等差数列，中下；） [11: 9．BC 【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出公差，再逐项求解判断即可. 【详解】等差数列中，，解得，而， 因此公差，通项， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，为递减数列，C正确； 对于D，，所以的前5项和为 ，D错误. 故选：BC ] 11. （多选，2024年湘J47长沙雅礼二模）10．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（　[endnoteRef:12]　） A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 C．此人第三天走的路程占全程的 D．此人后三天共走了42里路 （等比数列，中下；） [12: 10．ABD 【分析】设第n天走an里路，则{an}是首项为a1，公比为的等比数列，由S6＝378求得首项，再逐一分析四个选项的答案． 【详解】设此人第n天走an里路，则{an}是首项为a1，公比为的等比数列， 由等比数列前n项和公式得：，解得a1＝192， A：，故此人第二天走了九十六里路，正确； B：后五天所走的路程为里，则第一天比后五天多走里，正确； C：，而，错误； D：，正确． 故选：ABD ] 12. （多选，2024年鲁J38济宁三模）10．已知数列的前项和为，且满足，数列的前项和为，且满足，则下列说法中正确的是（  [endnoteRef:13]  ） A． B．数列是等比数列 C．数列是等差数列 D．若，则 （Sn型，中下；） [13: 10．BC 【分析】由数列的前项和为求出判断B；由递推公式探讨数列的特性判断C；求出判断A；由求出，再利用裂求和法求解即得. 【详解】由，得，， 当时，，满足上式，因此， 数列是等比数列，B正确； 由，得，，解得，，A错误； 当时，，两式相减得， 于是，两式相加得， 整理得，因此数列是等差数列，C正确； 当时，等差数列的公差为1，通项，， 所以，D错误. 故选：BC ] 13. （多选，2024年鲁J40临沂二模）9．已知是等差数列，是其前n项和，则下列命题为真命题的是（[endnoteRef:14]    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若和都为递增数列，则 （等差数列，中下；） [14: 9．BC 【分析】根据题意，求得，结合，可判定A错误；根据数列的求和公式和等差数列的性质，可判定B正确；由，求得，可判定C正确；根据题意，求得任意的，结合的正负不确定，可判定D错误． 【详解】对于A中，由，， 可得，所以， 又由，所以A错误； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，由，所以， 又因为，则，所以C正确； 对于D中，因为为递增数列，可得公差， 因为为递增数列，可得， 所以对任意的，但的正负不确定，所以D错误． 故选：BC. ] 14. （多选，2024年鲁J24枣庄三月考，末）11. 将数列中的所有项排成如下数阵： 从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列；第1列数成等差数列．若，则（[endnoteRef:15] ） A. B. C. 位于第45行第88列 D. 2024在数阵中出现两次 （二维数列，中下；） [15: 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，由等差数列的通项公式求得第一列的通项公式，再由等比数列的通项公式，对各个选项分析，即可求解. 【详解】由第1列数 成等差数列，设公差为， 又由，可得，解得， 则第一列的通项公式为， 又从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列， 可得，所以A正确,B错误； 又因为每一行的最后一个数为， 且，可得是的前一个数，且在第45行， 因为这一行共有个数，则在第45行的第88列，所以C正确； 由题设可知第行第个数的大小为， 令，若，则即； 若，则即；若，则，无整数解. 故D正确. 故答案为：ACD. ] 15. （多选，2024年粤J33珠海一中预测）10. 已知数列的前项和为，，且对任意正整数，恒成立，，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ [endnoteRef:16] ） A. 数列是等比数列 B. C. D. （按提示构造新数列，Sn型求通项，分组求和，中下；） [16: 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，由时，定义法证明数列是等比数列；B选项，由A选项的结论，构造为等差数列，求出通项得；C选项，利用B选项中的结论验证；D选项，利用分组求和法求数列的前项和. 【详解】对于A，由，当时，，解得； 当时，，所以，即. 又，所以是首项为，公比为的等比数列，A正确. 对于B，由A易得，，则. 又，所以是首项为2，公差为1的等差数列. 则有，所以，B错误. 对于C，因为，，所以，C正确. 对于D，因， 所以，D错误. 故选：AC. ] 16. （多选，2024年浙J03台州一评）10. 已知等差数列中，，公差为，，记为数列的前n项和，则下列说法正确的是（ [endnoteRef:17] ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 （分奇偶项求和，中下；） [17: 【答案】BCD 【解析】 【分析】由为等差数列，先求出，由可判断选项A；对于选项B，分为奇数和偶数分别求的前项和，从而可判断; 选项C，先得出，从而得出，，再分为奇数和偶数分别求的前项和；对于选项D，由，求出，从而可求出的前项的和. 【详解】由为等差数列，，公差为，则 当时，，则选项A不正确. 当为偶数时， 当为奇数时， 故，所以选项B正确. 当为偶数时， 当为奇数时， 所以， 故选项C正确. 所以 ，所以选项D正确 故选：BCD ] 17. （多选，2024年鄂J25武汉洪山二模）10．斐波那契数列又称黄金分割数列,因意大利数学家列昂纳多-斐波那契以兔子繁殖为例子而引人,故又称为“兔子数列”,在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有直接的应用.在数学上,斐波那契数列被以下递推的方法定义:数列满足:,.则下列结论正确的是（[endnoteRef:18]    ） A． B．是奇数 C． D．被4除的余数为0 （拓展，中下；） [18: 10．BCD 【分析】A:直接法写出第8项即可; B:数列有3的倍数项为偶数,其他项为奇数的规律,用数学归纳法证明即可; C:只需证明即可,用数学归纳法证明; D:用数学归纳法证明6的倍数项为4的倍数即可. 【详解】解:由题知,关于选项A, , 故选项A错误; 关于选项B,3的倍数项为偶数,其他项为奇数,下面用数学归纳法证明: ①当时,,满足规律, ②假设当时满足为偶数,为奇数, ③当时, ,为奇数,为偶数, ,为奇数,为偶数,为奇数, ,为奇数,为偶数,为奇数, 故3的倍数项为偶数,其他项为奇数得证, 2023项是非3的倍数项,故选项B正确; 关于选项C,有成立,用数学归纳法证明如下: ①当时,,满足规律, ②假设当时满足成立, ③当时, 成立,满足规律, 故, 令, 则有成立, 故选项C正确; 关于选项D,有能被4整除成立,用数学归纳法证明如下: ①当时,,满足规律, ②假设当时,满足 ③当时, 能被4整除得证, ,能被4整除得证, 故选项D正确. 故选:BCD ] 18. （多选，2024年冀J39承德二模）9．对于给定的数列，如果存在实数，使得对任意成立，我们称数列是“线性数列”，则下列说法正确的是（[endnoteRef:19]    ） A．等差数列是“线性数列” B．等比数列是“线性数列” C．若且，则 D．若且，则是等比数列的前项和 （等差等比，中下；） [19: 9．AB 【分析】对A，B根据“线性数列”的定义进行判断；由构造法，根据数列递推公式求出通项公式可判断C; 设且，可判断D错误. 【详解】数列为等差数列，则，即， 满足“线性数列”的定义，故A正确； 数列为等比数列，则，即， 满足“线性数列”的定义，故B正确； 设，则，解出， 则，因此，故错误； 若且，则， 数列的前项和为0，显然D错误. 故选：. ] 19. （多选，2024年浙J39绍兴上虞调测）11．已知数列与满足，且，.若数列保持顺序不变，在与项之间都插入个后，组成新数列，记的前项和为，则（    [endnoteRef:20]） A． B． C． D． （等比数列，中下；） [20: 11．BCD 【分析】利用构造等比数列法判断A；继而结合可判断B；根据数列的规律，计算数列的项数，可确定，判断C，确定数列的项，利用等比数列的求和公式可判断D. 【详解】对于A，，且，则， 即数列为等比数列，，故， 则，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，新数列为，由于，， 即数列从到共有项，到共有项， 而和之间有个10，故，C正确； 对于D，结合C的分析，可得 ，D正确， 故选：BCD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键时CD选项的判断，解答时要结合数列的特点，判断数列的项数，从而确定项的取值. ] 20. （多选，2024年浙J38绍兴四月适）10．已知等比数列的公比为，前项和为，前项积为，且，，则（ [endnoteRef:21]   ） A．数列是递增数列 B．数列是递减数列 C．若数列是递增数列，则 D．若数列是递增数列，则 （等比数列，中下；） [21: 10．ACD 【分析】写出的表达式，根据，，得到或，由此即可判断AB，进一步根据递增数列的定义分别与的关系即可判断CD. 【详解】由题意可知，且，， 故有且（否则若，则的符号会正负交替，这与，，矛盾）， 也就是有或， 无论如何，数列是递增数列，故A正确，B错误； 对于C，若数列是递增数列，即，由以上分析可知只能，故C正确； 对于D，若数列是递增数列，显然不可能是，（否则的符号会正负交替，这与数列是递增数列，矛盾）， 从而只能是，且这时有，故D正确. 故选：ACD. ] 21. （多选，2024年粤J137梅州二模）10．已知数列的通项公式为，，在中依次选取若干项（至少3项），，，，，，使成为一个等比数列，则下列说法正确的是（   [endnoteRef:22] ） A．若取，，则 B．满足题意的也必是一个等比数列 C．在的前100项中，的可能项数最多是6 D．如果把中满足等比的项一直取下去，总是无穷数列 （等比数列，中下；） [22: 10．AB 【分析】根据等比数列的性质判断A、B、D，利用反例说明C. 【详解】因为数列的通项公式为， 对于A，取，，则，， 由于为等比数列，则，则有，即，故A正确； 对于B，数列的通项公式为，则， 若为等比数列，即，，，，，是等比数列， 则，，，，，，是等比数列， 故满足题意的也必是一个等比数列，故B正确； 对于C，在的前项中，可以取，，，，，，， 可以使成为一个等比数列，此时为项，故C错误； 对于D，取，，则，则， 不是数列的项， 所以把中满足等比的项一直取下去，不总是无穷数列，故D错误． 故选：AB． ] 22. （多选，2024年粤J138汕头金南三模）9．将个互不相等的数排成下表： 记，，则下列判断中，一定不成立的是（[endnoteRef:23]    ） （注：分别表示集合最大值和最小值．） A． B． C． D． （二维数列，中下；） [23: 9．ABD 【分析】根据题设条件，结合选项，逐一分析判断各个选项即可得出结果. 【详解】因为， 不妨令，则， 令，则，所以选项A不成立， 又，又，而，所以选项B不成立， 因为，若，则可能成立，所以选项C可能成立， 又， 所以，又，，故，所以选项D不成立， 故选：ABD. ] 23. （多选，2024年鄂J27宜荆荆随恩二模）10．无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（ [endnoteRef:24]   ） A．， B．， C．， D．， （等比数列，中下；） [24: 10．BC 【分析】结合选项，利用等比数列单调性分析判断即可. 【详解】，时，等比数列单调递减，故只有最大值，没有最小值； ，时，等比数列为摆动数列，此时为大值，为最小值； ，时，奇数项都相等且小于零，偶数项都相等且大于零， 所以等比数列有最大值，也有最小值； ，时，因为，所以无最大值，奇数项为负无最小值， 偶数项为正无最大值. 故选：BC ] 24. （多选，2024年鄂J19黄冈八模）9．数列满足：，则下列结论中正确的是（  [endnoteRef:25]  ） A． B．是等比数列 C． D． （等比数列，中下；） [25: 9．AC 【分析】利用已知求得，可判断A；，可得，判断BC，进而求得，判断D. 【详解】由， 当，解得，故A正确； 当，可得， 所以，所以， 即，而，故C正确，B不正确； 因，故D错误. 故选：AC. ] 25. （多选，2024年冀J46石家庄二检）9．已知数列的通项公式为，前项和为，则下列说法正确的是（ [endnoteRef:26]   ） A．数列有最小项，且有最大项 B．使的项共有项 C．满足的的值共有个 D．使取得最小值的为4 （单调性分析，中下；） [26: 9．ABD 【分析】首先利用作差法判断单调性，列出数列的前几项，再结合各选项一一判断即可. 【详解】因为，所以， 令，即，解得， 又，所以当时， 则当或时， 令，解得， 所以，， 所以数列有最小项，且有最大项，故A正确； 由，则又，所以或或或或， 所以使的项共有项，故B正确； 要使，又，所以、、中有个负数或个负数， 所以或或，故满足的的值共有个，故C错误； 因为时，时， 所以当为时取得最小值，故D正确. 故选：ABD ] 数列 多选（中档）： 26. （多选，2024年鲁J36济南名校联盟）11．已知数列满足，，，记数列的前项和为，则对任意，下列结论正确的是（ [endnoteRef:27]   ） A．存在 ，使 B．数列单调递增 C． D．（涉后导数） （涉后导数，中档；） [27: 11．BCD 【分析】利用导数证明，和均成立，从而可得BCD正确.假设A选项存在 ，使，则，与B选项中数列单调递增矛盾，可判断A. 【详解】对于B，要证数列单调递增，只需要证， 令，则， 在上单调递减，因为， 故在上存在唯一的零点， 当时，，当时，， 所以在为增函数，在上为减函数， 因为，所以当时，有即， 令，则有，故B正确； 对于A，假设存在，使得，则， 所以，所以， 与B选项中数列单调递增矛盾，故A错误； 对于C，要证，只需证， 令，则， 在上单调递减，因为， 故在上存在唯一的零点， 当时，，当时，， 所以在为增函数，在上为减函数， 因为，所以当时，有即， 令，则有，故C正确； 对于D，令，则， 在上单调递减，因为， 故在上为减函数， 因为，所以当时，总有即， 所以，即， 整理得到：，其中 故 ， …… 累加后可得即，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：数列的单调性的判断需根据相邻两项差的符号来判断，但对于较为复杂的数列（甚至是以递推关系给出的数列），其单调性、与该数列相关的不等式的证明需依靠导数来证明，在该题中，数列的通项的范围依据数学归纳法才能得到. ] 27. （多选，2024年鄂J26武昌五月检）11．已知无穷数列中，是以10为首项，以为公差的等差数列，是以为首项，以为公式的等比数列，对一切正整数，都有.设数列的前项和为，则（  [endnoteRef:28]  ） A．当时， B．当时， C．当时， D．不存在，使得成立 （等比数列，中档；） [28: 11．ABD 【分析】由等差等比数列的通项和数列为周期数列，当时，求值判断选项A；和4是等差数列中的项，求出项数n，根据数列为周期数列，周期为，解出m的值判断选项BC；若，有，设， ，由， ，可得结论判断选项D. 【详解】等差数列通项公式：，且， 等比数列通项公式：，且， 对一切正整数，都有，∴数列为周期数列，周期为， 当时，，A选项正确； 当时，由题意知，是等差数列中的项，在等差数列中，令，得， 对一切正整数，都有，则有， 解得，B选项正确； 当时，由题意知，是等差数列中的项，在等差数列中，令，得， 对一切正整数，都有，则有， 得，方程有多组解，如等等，C选项错误； ， 若， 则有， 令，函数图象抛物线对称轴， 所以在或时取最大值， 令，则 ， 所以不可能成立， 即不存在，使得，D选项正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：数列中涉及到的的递推思想、函数思想、分类讨论思想以及数列求和、求通项公式的各种方法和技巧贯穿与整个高中数学之中，本题的关键条件是：数列为周期数列，周期为，其中前项构成等差数列，通项公式，第项到第项构成等比数列，通项公式为，而和4是等差数列中的项. ] 28. （多选，2024年湘J46长沙一中二模，鄂J22黄石二中三模）11．已知数列的通项为，前项和为，则下列选项中正确的有（   [endnoteRef:29] ） A．如果，则，，使得 B．如果，则，，使得 C．如果，则，，使得 D．如果，，使得，则，，便得（涉后导数） （涉后导数，等差数列，中档；） [29: 11．ABD 【分析】A选项，得到或0，故令可得A正确；B选项，，则，取，，使得，B正确；C选项，先证明出，，故，在B选项基础上可得C错误；D选项，，故满足要求. 【详解】A选项，可以得到， 故或0，故令，则有，，使得，A正确； B选项，， 故， 则，取，，使得，B正确； C选项，下证，， 令，，则在上单调递减， 因为，， 故存在，使得， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，故在恒成立， 即，， ，则有， 又B选项可知，当，则，，使得， 同理当，则，，使得， 故当，则，，使得，C错误； D选项，如果，，使得， 则， 故对于，，便得，D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与导函数，数列与不等式，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题. ] 29. （多选，2024年湘J07株洲一检，末）12. 设的整数部分为，小数部分为，则下列说法中正确的是（[endnoteRef:30] ） A. 数列是等比数列 B. 数列是递增数列 C. D. （涉后二项式，中档；） [30: 【答案】ABC 【解析】 【分析】借助二项式展开式，得到，后逐项计算即可得. 【详解】由， ， 则 ， 由为整数，且， 故的整数部分即为， 小数部分即为， 即，； 是以为首项，为公比的等比数列， 由，，故A、B正确； ， 故C正确； ， 故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点睛：本题关键在于观察出与的展开式特点，得到是整数，且，从而得出，. ] 30. （多选，2024年鄂J04名校联盟，末）12. 已知数列的前n项和为，且，，则（ [endnoteRef:31] ） A. 当时， B. C. 数列单调递增，单调递减 D. 当时，恒有 （Sn型，中档；） [31: 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得：，，对于AB：利用作差法分析判断；对于C：分析可知是等比数列，根据等比数列通项公式结合数列单调性分析判断；对于D：分析可得，结合等比数列运算求解. 【详解】由题意可得：，， 由可知：，但， 可知对任意的，都有， 对于选项A：若， 则， 即，故A正确； 对于选项B：， 即，故B错误. 对于选项C：因为，， 则，且， 可知是等比数列，则， 设，， 可得，， 因为，可知为递增数列， 所以数列单调递增，单调递减，故C正确； 对于选项D：因，， 由，可得，即，则，即； 由，可得，即，则，即； 以此类推，可得对任意的，都有， 又因为，则， 所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：数列与函数、不等式的综合问题的常见题型 1.数列与函数的综合问题主要有以下两类： ①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题； ②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形． 2.数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等问题，需要熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题． ] 31. （多选，2024年粤J07六校联考，末）11. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数有两个不相等的实根，其中.在函数图象上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列.记，且，，下列说法正确的是（ [endnoteRef:32] ） A. （其中） B. 数列是递减数列 C. D. 数列的前项和（涉后导数） （中档；） [32: 【答案】AD 【解析】 【分析】根据可求的表达式，判断A的真假；利用导数求二次函数在处切线的斜率，进一步写出在处的切线方程，求出直线与轴的交点横坐标，得，进一步判断数列的结构特征，得到数列是等比数列，可判断BC的真假；利用公式法可求数列的前项和，判断D的真假. 【详解】对于A选项，由得，所以，故A正确. 二次函数有两个不等式实根，， 不妨设， 因， 所以， 在横坐标为的点处的切线方程为：， 令，则， 因为 所以，即： 所以为公比是2，首项为1的等比数列. 所以故BC错. 对于D选项，，得故D正确. 故选：AD ] 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$