（暑假复习）专题2 因数、倍数（核心内容梳理+常考易错题） -2024年五升六数学暑假专项提升复习讲义（苏教版）

暑假复习 专题2 因数、倍数 （核心内容梳理+常考易错题） 一、因数与倍数。 一．选择题（共8小题） 1．有35个学生要分成甲、乙两队，如果甲队人数是奇数，那么乙队人数（    ）。 A．一定是偶数 B．一定是奇数 C．一定是质数 2．古希腊人认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，例如6的因数有1，2，3，6，这几个因数之间的关系是，像6这样的数叫做“完美数”。下列各数中，是“完美数”的是（    ）。 A．16 B．20 C．28 D．32 3．在扬州举办的灯光烟火秀上，每6秒出现一次星星图案的礼花，每8秒出现一次花朵图案的礼花。在同时看到这两种礼花后，至少要过（    ）秒才可以同时再次看到这两种礼花。 A．14 B．18 C．24 D．48 4．小明和小辉7月18日两人同时去游泳馆游泳，小明每2天去一次，小辉每3天去一次，9月1日前他们同时去游泳馆是（    ）。 A．8月31日 B．8月30日 C．8月29日 D．8月28日 5．18和24的最大公因数是（    ）。 A．3 B．6 C．9 6．有一包糖果，无论平均分给6个小朋友，还是平均分给8个小朋友，都剩下3块，这包糖果至少有（    ）块。 A．51 B．27 C．24 7．一个三位数，既是3的倍数，又是5的倍数，这个数不可能是（    ）。 A．72☐ B．35☐ C．5□5 D．7□0 8．下面各数中，是5的倍数的数是（    ）。 A．220 B．122 C．101 D．109 二．填空题（共8小题） 9．a、b、c都是非零自然数。其中，a是b的倍数，b是c的因数，a和b的最大公因数是( )，b和c的最小公倍数是( )。 10．既是2的倍数又有因数3的最小的一位数是( )，最小的两位数是( )，最大的两位数是( )，最小的三位数是( )。 11．李老师买了一包糖果，平均分给3人、4人、5人都正好分完，这包糖果至少有( )颗；把糖果的颗数分解质因数是( )。 12．有两根绳子，一根长16米，另一根长24米。现在要将它们剪成同样长的短绳，不能有剩余，每根短绳最长是( )米，一共可以剪成( )根。 13．玲玲想用若干张长，宽的长方形彩纸，按下图拼成正方形，正方形的边长至少是( )厘米，至少需要( )张长方形彩纸。 14．请你用下面四张数字卡片按要求组成两位数。 0    7    4    5 (1)组成的奇数有( )，其中最大的是( )，最小的是( )。 (2)组成的数中是2的倍数有( )，5的倍数有( )。 (3)组成的既是2的倍数又是5的倍数的数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 15．天干地支，简称干支，源自中国远古时代对天象的观测。 天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸； 地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。 自古农历就借用天干地支来表示年份，例如：2021年是辛丑年，2022年是壬寅年，2023年是癸卯年……那么下一个癸卯年是( )年。 16．小华和小军都按照不同的天数轮流值日，小华每隔5天值日一次，小军每隔4天值日一次，5月20日两人同时值日，( )月( )日他们会再次同时值日。 三、计算题（共2小题） 17．我出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 13和5            25和16            17和51            24和36 18．写出每组数的最大公因数。 13和6         6和8         17和51 四．解答题（共7小题） 19．从下面的四张数字卡片中选出三张卡片，按要求组数。 （1）组成的数既是2的倍数，又是3的倍数。 （2）组成的数既是2的倍数又是5的倍数。 （3）组成的数既是3的倍数又是5的倍数。 （4）组成是是同时是2、3、5的倍数。 20．摆一摆：从0、1、3、8这4个数字卡片中选出3个，按要求组成一个三位数，并说说你的想法。 （1）组成的数是3的倍数。 （2）组成的数是偶数，同时有因数3和5。 21．200多年前，德国数学家哥德巴赫提出了一个命题：“凡是大于4的偶数都可以表示成两个奇质数的和。”这就是著名的“哥德巴赫猜想”，你能举出四个例子验证这个猜想吗？ 22．从一张长48厘米、宽38厘米的长方形纸上，剪下几个同样大的小正方形后，正好剩下一张长48厘米、宽2厘米的长方形纸条。小正方形的边长最大是多少厘米？ 23．两位同学到敬老院献爱心。他们准备了一些苹果，发现每位老人分4个会多出3个，每位老人分6个会少3个。他们一共准备了多少个苹果？ 24．妈妈买来一箱鸡蛋，有90多个，如果把它们装进8个一盒的蛋托中，正好装完；如果装进12个一盒的蛋托中，也正好装完。你能求出妈妈一共买了多少个鸡蛋吗？ 25．用一张长60厘米，宽45厘米的长方形纸剪成同样大小的等腰直角三角形，如果希望纸正好用完，那么至少能剪出多少个这样的等腰直角三角形？ 参考答案 一．选择题（共8小题） 1．【分析】根据偶数与奇数的运算性质：偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，据此判断即可。 【解答】因为35是奇数，如果甲队人数是奇数，根据奇数＋偶数＝奇数，所以乙队人数一定是偶数； 故答案为：A 2．【分析】根据“完美数”的定义，分别写出选项中的数的因数，然后把这些因数除了其本身的数相加，判断因数相加之和是否等于这个数，据此解答。 【解答】A．16的因数有：1、2、4、8、16，1＋2＋4＋8＝15，除16外其余因数相加之和不等于16，所以16不是“完美数”，不符合题意； B．20的因数有：1、2、4、5、10、20，1＋2＋4＋5＋10＝22，除20外其余因数相加之和不等于20，所以20不是“完美数”，不符合题意； C．28的因数有：1、2、4、7、14、28，1＋2＋4＋7＋14＝28，除28外其余因数相加之和等于28，所以28是“完美数”，符合题意； D．32的因数有：1、2、4、8、16、32，1＋2＋4＋8＋16＝31，除32外其余因数相加之和不等于32，所以32不是“完美数”，不符合题意。 是“完美数”的是28。 故答案为：C 3．【分析】下一次同时看到这两种礼花经过的时间应该是6和8的公倍数，又要时间最少，那么就是求6和8的最小公倍数。求两个数的最小公倍数，先将这两个数分别分解质因数，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积。据此解答。 【解答】6＝2×3 8＝2×2×2 所以6和8的最小公倍数是2×2×2×3＝24 至少要过24秒才可以再次同时看到这两种礼花。 故答案为：C 4．【分析】小明每2天去一次，小辉每3天去一次，2和3的最小公倍数是6，也就是他们两个人每6天同时去一次游泳馆游泳。通过计算得出他们7月18日到9月1日之间去游泳馆的时间是几月几日。 【解答】7月18＋6天＝7月24日 7月24＋6天＝7月30日 7月30日＋6天＝8月5日 8月5日＋6天＝8月11日 8月11日＋6天＝8月17日 8月17日＋6天＝8月23日 8月23日＋6天＝8月29日 9月1日前他们同时去游泳馆是8月29日。 故答案为：C 5．【分析】求两个数的最大公因数，如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1， 如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数， 如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，据此解答。 【解答】18＝2×3×3 24＝2×2×2×3 18和24的最大公因数是2×3＝6 故答案为：B 6．【分析】根据题意，一包糖果无论平均分给6个小朋友，还是平均分给8个小朋友，都剩下3块，说明这包糖果的总块数比6和8的公倍数还多3； 求这包糖果至少的块数，先求出6和8的最小公倍数，再加上3，即可解答。 【解答】6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24 24＋3＝27（块） 这包糖果至少有27块。 故答案为：B 7．【分析】5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。 3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【解答】A．72□，□内填0；720是5的倍数；7＋2＋0＝9；9能被3整除，720是3的倍数；□内可以填0；不符合题意； B．35□，□内填0；350是5的倍数；3＋5＋0＝8；8不能被3整除，□内不能填0； □内填5；355是5的倍数；3＋5＋5＝13；13不能被3整除，□内不能填5；□内既不能填3，也不能填5；符合题意； C．5□5；□内填5；555是5的倍数；5＋5＋5＝15；15能被3整除，□内可以填5，不符合题意； D．7□0；□内填5；750是5的倍数；7＋5＋0＝12，12能被3整除，□内可以填5；不符合题意。 一个三位数，既是3的倍数，又是5的倍数，这个数不可能是35□。 故答案为：B 8．【分析】5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。 【解答】A．220是5的倍数； B．122不是5的倍数； C．101不是5的倍数； D．109不是5的倍数。 是5的倍数的数是220。 故答案为：A 二．填空题（共8小题） 9．【分析】当两个数是倍数关系时，较小的数是它们的最大公因数，较大的数是它们的最小公倍数。据此解答即可。 【解答】a、b、c都是非零自然数。其中，a是b的倍数，b是c的因数，a和b的最大公因数是b，b和c的最小公倍数是c。 10．【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 当两个数是互质数时，它们的最小公倍数是两数的乘积。 【解答】2和3的最小公倍数是：2×3＝6 6×2＝12 6×16＝96 6×17＝102 既是2的倍数又有因数3的最小的一位数是6，最小的两位数是12，最大的两位数是96，最小的三位数是102。 11．【分析】平均分给3人、4人、5人都正好分完，那么说明糖果的数量是3、4、5的公倍数，既然求的是最小取值，那么求出最小公倍数即可。把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数，据此解答。 【解答】因3、4、5都为质数，3、4、5的最小公倍数是：3×4×5＝60（颗 把60分解质因数是：60＝2×2×3×5 12．【分析】从“剪成同样长的短绳，不能有剩余，每根短绳最长”可知，短绳的长度是16和24的最大公因数。先将16和24分解质因数，16和24全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是16和24的最大公因数。再用16和24分别除以最大公因数，再相加，即可解答。 【解答】16＝2×2×2×2 24＝2×2×2×3 16和24的最大公因数是2×2×2＝8。 16÷8＋24÷8 ＝2＋3 ＝5（根） 每根短绳最长是8米，一共可以剪成5根。 13．【分析】把长18厘米，宽10厘米的长方形纸，拼成一个正方形，求正方形的边长最小是多少厘米，就是求长和宽的最小公倍数，据此解答即可。 【解答】 所以18和10的最小公倍数是： 彩纸数量： （张） 即正方形的边长至少是90厘米，至少需要45张长方形彩纸。 【点评】本题考查最小公倍数，解答本题的关键是掌握求最小公倍数的方法。 14．【分析】根据奇数与偶数、质数与合数的意义：在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数；能被5整除的数末尾是0或5是5的倍数；既是2的倍数又是5的倍数的数的特征：个位上是0；据此写出符合条件的最小的数和最大的两位数即可。 【解答】（1）组成的奇数有47、45、57、75，其中最大的是75，最小的是45。 （2）组成的数中是2的倍数有70、74、50、54、40，5的倍数有40、45、50、70、75。 （3）组成的既是2的倍数又是5的倍数的数中，最大的数是70，最小的数是40。 15．【分析】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 已知天干有10个，地支有12个，求出天干和地支数量的最小公倍数，是下一个癸卯年的间隔时间，根据起点时间＋经过时间＝终点时间，推算出下一个癸卯年即可。 【解答】10＝2×5 12＝2×2×3 2×2×3×5＝60（年） 10和12的最小公倍数是60。 2023＋60＝2083（年） 那么下一个癸卯年是2083年。 16．【分析】根据题意，小华每隔5天值日一次，小军每隔4天值日一次，即小华每6天值日一次，小军每5天值日一次； 要求下次两人同时值日的日期，就是求6和5的最小公倍数，也就是经过的天数； 已知5月20日两人同时值日，加上经过的天数，即是两人再次同时值日的日期。 【解答】5＋1＝6（天） 4＋1＝5（天） 6和5的最小公倍数是：6×5＝30 即每30天两人再次同时值日。 5月20日＋30天＝6月19日 即6月19日他们会再次同时值日。 三、计算题（共2小题） 17．13和5的最大公因数和最小公倍数分别是：1，65； 25和16的最大公因数和最小公倍数分别是：1，400； 17和51的最大公因数和最小公倍数分别是：17，51； 24和36的最大公因数和最小公倍数分别是：12，72 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积； 如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是其中较大的数； 如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，据此解答。 【解答】13和5互质， 13×5＝65 13和5的最大公因数和最小公倍数分别是：1，65； 25和16互质， 25×16＝400 25和16的最大公因数和最小公倍数分别是：1，400； 51÷17＝3 51和17是倍数关系，它们的最大公因数和最小公倍数分别是：17，51； 24＝2×2×2×3 36＝2×2×3×3 2×2×3＝12 2×2×2×3×3＝72 24和36的最大公因数和最小公倍数分别是：12，72。 18．1；2；17 【分析】根据求两个数的最大公因数方法：两个数的公有质因数的连乘积就是这两数的最大公因数； 两个数为倍数关系时，最大公因数为较小的数； 两个数为互质数时，它们的最大公因数是1，据此解答。 【解答】13和6 13和6是互质数，最大公因数是：1 6和8 6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最大公因数是：2； 17和51 17和51是倍数关系，最大公因数是17。 四．解答题（共7小题） 19．【分析】既是2的倍数又是3的倍数特征：个位是0、2、4、6、8且每一位上数字之和能被3整除； 既是2的倍数又是5的倍数特征：个位上是0的数； 既是3的倍数又是5的倍数特征：个位是0或5且每一位上数字之和能被3整除； 同时是2、3、5的倍数特征：个位是0且每一位上数字之和能被3整除。 【解答】四张卡片中组成的三位数有：540、504、450、405、570、507、750、705、740，704、470、407。 因为5＋4＋0＝9，9÷3＝3，5＋7＋0＝12，12÷3＝4所以540、504、450、405、570、507、750、705是3的倍数；因为4＋7＋0＝11，11不能被整除3，所以740、704、470、407不是3的倍数，根据分析可得： （1）组成的数既是2的倍数又是3的倍数：540、504、450、570、750。 （2）组成的数既是2的倍数又是5的倍数：540、450、570、750、470、740。 （3）组成的数既是3的倍数又是5的倍数：540、450、405、570、750、705。 （4）组成的数同时是2、3、5的倍数：540、450、570、750。 【点评】本题考查了2、3、5的倍数特征，2和5的倍数特征只需要看个位数，3的倍数特征需要把所有数位上的数加起来。 20．【分析】（1）3的倍数特征：一个数各个数位上的数的和是3的倍数； （2）要求组成的数是偶数，同时有因数3和5，也就是组成的数同时是2、3、5的倍数，同时是2、3、5的倍数特征：个位是0，各个数位上的数字之和是3的倍数，据此解答。 【解答】故分析可知， （1）组成的数是3的倍数有：138、183、318、381、831、813、801、810、180、108； （2）组成的数是偶数，同时有因数3和5的数有：810、180； 【点评】熟练掌握2、3、5的倍数的特征是解题的关键。 21．【分析】非零自然数中除了1和它本身外没有其他的因数的数是质数；假设这个偶数是6，找出小于6的质奇数，列加法算式验证6是否可以用两个积质数的和表示。 【解答】根据“凡是大于4的偶数都可以表示成两个奇质数的和”举例： 6＝3＋3 8＝3＋5 10＝3＋7 12＝7＋5 答：经举例验证，凡是大于4的偶数都可以表示成两个奇质数的和。 （答案不唯一） 22．【分析】根据题意，剪去的长方形纸的长是48厘米、宽是38－2＝36厘米，因为剪下的几个小正方形同样大，所以小正方形的边长是48和36的公因数； 求小正方形的最大边长，就是求48和36的最大公因数；先把48和36分解质因数后，然后把它们公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数，即可得解。 【解答】38－2＝36（厘米） 48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 48和36的最大公因数是：2×2×3＝12 即小正方形的边长最大是12厘米。 答：小正方形的边长最大是12厘米。 23．【分析】由题意可知，每位老人分4个会多出3个，苹果的个数比4的倍数多3；每位老人分6个会少3个，苹果的个数比6的倍数少3，要同时满足这两个条件，苹果的个数应比4和6的最小公倍数多3，据此求出他们准备的苹果个数即可。 【解答】4＝2×2 6＝2×3 4和6的最小公倍数是2×2×3＝12。 12＋3＝15（个） 答：他们一共准备了15个苹果。 24．【分析】根据题意，鸡蛋有90多个，且鸡蛋的个数既是8的倍数，也是12的倍数。求出8和12的最小公倍数，再用最小公倍数依次乘2、3、4、5……，直到得数为90多，据此解答。 【解答】 8和12的最小公倍数是：； （个） （个） （个） 答：妈妈一共买了96个鸡蛋。 25．【解析】同样大小的两个等腰直角三角形可以拼成一个正方形，所以求出这个长方形能够至少能剪出多少个大小相同的正方形，乘2即可求出对应的等腰直角三角形的个数。 【解答】将长60厘米，宽45厘米的长方形纸剪成同样大小的正方形，那么正方形的边长是长和宽的公因数； 60和45的最大公因数是15； （个） （个） （个） （个） 答：至少能剪出24个这样的等腰直角三角形。 【点评】本题考查的是最大公因数的问题，解题的关键在于转化。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$