（暑假复习）专题2 因数、倍数、最大公因数及最小公倍数（核心内容梳理+常考易错题） -2024年五升六数学暑假专项提升复习讲义（人教版）

暑假复习 专题2 因数、倍数、最大公因数及最小公倍数 （核心内容梳理+常考易错题） 一、因数与倍数 二、最大公因数及最小公倍数 一、选择题（共8小题） 1．通过举例5＋8＝13，7＋8＝15，9＋20＝29，319＋534＝853，可以发现（    ）。 A．质数＋合数＝合数 B．奇数＋偶数＝奇数 C．奇数＋偶数＝质数 2．一个数是36的因数，又是4的倍数，下面各数中符合条件的是（    ）。 A．9 B．12 C．16 3．用2、5、8这三个数字排成一个三位数，使它是2的倍数，共有（    ）种排法。 A．8 B．6 C．4 D．2 4．在神舟十三号科学实验舱中，宇航员研究了一种细胞，该种细胞每2分钟分裂一次，每个细胞分裂一次变成2个细胞。现在有一个细胞开始分裂，10分钟后，一共分裂成了（    ）个细胞。 A．31 B．32 C．16 D．33 5．一块正方形的布料既可以裁成边长是9dm的方巾，又可以裁成边长是12dm的方巾，都无剩余。这块正方形的面料的边长至少是（    ）dm。 A．18 B．36 C．48 D．72 6．二路车和二十二路车发车的起点站相同，二路车每10分钟发一次车，二十二路车每15分钟发一次车。早晨7：00两路车同时发车，下一次同时发车的时间是（    ）。 A．7：10 B．7：15 C．7：25 D．7：30 7．“六一”儿童节，某幼儿园买了32根香蕉、20个苹果和24个梨，老师用这些水果都装礼盒，最多可装多少份同样的水果礼盒？（    ） A．1 B．3 C．2 D．4 8．五（1）班42名学生和五二班54名学生参加社会实践植树活动，按要求分组。如果两个班每组的人数相同，那么每组最多有（    ）人。 A．6 B．7 C．9 D．14 二、填空题（共8小题） 9．“五月五，过端午，粽香艾香飘满堂。”端午节，苗苗和爸爸妈妈一起包粽子，一共包了24个豆沙粽和18个火腿粽，把它们分别放在包装盒里（不可混装），要使每盒的数量相等，每盒最多装( )个。 10．五年级（1）班同学做广播操，每12人站一行，或者每9人站一行，都正好排完。这个班不到40人。这个班有( )人。 11．“六一”儿童节队列表演，从五（1）班40名同学中挑选部分演员组成方阵演出，要求既能组成每行6人的方阵，又能组成每行9人的方阵，最多可以挑选( )位同学。 12．“哥德巴赫猜想”被认为是数学皇冠上的明珠。哥德巴赫认为：所有大于2的偶数，都可以表示为两个质数的和。如：10＝7＋3，26＝7＋19，…请你将66写成两个质数的和：66＝( )＋( )。 13．有一个五位数，万位上是10以内最大的质数，千位上是最小的合数，百位上是最小的质数，十位上既是奇数又是合数，个位上既不是质数也不是合数，这个数是( )。 14．把一些袋装糖果平均分装在14个盒子里，结果正好装完。已知这些糖果在50～60袋之间，那么每盒装了( )袋糖果。 15．在献爱心活动中，五（1）班共向贫困地区捐款1□7□元，这个四位数既是3的倍数，又是5的倍数。五（1）班这次最多捐款( )元。 16．找出下面每组数的最大公因数。 10和35( )       8和14( )        30和24( )       18和27( ) 12和30( )      15和24( )       33和121( )       28和42( ) 三、计算题（共1小题） 17．写出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 20和30         35和42         8和24         11和12 四、解答题（共8小题） 18．你知道吗？为什么判断一个数是不是2或者5的倍数，只要看个位？举例说明：24＝20＋4，2485＝2480＋5，因为20、2480这样的整十数都是2或者5的倍数，所以一个数是不是2或者5的倍数只要看个位。那么为什么判断一个数是不是4的倍数，要看末两位？你能举例说明理由吗？ 19．便民超市新运进215瓶无菌消毒洗手液，如果每3瓶装一箱，能正好装完吗？如果每5瓶装一箱，能正好装完吗？为什么？ 20．彩虹社区举办广场舞大赛，参加这次比赛的老奶奶有100多名不到200名，如果站成5列且每列的人数相等，那么还少2名老奶奶，参加这次广场舞比赛的老奶奶最多有多少名？ 21．为积极响应“绿美狮山”号召，某小学用56米长的栅栏圈出一块长方形地，供师生种植花草，已知长方形的长和宽都是质数，这个长方形的面积最大是多少平方米？ 22．六一儿童节到了，五（3）班同学买了64个苹果，96颗奶糖，平均分给班里的全体同学，刚好全部分完。这个班最多有多少名同学？ 23．为助力秦安县一年一度的“桃花会”，秦安一小从五年级挑选48名女生和72名男生排成队列去刘坪镇参加合唱表演，要使女生队列和男生队列每列人数相等，那么每列最多有多少人？这时一共有几列？ 24．端午节妈妈买了40多个鸡蛋送给福利院的孩子们，如果把它们装进4个一排的蛋托里，正好装完；如果装进6个一排的蛋托里，也正好装完，你能求出有多少个鸡蛋吗？ 25．早上下了一场大雪后，豆豆和爸爸一起步测花园里一条环形小路的长度，他们从同一地点同向行走，豆豆每步长约54厘米，爸爸每步长约72厘米，两人各走完一圈后又都回到出发点，这时雪地上只留下60个脚印，这条小路长约多少米？ 参考答案 一、选择题（共8小题） 1．【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。一个数除了1和它本身外还有其他的因数，这样的数叫做合数。奇数和偶数的运算性质：偶数±偶数＝偶数，奇数±奇数＝偶数，偶数±奇数＝奇数。据此判断即可。 【解答】在举例的算式中： A．因为5＋8＝13是质数＋合数＝质数，7＋8＝15是质数＋合数＝合数，所以质数＋合数的结果不一定是合数，结论不正确。 B．因为5＋8＝13，7＋8＝15，9＋20＝29，319＋534＝853都是奇数＋偶数＝奇数，所以结论正确。 C．因为7＋8＝15是奇数＋偶数＝合数，9＋20＝29是奇数＋偶数＝质数，所以奇数＋偶数的结果不一定是质数，结论不正确。 故答案为：B 2．【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。 【解答】A．9×4＝36，9是36的因数，不是4的倍数，排除； B．12×3＝36，4×3＝12，12是36的因数，又是4的倍数，符合； C．4×4＝16，16不是36的因数，是4的倍数，排除。 一个数是36的因数，又是4的倍数，下面各数中符合条件的是12。 故答案为：B 3．【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 根据2的倍数特征可知，用2、5、8这三个数字排成一个三位数，使它是2的倍数，则这个三位数的个位上是2或8，据此列举出所有符合要求的三位数，再数一数有几种排法即可。 【解答】用2、5、8这三个数字排成一个三位数，使它是2的倍数，分别是：258、528、582、852；共有4种排法。 故答案为：C 4．【分析】先求出10分钟内分裂多少次，用10除以2得到分裂的次数为5次，那么： 第一次分裂：1×2＝2（个） 第二次分裂：2×2＝4（个） 第三次分裂：4×2＝8（个） 第四次分裂：8×2＝16（个） 第五次分裂：16×2＝32（个） 据此解答即可。 【解答】10÷2＝5（次） 1×2×2×2×2×2＝32（个） 所以，一共分裂成32个细胞。 故答案为：B 5．【分析】因为做成边长9dm和边长12dm的方巾，都没有剩余，所以这块正方形布料的边长就是9和12的公倍数，求出9和12的最小公倍数即为这块正方形面料的边长至少是多少分米。 【解答】9＝3×3 12＝2×2×3 9和12的最小公倍数是2×2×3×3＝36 因此这块正方形的面料的边长至少是36dm。 故答案为：B 6．【分析】根据题意可知，两路车的起点站相同，又同时发车，求它们下一次同时发车的间隔时间就是求10和15的最小公倍数。 先把10和15分解质因数，再把它们的公有质因数和各自独有质因数的相乘，积就是它们的最小公倍数，最后加上第一次同时发车的时刻，即是下一次同时发车的时刻。 【解答】10＝2×5 15＝3×5 10和15的最小公倍数是：2×3×5＝30 即每30分钟两路车同时发车。 7时＋30分＝7时30分 下一次同时发车的时间是7：30。 故答案为：D 7．【分析】用分解质因数的方法，将两个数进行质因数分解，找出两个数共有的质因数，并将这些共有的质因数相乘，就能够得到最大的公因数，求出32、20和24的最大公因数，就是最多可装的水果礼盒的份数。 【解答】32＝2×2×2×2×2 20＝2×2×5 24＝2×2×2×3 32、20和24的最大公因数是2×2＝4。 老师用这些水果最多可装4份同样的水果礼盒。 故答案为：D 8．【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。求出两个班人数的最大公因数，就是每组最多人数。 【解答】42＝2×3×7 54＝2×3×3×3 2×3＝6（人） 每组最多有6人。 故答案为：A 【点评】关键是理解最大公因数的意义，掌握最大公因数的求法。 二、填空题（共8小题） 9．【分析】求出24和18的最大公因数，就是每盒装的最多个数。全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 【解答】24＝2×2×2×3 18＝2×3×3 2×3＝6（个） 每盒最多装6个。 10．【分析】根据题意，每12人站一行，或者每9人站一行，都正好排完，说明这个班的总人数是12和9的公倍数； 已知这个班不到40人，先求出12和9的最小公倍数，再求最小公倍数在40以内的倍数，即是这个班的总人数。 【解答】12＝2×2×3 9＝3×3 12和9的最小公倍数是：2×2×3×3＝36 40以内36的倍数只有36，所以这个班有36人。 11．【分析】既能组成每行6人的方阵，又能组成每行9人的方阵，挑选出的总人数应该是6和9的公倍数，求出6和9的最小公倍数，再用最小公倍数分别乘2、乘3…，找到40以内的最大公倍数即可。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【解答】6＝2×3 9＝3×3 2×3×3＝18（位） 18×2＝36（位） 18×3＝54（位） 36＜40 最多可以挑选36位同学。 12．【分析】在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，比如3，只有1和它本身这两个因数，所以3是质数，据此意义将题目中的数据分解成质数相加的形式即可。（答案不唯一） 【解答】由分析可得： 66以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61； 据此可以将66写成两个质数的和：61＋5或59＋7或13＋53或19＋47或23＋43或29＋37。（每个式子前后两个加数位置可以交换） 13．【分析】根据题意，我们需要先确定10以内的质数、合数、奇数、偶数，并找出满足题目条件的数字。10以内的质数有：2，3，5，7。最小的质数是2。其中最大的质数是7。10以内的合数有：4，6，8，9，10。其中最小的合数是4。既是奇数又是合数的数字在10以内有：9（因为1不是合数，所以不考虑）。既不是质数也不是合数的数字在10以内只有：1和0。但个位上通常不用0（除非有特殊说明），所以这里我们选择1。 【解答】万位上是10以内最大的质数，即7。 千位上是最小的合数，即4。 百位上是最小的质数，即2。 十位上既是奇数又是合数，即9。 个位上既不是质数也不是合数，即1。 因此，这个五位数是74291。 14．【分析】把这些糖果平均装在14个盒子里，正好装完，则这些糖果的数量刚好是14的倍数，先求出14的倍数，再找出倍数在50～60之间，最后用这些糖果的总数除以14，所得结果即为每盒装了多少袋糖果。 【解答】14的倍数有：14，28，42，56，70…… 其中倍数在50～60之间的是56。 56÷14＝4（袋） 因此每盒装了4袋糖果。 15．【分析】既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。1□7□是5的倍数，个位可以填0或5，如果个位填0，1＋7＝8，要想是3的倍数，百位可以填1、4、7，最大是1770；如果个位填5，1＋7＋5＝13。要想是3的倍数，百位可以填2、5、8，最大是1875。比较1770和1875，即可求出最多的捐款钱数。 【解答】由分析得： 1□7□的个位填0，百位最大填7，最大是1770；个位填5，百位最大填8，最大是1875。 1875＞1770，则五（1）班这次最多捐款1875元。 16．【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。两数互质，最大公因数是1；两数成倍数关系，最大公因数是较小数，据此分析。 【解答】10＝2×5，35＝5×7所以10和35的最大公因数是5。 8＝2×2×2，14＝2×7，所以8和14的最大公因数是2。 24＝2×2×2×3，30＝2×3×5，所以24和30的最大公因数为：2×3＝6。 18＝2×3×3，27＝3×3×3，所以18和27的最大公因数是3×3＝9。 12＝2×3×2，30＝2×3×5，所以12和30的最大公因数是2×3＝6。 15＝3×5，24＝2×2×2×3，所以15和24的最大公因数是3。 33＝3×11，121＝11×11，所以33和121的最大公因数是11。 28＝2×2×7，42＝2×3×7，所以28和42的最大公因数是2×7＝14。 三、计算题（共1小题） 17．【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积； 如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是其中较大的数； 如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，据此解答。 【解答】20＝2×2×5 30＝2×3×5 2×5＝10 2×2×3×5＝60 20和30的最大公因数是10，最小公倍数是60； 35＝5×7 42＝2×3×7 35和42的最大公因数是7， 2×3×5×7＝210 35和42的最小公倍数是210； 8和24是倍数关系，所以8和24的最大公因数是8，最小公倍数是24； 11和12互质，所以11和12的最大公因数是1， 11×12＝132 11和12的最小公倍数是132。 四、解答题（共8小题） 18．【分析】整数中，只要是个位上的数是0、2、4、6、8的数是2的倍数，各位是0或5的数是5的倍数。因为100是4的倍数，所以，所有整百数都是4的倍数。由此可以得出若一个整数的末两位数能被4整除，则这个数能被4整除，即是4的倍数。据此举例验证。 【解答】224＝200＋24 2345＝2300＋45 10025＝10000＋25 答：200、2300、10000都是整百、整千、整万的数一定都是4的倍数，所以一个数是不是4的倍数，只要看这个数末两位是否是4的倍数就行了。 （答案不唯一） 19．【分析】如果215是3的倍数，则每3瓶装一箱，能正好装完，反之则不能装完。如果215是5的倍数，则每5瓶装一箱，能正好装完，反之则不能装完。根据3和5的倍数的特征进行分析。3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。 【解答】2＋1＋5＝8，8不是3的倍数，则215不是3的倍数。215个位是5，则215是5的倍数。 答：如果每3瓶装一箱，不能正好装完；如果每5瓶装一箱，能正好装完。因为215不是3的倍数，是5的倍数。 20．【分析】根据题意，如果站成5列且每列的人数相等，还少2名老奶奶，说明老奶奶的人数加上2人正好是5的倍数； 因为参加这次比赛的老奶奶有100多名不到200名，这个范围内5的倍数最大是200，再减去2，即是老奶奶最多的人数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 【解答】200是5的倍数； 200－2＝198（名） 答：参加这次广场舞比赛的老奶奶最多有198名。 21．【分析】根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，长＋宽＝周长糊2，代入数据，求出长方形地的长与宽的和，即56÷2＝28米；长方形的长和宽都是质数，把28分解成两个质数相加，再根据长方形面积公式：面积＝长×宽，求出长方形面积，比较大小即可得解。 【解答】56÷2＝28（米） 28以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23 5＋23＝28（米） 11＋17＝28（米） 长方形长是23米，宽是5米； 面积：5×23＝115（平方米） 长方形长是17米，宽是11米； 面积：11×17＝187（平方米） 115＜187，最大面积是187平方米。 答：这个长方形的面积最大是187平方米。 22．【分析】根据题意，64个苹果，96颗奶糖，平均分给班里的全体同学，刚好全部分完，说明全班总人数是64和96的公因数；求这个班最多的人数，也就是求64和96的最大公因数； 先把64和96分解质因数后，把它们公有的相同质因数乘起来就是最大公因数，据此解答。 【解答】64＝2×2×2×2×2×2 96＝2×2×2×2×2×3 64和96的最大公因数：2×2×2×2×2＝32 即最多有32名同学。 答：这个班最多有32名同学。 23．【分析】根据题意，女生队列和男生队列每列人数相等，求每列最多有多少人就是求48和72的最大公因数，总人数除以每列人数即可求出一共有几列，据此解答。 【解答】 48和72的最大公因数是，所以每列最多有24人。 （列） 答：每列最多有24人；这时一共有5列。 24．【分析】根据题意可知，鸡蛋的个数刚好是4和6的公倍数，先根据求最小公倍数的方法，求出4和6的最小公倍数，再将最小公倍数用乘法进行翻倍，找到符合题意的公倍数；求两个数的最小公倍数，先将这两个数分别分解质因数，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积。据此解答。 【解答】4＝2×2 6＝2×3 2×2×3＝12 4和6的最小公倍数是12， 12×2＝24 12×3＝36 12×4＝48 答：鸡蛋有48个。 25．【分析】从“两人各走完一圈后又都回到出发点”可知，环形小路的长度是54和72的公倍数。先用短除法求出54和72的最小公倍数是216，那么在216厘米里，豆豆的脚印有216÷54＝4个，爸爸的脚印有216÷72＝3个，每间隔216厘米就有一对脚印重合，即在每一个216厘米里有4＋3－1＝6个脚印。因为是环形小路，首尾相接，两端重合在一起，所以重合的脚印个数和间隔数相等。这条环形小路留下了60个脚印，60里有多少个6，即有多少个216厘米，即小路的长。据此解答。 【解答】 2×3×3×3×4＝216 54和72的最小公倍数是216，所以从起点开始，每216厘米有一对脚印重合。 在每一个216厘米里的脚印有： 216÷54＋216÷72－1 ＝4＋3－1 ＝6（个） 环形小路的长度： 216×（60÷6） ＝216×10 ＝2160（厘米） 2160厘米＝21.6米 答：这条小路长约21.6米 【点评】本题主要考查了公倍数的应用，关键是要根据两人步长的最小公倍数来求出两人脚印重合的步数。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$