（暑假复习）专题4 长方体和正方体（核心内容梳理+常考易错题） -2024年五升六数学暑假专项提升复习讲义（人教版）

暑假复习 专题4 长方体和正方体 （核心内容梳理+常考易错题） 一、长方体和正方体。 一、选择题（共8小题） 1．用棱长是1dm的正方体拼成一个更大一些的正方体，至少要用（    ）。 A．2块 B．4块 C．8块 D．27块 2．某学校要建一个游泳池，这个游泳池的长50m、宽30m、高1.8m，要给游泳池的四周和底面贴上瓷砖。算式50×30×1.8解决的是（    ）。 A．游泳池的空间大小 B．贴瓷砖的面积 C．游泳池的占地面积 3．一个长方体，它有一组相对的面是正方形，其余4个面的面积（    ）。 A．相等 B．不相等 C．可能相等可能不相等 D．无法确定 4．下列说法正确的有（    ）个。 ①棱长是1dm的正方体和棱长是10cm的正方体的体积一样大。 ②正方体的棱长扩大为原来的3倍，它的表面积就扩大为原来的9倍，体积扩大为原来的27倍。 ③把一个正方体铁块熔铸成长方体铁块，虽然形状变了，但体积不变。 ④求一个容器的容积就是求这个容器的体积。 A．1 B．2 C．3 D．4 5．一个棱长为的正方体，如果把它切成3个相同的长方体，每个长方体的表面积（    ）。 A．240 B．120 C．60 D．30 6．把一根长方体木料平均锯成3段，截得的每段木料长1米，宽0.3米，厚度0.4米，表面积与原来相比最少增加（    ）平方分米。 A．36 B．48 C．72 D．96 7．有长度为4厘米的小棒6根，5厘米的小棒9根，用其中的12根做成一个长方体框架（连接点长度忽略不计），这个长方体框架的棱长总和是（    ）厘米。 A．44 B．54 C．56 D．69 8．一个盒子长8分米，宽6分米，高5分米，这个盒子里最多能放（    ）个棱长是2分米的方块。 A．12 B．16 C．20 D．24 二、填空题（共8小题） 9．如图是老师为同学们准备的小棒（有多余），用这些小棒搭成一个长方体，这个长方体的体积是( )cm3。 小棒长度 根数 9cm 3 7cm 8 4cm 5 10．用54个棱长为1厘米的正方体拼成一个底面长6厘米，宽3厘米的长方体，这个长方体的表面积是( )平方厘米。 11．用铁丝焊接一个长3cm、宽2cm、高2cm的长方体框架，至少要用( )cm的铁丝。用铁皮做成个同样大小的盒子，至少要用铁皮( )。 12．在括号里填合适的单位。 一个眼药水瓶的容积是20( )。  一个蓄水池的体积是4.2( )。 一个微波炉的容量是16( )。   一张课桌桌面的面积是4800( )。 13．某装饰公司订购500根方木，每根方木长5m，横截面是一个边长为0.3m的正方形。这些方木一共有( )m3。 14．从一个长4dm、3dm、2dm的长方体上截下一个最大的正方体，正方体的体积是( )dm3，还剩下( )dm3。 15．做一个长方体玻璃柜台（下图），至少需要玻璃( )dm2，它的体积是( )dm3；如果把柜台各边都安上角铁，至少需要角铁( )m，它的占地面积是( )dm2。 16．如图，正方体的棱长为10厘米，在它的一个面上挖去一个长10厘米、宽3厘米、高3厘米的长方体后，表面积是( )平方厘米。 三、计算题（共2小题） 17．计算下边立体图形的表面积和体积。（单位：cm） 18．计算下面图形的表面积和体积。（图中单位：厘米） 四、操作题（共1小题） 19．下图正方体的上半部分涂上了阴影，请在展开图上将阴影部分补充完整。 五、解答题（共7小题） 20．一个玻璃槽（1图）中水面高度是1.5厘米，如果把这个玻璃槽重新摆放（2图）后，水面高度变为多少？ 21．一个长方体纸盒，它的底面是正方形，如果将纸盒的四个侧面展开恰好是一个边长16米的正方形，求纸盒的表面积？ 22．一个无盖的长方体铁皮水桶，底面是边长为3分米的正方形，桶高为5分米，做一个这样的水桶至少需要多少平方分米的铁皮？ 23．回家后，芳芳把小石子放进盛有水的长10厘米，宽7厘米，高18厘米的玻璃盒中，发现水面的高度从11厘米变为15厘米，芳芳捡的小石子的总体积是多少？如果将这些小石子放进盛有水的棱长为10厘米的正方体玻璃盒中，水面距盒口边沿4厘米，放入石子后，水会溢出来吗？（小石子完全浸入水中，玻璃盒壁厚忽略不计） 24．做一个长8分米，宽4分米，高3分米的无盖玻璃鱼缸，用角钢做它的框架。 （1）至少需要角钢多少米？ （2）至少需要玻璃多少平方分米？ （3）给鱼缸内装满水，最多可以装水多少升？ 25．如图，一个太阳能电池板是由6个相同的小长方体拼成的，每个小长方体的长是12分米，宽2分米，高2.5分米。 （1）要给太阳能电池板的上面涂上一层吸热材料，涂吸热材料的面积是多少平方分米？ （2）这个太阳能电池板的体积是多少立方分米？ 26．为了喜迎“六一儿童节”，不断丰富孩子们的动手实践能力，5月30日，民二小学开展“创意无限捏出精彩”的捏橡皮泥活动。君君参加这次活动时，将一个棱长是8厘米的正方体橡皮泥改捏成一个长10厘米、宽4厘米的长方体作为自己作品的底座。 （1）捏成的这个长方体底座的高是多少厘米？ （2）君君的作品快要完成时，她决定将长方体底座的各个面涂成红色，需要涂色的面积是多少平方厘米？ 参考答案 一、选择题（共8小题） 1．【分析】根据正方体的特征，12条棱都相等；那么拼成的大正方体每条棱上最少有2个正方体，根据正方体体积公式V＝a3求出至少需要正方体的块数。 【解答】如图： 2×2×2＝8（块） 至少要用8块。 故答案为：C 2．【分析】从题意可知：A选项求游泳池的空间大小，即求长方体的体积；B选项求贴瓷砖的面积，即求游泳池的前后左右面和下面共5个面的面积；C选项求游泳池的占地面积，即求游泳池下面一个面的面积。根据算式50×30×1.8所表示的意义，判断即可。 【解答】根据分析可得： 50×30×1.8是表示长×宽×高，是求长方体的体积，即题中的游泳池的空间大小，因此A选项符合题意。 故答案为：A 3．【分析】根据长方体的特征可知：长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。 【解答】如图，一个长方体的左右面是“3×3”的正方形，那么这个长方体的前后面、上下面都是“10×3”的长方形，这四个面的面积相等。 所以，一个长方体，它有一组相对的面是正方形，其余4个面的面积相等。 故答案为：A 4．【分析】①根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入相应数值计算出棱长是1dm的正方体的体积和棱长是10cm的正方体体积，再比较。 ②正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；正方体的棱长扩大为原来的3倍，则表面积扩大为原来的（3×3）倍，体积扩大为原来的（3×3×3）倍。 ③物体所占空间的大小叫做物体的体积，把正方体铁块熔铸成长方体铁块，虽然形状变了，但物体所占空间的大小不变，也就是体积没变。 ④容积和体积含义不同：体积是指物体外部所占空间部分的大小，是从物体的外部来测量；而容积是指它内部容纳物体的多少，是从物体的内部测量的。 【解答】①棱长是1dm的正方体体积：1×1×1＝1（dm3） 棱长是10cm的正方体体积： 10cm＝1dm 1×1×1＝1（dm3），所以棱长是1dm的正方体和棱长是10cm的正方体的体积一样大。原题说法正确； ②正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长； 3×3＝9，3×3×3＝27，所以正方体的棱长扩大为原来的3倍，则表面积扩大为原来的9倍，体积扩大为原来的27倍。原题说法正确； ③把一个正方体铁块熔铸成长方体铁块，虽然形状变了，但物体所占空间的大小不变，也就是体积不变。原题说法正确； ④一个容器的容积是从它的内部测量的，一个容器的体积是从它的外部测量的，因此求一个容器的容积并不是就是这个容器的体积。原题说法错误。 因此说法正确的有①②③一共有3个。 故答案为：C 5．【分析】根据正方体切成3个相同长方体的方法可知：6÷3＝2dm。所以切割后的长方体的长是6dm，宽是6dm，高是2dm，根据长方体表面积公式：面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【解答】6÷3＝2（dm） （6×6＋6×2＋6×2）×2 ＝（36＋12＋12）×2 ＝（48＋12）×2 ＝60×2 ＝120（dm2） 一个棱长为的正方体，如果把它切成3个相同的长方体，每个长方体的表面积120dm2。 故答案为：B 6．【分析】把一根长方体木料平均锯成3段，也就是需要锯2次，每锯一次增加2个面，锯两次增加2×2＝4个面，要想增加的表面积最少，平行于最小的那个面（0.3×0.4）锯就行了，先求出一个面的面积再乘4即可。 【解答】0.3米＝3分米 0.4米＝4分米 3×4×4 ＝12×4 ＝48（平方分米） 表面积与原来相比最少增加48平方分米。 故答案为：B 7．【分析】根据长方体的特征，长方体有12条棱，相对的棱的长度相等，长方体有6个面，一般情况6个面都是长方形，特殊情况有两个相对的面是正方形。已知4厘米的小棒6根，5厘米的小棒9根，用其中的12根做成一个长方体框架，这个长方体的长、宽都是4厘米时，需要8根长4厘米的小棒，很显然这种情况不可能。那么这个长方体的长、宽都是5厘米，高是4厘米。根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，把数据代入公式解答。 【解答】（5＋5＋4）×4 ＝14×4 ＝56（厘米） 这个长方体的棱长总和是56厘米。 故答案为：C 8．【分析】本题主要是从长方体的体积推导过程去理解做题，因为盒子的长是8分米，所以能放4个棱长是2分米的方块；因为盒子的宽是6分米，所以能放3个棱长是2分米的方块；因为盒子的高是5分米，所以能放2个棱长是2分米的方块；防控这个盒子里最多能放棱长2分米的方块的块数＝长边放的块数×宽边放的块数×高边放的块数，由此即可解答。 【解答】8÷2＝4（个） 6÷2＝3（个） 5÷2＝2（个）……1（分米） 4×3×2 ＝12×2 ＝24（个） 这个盒子里最多能放24个棱长是2分米的方块。 故答案为：D 【点评】本题主要考查学生对于长方体体积的理解程度。 二、填空题（共8小题） 9．【分析】根据长方体的特征可知：长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，即长、宽、高各有4条。 从表中的数据可知，9cm长的小棒只有3根，3＜4，数量不够，所以9cm的小棒不能作为长方体的任何一条棱； 只能选8根7cm的小棒和4根4cm的小棒作为长方体的长、宽、高，再根据长方体的体积＝长×宽×高，求出它的体积。 【解答】搭成一个长7cm、宽7cm、高4cm的长方体。 7×7×4 ＝49×4 ＝196（cm3） 这个长方体的体积是196cm3。 10．【分析】因为用54个棱长为1厘米的正方体拼成的长方体，所以长方体的体积就是54个小正方体的体积和。由正方体的体积公式可以求出每个小正方体的体积是1×1×1＝1立方厘米，接着可求出54个小正方体的体积，即1×54＝54立方厘米，也就是长方体的体积是54立方厘米；由长方体的体积除以长方体的底面积（即长方体长和宽的积）可以求出长方体的高，最后再根据长方体的表面积公式＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，即可求得长方体的表面积。 【解答】小正方体的体积：1×1×1＝1（立方厘米） 长方体的体积：1×54＝54（立方厘米） 长方体的高： 54÷（6×3） ＝54÷18 ＝3（厘米） 长方体的表面积： （6×3＋6×3＋3×3）×2 ＝（18＋18＋8）×2 ＝45×2 ＝90（平方厘米） 【点评】这道题主要考查的是长方体表面积、体积公式的实际应用，关键是求出长方体的高； 11．【分析】铁丝长度相当于长方体棱长总和，长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4；需要的铁皮面积相当于长方体表面积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此列式计算。 【解答】（3＋2＋2）×4 ＝7×4 ＝28（cm） （3×2＋3×2＋2×2）×2 ＝（6＋6＋4）×2 ＝16×2 ＝32（） 至少要用28cm的铁丝。至少要用铁皮32。 12．【分析】根据面积、体积和容积单位的认识，以及生活经验进行填空。 棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米，大约是1个手指头的大小，1立方厘米＝1毫升，所以一个眼药水瓶的容积是20毫升； 棱长1米的正方体，体积是1立方米，大约是1个家用冰箱的大小，所以一个蓄水池的体积是4.2立方米； 棱长1分米的正方体，体积是1立方分米，大约是两个拳头的大小，1立方分米＝1升；所以一个微波炉的容量是16升； 边长1厘米的正方形，大约是1个指甲盖的大小，所以一张课桌桌面的面积是4800平方厘米。 【解答】由分析可得，一个眼药水瓶的容积是20毫升；一个蓄水池的体积是4.2立方米；一个微波炉的容量是16升；一张课桌桌面的面积是4800平方厘米。 13．【分析】把每根方木看作是一个底面是正方形，边长为0.3m，高为5m的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入相应数值计算出一根方木的体积，最后再乘500即可。 【解答】0.3×0.3×5×500 ＝0.09×5×500 ＝0.45×500 ＝225（m3） 因此这些方木一共有225m3。 14．【分析】先利用长方体体积＝长×宽×高，求出体积，然后将一个长方体截成一个最大的正方体，这个正方体的棱长就是长方体最短的边长，利用正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出体积后，用长方体体积减去正方体体积即可解答。 【解答】4×3×2 ＝12×2 ＝24（dm3） 2×2×2 ＝4×2 ＝8（dm3） 24－8＝16（dm3） 正方体的体积是8dm3，还剩下16dm3。 15．【分析】根据题意，求长方体玻璃柜的面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；求玻璃柜台的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高；求角铁的长度，根据长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4；求出玻璃柜台的占地面积，用柜台的长×宽，代入数据解答即可。 【解答】（20×4＋20×8＋4×8）×2 ＝（80＋160＋32）×2 ＝（240＋32）×2 ＝272×2 ＝544（dm2） 20×4×8 ＝80×8 ＝640（dm3） （20＋4＋8）×4 ＝（24＋8）×4 ＝32×4 ＝128（dm） 128dm＝12.8m 20×4＝80（dm2） 做一个长方体玻璃柜台（下图），至少需要玻璃544dm2，它的体积是640dm3；如果把柜台各边都安上角铁，至少需要角铁12.8m，它的占地面积是80dm2。 16．【分析】通过观察可知，挖去后的立体图形面积比原来减少了左右两个边长为3厘米的正方形面积，增加了两个长为10厘米、宽为3厘米的长方形面积，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方形的面积＝边长×边长以及长方形的面积＝长×宽，用原来的正方体的表面积－两个边长为3厘米的正方形面积＋两个长为10厘米、宽为3厘米的长方形面积即可求出现在立体图形的表面积。 【解答】10×10×6－3×3×2＋10×3×2 ＝600－18＋60 ＝642（平方厘米） 表面积是642平方厘米。 【点评】解答本题的关键是明确立体图形减少了哪些面，增加了哪些面。 三、计算题（共2小题） 17．【分析】观察图形可知，正方体与长方体有重合的部分，把正方体的上面向下平移，补给长方体的上面；这样长方体的表面积是6个面的面积之和，而正方体只需计算4个面（前后面和左右面）的面积； 组合图形的表面积＝长方体的表面积＋正方体4个面的面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体4个面的面积＝棱长×棱长×4，代入数据计算求解。 组合图形的体积＝长方体的体积＋正方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算求解。 【解答】表面积： （8×3＋8×3＋3×3）×2＋3×3×4 ＝（24＋24＋9）×2＋9×4 ＝57×2＋36 ＝114＋36 ＝150（cm2） 体积： 8×3×3＋3×3×3 ＝72＋27 ＝99（cm3） 立体图形的表面积是150cm2，体积是99cm3。 18．【分析】图中组合图形的表面积等于长为80厘米，宽为35厘米，高为65厘米的长方体的表面积减去4个边长10厘米的正方形的面积，分别利用长方体的表面积＝（ab＋ah＋bh）×2和正方形的面积＝a2，再相减即可求出组合图形的表面积； 图中的组合图形的体积等于长为80厘米，宽为35厘米，高为65厘米的长方体的体积减去2个长为10厘米，宽为10厘米，高为35厘米的长方体的体积，利用长方体的体积＝abh，再相减即可求出组合图形的体积。 【解答】图形的表面积：（80×35＋80×65＋35×65）×2－10×10×4 ＝（2800＋5200＋2275）×2－100×4 ＝（8000＋2275）×2－400 ＝10275×2－400 ＝20550－400 ＝20150（平方厘米） 图形的体积：80×65×35－2×10×10×35 ＝5200×35－20×10×35 ＝182000－200×35 ＝182000－7000 ＝175000（立方厘米） 四、操作题（共1小题） 19．见详解 【分析】本题属于“1—4—1”型的正方体展开图，折成正方体后，1号和6号是相对面，2号和4号是相对面，3号和5号是相对面，其中3号全部涂上阴影，与3号相邻的1号、2号、4号、6号一半涂上阴影，1号和2号右半部分涂上阴影，4号左半部分涂上阴影，6号下半部分涂上阴影，据此解答。 【解答】分析可知： 【点评】本题主要考查正方体的展开图，明确展开图中的涂色正方形与哪些面相邻，关键要有空间想象能力。 五、解答题（共7小题） 20．【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，用15×2×1.5即可求出水的体积，把这个玻璃槽重新摆放（2图）后，体积不变，底面变为（2×3）平方厘米，用水的体积除以（2×3）即可求出现在水的高度。 【解答】15×2×1.5＝45（立方厘米） 45÷（2×3） ＝45÷6 ＝7.5（厘米） 答：如果把这个玻璃槽重新摆放后，水面高度变为7.5厘米。 21．【分析】看图可知，侧面展开的正方形边长÷4＝底面正方形的边长，这个纸盒的表面积＝侧面展开的正方形边长×边长＋底面正方形的边长×边长×2，据此列式计算。 【解答】16÷4＝4（米） 16×16＋4×4×2 ＝256＋16×2 ＝256＋32 ＝288（立方米） 答：纸盒的表面积是288立方米。 22．【分析】求做一个无盖的长方体铁皮水桶至少需要铁皮的面积，就是求长方体的下面、前后面、左右面共5个面的面积之和。 已知这个长方体水桶的底面是边长为3分米的正方形，桶高为5分米，那么这个长方体的下面是“3×3”的正方形，前后面、左右面都是“3×5”的长方形，据此求出这5个面的面积之和即可。 【解答】3×3＋3×5×4 ＝9＋60 ＝69（平方分米） 答：做一个这样的水桶至少需要69平方分米的铁皮。 23．【分析】水面上升的体积就是小石子的总体积，玻璃盒的长×宽×水面上升的高度＝小石子的总体积；正方体玻璃盒的棱长×棱长×水面距盒口边沿距离＝正方体玻璃盒剩余容积，与小石子的总体积比较即可。 【解答】10×7×（15－11） ＝70×4 ＝280（立方厘米） 10×10×4＝400（立方厘米） 280＜400 答：芳芳捡的小石子的总体积是280立方厘米，水不会溢出来。 24．【分析】（1）把这个无盖玻璃鱼缸看作是一个长8分米，宽4分米，高3分米的长方体，要求需要角钢多少米，也就是求这个长方体的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入相应数值计算，注意单位的换算。 （2）要求需要玻璃多少平方分米，也就是求这个长方体鱼缸5个面的面积之和，代入相应数值计算即可解答。 （3）根据长方体的体积＝长×宽×高，代入相应数值计算出长方体鱼缸的体积，把结果换算成升为单位，即为最多可以装水多少升。 【解答】（1）（8＋4＋3）×4 ＝15×4 ＝60（分米） 60分米＝6米 答：至少需要角钢6米。 （2）8×4＋8×3×2＋4×3×2 ＝32＋48＋24 ＝104（平方分米） 答：至少需要玻璃104平方分米。 （3）8×4×3＝96（立方分米） 96立方分米＝96升 答：最多可以装水96升。 25．【分析】（1）观察图形可知，太阳能电池板的上面是6个长12分米、宽2分米的长方形，根据长方形的面积公式S＝ab，求出一个面的面积，再乘6即可。 （2）先根据长方体的体积公式V＝abh，求出一个小长方体的体积，再乘6，即是这个太阳能电池板的体积。 【解答】（1）12×2×6 ＝24×6 ＝144（平方分米） 答：涂吸热材料的面积是144平方分米。 （2）12×2×2.5 ＝24×2.5 ＝60（立方分米） 60×6＝360（立方分米） 答：这个太阳能电池板的体积是360立方分米。 26．【分析】（1）根据体积的意义可知，把正方体橡皮泥捏成长方体后体积不变，根据正方体的体积公式：V＝a3，长方体的体积公式：V＝abh，那么h＝V÷ab，把数据代入公式解答。 （2）根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式解答。 【解答】（1）8×8×8÷（10×4） ＝64×8÷40 ＝512÷40 ＝12.8（厘米） 答：捏成的这个长方体底座的高是12.8厘米。 （2）（10×4＋10×12.8＋4×12.8）×2 ＝（40＋128＋51.2）×2 ＝219.2×2 ＝438.4（平方厘米） 答：需要涂色的面积是438.4平方厘米。 【点评】本题考查正方体、长方体的体积、长方体的表面积，解答本题的关键是熟记公式。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$