精品解析：江苏省连云港市赣榆区三校联考2023-2024学年七年级下学期6月月考数学试题

江苏连云港赣榆2023-2024学年度第二学期三校联考 七年级数学试题 （考试时间：100分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．下列各题的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项的对应字母涂黑） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）． A. B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 5. 在一次中学生创客比赛中，某八年级学生设计了一款机器狗，机器狗运行的程序如图所示．将该机器狗放置在平面上运行至结束，它的移动距离为（　　） A. 12米 B. 8米 C. 6米 D. 不能确定 6. 如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将一块含有角的直角三角尺放置在两条平行线上，若，则为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，点在边上（如图1），先将沿着翻折，使点落在点处，交于点（如图2），再将沿着翻折，点恰好落在上的点处，此时（如图3），则的度数为（ ） A. 66° B. 23° C. 46° D. 69° 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 预防新型冠状病毒感染要注意用肥皂勤洗手，肥皂泡的厚度约为米，用科学记数法表示为_______________ 10. ①如果，那么②如果两个数的值相等，那么这两个数的绝对值一定相等③ 两条直线被第三条直线所截，同位角相等④如果，那么，这些命题中是真命题的是_________．（只填写序号） 11. 已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是_____． 12. 若，则代数式的值为__________． 13. 要使的展开式中不含项，则________． 14. 如图所示，是我们生活中经常接触的小刀，刀柄外形是一个直角梯形（挖去一小半圆），刀片上下是平行的，转动刀片时会形成∠1、∠2，则__________． 15. 如图1，一个容量为的杯子中装有的水，将三颗大小相同的玻璃球放这个杯子中，结果杯中的水没有满如图，设每颗玻璃球的体积为，根据题意可列不等式为______． 16. 已知，大正方形的边长为10厘米，小正方形的边长为4厘米，起始状态如图所示．大正方形固定不动，把小正方形以1厘米秒的速度向右沿直线平移．设平移的时间为秒，两个正方形重叠部分的面积为平方厘米．当时，小正方形平移的时间为_________________秒． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1） （2）． 18. 将下列各式因式分解： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 解方程组与不等式组，并在数轴上表示不等式组的解集 （1） （2） 21. 如图，，是的平分线，平分交于点，试说明．请补全推理过程，并在括号内填上相应的理由； ∵， ∴______（_______________）． ∵平分， ∴______（_______________）． 同理______． ∴______． ∴（_______________）． 22. 如图，在方格纸内将水平向右平移4个单位得到． （1）画出； （2）若连接，，则这两条线段之间的关系是_________； （3）画出边上的中线；（利用网格点和直尺画图） （4）图中能使的格点P有_________个（点P异于点A）． 23. 已知关于的方程组 （1）请直接写出方程的所有正整数解 ； （2）无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； （3）若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 24. 现要在长方形草坪中规划出3块大小，形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花． （1）如图，大长方形的相邻两边长分别为60m和45m，求小长方形的相邻两边长． （2）如图，设大长方形的相邻两边长分别为a和b，小长方形的相邻两边长分别为和． ①1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． ②若种植鲜花的面积是整块草坪面积的，求x和y满足的关系式（不含a，b）． 25. 杭州市甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 套（含39套） 套（含69套） 70套及以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 经调查：两个乐团共85人（甲乐团人数不少于46人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费6300元．请回答以下问题： （1）如果甲、乙两个乐团联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省多少元？ （2）甲、乙两个乐团各有多少名学生？ （3）现从甲乐团抽调a人，从乙乐团抽调b人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责5位小朋友，乙乐团每位成员负责3位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由． 26. 我们知道：光线反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角． 如图1，EF为一镜面，AO为入射光线，入射点为点O，ON为法线（过入射点O且垂直于镜面EF的直线），OB为反射光线，此时反射角∠BON等于入射角∠AON． （1）如图1，若∠AOE=65°，则∠BOF=______°；若∠AOB=80°，则∠BOF=_______ °； （2）两平面镜OP、OQ相交于点O，一束光线从点A出发，经过平面镜两次反射后，恰好经过点B． ①如图2，当∠POQ为多少度时，光线？请说明理由． ②如图3，若两条光线AM、NB相交于点E，请探究∠POQ与∠MEN之间满足的等量关系，并说明理由． ③如图4，若两条光线AM、NB所在的直线相交于点E，∠POQ与∠MEN之间满足的等量关系是______（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏连云港赣榆2023-2024学年度第二学期三校联考 七年级数学试题 （考试时间：100分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．下列各题的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项的对应字母涂黑） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【详解】解：A、，故原题计算错误； B、，故原题计算正确； C、，故原题计算错误； D、，故原题计算错误； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方，关键是掌握各计算法则． 2. 若，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案． 【详解】解：A、若m>n，左边减2，右边减2，m−2>n-2，原计算不成立，故A错误，不符合题意； B、若m>n，两边都乘以2，不等号的方向不变，2m>2n成立，故B正确，符合题意； C、若m>n，左边除以−2，右边除以2，﹥不成立，故C错误，不符合题意； D、若m>n， m2>n2不一定成立，如m=-1，n=-2，得m2<n2，故D错误，不符合题意， 故选：B． 【点睛】此题考查了不等式的性质，解题关键在于掌握其性质定理并熟练运用． 3. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平方差公式的特点，完全平方公式的特点对每个选项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴选项A不符合题意； ∵， ∴选项B不符合题意； ∵， ∴选项C不符合题意； ∵存在两个完全相反的项，不能用平方差公式计算， ∴选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式的特点，完全平方公式的特点是解决问题的关键． 4. 不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出不等式组的解集，在数轴上表示出来，进行判断即可． 【详解】解：由，得：； 由，得：； ∴不等式组的解集为：； 在数轴上表示为： 故选C． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，并在数轴上表示解集．正确的求出不等式的解集，是解题的关键． 5. 在一次中学生创客比赛中，某八年级学生设计了一款机器狗，机器狗运行的程序如图所示．将该机器狗放置在平面上运行至结束，它的移动距离为（　　） A. 12米 B. 8米 C. 6米 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据多边形的外角和等于360度解决此题． 【详解】解：经分析，机器狗回到点A，总共转了度． 机器狗转了（次）． 机器狗移动的距离是（米）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查多边形的外角，熟练掌握任意多边形的外角和是度是解决本题的关键． 6. 如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、， ，故本选项符合题意； B、， ，不能判断，故本选项不符合题意； C、， ，不能判断，故本选项不符合题意； D、， ，不能判断，故本选项不符合题意． 7. 如图，将一块含有角的直角三角尺放置在两条平行线上，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，作平行于两条平行线的直线，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，作平行于两条平行线的直线， 由平行线的性质可得，，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的等量关系． 8. 如图，在中，，点在边上（如图1），先将沿着翻折，使点落在点处，交于点（如图2），再将沿着翻折，点恰好落在上的点处，此时（如图3），则的度数为（ ） A. 66° B. 23° C. 46° D. 69° 【答案】D 【解析】 【分析】根据翻折后对应角相等得到，利用已知条件和三角形的内角和等于，建立等量关系可求的度数． 【详解】解：由题意可得，， 设，则， 三角形的内角和等于， 在中，，即； 在中，，即； ， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查翻折后对应角相等，利用三角形的内角和等于，设未知数并建立等量关系是解题的关键，本题的难点是是两个三角形的公共角，由此列方程求解． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 预防新型冠状病毒感染要注意用肥皂勤洗手，肥皂泡的厚度约为米，用科学记数法表示为_______________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【详解】解：． 故选B． 10. ①如果，那么②如果两个数的值相等，那么这两个数的绝对值一定相等③ 两条直线被第三条直线所截，同位角相等④如果，那么，这些命题中是真命题的是_________．（只填写序号） 【答案】①② 【解析】 【分析】根据不等式的性质，即可判断①；根据绝对值的定义，即可判断②；根据平行线的性质，即可判断③；根据平方的性质，即可判断④． 【详解】解：①如果，那么，故为真命题，符合题意； ②如果两个数的值相等，那么这两个数的绝对值一定相等，故为真命题，符合题意； ③两直线平行，同位角相等，故为假命题，不符合题意； ④如果，那么或，故为假命题，不符合题意； 故答案为①②． 【点睛】本题主要考查了真假命题的判断，不等式的性质，绝对值的意义，平行线的性质，平方的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理． 11. 已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是_____． 【答案】5 【解析】 【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于108° ∴每一个外角为72° ∵多边形的外角和为360° ∴这个多边形的边数是：360÷72=5 故答案为：5 12. 若，则代数式的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式和单项式乘以多项式运算的化简求值， 首先由得到，然后根据平方差公式和单项式乘以多项式运算法则化简，最后代数求解即可． 【详解】∵ ∴ ． 故答案为：． 13. 要使的展开式中不含项，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式．先计算多项式乘多项式，再使项系数为0即可． 【详解】解： ， ∵不含项， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 如图所示，是我们生活中经常接触的小刀，刀柄外形是一个直角梯形（挖去一小半圆），刀片上下是平行的，转动刀片时会形成∠1、∠2，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点O作OP∥AB，则AB∥OP∥CD．所以根据平行线的性质将（∠1+∠2）转化为（∠AOP+∠POC）来解答即可． 【详解】解：如图，过点O作OP∥AB，则∠1=∠AOP． ∵AB∥CD， ∴OP∥CD， ∴∠2=∠POC， ∵刀柄外形是一个直角梯形， ∴∠AOP+∠POC=90°， ∴∠1+∠2=90°． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定．平行线性质定理：两直线平行，同位角相等．两直线平行，同旁内角互补．两直线平行，内错角相等． 15. 如图1，一个容量为的杯子中装有的水，将三颗大小相同的玻璃球放这个杯子中，结果杯中的水没有满如图，设每颗玻璃球的体积为，根据题意可列不等式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据将三颗大小相同的玻璃球放这个杯子中，结果杯中的水没有满得出不等式，进而得出答案． 【详解】解：设每颗玻璃球的体积为， 根据题意可得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据题意正确得出不等关系是解题关键． 16. 已知，大正方形的边长为10厘米，小正方形的边长为4厘米，起始状态如图所示．大正方形固定不动，把小正方形以1厘米秒的速度向右沿直线平移．设平移的时间为秒，两个正方形重叠部分的面积为平方厘米．当时，小正方形平移的时间为_________________秒． 【答案】1或13 【解析】 【分析】先求出重叠部分长方形的宽，再分重叠部分在大正方的左边和右边两种情况讨论求解即可． 【详解】解：大正方形的边长为10厘米，小正方形的边长为4厘米， 当时，重叠部分长方形的宽为：（厘米）， 当重叠部分在大正方形的左边时，（秒）， 当重叠部分在大正方形的右边时，（秒）， 综上所述，当时，小正方形平移的时间为1或13秒， 故答案为：1或13． 【点睛】本题考查了平移的性质，主要利用了长方形的面积，难点在于要分当重叠部分在大正方形的左边和当重叠部分在大正方形的右边，两种情况进行解答． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算绝对值，零次幂，负整数指数幂，再合并即可； （2）先计算幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，再计算单项式除以单项式，再合并即可； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ； 【点睛】本题考查的是化简绝对值，零次幂，负整数指数幂，幂的乘方，同底数幂的乘法，单项式除以单项式，合并同类项，掌握相应的运算法则是解本题的关键． 18. 将下列各式因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． （1）先提取公因式，再用平方差公式分解； （2）先用完全平方公式分解，再用平方差公式分解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】直接利用乘法公式化简，再合并同类项，再代入数据得出答案． 【详解】 ∵， ∴原式． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确掌握乘法公式是解题关键． 20. 解方程组与不等式组，并在数轴上表示不等式组的解集 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法，掌握解法步骤是解本题的关键； （1）直接利用加减消元法解方程组即可； （2）先分别解两个不等式，并在数轴上表示出来，再求出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：， ②①得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为：； 【小问2详解】 ， 由①得：， ∴， 由②得：， ∴， 在数轴上表示为： ∴不等式的解集为． 21. 如图，，是的平分线，平分交于点，试说明．请补全推理过程，并在括号内填上相应的理由； ∵， ∴______（_______________）． ∵平分， ∴______（_______________）． 同理______． ∴______． ∴（_______________）． 【答案】；两直线平行，同位角相等；；角平分线的定义；；；同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】根据平行线的性质得，结合角平分线的定义可求证． 【详解】∵， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵平分， ∴（角平分线的定义）． 同理． ∴， ∴（同位角相等，两直线平行） 故答案为：，两直线平行，同位角相等；，角平分线的定义；；；同位角相等，两直线平行 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． 22. 如图，在方格纸内将水平向右平移4个单位得到． （1）画出； （2）若连接，，则这两条线段之间的关系是_________； （3）画出边上的中线；（利用网格点和直尺画图） （4）图中能使的格点P有_________个（点P异于点A）． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）平行且相等 （3）如（1）图，即为所求． （4）3 【解析】 【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出平移后的对应点． （1）先作出点A、B、C平移后的对应点，然后顺次连接即可； （2）根据平移的性质解答即可； （3）找出的中点D，然后连接即可； （4）过点A作的平行线，找出此平行线上的格点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，，根据平移性质可知，这两条线段之间的关系是平行且相等； 故答案为：平行且相等． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图，过点A作的平行线，所经过的格点，，即为满足条件的点，共有3个． 故答案为：3． 23. 已知关于的方程组 （1）请直接写出方程的所有正整数解 ； （2）无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； （3）若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解，二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键． （1）将做已知数求出，即可确定出方程的正整数解； （2）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解； （3）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值． 【小问1详解】 解：方程， ∴， 当时，； 当时，， 方程的所有正整数解为：，． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴当时，， 即固定的解为：． 【小问3详解】 解：， 得：， ∴， ∴， ∵恰为整数，也为整数， ∴是的约数， ∴或， 故或． 24. 现要在长方形草坪中规划出3块大小，形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花． （1）如图，大长方形的相邻两边长分别为60m和45m，求小长方形的相邻两边长． （2）如图，设大长方形的相邻两边长分别为a和b，小长方形的相邻两边长分别为和． ①1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． ②若种植鲜花的面积是整块草坪面积的，求x和y满足的关系式（不含a，b）． 【答案】（1）小长方形的相邻两边长是， （2）①个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值；② 【解析】 【分析】（1）根据大长方形的相邻两边长分别为和，列出方程组并计算可求小长方形的相邻两边长； （2）①分别求出1个小长方形的周长与大长方形的周长，再求出它们的比值即可求解；②根据长方形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：设小长方形的相邻两边长分别为和， 依题意，可有， 解得， 故小长方形的相邻两边长分别是10，25； 【小问2详解】 ①∵1个小长方形的周长为， 个大长方形的周长为， ∴． 故个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值； 依题意有：， 整理，得． 故和满足的关系式为． 【点睛】本题主要考查了列代数式与二元一次方程组的应用，解题的关键是熟练掌握相关基本知识，属于中考常考题型． 25. 杭州市甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 套（含39套） 套（含69套） 70套及以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 经调查：两个乐团共85人（甲乐团人数不少于46人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费6300元．请回答以下问题： （1）如果甲、乙两个乐团联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省多少元？ （2）甲、乙两个乐团各有多少名学生？ （3）现从甲乐团抽调a人，从乙乐团抽调b人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责5位小朋友，乙乐团每位成员负责3位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由． 【答案】（1）1200元 （2）甲乐团有50人，乙乐团有35人 （3）共有两种方案：方案一：从甲乐团抽调10人，从乙乐团抽调5人；案二：从甲乐团抽调7人，从乙乐团抽调10人 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意，找出等量关系，正确列出方程组求解是解题的关键． （1）根据60元买85套所花费计算即可； （2）设甲乐团有x人；乙乐团有y人．然后分①当时和②当时两种情况讨论，分别列方程组，解方程组后并检验即可； （3）确定出a与b的关系式，根据每个乐团的人数不少于5人且人数为正整数，可确定出a、b的值，即可确定出所有方案． 【小问1详解】 解：联合起来购买服装的花费为：（元）， 最多可以节省：（元）， 答：联合起来购买服装比各自购买服装最多可以节省1200元． 【小问2详解】 解：设甲乐团有x人；乙乐团有y人． ①当时， 根据题意，得， 解得 ， ②当时， 根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：甲乐团有50人，乙乐团有35人． 【小问3详解】 解：由题意，得 整理得： ， ∵每个乐团的人数不少于5人且人数为正整数， ∴b为5的倍数， 得：或， ∴共有两种方案： 方案一：从甲乐团抽调10人，从乙乐团抽调5人； 方案二：从甲乐团抽调7人，从乙乐团抽调10人． 26. 我们知道：光线反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角． 如图1，EF为一镜面，AO为入射光线，入射点为点O，ON为法线（过入射点O且垂直于镜面EF的直线），OB为反射光线，此时反射角∠BON等于入射角∠AON． （1）如图1，若∠AOE=65°，则∠BOF=______°；若∠AOB=80°，则∠BOF=_______ °； （2）两平面镜OP、OQ相交于点O，一束光线从点A出发，经过平面镜两次反射后，恰好经过点B． ①如图2，当∠POQ为多少度时，光线？请说明理由． ②如图3，若两条光线AM、NB相交于点E，请探究∠POQ与∠MEN之间满足的等量关系，并说明理由． ③如图4，若两条光线AM、NB所在的直线相交于点E，∠POQ与∠MEN之间满足的等量关系是______（直接写出结果） 【答案】（1）65，50 （2） ①当∠POQ为90度时，光线，理由： 如图2，设∠AMP=∠NMO=α，∠BNQ=∠MNO=β， 当时，∠AMN+∠BNM=180°， 即180°-2α+180°-2β=180°， ∴180°=2（α+β）， ∴α+β=90°， ∴△MON中，∠O=180°-∠NMO-∠MNO=180°-（α+β）=90°， ∴当∠POQ为90度时，光线； ②∠MEN+2∠O=180°，理由： 如图3，设∠AMP=∠NMO=α，∠BNQ=∠MNO=β， ∵△MON中，∠O=180°-α-β， ∴α+β=180°-∠O， ∵∠EMN=180°-2α，∠ENM=180°-2β， ∴△MEN中，∠MEN=180°-∠EMN-∠ENM=180°-（180°-2α）-（180°-2β）=2（α+β）-180°， ∴∠MEN=2（180°-∠O）-180°=180°-2∠O， 即∠MEN+2∠O=180°； ③∠MEN=2∠POQ 【解析】 【分析】(1)根据反射角等于入射角，可得∠AON=∠BON，根据NO⊥EF，即可得到∠AOE=∠BOF；根据反射角等于入射角，可得∠BON=∠AOB=40°，再根据NO⊥EF，即可得出∠BOF的度数； (2)①设∠AMP=∠NMO=α，∠BNQ=∠MNO=β，根据∠AMN+∠BNM=180°，可得α+β=90°，再根据三角形内角和定理进行计算即可； ②设∠AMP=∠NMO=α，∠BNQ=∠MNO=β，根据三角形内角和定理可得α+β=180°−∠O，再根据三角形内角和定理可得∠MEN=2(α+β)−180°，进而得出∠MEN+2∠O=180°； ③设∠AMP=∠NMO=α，∠BNQ=∠MNO=β，根据三角形外角性质可得∠O=β−α，进而得出∠MEN=2∠POQ 【小问1详解】 解：如图1，根据反射角等于入射角，可得∠AON=∠BON， ∵NO⊥EF， ∴∠AOE=∠BOF=65°； 根据反射角等于入射角，可得∠BON=∠AOB=40°， ∵NO⊥EF， ∴∠BOF=90°−40°=50°； 故答案为：65；50； 【小问2详解】 解：①略 ②略 ③如图4，设∠AMP=∠NMO=α，∠BNO=∠MNQ=β， ∴∠AMN=180°-2α，∠MNE=180°-2β， ∵∠AMN是△MEN的外角， ∴∠E=∠AMN-∠MNE=（180°-2α）-（180°-2β）=2（β-α）， ∵∠MNQ是△MNO的外角， ∴∠O=∠MNQ-∠NMO=β-α， ∴∠E=2∠O． 故答案为：∠MEN=2∠POQ． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角的计算、三角形的内角和定理、三角形外角的性质等知识点，结合图形，熟练运用三角形的内角和定理与外角的性质是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $