精品解析：2024年广东省兴宁市第一中学中考模拟数学试题

兴宁一中2024 年6 月中考数学模拟考试试题 (考试时长：120 分钟，满分 120 分． 请在答卷上作答) 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分)在每小题列出的四个选项中， 只有一个是 正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. -2的相反数是（　　） A. 2 B. -2 C. D. ±2 【答案】A 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【详解】-2的相反数是： 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数，关键是在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 2. 我国的大运河是是世界上开凿最早、规模最大的运河，它的全长约为米，将数用科学记数法表示为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，熟练运用科学记数法的表示形式是解题的关键；根据科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示可得： 故选：D 3. 如图，由4个相同正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意可得，它的俯视图是： 故选：C． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握俯视图是从物体的上方观察所得到的图形是解题的关键． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的相关运算，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误； 故选：B 5. 下列四个银行标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，熟知中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：解：A．图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．图形是中心对称图形，故本选项符合题意； C．图形不是中心对称图形故本选项不符合题意； D．图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：B． 6. 数据8，11，8，3，5，8，5的众数是（ ） A. 3 B. 5 C. 8 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了众数．熟练掌握众数的定义，是解决问题的关键．众数定义：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数． 根据众数的定义可知，众数是8． 【详解】解：∵数据8，11，8，3，5，8，5中，8出现的次数最多， ∴众数为8． 故选：C． 7. 若菱形的两条对角线长分别10和24，则它的周长是（ ） A. 68 B. 52 C. 48 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形性质和勾股定理的应用，注意：菱形的对角线互相平分且垂直，菱形的四条边相等． 根据菱形性质得出，，，，求出，即可得出答案． 【详解】解：如图： 四边形是菱形， ，，，， 在中，由勾股定理得：， 即， 菱形的周长是， 故选：B． 8. 已知点，，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数的增减性，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及反比例函数的增减性． 先用待定系数法求出该反比例函数的解析式，再根据反比例函数的增减性，即可解答． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴该反比例函数图象位于二、四象限，再每一象限内，y随x的增大而增大， ∵， ∴点A和点B位于第二象限，第C位于第四象限， ∴， 故选：C． 9. 已知是一元二次方程的两个实数根，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由此逐项判断即可得出答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，，故A正确，B、C错误， ∴，故D错误， 故选：A． 10. 的计算结果的个位数字是 （ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数的规律探索，熟练掌握乘方类型数的个位数字的规律是解题的关键．分别探索和的个位数字，转化为探索和即可． 【详解】解：的个位数字只需看的个位数字的次方的结果即可， ∵，，，，， ∴个位数字是每个一循环， ∵， ∴的个位数字为， ∴的个位数字为， 的个位数字只需看的个位数字的次方的结果即可， ∵，，，， ∴个位数字是每个一循环， ∵， ∴的个位数字为， ∴的个位数字为， ∴的个位数字为， 故选：D． 二．填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡 相应的位置上． 11. 若一个正多边形的内角都是，则这个正多边形是______边形． 【答案】八 【解析】 【分析】根据正多边形内角和公式进行计算即可得解． 【详解】解：设这个正多边形是n边形． ∴正多边形的内角和为， ∵一个正多边形的内角都是， ∴，解得， 即这个多边形是八边形． 12. 已知，则代数式的值为_______ ． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，完全平方公式变形等．根据题意先将变形为，继而利用条件即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 故答案为：15． 13. 不等式组的解集是 _______ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握和运用一元一次不等式组的解法是解决本题的关键．首先解每一个不等式，求得每一个不等式的解集，据此再求不等式组的解集即可． 【详解】， 解①得：； 解②得： 所以不等式的解集为： 故答案为： 14. 一种药品经过两次降价，药价从原来每盒80元降至到现在 64.8 元，设平均每次降价的百分率为x，则列方程为 _________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设平均每次降价的百分率为x，根据一种药品经过两次降价，药价从原来每盒80元降至到现在 64.8 元列出方程即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 根据题意得：， 故答案为：． 15. 已知在中，，，，点E为边上的动点，点F为边上的动点，则线段的最小值是_______________． 【答案】3 【解析】 【分析】作点关于的对称点，连接，先根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，线段的值最小，最小值为，再根据直角三角形的性质、等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后在中，根据含角的直角三角形的性质即可得． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ， ， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，最小，最小值为， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， ， ， 又， （等腰三角形的三线合一）， ， 则在中，， 即的最小值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质、两点之间线段最短、垂线段最短、轴对称的性质、等腰三角形的三线合一等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． 三．解答题（本大题 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟知相关运算法则是解题的关键．先计算负整数指数幂，特殊角三角函数值，零指数幂和化简二次根式，然后根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式 17. 先化简，再求值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值、分母有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式． 18. 如图，在中，，，． （1）尺规作图，作边的垂直平分线，交于点， 交于点；（不写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，求的长． 【答案】（1） 如图所示，直线即为所求； （2）的长是 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——垂直平分线，勾股定理等，熟练掌握尺规作图、勾股定理、线段垂直平分线的性质是解决问题的关键． （1）根据垂直平分线的尺规作图方法直接作图即可得到答案； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，设，则，再根据勾股定理求出，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是的垂直平分线， ， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， 的长是． 四、解答题(二)(本大题 3 小题，每小题 8 分，共 24 分) 19. 如图，无人机在空中 C 处测得地面 A 、B 两点的俯角分别是 ，此时无人机距离地面的高度 是 60 米，点 A 、H、B 在同一水平直线上，求 A 、B 之间的距离是多少米？ 【答案】米 【解析】 【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出辅助线，利用解三角形求解是解题关键． 过 C 作 于点 H， 则，根据题意得，再由三角函数求解即可． 【详解】解：如图，过 C 作 于点 H， 则，, 依题意，得， 在 中，． 在 中，． ∴． 答：A 、B 之间的距离是米． 20. 学校为了解学生自主学习、合作交流的情况，对某班部分同学进行了一段时间的调查，并将调查结果（A：特别好；B ：好；C ：一般；D ：较差）绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）C类的人数是 ；D类的人数是 ；扇形统计图中，D类所占的圆心角的度数是 ； （2）学校准备从调查的A类（1名女生、2 名男生）和D类（男女生各占一半）中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求所选的两位同学恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）5；2 ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图与扇形统计图信息关联． （1）先求出调查的总人数，再根据总人数乘以C类所占的比例即可得出C类的人数；从而即可得出D类的人数，用乘以D类所占的比例即可得出D类所占的圆心角的度数； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得可得： 调查总人数为：（人）， ∴C类的人数是（人）， D类的人数是（人）， D类所占的圆心角的度数是； 【小问2详解】 解：列表得： 女 男 男 男 男女 男男 男男 女 女女 女男 女男 共有种等可能出现的结果，其中所选的两位同学恰好是一男一女的情况有种， ∴所选的两位同学恰好是一男一女的概率． 21. 九年级为了表彰在学习中表现优秀的同学，决定购买一批钢笔和笔记本（每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同）作为奖品给予奖励．若购买3支钢笔和2本笔记本需76 元，购买1支钢笔和3本笔记本需51元． （1）求 1 支钢笔和 1 本笔记本各需多少钱？ （2）学校准备拿出最多1600元购买钢笔和笔记本这两种奖品共120份，则学校最多能购 买多少支钢笔？ 【答案】（1）1支钢笔需要18元，1本笔记本需要11元 （2）学校最多能购买40支钢笔 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确列出二元一次方程组以及一元一次不等式是解此题的关键． （1）设1支钢笔要元，1本笔记本要元，根据“购买3支钢笔和2本笔记本需76 元，购买1支钢笔和3本笔记本需51元”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设学校应购买钢笔支，则笔记本应购买本，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 【小问1详解】 解：设1支钢笔要元，1本笔记本要元， 依题意得：， 解得：， 答：1支钢笔需要18元，1本笔记本需要11元； 【小问2详解】 解：设学校应购买钢笔支，则笔记本应购买本， 依题意得：， 解得： 答：学校最多能购买40支钢笔． 五、解答题(三)(本大题 3 小题，第 22 题 10 分，第 23 题 11 分，第 24 题 12 分，共 33 分) 22. 如图，抛物线与轴交于点，与轴的另一交点为，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点． （1）求抛物线的解析式及对称轴； （2）点在抛物线的对称轴上，且满足，求点的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为，抛物线对称轴为直线 （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将点、分别代入表达式计算即可； （2）根据题意可知，且，利用角度关系可推导出，然后用勾股定理计算即可． 【小问1详解】 把、分别代入， 得：，解得， 抛物线的解析式为， 对称轴为直线， 抛物线对称轴为直线． 【小问2详解】 令得：，解得，， ， ， 如图当时，， ，， ， ， ， 在中，， 由勾股定理可得：， ， ， ， 当点在轴的上方时，， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题目，考查了待定系数法求解析式及三角形相关的知识，能够转化角度是解题的关键． 23. 如图，在中，，平分交于点 D ，O 为上一点，经 过点 A 、D 的分别交，于点 E ，F ，连接交于点 G． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵平分交于点 D ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线； （2） 证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵由（1）知，， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题是圆的综合题，考查的知识点有切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义以及平行线的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）连接，由为角平分线得到一对角相等再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到与平行，得到与垂直，即可得证； （2）连接，，证明，由相似三角形的性质即可证得结论； （3）设圆的半径为r，由的值，利用锐角三角函数定义求出r的值，由直径所对的圆周角为直角，得到与平行，得到，进而求出的长，再根据（2）的结论即可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 在中，， 设圆的半径为r， ∴，解得：， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴设，则， ∴，即：， 解得：， ∴． 24. 【课本再现】 （1）正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，如图1摆放时，易得重叠部分的面积与正方形的面积的比值是；在正方形绕点旋转的过程中（如图2），上述比值有没有变化？请说明理由． （2）【拓展延伸】如图3，在正方形中，的顶点在对角线上，且，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与边和边交于点，． ①在的旋转过程中，试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，当点与点重合时，求的长． 【答案】（1） 解：没有变化， 理由如下：在正方形和正方形中， ，，， ，， ， 在和中， ，，， ， ， ， 正方形绕点无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一 ； （2）①．理由如下： 如图3中，过点作于点，于点 四边形是正方形， ， ，， ，是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ② 【解析】 【分析】(1)在和中,利用正方形的性质和已知可证出，再利用全等三角形的面积相等即可得结论； (2)①过点作于点，于点，利用相似三角形的性质证明即可；②利用①中结论，求出，可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②如图4中， ， ，，， ，， ， ， ， . 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴宁一中2024 年6 月中考数学模拟考试试题 (考试时长：120 分钟，满分 120 分． 请在答卷上作答) 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分)在每小题列出的四个选项中， 只有一个是 正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. -2的相反数是（　　） A. 2 B. -2 C. D. ±2 2. 我国的大运河是是世界上开凿最早、规模最大的运河，它的全长约为米，将数用科学记数法表示为 （ ） A. B. C. D. 3. 如图，由4个相同正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列四个银行标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 数据8，11，8，3，5，8，5的众数是（ ） A. 3 B. 5 C. 8 D. 11 7. 若菱形的两条对角线长分别10和24，则它的周长是（ ） A. 68 B. 52 C. 48 D. 40 8. 已知点，，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为 （ ） A. B. C. D. 9. 已知是一元二次方程的两个实数根，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 的计算结果的个位数字是 （ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 二．填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡 相应的位置上． 11. 若一个正多边形的内角都是，则这个正多边形是______边形． 12. 已知，则代数式的值为_______ ． 13. 不等式组的解集是 _______ ． 14. 一种药品经过两次降价，药价从原来每盒80元降至到现在 64.8 元，设平均每次降价的百分率为x，则列方程为 _________________ ． 15. 已知在中，，，，点E为边上的动点，点F为边上的动点，则线段的最小值是_______________． 三．解答题（本大题 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 16. 计算： 17. 先化简，再求值，其中． 18. 如图，在中，，，． （1）尺规作图，作边的垂直平分线，交于点， 交于点；（不写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，求的长． 四、解答题(二)(本大题 3 小题，每小题 8 分，共 24 分) 19. 如图，无人机在空中 C 处测得地面 A 、B 两点的俯角分别是 ，此时无人机距离地面的高度 是 60 米，点 A 、H、B 在同一水平直线上，求 A 、B 之间的距离是多少米？ 20. 学校为了解学生自主学习、合作交流的情况，对某班部分同学进行了一段时间的调查，并将调查结果（A：特别好；B ：好；C ：一般；D ：较差）绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）C类的人数是 ；D类的人数是 ；扇形统计图中，D类所占的圆心角的度数是 ； （2）学校准备从调查的A类（1名女生、2 名男生）和D类（男女生各占一半）中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求所选的两位同学恰好是一男一女的概率． 21. 九年级为了表彰在学习中表现优秀的同学，决定购买一批钢笔和笔记本（每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同）作为奖品给予奖励．若购买3支钢笔和2本笔记本需76 元，购买1支钢笔和3本笔记本需51元． （1）求 1 支钢笔和 1 本笔记本各需多少钱？ （2）学校准备拿出最多1600元购买钢笔和笔记本这两种奖品共120份，则学校最多能购 买多少支钢笔？ 五、解答题(三)(本大题 3 小题，第 22 题 10 分，第 23 题 11 分，第 24 题 12 分，共 33 分) 22. 如图，抛物线与轴交于点，与轴的另一交点为，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点． （1）求抛物线的解析式及对称轴； （2）点在抛物线的对称轴上，且满足，求点的坐标． 23. 如图，在中，，平分交于点 D ，O 为上一点，经 过点 A 、D 的分别交，于点 E ，F ，连接交于点 G． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，，求的长． 24. 【课本再现】 （1）正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，如图1摆放时，易得重叠部分的面积与正方形的面积的比值是；在正方形绕点旋转的过程中（如图2），上述比值有没有变化？请说明理由． （2）【拓展延伸】如图3，在正方形中，的顶点在对角线上，且，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与边和边交于点，． ①在的旋转过程中，试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，当点与点重合时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $