18.2.2 菱形(3)课件　-2023—-2024学年人教版数学八年级下册

第十八章 平行四边形 18.2.2　菱形(3) 八年级·数学· 人教版·下册 1 1 ◎重点：矩形、菱形的特殊性质及判定定理灵活选用. ◎难点：对矩形、菱形的概念理解与区分. 素养目标 1.对比矩形、菱形的概念，能区分它们异同点.（抽象能力） 2.掌握矩形、菱形的定义、性质定理和判定定理，根据不同条件灵活选取性质或判定方法进行推理和计算.（推理能力、计算能力） 知识梳理 1.先研究一般三角形 1.三角形内角和等于180°，外角和是360°. 2.再研究特殊三角形 三角形 1.边——特殊化——等腰三角形. 2.角——特殊化——直角三角形. 每类特殊的三角形既具有一般三角形的性质，又有它独特的性质. 一、对于三角形，我们是按从一般到特殊的思路进行研究的： 2.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3.三角形任意两边之和大于第三边. 二、对于平行四边形，我们也是按从一般到特殊的思路进行研究的. 知识梳理 1.先研究一般的平行四边形 1.边：对边平行且相等. 2.再研究特殊的平行四边形 平行四边形 1.角——特殊化————矩形. 2.边——特殊化————菱形. 2.角：对角相等，邻角互补. 3.对角线：互相平分. 有一个内角是直角 一组邻边相等 每类特殊的平行四边形既具有一般平行四边形的性质，又有它独特的性质；矩形和菱形都是平行四边形，但是平行四边不一定是矩形或菱形. 温故知新 特殊平行四边形 要素 特殊性质 判定 邻边互相垂直 四个角都是直角 对角线相等 矩形 定义法：有一个角是直角的平行四边形. 有三个角是直角的四边形 对角线相等的平行四边形 菱形 四条边都相等 对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 四条边都相等的四边形 对角线互相垂直的平行四边形 对角线互相垂直平分的四边形 邻边相等 定义法：一组邻边相等的平行四边形 边 角 对角线 边 对角线 对称性 轴对称图形 对称性 轴对称图形 四基训练 1.下面性质中，菱形不一定具有的是（　　） A.四条边都相等 B.每一条对角线平分一组对角 C.邻角互补 D.对角线相等 2.下面性质中，矩形不一定具有的是（　　） A.四个角都是直角 B.每一条对角线平分一组对角 C.对角线互相平分 D.对角线相等 3.若菱形的两条对角线长分别为6和10，则菱形的面积为（　　） A.60　　　B.30　　C.24　　D.15 4.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E、F分别在AD、BC上，若四边形EBFD为菱形，则EF的长为（　　） A.　　　 B.4　　 C.　　　 D.5 D B B A B F E D C C 四基训练 5.如图，菱形ABCD的周长为20，∠BCD = 60°，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE = ，OB = . 2.5 2.5 6.如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点. 若MN = 4，则AC的长为 . 16 (第5题图) (第6题图) 证明：∵AE∥BD，ED∥AC， ∴四边形AODE是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA=OC= AC，OB=OD=BD， ∴OA=OC=OD， ∴▱AODE是菱形. 四基训练 7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D作ED∥AC，两线相交于点E． 求证：四边形AODE是菱形. 四基训练 8.如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作BE∥AC，CE∥BD，BE、CE交于点E，四边形CEBO是矩形吗？说出你的理由. 解：四边形CEBO是矩形. 理由如下：已知四边形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. ∴∠BOC=90°. ∵BE∥AC，CE∥BD， ∴四边形CEBO是平行四边形. ∴四边形CEBO是矩形. D A B C E O 归纳总结 1.用平行四边形、矩形、菱形的性质与判定计算或证明时，要注意读懂题中的文字语言、符号语言、图形语言，学好三种几何语言是学好几何的关键. 2.在计算菱形面积时，可用底×高，也可用对角线积的一半；矩形因出现直角及菱形的对角线互相垂直出现直角，常与直角三角形性质结合计算或证明. 能力提升 1.如图(1)，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B=∠C. (1)求证：四边形ABCD是矩形. D C B A 图(1) 证明： ∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，且∠B+∠C=180°， ∵∠B=∠C， ∴∠B=∠C=90°， ∴▱ABCD是矩形. 能力提升 1.(2)如图(2)，M为AD的中点，在AB上取一点N，使∠BNC=2∠DCM. ①若N为AB中点，BN=2，求CN的长 . 图(2) N M D C B A 又∵∠BNC=2∠DCM=∠NCD. ∴∠NCE=∠NCD=∠E. 解： 如图(2)，延长CM，BA交于点E. ∵AN=BN=2，∵AE∥DC， 在∆AEM和∆DCM中， ∠E=∠MCD， ∠AME=∠CMD， AM=DM， ∴∆AEM≌∆DCM，∴AE=CD=4， ∴CN=EN=AE+AN=4+2=6， 能力提升 1.(2)如图(2)，M为AD的中点，在AB上取一点N，使∠BNC=2∠DCM. ②若CM=3，CN=4，求BC的长. 图(2) N M D C B A 解：由①可知，∆AEM≌∆DCM，EN=CN， ∴EM=CM=3，EN=CN=4， 设BN=x. 在Rt∆BCE中，BC2=CE2-BE2 ， 在Rt∆BCN中，BC2=CN2-BN2， ∴BC=. ∴42-x2=62-(x+4)2，解得x= ， 本题中运用了方程思想解决求线段长的问题，同时还采用了“中点平行构全等”的基本图形作出辅助线. 归纳总结 2.如图，已知点E、F分别是平行四边形ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF. (1)求证：四边形AECF是平行四边形. F E D C B A 能力提升 ∵四边形ABCD是平行四边形， 证明： ∴AD∥BC，且AD=BC， ∴AF∥EC， ∵BE=DF， ∴AF=EC， ∴四边形AECF是平行四边形. 2.如图，已知点E、F分别是平行四边形ABCD的边BC 、 AD上的点，且BE=DF. (2)若四边形AECF是菱形，且AE=2，AC=，求菱形AECF的面积. 能力提升 F E D C B A 解：连接EF交AC于O， ∵四边形AECF是菱形， OE=OF，OA=OC= AC=， 在Rt∆AOE中， OE=， ∴EF⟂AC，且 ∴EF=2OE=2， ∴菱形AECF的面积为=×AC×EF=×2 知识构建 特殊平行四边形 要素 特殊性质 判定 邻边互相垂直 四个角都是直角 对角线相等 矩形 定义法：有一个角是直角的平行四边形 有三个角是直角的四边形 对角线相等的平行四边形 菱形 四条边都相等 对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 四条边都相等的四边形 对角线互相垂直的平行四边形 对角线互相垂直平分的四边形 邻边相等 定义法：一组邻边相等的平行四边形 边 角 对角线 边 对角线 对称性 轴对称图形 对称性 轴对称图形 知识构建 要素 性质 判定 对边平行且相等 对角相等，邻角互补 对角线互相平分 定义法：两组对边分别平行的四边形 两组对角分别相等的四边形 对角线互相平分的四边形 两组对边分别相等的四边形 边 角 对角线 平行四边形 一组对边平行且相等的四边形 课后作业 解：连接CD， ∵点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE∥BC，DE=BC，DC=AB. ∵CF=BC，∴DE ∥FC，DE =FC， ∴四边形DEFC是平行四边形， ∴DC=EF，∴EF= AB=6． 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF= BC．若AB=12，求EF的长． 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过C作AB的垂线CD交AB于D，过A作∠BAC的角平分线AE交BC于E，AE交CO于H，过E作EF⊥AB交AB于F，连接HF，求证：四边形CHFE为菱形． 课后作业 分析：根据全等三角形的判定定理HL进行证明Rt△AEF≌Rt△AEC（HL），得到FE=EC；根据平行线EF∥CD的性质、∠BAC平分线的性质以及等量代换推知∠HEC=∠CHE，易证CH=CE；从而根据邻边相等的平行四边形是菱形进行判断． 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过C作AB的垂线CD交AB于D，过A作∠BAC的角平分线AE交BC于E，AE交CO于H，过E作EF⊥AB交AB于F，连接HF，求证：四边形CHFE为菱形． 课后作业 证明：∵∠ACB=90°，∴AC⊥EC． 又∵EF⊥AB，AE是∠BAC的平分线，∴FE=CE． 在Rt△AEF与Rt△AEC中，FE＝CE，AE＝AE， ∴Rt△AEF≌Rt△AEC（HL），∴FE=EC， ∵CD是AB边上的高，∴CD⊥AB． 又∵EF⊥AB，∴EF∥CD， ∴∠CHE=∠FEA． ∵Rt△AEF≌Rt△AEC， ∴∠FEA=∠CEA， ∴∠CEA=∠CHE，即∠CEH=∠CHE， ∴CE=CH， ∴FE=EC=HC． 又∵EF∥CD，即FE∥FC， ∴四边形GECF是菱形． 3.如图，在▱ABCD中，过点A、C作AF⊥CD，CE⊥AB，分别交AB、 CD的延长线于点F和E． (1)求证：四边形AECF是矩形； (2)连接AC，BD交于点O，点G是线段AE的中点，若AC＝4，OG=2，求矩形AECF的周长． 分析：(1)根据平行四边形的性质得到AB∥CD，得到AF⊥AB，推出AF∥CE，求得四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； (2)根据平行四边形的性质得到AO=CO，根据三角形中位线定理得到CE=2OG=4，根据勾股定理得到AE=12，于是得到矩形AECF的周长为12+12+4+4=32． 3.如图，在▱ABCD中，过点A、C作AF⊥CD，CE⊥AB，分别交AB、 CD的延长线于点F和E． (1)求证：四边形AECF是矩形； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵AF⊥CD，∴AF⊥AB， ∵CE⊥AB，∴AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AF⊥CD， ∴∠F=90°， ∴四边形AECF是矩形； 3.如图，在▱ABCD中，过点A、C作AF⊥CD，CE⊥AB，分别交AB、 CD的延长线于点F和E． (2)连接AC，BD交于点O，点G是线段AE的中点，若AC＝4，OG=2，求矩形AECF的周长． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO， ∵点G是线段AE的中点，∴AG=EG， ∴OG是△ACE的中位线， ∴CE=2OG=4， ∵AC=4，∴AE=， ∴矩形AECF的周长为12+12+4+4=32． 本课结束 $$