22.3 实际问题与二次函数(2)-【同步课时练】2024年九年级数学上册（人教版）

22.3实际问题与二次函数(2) 如果点P,Q分别从点A,B同时出发，那么 预学先知 经过 秒，四边形APQC的面积最小 1.如图，在Rt△ABC的内部作一个矩 形DECF,其中CE,CF分别在两直角边上， 3.将一条长为20cm的铁丝剪成两段， 并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个 正方形，则这两个正方形面积之和的最小值 -8cm- 是 cm. (1)设矩形的一边CE=xcm,那么CF 4.如图，在Rt△ABC中，斜边AB=5厘 米，BC=a厘米，AC=b厘米，a>b,且a,b (2)设矩形的面积为ycm,则y 是方程x2一(n一1)x十m十4=0的两个根. = ,当x= 时，y的值 最大，最大值是 2.用一根长为20cm的绳子，围成一个 矩形，则围成矩形的最大面积是 cm'. (1)求a和b的值 课堂演练 (2)△A'B'C'与△ABC开始时完全重 合，然后让△ABC固定不动，将△A'B'C'以 1厘米秒的速度沿BC所在的直线向左 L.苹果熟了，从树上落下所经过的路程 移动. ￥与下落的时间1满足s=2g(g是不为0 ①设x秒后△A'B'C'与△ABC的重叠 的常数)，则s与1的大致图象是 部分的面积为y平方厘米，求y与x之间的 函数关系式，并写出x的取值范围 ,之，小 ②儿秒后重叠部分的面积等于。平方 厘米？ 2.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB 12mm,BC=24mm,动点P从点A开始沿 边AB向点B以2mm/s的速度移动（不与 点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向 点C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）. 50长 5.学校计划用地面砖铺设教学楼前的 (2)画出(1)中S关于x的函数的图象. 矩形广场的地面ABCD,已知矩形广场地面 的长为100米，宽为80米，图案设计如图所 示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四 个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边 长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺 设白色地面砖 能力拓展 (1)要使铺设白色地面砖的面积为5200 平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边 1.如图，等腰Rt△ABC(∠ACB=90°) 长为多少米？ 的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且 (2)如图铺设白色地面砖的费用为每平 AC与DE在同一直线上，开始时点C与点 方米30元，铺设绿色地面砖的费用为每平 D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直 方米20元，当广场四角小正方形的边长为 到点A与点E重合为止.设CD的长为x, 多少米时，铺设广场地面的总费用最少？最 △ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴 少费用是多少？ 影部分)的面积为y,则y与x之间的函数 关系的图象大致是 () 6.如图所示，某村修一水渠，横断面是 等腰梯形，底角为120°，两腰与下底的和 为4m. (1)当水渠深x(m)为何值时，横断面面 积S(m)最大？最大面积是多少？ 51 2.人民广场中心标志性建筑处有高低 4.跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛 不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的 物线.正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手 喷水管喷水的最大高度为3米，此时喷水 间距AB为6米，到地面的距离AO和BD 水平距离为2米，在如图所示的坐标系中， 均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点 O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最 这支喷泉的函数关系式是 高处时刚好通过她的头顶点E.以点O为原 点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛 物线的解析式为y=ax2十b.x十0.9. (1)求该抛物线的解析式。 (2)如果小华站在OD之间，且离点O 的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通 过他的头顶，请你算出小华的身高， (3)如果身高为1.4米的小丽站在点O, D之间，且离点O的距离为t米，绳子甩到 ay--+1 最高处时超过她的头顶，请结合图象，写出 的取值范围， C=-8e-+3 D.y=- 8++3 3.小李想用篱笆围成一个周长为60米 的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随 矩形一边长x(单位：米)的变化而变化 (1)求S与x之间的函数关系式，并写 出自变量x的取值范围. (2)当x是多少时，矩形场地面积S最 大？最大面积是多少？ 5.已知抛物线y=ax2十bx十c经过 A(-4,3),B(2,0)两点，当x=3和x=一3 时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等，经 过点C(0,一2)的直线1与x轴平行，O为 坐标原点。 (1)求直线AB和这条抛物线的解析式. (2)设直线AB上的点D的横坐标为 之52← -1,P(m,n)是抛物线y=ax2+bx+c上 的动点，当△PDO的周长最小时，求四边形 【错解】(1)根据题意得y=40) 2一r,所 CODP的面积. 以y= 2x2+20x(0<x≤15. (2)假设面积可以达到200m2,则y= 1 200时，-2x2+20x=200,x2-40x+400 =0,解得：x=20. 所以花园的面积能达到200m. 3)因为y三一2x“+20.x的图象是开 口向下的抛物线，对称轴为直线x=20,所 以x=20时，y=200.当x=20时，花园面积 最大，最大面积为200m2. 【正解】(1)同上. 前车之鉴 (2)假设面积可以为200m,则y=200 1 时，一2r+20x=20,x2-40x+40=0, 【例】在某市开展的创城活动中，桃园小区 解得：x=20. 要在一块一边靠墙（墙长15m)的空地上修 因为20m>15m,所以此花园的面积 建一个矩形花园ABCD,花园的一边靠墙， 不能达到200m2. 另三边用总长为40m的栅栏围成（如图所 示).若设花园的BC的边长为x(m),花园 (3)因为y=-日2+20x的图案是开 的面积为y(m). 口向下的抛物线，对称轴为直线x=20, ￥平平平平 所以当0<x≤15时，y随x的增大而 1g在9负9 增大，所以当x=15时，y有最大值， V量大价=一 2×152+20×15-187.5 (1)求y与x之间的函数关系式，并写 出自变量x的取值范围。 (m2). (2)满足条件的花园面积能达到200m 即当x=15时，花园面积最大，最大面 吗？若能，求出此时x的值：若不能，说明 积为187.5m. 理由。 【错因分析】本例主要错在忽视墙的最大 (3)根据(1)中求得的函数关系式，描述 长度是15m,函数值受自变量取值范围的制 其图象的变化趋势.当x取何值时，花园的 约，在解决实际问题时要注意这一点. 面积最大？最大面积为多少？ →53← (2)垂直于墙的一边的长为多少米时， 新题看台 这个苗圃的面积最大？并求出这个最大 面积 1.(兰州中考题)如图，正方形ABCD (3)当这个苗爾的面积不小于88平方 的边长为1.E,F,G,日H分别为各边上的 米时，试结合函数图象，直接写出x的取值 点，且AE=BF=CG=DH,设小正方形 范围. EFGH的面积为S,AE为x,则S关于x的 18米 函数图象大致是 苗丽 4.(哈尔滨中考题)某水渠的横截面呈 抛物线形，水面的宽为AB(单位：米).现以 2.(江西中考题)如图是我省某地一座 AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为 抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平 y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐 桥面相交于A,B两点，拱桥最高点C到AB 标原点为O.已知AB=8米.设抛物线的函 的距离为9m,AB=36m,D,E为拱桥底部 数解析式为y=a.x2一4. 的两点，且DE∥AB,点E到直线AB的距离 (1)求a的值. 为7m,则DE的长为 m (2)点C(-1,m)是抛物线上一点，点D 的坐标为(1，一m),连接CD,BC,BD,求 △BCD的面积. 3.(武汉中考题)星光中学课外活动小 组准备围建一个矩形生物苗丽.其中一边靠 墙，另外三边用长为30米的篱笆围成.已知 墙长为18米（如图所示），设这个苗圃垂直 于墙的一边的长为x米. (1)若平行于墙的一边的长为y米，直 接写出y与x之间的函数关系式及其自变 量x的取值范围。 54长底面宽是45cm时，抽屁体积最大，最大体积为40500cm。 4.(1)当0<x≤20时.y=8000:当20<x≤40时，y=-200r十 (2)Sam=15平方米 12000。(2)当0<r≤20时，老王获得的利润为-(8000一2800) 第二十二章测试卷 r一5200.r≤10400.此时老王获得的最大利洞为104000元.当2d <x40时.老王我得的科间为0=（一200r十12000一2800）x= -.1.C2.D3.C4.A5.C6.C7.D8.D 一200(x2-46x)=一200(x-23)2+105800,.当r=23时.利间 二、9.-410.5减1311.y- 12.(2.-6) 和取得最大值，最大值为105800元 13.0减-114.36 105800>104000,.当张经理的采胸量为23吨时，老王在这 次买卖中所获得的利润最大，最大利润为105800元. 三，15.(1)出表格中数据可知：当T一0时，y一3：当r一4时，y一 22.3实际问题与二次函数(2) 16十h+c=a,解得-3. 3.代入代数式得3. 6=二4表内空备中应填：0 【课堂演练】 0(2)函数y=x一4x十3开口向上，当x=1和x=3时，y= 3 D,期当x<1或x>3时，y>0,也可由图象观察得到结果。(3》把 1.B2.3312.54.0a=,6=32)①y=g1 函数y=x”一4x十3化为顶点式y=(x一2)一1，由函数y=(.x 3:十6(0≤x≤4)西经过3秒后重叠部分的面积等于号平方 2)一1的图象向左平移2个单位得y=x2一1的图象，再向上平移 1个单位得函数y=x的图象. 厘米。 16.(1)令y=0,解方程一x+4.r一3=0，则x1=1,x2=3,则 5。(1)设矩形广场图角的小正方形的边长为x米，根据题意， A(1,0),B(3,0),将y=-r十4.x-3配方得y=-(x-2)2十1. 得：1x2+(100-2r)(80-2x)=5200,整理得x2一45r+350=0, 得顶点P(2,1),(2)图略，当1x<3时，y>0.(3)由超意列方 解得x1=35,x?=10.经检验r1=35,x:=10均符合题意，所以， 程组-二土-3·转化为一元二次方程，得-6十0=0. 要使铺设白色地面砖的面积为5200平方米，则矩形广场四角的小 y--2x+6, 正方形的边长为35米或者10米. 由△=0，故方程的两个根相等，方程只有一组解，因此抛物线与直 (2)设铺设矩形广场地面的总费用为y元，广场四角的小正方形 线有唯一的公共点. 的边长为x米，则y=30[1r2+(100-2r)(80-2x)]+20[2r(100 17.(1)该养殖场每天的捕捞量与前一天的抽捞量相比每天域 2x)+2.x(80-2.x)].即y=80x2-3600r+240000,配方得y 80(x一22.5)”+199500，当x=22.5时，y的值最小，最小值为 少了10kg。(2)由题意，得y=20(950-10x)一(6-若）950 199500.所以当矩形广场四角的小正方形的边长为22.5米时，所铺 10r)=-2x2+40r+14250.(3)-2<0,y=-2x+40r+ 设矩形广场地面的总费用最少，最少费用为199500元. 14250=一2(r-10)+11450,又1≤+≤20.且r为整数..当16 61当-子5时，S#大-合5.2)S-4-52画 r≤10时，y随r的增大而增大：当10x≤20时，y随x的增大面 减小，当x一10时，即在第10天，y取得最大值，最大值为14450元 图路 18.(1)抛物线与x轴交于点A(1,0),B(3,0),可设抛物线 【能力拓展】 解析式为y一u(-1)(r-3),把C(0,-3)代人得3--3.解得 1.A2.C3()根据题意，得S-60,2r-一x+30r 一一1.放抛物线解析式为y一一《x1)(r一3》：即y一一x十4d 2 -3,”y=一x2十4m一3m一(r-2)2十1，顶点坐标为(2.1). 自变量x的取值范围是0<x<30. (2)先向左平移2个单位，冉向下平移1个单位，得到的抛物线的解 (2)当r为15米时，矩形场地面积最大，最大面积是225平 析式为y一一x2,平移后抛物线的顶点为(0,0)且落在直线y一一r 方米。 上.（容案不唯一） 4.(10y=-0.1x3+0,6x+0,9.(2)1.8米(3)1<1<5 19,根据（长为8可得一次两数中的？的值为8或一8，分类 5.(1D直线AB的解析式为y一一之r十1 时论：①m=8时，易得A(一6，D)如图1，抛物线经过点A,C,且 与轴交点A,B在照点的两侧，抛物线开口向下，则a<D, 1 批物线的解析式为y=-1 AB=16,且A(一6,0)，.B(1D,0),面A,B关于对称轴对称， (2)过P作PM∥y轴，交直线（于点M.则P(m,n),M(m, “对称轴直线工=一610-2，要使y随着，的增大面诚小，则 2 2), 0,r>2, 0=m2+,PM=(n+22.:n=号m-1,即m2 n+4, .PO2=n+4n十4=(m+2)2.即O2=PM,PO=PM. 易知D(-1,号）则OD的长为定值 若△PDO的周长最小，则P)+PD的值最小 P)+PD=PD+PM≥DM,PD+PO的最小值为DM. 即当D,P,M三点共线时PO+PD-PM+PD一DM, 1 图2 此时点P的横坐标为一1，代人抛物线解析式可得P一1， ②m=一8时，易得A(6,0),如图2，：抛物线过A,C两点，且与 r轴交点A,B在原点两侧..抛物线开口向上.则a>0,:AB一16， ）5aa=(c0+PD)Xm=×(2+ 3 且A(6,0),∴，B(一10,0)，而A,B关于对称轴对称，对称轴直线x =6-10 4）×1=号 17 2 一2，要使y随着x的增大而减小，且>0，.<一2 20.在Rt△PMN中.PM-PN.∠P-90°，∠PMN 【新题看台】 ∠PNM=45.延长AD,分别交PM.PN于点G,H,过G作FI 1.B2,483(1)y-30-2r(6≤r<15)(2)i设矩形苗周 MN于点F,过H作HT⊥MN于点T.DC-2cm,.MF-GF 的面积为5，则S=ry=r(30-2r1■-2x+30r,S■一2(r ■2m,TN=HT=2cm,MV=8cmMT=6cm,因此，矩形 7.5)3+112.5.由(1)知.6≤<15.当x-7,5时，S量大鱼-112.5 ABD以1cms的速度由开始向右移动到停止，与Rt△PMN重 平方米， 叠廊分的形状，可分为下列三种情况， 故当矩形苗用垂直于瑞的边长为7.5米时，这个苗周的面积最 (1)在C点由M点运动到F点的过程中(0≤x2),如图①所 大，最大面积为112.5平方米. 示，设(CD与PM交于点E,期重登部分图形是R:△MCE,且MC (3)6x11 -EC-r. 142长