11.2.2三角形的外角（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（人教版）

11.2.2三角形的外角 主讲： 人教版数学八年级上册 第十一章 三角形 学习目标 1.了解三角形外角的概念. 2.理解三角形外角性质及三角形外角和的探究. 3.熟练掌握并运用三角形外角性质解决实际问题. 情境引入 思考：△ABC的三个内角是什么？它们有什么关系？ A B C D 内角分别是：∠A，∠B，∠C. 关系：∠A+∠B+∠C=180° 思考：若把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD,这个角还是三角形的内角吗？ ∠ACD是△ABC的外角 不是 思考：则∠ACD是什么角？ 新知探究 三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形的外角： A B C D 三角形的外角应具备的条件: ①角的顶点是三角形的顶点 ②角的一边是三角形的一边 ③另一边是三角形中一边的延长线 新知探究 思考：每个顶点处有几个外角？它们有何关系？ 思考：如图，延长AC到E，∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？ E C B A D ∠BCE 是△ABC 的一个外角，∠DCE 不是△ABC 的一个外角. 每个顶点处有2个外角，如上图，△ABC在点C处有两个外角，分别是∠BCE 和∠ACD，它们是对顶角，因此它们相等. 思考：如图，在△ABC中，∠A=70°,∠B=60°，∠ACD是 △ABC的一个外角.能由∠A,∠B求出∠ACD吗？ 70° 60° 解：∵∠ACB=180°-（∠A+∠B） =180°-（70°+60°） =180°-130° =50° ∴∠ACD=180°-50°=130° 新知探究 思考：三角形的一个外角和它相邻的内角有何数量关系？ A C B D 外角 相邻的内角 ∠BCD与∠ACB互补. 新知探究 思考：三角形的一个外角和它不相邻的两个内角有何数量关系？ A C B D 不相邻的内角 外角 ∠BCD=∠A+∠B . 新知探究 A C B D 已知：在△ABC中，∠BCD是△ABC的外角，求证：∠BCD=∠A+∠B. 证明：∵∠ACB=180°-∠A-∠B ∴∠BCD=180°-∠ACB =180°-（180°-∠A-∠B） =180°-180°+∠A+∠B =∠A+∠B 新知探究 三角形外角的性质： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. A C B D 符号语言： ∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠ACD=∠A+∠B. 总结归纳 例1.如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是三角形ABC的三个外角，它们的和是多少？ 解法1：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE=∠2+∠3， ∠CBF=∠1+∠3， ∠ACD=∠1+∠2． ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)． 由∠1+∠2+∠3=180°，得 ∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°． 同学们还有其他方法吗？ 典例精析 解法2：由∠BAE +∠1=∠CBF +∠2 =∠ACD+∠3=180°，得 ∠BAE +∠CBF +∠ACD =3×180°-(∠1+∠2+∠3) =540°-180°=360°． 三角形的外角和定理： 三角形的外角和等于360°. 通过例题你能得出什么结论呢？ 典例精析 1.判断下列观点是否正确. （1）三角形的外角都是钝角.（ ） （2）三角形的外角大于任何一个内角.（ ） （3）三角形的外角等于它的两个内角的和.（ ） （4）三角形的外角和等于360°.（ ） × × × √ 随堂检测 2.试说出下列图形中∠1和∠2的度数. 解：（1）∠1=180°-80°-60°=40°，∠2=80°+60°=140°. （2）∠1=180°-30°-40°=110°，∠2=30°+40°=70°. （3）∠1=90°-40°=50°，∠2=50°+90°=140°. 60〫 80〫 1 2 （1） A B C 30〫 40〫 1 2 （2） A B C 40〫 2 1 ┌ （3） A B C 随堂检测 3.如图，点O是△ABC内一点，连接BO，CO，CO恰好平分∠ACB，延长BO交AC于点E．已知∠A=50°，∠BCO=35°，∠BEC=65°，求∠ABO和∠OBC的度数． 解：∵∠A=50°，∠BCO=35°， ∴∠ABO=∠BEC-∠A=65°-50°=15°， ∵CO平分∠ACB ，∠BCO=35°， ∴∠BCA=2∠BCO=70°， ∴∠ABO=180°-∠A-∠BCA=180°-50°-70°=60°， ∴∠OBC=∠ABC-∠ABO= 60°-15°=45°． 随堂检测 1.如图，在五角星的图中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. 解:∵∠1是△BDF的一个外角, ∴∠1=∠B+∠D, ∵∠2是△EHC的一个外角, ∴∠2=∠C+∠E, ∵∠A+∠1+∠2=180°, ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. 能力提升 2.如图，∠A = 51°，∠B = 20°，∠C = 30°，求∠BDC 的度数. 解：连接 AD 并延长到点 E. 在△ABD 中，∠1+∠B=∠3， 在△ACD 中，∠2+∠C=∠4. ∵∠BDC=∠3+∠4， ∠BAC=∠1+∠2， ∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C = 51°+ 20°+30°=101°. A B C D ( ( 20° 30° E ) ) 1 2 ) 3 ) 4 能力提升 性 质 外角和 定 义 三角形的外角 角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的一个外角于与它不相邻的任意一个内角 三角形的外角和等于 360° 课堂小结 1.如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=55°，∠B=45°，则∠ECD等于（ ） A.45° B.50° C.55° D.60° A B C D E B 课后作业 2.三角形的三个内角之比分别是1:2:3，则此三角形的最大外角为______度. 3.三角形的三个外角(各顶点取一个)中，最多有____个锐角; 4.等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角为________. 150 1 30°或75° 课后作业 主讲： 人教版八年级数学上册 感谢聆听 $$