第4章 第5节 解直角三角形及其应用(课件PPT)-【卓文中考·加速度】2024年贵州中考数学复习

2024贵州中考 数 学 《精讲册》 《精练册》 《选填+计算题组》 《模拟卷》 《参考答案》 编辑修改 便捷操作 本课件使用WPS2019版本制作，建议老师使用相应软件打开 本课件全文可单击进行编辑修改 目录、返回目录设置对应超链接，点击即可跳转至相应页面；答案添加动画效果，使用更方便 课件说明 软件使用 第四章　三角形 ※第五节　解直角三角形及其应用 考点梳理·回归教材 1 聚焦中考·精讲优练 2 解直角三角形及其应用 回归教材 考点梳理 ⁠ ⁠ 卓文中考·加速度 数学 2024贵州中考 ※第五节　解直角三角形及其应用 解直角三角形及其应用 特殊的三角函数值 锐角α 三角函数值 锐角三角函数 30° 45° 60° 图示 sin α ④ 　​　⁠ ⁠ ⁠ cos α ⑤ 　​　⁠ tan α ⑥ 　1　⁠ ​ ​ 1 卓文中考·加速度 数学 2024贵州中考 ※第五节　解直角三角形及其应用 解直角三角形及其应用 解直角三角形 边角 关系 （1）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝⑦ 　90°　⁠； （2）三边关系：a2＋b2＝⑧ 　c2　⁠； （3）边角关系：sin A＝＝cos B； cos A＝＝⑨ 　sinB　⁠； tan A＝⑩ 　​　⁠＝ ⁠ ⁠ 90°　 c2 sinB ​ 卓文中考·加速度 数学 2024贵州中考 ※第五节　解直角三角形及其应用 实际 应用 俯角、仰角：在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角 ⁠ ⁠ 坡度（坡比）、坡角：坡面的垂直高度h和水平宽度l之比 叫做坡度（坡比），用字母i表示，坡面与水平面的夹角α叫坡角，坡度i＝tan α＝，坡度越大，坡角越大，坡面 ⑪ 　越陡　⁠ ⁠ ⁠ 越陡 解直角三角形及其应用 解直角三角形 卓文中考·加速度 数学 2024贵州中考 ※第五节　解直角三角形及其应用 实际 应用 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角 ⁠ ⁠ 解直角三角形及其应用 解直角三角形 卓文中考·加速度 数学 2024贵州中考 ※第五节　解直角三角形及其应用 1.[湘教·九（上）P115练习1题改编] 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12， BC＝5.则AB＝⁠ ⁠，sin A＝＝ 　​⁠⁠　 ⁠，cos B＝＝ 　​⁠ 　⁠， tan A＝＝ 　​⁠　 ⁠，sin B＝＝ 　​⁠ 　⁠. 13 ​ ​ ​ ​ 卓文中考·加速度 数学 2024贵州中考 ※第五节　解直角三角形及其应用 2.[湘教·九（上）P123习题1题改编]在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分 别为∠A，∠B，∠C的对边. （1）已知a＝35，c＝35，则∠A＝⁠ ⁠，∠B＝⁠ ⁠，b＝⁠ ⁠； （2）若a＝10，∠A＝45°，则∠B＝⁠ ⁠，b＝⁠ ⁠，c＝⁠ ⁠； （3）已知tan B＝，b＝9，则a＝⁠ ⁠，c＝  ⁠； （4）已知∠A＝60°，△ABC的面积S＝12，则a＝ ⁠ ⁠⁠，b＝ ⁠ ⁠，c＝  ⁠，∠B＝⁠ ⁠. 45° 45° 35 45° 10 10 6 3 6 2 4 30° 卓文中考·加速度 数学 2024贵州中考 ※第五节　解直角三角形及其应用 3.[人教·九（下）P78习题5题改编]如图，在平地上种植树木时，要求株距 （相邻两树间的水平距离）为6 m.如果在坡比为1∶2.4的山坡上种树，并 且要求株距为6 m，那么相邻两树间的坡面距离为⁠ ⁠m. 第3题图 6.5 卓文中考·加速度 数学 2024贵州中考 ※第五节　解直角三角形及其应用 4.[北师·九（上）P26复习题17题改编]如图，大楼高30 m，远处有一塔 BC，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为 30°，则塔高BC为⁠ ⁠m. 第4题图 45 卓文中考·加速度 数学 2024贵州中考 ※第五节　解直角三角形及其应用 5.[人教·九（下）P79复习题10题改编]如图，一海监船自西向东航行，它在 A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶10海里后到达B 处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上.则A，P之间的距离为⁠ ⁠ ⁠ ⁠海里. 第5题图 30＋ 10 卓文中考·加速度 数学 2024贵州中考 ※第五节　解直角三角形及其应用 6.[人教·九（下）P75例4改编]如图，热气球的探测器显示，从热气球底部 A处看一栋楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与 地面距离为150 m，则这栋楼的高度为⁠ ⁠m. 第6题图 100 卓文中考·加速度 数学 2024贵州中考 ※第五节　解直角三角形及其应用 　　1.当所求角在直角三角形中时，可根据锐角三角函数的定义直接进行 求解； 2.当所求角不在直角三角形中时，通过作辅助线构造直角三角形，或 寻找已知直角三角形中与所求角相等的角进行替代，再根据定义求解. 精讲优练 聚焦中考 1 锐角三角函数 卓文中考·加速度 数学 2024贵州中考 ※第五节　解直角三角形及其应用 ⁠ ⁠如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则 tan∠BAC的值为（　B　） 例1题图 A. B.1 C. D. B 卓文中考·加速度 数学 2024贵州中考 ※第五节　解直角三角形及其应用 1.[拓展训练]构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用. 如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接 AD，得∠D＝15°，所以tan 15°＝＝＝＝2－.类比这 种方法，计算tan 22.5°的值为（　B　） A.＋1 B.－1 C. D. 第1题图 B 卓文中考·加速度 数学 2024贵州中考 ※第五节　解直角三角形及其应用 2.[拓展训练]如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的 方法： ∵sin A＝，sin B＝， ∴c＝，c＝，∴＝. 第2题图 卓文中考·加速度 数学 2024贵州中考 ※第五节　解直角三角形及其应用 根据你掌握的三角函数知识，在图②的锐角三角形ABC中，探究， ，之间的关系，并写出探究过程. 第2题图 卓文中考·加速度 数学 2024贵州中考 ※第五节　解直角三角形及其应用 解：＝＝.探究过程如下： 如答图，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E. 在Rt△ABD中，sin∠ABD＝， 即AD＝c·sin∠ABD. 在Rt△ADC中，sin C＝，即AD＝b·sin C. ∴c·sin∠ABD＝b·sin C，即＝， 同理可得＝， 第2题答图 ∴＝＝， 即＝＝. 卓文中考·加速度 数学 2024贵州中考 ※第五节　解直角三角形及其应用 　　1.找出与所求解的问题和已知条件相关的直角三角形，若图中没有直 角三角形，可通过作辅助线的形式构造直角三角形.常用的辅助线是作一边 的高，注意在作辅助线时，不能分割已知角； 2.若在直角三角形中，已知一角和一边，直接利用锐角三角函数的定 义进行求解；若直角三角形的已知条件中只有一个角，且与另一直角三角 形存在公共边，可借助公共边列方程求解. 2 解直角三角形的应用 卓文中考·加速度 数学 2024贵州中考 ※第五节　解直角三角形及其应用 ⁠ ⁠[2020贵阳，21]脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政 府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图 形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C 点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点 恰好共线，继续向房屋方向走8 m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为 60°，房屋的顶层横梁EF＝12 m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在 同一水平线上）.（参考数据：sin 35°≈0.6，cos 35°≈0.8，tan 35°≈0.7， ≈1.7） 例2题图 卓文中考·加速度 数学 2024贵州中考 ※第五节　解直角三角形及其应用 （1）求屋顶到横梁的距离AG； 解：（1）∵房屋的侧面示意图是一个轴对称图 形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，EF∥BC， ∴AG⊥EF，EG＝EF＝6，∠AEG＝∠ACB＝35°. 在Rt△AGE中，∠AGE＝90°，∠AEG＝35°. ∵tan∠AEG＝tan 35°＝，EG＝6， ∴AG＝6tan 35°≈4.2（m）. 答：屋顶到横梁的距离AG约4.2 m. 卓文中考·加速度 数学 2024贵州中考 ※第五节　解直角三角形及其应用 （2）求房屋的高AB（结果精确到1 m）. 解：（2）如答图，过点E作EH⊥CB于点H，则 BG＝EH，设EH＝x. 在Rt△EDH中，∠EHD＝90°，∠EDH＝60°， ∴DH＝. 在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝35°， ∴CH＝. ∵CH－DH＝CD＝8， ∴－＝8，解得x≈9.52， ∴AB＝AG＋BG＝AG＋EH＝13.72≈14（m）. 答：房屋的高AB约14 m. 例2题答图 卓文中考·加速度 数学 2024贵州中考 ※第五节　解直角三角形及其应用 3.[2022贵阳，22]交通安全心系千万家.高速公路管理局在某隧道内安装了 测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图.测速仪C和测速仪E到路面 之间的距离CD＝EF＝7 m，测速仪C和E之间的距离CE＝750 m，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪C处测得小汽车在隧道入口A点的俯角为25°，在测速仪E处测得小汽车在B点的俯角为60°，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为38 s（图中所有点都在同一平面内）. （1）求A，B两点之间的距离（结果精确到1 m）； 第3题图 卓文中考·加速度 数学 2024贵州中考 ※第五节　解直角三角形及其应用 解：（1）由题意得∠CAD＝25°， ∠EBF＝60°，DF＝CE＝750. 在Rt△ACD中，CD＝7， ∴AD＝≈＝14， 在Rt△BEF中，EF＝7， ∴BF＝＝≈4.1， ∴AB＝AD＋DF－BF＝14＋750－ 4.1≈760（m），∴A，B两点之间的 距离约760 m. 第3题图 卓文中考·加速度 数学 2024贵州中考 ※第五节　解直角三角形及其应用 （2）若该隧道限速22 m/s，判断小汽车从点A行驶到点B是否超速？通过计 算说明理由. （参考数据：≈1.7，sin 25°≈0.4，cos 25°≈0.9，tan 25°≈0.5，sin 65°≈0.9，cos 65°≈0.4，tan 65°≈2.1） 解：（2）小汽车从点A行驶到点B没 有超速.理由如下： 由题意得760÷38＝20 （m/s）. ∵20 m/s＜22 m/s， ∴小汽车从点A行驶到点B没有超速. 第3题图 卓文中考·加速度 数学 2024贵州中考 ※第五节　解直角三角形及其应用 4.[2023贵州，22]贵州旅游资源丰富.某景区为给游客提供更好的游览体 验，拟在如图①景区内修建观光索道.设计示意图如图②所示，以山脚A为 起点，沿途修建AB，CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中 途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50 m.索道AB与AF的夹角为15°， CD与水平线夹角为45°，A，B两处的水平距离AE为576 m，DF⊥AF，垂足 为F（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上）. 第4题图 卓文中考·加速度 数学 2024贵州中考 ※第五节　解直角三角形及其应用 第4题图 （1）求索道AB的长（结果精确到1 m）； 解：（1）在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠A＝15°，AE＝576， ∴AB＝＝ ≈600（m）， 即AB的长约600 m. 卓文中考·加速度 数学 2024贵州中考 ※第五节　解直角三角形及其应用 （2）求水平距离AF的长（结果精确到1 m）. （参考数据：sin 15°≈0.25，cos 15°≈0.96，tan 15°≈0.26，≈1.41） 解：（2）如答图，延长BC交DF于点G， ∵BC∥AE，∴∠CBE＝90°，∴∠BEF＝90°， ∵DF⊥AF， ∴∠AFD＝90°，∴四边形BEFG为矩形， ∴EF＝BG，∠CGD＝∠BGF＝90°， ∵CD＝AB＝600，∠DCG＝45°， ∴CG＝CD·cos∠DCG＝600×cos 45°＝600×＝300， 第4题答图 卓文中考·加速度 数学 2024贵州中考 ※第五节　解直角三角形及其应用 ∴AF＝AE＋EF＝AE＋BG＝AE＋BC＋CG ＝576＋50＋300≈1 049（m）， 即水平距离AF的长约1 049 m. 第4题答图 卓文中考·加速度 数学 2024贵州中考 ※第五节　解直角三角形及其应用 5.[2021贵阳，21]随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活 中，小星利用无人机来测量广场B，C两点之间的距离.如图所示，小星站 在广场的B处遥控无人机，无人机在A处距离地面的飞行高度是41.6 m，此 时从无人机测得广场C处的俯角为63°，他抬头仰视无人机时，仰角为α， 若小星的身高BE＝1.6 m，EA＝50 m（点A，E，B，C在同一平面内）. （1）求仰角α的正弦值； 第5题图 卓文中考·加速度 数学 2024贵州中考 ※第五节　解直角三角形及其应用 解：（1）如答图，过点A作AD⊥BC于点D，过点E作 EF⊥AD于点F. ∵∠EBD＝∠FDB＝∠DFE＝90°， ∴四边形BDFE为矩形， ∴EF＝BD，DF＝BE＝1.6， ∴AF＝AD－DF＝40. 在Rt△AEF中，sin∠AEF＝＝， 即sin α＝，∴仰角α的正弦值为. 第5题图 第5题答图 卓文中考·加速度 数学 2024贵州中考 ※第五节　解直角三角形及其应用 （2）求B，C两点之间的距离（结果精确到1 m）.（参考数据：sin 63°≈0.89，cos 63°≈0.45，tan 63°≈1.96，sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.89， tan 27°≈0.51） 解：（2）在Rt△AEF中，EF＝＝＝30， 在Rt△ACD中，∠ACD＝63°，AD＝41.6， tan∠ACD＝， ∴CD＝≈≈21.2， ∴BC＝BD＋CD＝EF＋CD＝30＋21.2≈51（m）， ∴B，C两点之间的距离约51 m. 第5题图 卓文中考·加速度 数学 2024贵州中考 ※第五节　解直角三角形及其应用 6.[2019贵阳，21]如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面 原理图，图中OP为下水管道口直径，OB为可绕转轴O自由转动的阀门.平 时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会 因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中.若阀门的直径OB＝OP＝100 cm，OA为检修时阀门开启的位置，且OA＝OB. （1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取 值范围； 第6题图 卓文中考·加速度 数学 2024贵州中考 ※第五节　解直角三角形及其应用 解：（1）阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程 中∠POB的取值范围为0°≤∠POB≤90°. 第6题图 答：此时下水道内水的深度约29.5 cm. 卓文中考·加速度 数学 2024贵州中考 ※第五节　解直角三角形及其应用 （2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达OB位置时，在点A处测得 俯角∠CAB＝67.5°，若此时点B恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水 道内水的深度（结果保留小数点后一位）.（参考数据：≈1.41，sin 67.5°≈0.92，cos 67.5°≈0.38，tan 67.5°≈2.41，sin 22.5°≈0.38，cos 22.5°≈0.92，tan 22.5°≈0.41） 卓文中考·加速度 数学 2024贵州中考 ※第五节　解直角三角形及其应用 解：（2）如答图，记水面与OP的交点为E. ∵∠CAB＝67.5°，∴∠BAO＝22.5°. 又∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝22.5°， ∴∠BOP＝45°. ∵OB＝100， ∴OE＝OB·cos∠BOP＝100×＝50， ∴PE＝OP－OE＝100－50≈29.5（cm）. 第6题图 答：此时下水道内水的深度约29.5 cm. 第6题答图 请完成《精练册》（P31～P33）中的练习题 卓文中考·加速度 数学 2024贵州中考 ※第五节　解直角三角形及其应用 $$