第03讲 空间中的平面与空间向量（7考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019选择性必修第一册）

第03讲 空间中的平面与空间向量 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解平面的法向量的有关概念，凸显数学抽象的核心素养； 2．会求平面的法向量，并用向量方法证明三垂线定理及其逆定理，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单命题．凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养. 知识点 1 平面的法向量 1.如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量。也称n与平面α垂直，记作n⊥α 2.平面法向量的性质： 3.直线与平面的位置关系（v是直线l的方向向量，n是平面α的一个法向量）： 4.平面与平面的位置关系（n1是平面α1一个法向量，n2是α2的一个法向量）： 知识点2 三垂线定理及其逆定理 1.三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直. 2.三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. 知识点3 用空间向量研究直线、平面的位置关系 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向 向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇒n1＝λn2 l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔m·n＝0 l⊥α n∥m⇔n＝λm 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝λm α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 考点一：平面法向量的辨析 例1.（22-23高二上·湖北荆州·期末）已知正方体的棱长为1，以为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的坐标，设平面的一个法向量为，利用求出法向量. 【详解】如图由已知得， 则， 设平面的一个法向量为， 则，取得. 故选：D. 【变式1-1】（21-22高二上·湖北孝感·期末）已知点，则下列向量可作为平面的一个法向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平面的一个法向量为，利用列方程求解即可. 【详解】由知， 设平面的一个法向量为，所以， 取，解得，选项D符合， 另外选项ABC中的向量与选项D中的向量不共线. 故选：D 【变式1-2】（22-23高二下·江苏·阶段练习）已知平面上的两个向量，，则平面的一个法向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设平面的法向量为，根据向量垂直的坐标表示求解可得答案. 【详解】设平面的法向量为，因为向量，， 所以，取，得， 故平面的一个法向量为. 故选：C 【变式1-3】（多选）（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知空间中三点，，，则（    ） A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 【答案】CD 【分析】求出、的坐标，根据共线定理判断A，与向量方向相同的单位向量是即可判断B，根据夹角公式判断C，令，计算出，，即可判断D. 【详解】因为，，， 所以，， 因为不存在实数使得，所以与不共线，故A错误. 因为，所以与向量方向相同的单位向量是，故B错误. 又，所以与夹角的余弦值是，故C正确. 不妨令，则， ，即且， 所以是平面的法向量，故D正确. 故选：CD 考点二：求平面的法向量 例2.（2024高二上·全国·专题练习）四边形是直角梯形，，，平面，，，求平面和平面的法向量． 【答案】答案见解析 【分析】根据空间直角坐标系的性质，利用线面垂直的性质建立合适的坐标系，再根平面法向量的性质求解即可. 【详解】因为平面，平面，所以 又，，所以， 所以以为原点，以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，    则， 所以是平面的一个法向量． 因为， 设平面的一个法向量， 则      ，取，得， 所以是平面的一个法向量． 【变式2-1】（2024高三·全国·专题练习）已知，，求平面的一个法向量 【答案】（答案有无数多个） 【分析】法一，用数量积为，建立方程组求解即可；法二，利用向量叉乘运算求解平面的法向量. 【详解】法一：设平面的一个法向量为， 则，令，得，，所以. 故可得平面的一个法向量. 【变式2-2】（2024高三·全国·专题练习）已知向量、是平面内的两个不共线的向量，，，求平面的一个法向量的坐标． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设法向量，由且，利用向量数量积的坐标运算求解. 【详解】设平面的一个法向量，则， 令，则，故， 所以平面的一个法向量（答案不唯一）. 【变式2-3】（23-24高二上·安徽阜阳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，求平面的法向量和单位法向量. 【答案】，或 【分析】以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标以及的坐标，根据方程组求解即可得出.然后根据或即可得出单位法向量. 【详解】 如图，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，，. 设平面的法向量， 则有. 取，可得. 与同向的单位法向量； 与同向的单位法向量. 考点三：由平面的法向量求参数 例3.（22-23高二上·山东济宁·阶段练习）已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设平面内任意一点，由题意，由此可得，对比选项即可得解. 【详解】设平面内任意一点，则，平面的一个法向量为 所以，整理得， 而，，，， 所以对比选项可知只有在平面内. 故选：C. 【变式3-1】（23-24高二上·山东菏泽·期末）一平面截正四棱锥，与棱的交点依次为，已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接相交于点，连接，以为原点，分别以所在的直线为轴正方向建立空间直角坐标系，设，求出，求出平面的一个法向量，利用可得答案. 【详解】如图，在正四棱锥中，连接相交于点，连接， 则平面，且， 以为原点，分别以所在的直线为轴正方向建立空间直角坐标系， 设，由， 可得， 则，， 设为平面的一个法向量， 则，令，则，， 可得，所以， 解得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是建立空间直角坐标系，利用平面的法向量和向量的数量积为零求解. 【变式3-2】（2024高三·全国·专题练习）已知平面α内有两点M(1，－1，2)，N(a，3，3)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则实数a＝ . 【答案】2 【详解】因为M(1，－1，2)，N(a，3，3)，所以＝(a－1，4，1).因为平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，所以n⊥，则n＝6(a－1)－3×4＋6＝0，解得a＝2. 【变式3-3】（2024高二上·全国·专题练习）在平面中，点，若，且为平面的法向量，则 ， . 【答案】 【分析】根据题意，结合，列出方程组，即可求解. 【详解】由平面中，点， 可得， 因为为平面的一个法向量，则， 解得. 故答案为：；. 考点四：空间线面关系的判断 例4.（多选）（23-24高二上·广东清远·期中）如图所示，正方体中，，点在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则以下四个结论正确的是（    ） A． B． C．点必在线段上 D．平面 【答案】ACD 【分析】建立适当的空间直角坐标系，设出点，由题意，从而可得，对于A，只需验证是否成立即可；对于B，只需验证是否成立即可；对于C，令，判断关于的方程是否有解即可；对于D，求出平面的法向量，验证是否成立即可. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系如下图所示， 则， 设， 则， 由， 可得，即， 又，则， 故，故选项A判断正确； 由， 可得， 则两向量与不垂直，故与不垂直，故选项B判断错误； 又， 令，则有，解之得 此时均成立. 故点必在线段上，故选项C判断正确； 设平面的一个法向量为， 又. 则，令，则，则， 由， 可得，又平面， 则平面，故选项D判断正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是明确验证线线垂直只需方向向量的数量积为0，对于C选项只需验证方程是否有解，验证线面平行只需验证平面的法向量与直线的方向向量的数量积是否为0. 【变式4-1】（23-24高二上·全国·期中）若直线的方向向量为,,，平面的法向量为,6,，则（    ） A． B． C． D．与位置关系不确定 【答案】A 【分析】 根据方向向量与法向量共线即可判断. 【详解】由于直线的方向向量为,,，平面的法向量为,6,， 由于，所以直线与平面的法向量共线，所以． 故选：A． 【变式4-2】（多选）（23-24高二上·四川达州·期末）已知向量，分别为平面，的法向量，为直线l的方向向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用法向量及直线的方向向量的关系来判断位置关系. 【详解】因为，，所以，所以，A正确； 因为，且，所以，B正确； 因为，所以或者，C不正确； 因为，所以不垂直，D不正确. 故选：AB 【变式4-3】（多选）（2024高二上·全国·专题练习）给出下列命题，其中是真命题的为（    ） A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则l与m垂直 B．若直线的方向向量，平面的法向量，则 C．若平面的法向量分别为，则 D．若平面经过三点，向量是平面的法向量，则 【答案】AD 【分析】对于A，计算，即可判断；对于B，求出的值，即可判断；对于C，计算的值，即可判断；对于D，求出的坐标，根据法向量含义可得，即可判断. 【详解】对于A，，则， 所以直线与垂直，故A是真命题； 对于B，，则， 所以或，故B是假命题； 对于C，，即不垂直， 所以不成立，故C是假命题； 对于D，， 因为向量是平面的法向量，故， 即，故D是真命题， 故选：AD 考点五：三垂线定理及其逆定理的应用 例5.（23-24高二上·上海·课后作业）已知：如图，是平面的一条斜线，是在内的射影，直线在平面上．求证：当且仅当．    【答案】证明见解析 【分析】取的任意一个方向向量，利用空间向量数量积运算可得，结合充要条件的概念证明即可. 【详解】根据射影的定义，，又，所以． 取的任意一个方向向量，则，． 又因为，所以． 由此推出， 即当且仅当． 【变式5-1】（23-24高二上·上海黄浦·期中）已知平面上的一条直线和这个平面的一条斜线，则“垂直于”是“垂直于在平面上的投影”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】根据三垂线定理及其逆定理判断即可. 【详解】三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直， 那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影，满足充分性； 三垂线定理，指的是平面内的一条直线， 如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直， 那么它也和这条斜线垂直.所以满足必要性. 故选：C 【变式5-2】（21-22高二上·上海浦东新·期中）三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在 垂直. 【答案】平面上的射影 【分析】由三垂直线定理及其逆定理可得答案. 【详解】解：由三垂线定理得：平面上的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也与这条斜线垂直； 由三垂线定理的逆定理得：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它与这条斜线在平面上的射影垂直； 所以平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的射影垂直， 故答案为：平面上的射影. 【变式5-3】（21-22高一·全国·课后作业）平面上的一条直线和这个平面的一条斜线 的充要条件是它和这条斜线在平面上的 垂直． 【答案】 垂直 射影 【分析】根据三垂线定理及其逆定理直接可得. 【详解】由三垂线定理及其逆定理可得：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它也和这条斜线在平面上的射影垂直. 故答案为：垂直；射影. 考点六：空间平行、垂直关系的证明 例6.（2024高二上·江苏·专题练习）如图，四边形为正方形，平面，，. (1)证明：平面平面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件建立空间直角坐标系，利用坐标结合面面垂直的判定定理证明即可. （2）利用空间向量的坐标运算可得为平面的一个法向量，又,且平面，即可证明. 【详解】（1）由题意易知两两互相垂直. 如图，以D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系.设. 依题意有, 则, 所以, ， 即, 又,平面, 故平面.又平面， 所以平面平面. （2）根据题意，有, 则, 故 又不共线，所以为平面的一个法向量. 又因为,且 即,且平面， 故有平面. 【变式6-1】（2024高三·全国·专题练习）已知正方体的棱长为，、、分别是棱、、的中点，求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】结论空间直角坐标系，求平面的法向量，证明与共线即可. 【详解】建立如图的空间直角坐标系，连结、． 则、、、、． 于是，，． 设平面的法向量为． 由，， 得，． 令，则，故．又， 易知，这说明与共线． ∴平面． 【变式6-2】（2024高三·全国·专题练习）已知单位正方体中，为的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】法一：建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，由即可证明平面平面；法二：求出平面的法向量，先证与共线，再由平面，即可证明平面平面. 【详解】证法一：建立如图的空间直角坐标系，则、、、， 于是，，， 设平面的法向量为． 由，，得，． 令，则，∴． 设平面的法向量为． 由，，得，． 令，则，∴． 故， 因此，故面面． 证法二：设的中点为，则， 平面的法量为．易知，这说明与共线， ∴平面，又平面，故平面． 【变式6-3】（2024·山西·三模）如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点． (1)证明：∥平面； (2)证明： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建系，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行； （2）由（1）可得：，利用空间向量证明线线垂直. 【详解】（1）如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 可得 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为，且平面，所以∥平面. （2）由（1）可得：， 则，所以. 考点七：根据空间位置关系求参数 例7.（2024高二上·江苏·专题练习）在空间直角坐标系中，设平面经过点，平面的一个法向量为，是平面内任意一点，求满足的关系式. 【答案】 【分析】根据是平面的一个法向量可得，再由向量坐标运算可得答案. 【详解】由题得， 因为是平面的一个法向量，所以，从而， 即， 所以， 整理可得，即为所求. 【变式7-1】（2024高二上·全国·专题练习）已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值是 . 【答案】6 【分析】根据空间向量的平行列式求值即可得解. 【详解】∵，∴的法向量与的法向量也互相平行. ∴，∴. 故答案为：6. 【变式7-2】（23-24高二上·北京顺义·期末）已知平面的法向量为，，若直线AB与平面平行.则 . 【答案】1 【分析】根据题目条件得到与垂直，从而得到方程，求出答案. 【详解】因为直线AB与平面平行，所以与垂直， 即，解得. 故答案为：1 【变式7-3】（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知（a，）是直线l的方向向量，是平面的法向量，如果，则 . 【答案】39 【分析】由可得：，利用空间向量共线的充要条件列方程组计算即得. 【详解】因，依题意，必有，即存在唯一的实数，使，即：， 则，解得：，故. 故答案为：39. 1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知平面平面的法向量分别为，则实数（    ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 【答案】B 【分析】由平面互相垂直可知其对应的法向量也垂直，然后用空间向量垂直的坐标运算求解即可. 【详解】∵平面平面， ∴平面的法向量也垂直， ∴，即，解得：. 故选：B. 2．（23-24高二下·江苏·单元测试）已知平面α上的两个向量，，则平面α的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面法向量的定义，列式计算得解. 【详解】显然与不平行，设平面α的法向量为， 则，所以，令，得，. 所以． 故选：C. 3．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知（，）是直线的方向向量，是平面的法向量．若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】由得出，利用空间向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】因为， 所以， 则， 所以，整理得：. 故选：A. 4．（2024·四川成都·模拟预测）已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（   ） A． B． C．与相交但不垂直 D．或 【答案】D 【分析】由于，得到，从而确定与的位置关系. 【详解】因为，， 则， 得到，且直线的方向向量是，平面的一个法向量是， 所以与的位置关系是：或， 故选：D. 5．（23-24高二上·河南洛阳·期末）若平面的法向量为，直线的方向向量为，，则下列四组向量中能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据题意，由平面法向量的定义，依次分析选项中向量是否满足，综合可得答案． 【详解】根据题意，平面的法向量为，直线的方向向量为，， 若，即，又由，则有， 依次分析选项： 对于A，，，，即成立，符合题意； 对于B，，，，即不成立，不符合题意； 对于C，，，，即不成立，不符合题意； 对于D，，，，即不成立，不符合题意． 故选：A． 6．（多选）（22-23高二上·云南昆明·期中）以下命题正确的是（    ） A．平面，的法向量分别为，，则 B．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 C．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 【答案】BD 【分析】由法向量是否共线判断A；计算数量积判断B；由直线与平面平行的意义判断C；由法向量的意义，列式计算判断D. 【详解】对于A，向量与不共线，平面与不平行，A错误； 对于B，由，，得，与垂直，B正确； 对于C，，，则或，C错误； 对于D，，由是平面的法向量， 得，解得，D正确. 故选：BD 7.（22-23高二上·广东深圳·期末）设直线的方向向量，平面的法向量，若，则 . 【答案】 【分析】 利用空间位置关系的向量证明可得，再列式计算即得. 【详解】 由，得，则，所以. 故答案为：1 8．（23-24高一上·江苏·阶段练习）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系”，则平面的一个法向量为 .    【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，设，可得,,的坐标，由此可得向量,的坐标，由此可得关于,,的方程组，利用特殊值求出,,的值，即可得答案． 【详解】根据题意，设，则, ,， 则,， 设平面的一个法向量为,,， 则有，令，可得， 则， 故答案为：（答案不唯一） 9.（2024·山西·三模）如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点． (1)证明：∥平面； (2)证明： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建系，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行； （2）由（1）可得：，利用空间向量证明线线垂直. 【详解】（1）如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 可得 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为，且平面，所以∥平面. （2）由（1）可得：， 则，所以. 10.（2023高二上·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱PC的中点．证明： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，先证明AB，AD，AP两两垂直，从而建立对应的空间直角坐标系，再利用空间向量法证明平面PAD的一个法向量与垂直，进而即可证明结论； （2）结合（1），先证明平面PCD的一个法向量与平面PAD的一个法向量垂直，进而即可证明结论． 【详解】（1）因为平面ABCD，且平面ABCD，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 依题意，以点A为原点，以，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 由为棱的中点，得，则， 所以为平面的一个法向量， 又，所以， 又平面，所以平面． （2）由（1）知平面的一个法向量，，， 设平面PCD的一个法向量为，则， 令，可得，所以， 又， 所以，所以平面平面. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 空间中的平面与空间向量 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解平面的法向量的有关概念，凸显数学抽象的核心素养； 2．会求平面的法向量，并用向量方法证明三垂线定理及其逆定理，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单命题．凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养. 知识点 1 平面的法向量 1.如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量。也称n与平面α垂直，记作n⊥α 2.平面法向量的性质： 3.直线与平面的位置关系（v是直线l的方向向量，n是平面α的一个法向量）： 4.平面与平面的位置关系（n1是平面α1一个法向量，n2是α2的一个法向量）： 知识点2 三垂线定理及其逆定理 1.三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直. 2.三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. 知识点3 用空间向量研究直线、平面的位置关系 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向 向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇒n1＝λn2 l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔m·n＝0 l⊥α n∥m⇔n＝λm 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝λm α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 考点一：平面法向量的辨析 例1.（22-23高二上·湖北荆州·期末）已知正方体的棱长为1，以为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（21-22高二上·湖北孝感·期末）已知点，则下列向量可作为平面的一个法向量的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（22-23高二下·江苏·阶段练习）已知平面上的两个向量，，则平面的一个法向量为（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（多选）（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知空间中三点，，，则（    ） A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 考点二：求平面的法向量 例2.（2024高二上·全国·专题练习）四边形是直角梯形，，，平面，，，求平面和平面的法向量． 【变式2-1】（2024高三·全国·专题练习）已知，，求平面的一个法向量 【变式2-2】（2024高三·全国·专题练习）已知向量、是平面内的两个不共线的向量，，，求平面的一个法向量的坐标． 【变式2-3】（23-24高二上·安徽阜阳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，求平面的法向量和单位法向量. 考点三：由平面的法向量求参数 例3.（22-23高二上·山东济宁·阶段练习）已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高二上·山东菏泽·期末）一平面截正四棱锥，与棱的交点依次为，已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024高三·全国·专题练习）已知平面α内有两点M(1，－1，2)，N(a，3，3)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则实数a＝ . 【变式3-3】（2024高二上·全国·专题练习）在平面中，点，若，且为平面的法向量，则 ， . 考点四：空间线面关系的判断 例4.（多选）（23-24高二上·广东清远·期中）如图所示，正方体中，，点在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则以下四个结论正确的是（    ） A． B． C．点必在线段上 D．平面 【变式4-1】（23-24高二上·全国·期中）若直线的方向向量为,,，平面的法向量为,6,，则（    ） A． B． C． D．与位置关系不确定 【变式4-2】（多选）（23-24高二上·四川达州·期末）已知向量，分别为平面，的法向量，为直线l的方向向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（多选）（2024高二上·全国·专题练习）给出下列命题，其中是真命题的为（    ） A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则l与m垂直 B．若直线的方向向量，平面的法向量，则 C．若平面的法向量分别为，则 D．若平面经过三点，向量是平面的法向量，则 考点五：三垂线定理及其逆定理的应用 例5.（23-24高二上·上海·课后作业）已知：如图，是平面的一条斜线，是在内的射影，直线在平面上．求证：当且仅当．    【变式5-1】（23-24高二上·上海黄浦·期中）已知平面上的一条直线和这个平面的一条斜线，则“垂直于”是“垂直于在平面上的投影”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式5-2】（21-22高二上·上海浦东新·期中）三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在 垂直. 【变式5-3】（21-22高一·全国·课后作业）平面上的一条直线和这个平面的一条斜线 的充要条件是它和这条斜线在平面上的 垂直． 考点六：空间平行、垂直关系的证明 例6.（2024高二上·江苏·专题练习）如图，四边形为正方形，平面，，. (1)证明：平面平面； (2)证明：平面. 【变式6-1】（2024高三·全国·专题练习）已知正方体的棱长为，、、分别是棱、、的中点，求证：平面． 【变式6-2】（2024高三·全国·专题练习）已知单位正方体中，为的中点．求证：平面平面． 【变式6-3】（2024·山西·三模）如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点． (1)证明：∥平面； (2)证明： 考点七：根据空间位置关系求参数 例7.（2024高二上·江苏·专题练习）在空间直角坐标系中，设平面经过点，平面的一个法向量为，是平面内任意一点，求满足的关系式. 【变式7-1】（2024高二上·全国·专题练习）已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值是 . 【变式7-2】（23-24高二上·北京顺义·期末）已知平面的法向量为，，若直线AB与平面平行.则 . 【变式7-3】（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知（a，）是直线l的方向向量，是平面的法向量，如果，则 . 1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知平面平面的法向量分别为，则实数（    ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 2．（23-24高二下·江苏·单元测试）已知平面α上的两个向量，，则平面α的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知（，）是直线的方向向量，是平面的法向量．若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2024·四川成都·模拟预测）已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（   ） A． B． C．与相交但不垂直 D．或 5．（23-24高二上·河南洛阳·期末）若平面的法向量为，直线的方向向量为，，则下列四组向量中能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（多选）（22-23高二上·云南昆明·期中）以下命题正确的是（    ） A．平面，的法向量分别为，，则 B．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 C．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 7.（22-23高二上·广东深圳·期末）设直线的方向向量，平面的法向量，若，则 . 8．（23-24高一上·江苏·阶段练习）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系”，则平面的一个法向量为 .    9.（2024·山西·三模）如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点． (1)证明：∥平面； (2)证明： 10.（2023高二上·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱PC的中点．证明： (1)平面； (2)平面平面． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$