第7章 平行线的证明 基础题过关检测【5个考点50题专练】2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第7章 平行线的证明 基础题过关检测【5个考点50题专练】 2024−2025学年北师大版数学八年级上册 考点梳理 一．平行线的判定 二．平行线的性质 三．平行线的判定与性质 四．三角形内角和定理 五．命题与定理 考点精讲精练 一．平行线的判定 · 平行线的判定 （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 1．（2024春•恩施市期中）下列图形中，由能得到的是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•新郑市期中）下列说法正确的是　　 A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂线段就是点到直线的距离 D．直线，，在同一平面内，若，，则 3．（2024春•碑林区校级月考）下列说法中，正确的是　　 A．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离 B．同一平面内，若，，则 C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 4．（2024春•西湖区校级月考）如图，将木条，与钉在一起，，，要使木条与平行，木条旋转的度数至少是　　 A． B． C． D． 5．（2024春•禹州市期中）《七彩云南》整合少数民族传统艺术表演，是七彩云南欢乐世界的王牌演艺节目．在展演中，舞台上的灯光由灯带上位于点和点的两盏激光灯控制．如图，光线与灯带的夹角，当光线与灯带的夹角　　时，． 6．（2024春•大兴区期中）如图，在四边形中，点在的延长线上，点在的延长线上，如果添加一个条件，使，那么可添加的条件为 　　（写出一个即可）． 7．（2024春•泰山区期中）如图所示，已知，垂足为，，垂足为，．试说明直线与平行． 二．平行线的性质 · 平行线的性质 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 8．（2024•崂山区二模）两个直角三角板如图摆放，其中，，．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 9．（2024•章丘区二模）如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若，则的度数是　　 A． B． C． D． 10．（2024春•法库县校级月考）下列说法正确的是　　 A．两条直线平行，同旁内角相等 B．过点作直线的垂线段，则垂线段是点到直线的距离 C．平面内，过一点有无数条直线与已知直线垂直 D．平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行 11．（2024•罗湖区模拟）如图，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁，使．若，则应为　　度． A． B． C． D． 12．（2024•松原模拟）如图，若，，，则的度数是　　 A． B． C． D． 13．（2023秋•齐河县期末）如图，一条公路修到湖边时需绕道，第一次拐角，第二次拐角，为了保持公路与平行，则第三次拐角的度数应为　　 A． B． C． D． 14．（2024•宁明县二模）把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 15．（2024春•建湖县期中）如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线交于点．若，则的度数为　　． 16．（2024春•志丹县月考）如图，已知，若，，则的度数为 　　． 17．（2024春•南岗区校级月考）在同一平面内，和的两边分别互相平行，且比的3倍少，则　　． 18．（2024春•江南区校级月考）如图，一块含有角的直角三角板的一个顶点恰好落在一把标准直尺的一边，若，则的度数是 　　． 19．（2024春•青羊区校级期中）如图：已知直线，，直线、交于点，则　　． 20．（2024春•东城区校级期中）如图，纸片的边缘，互相平行，将纸片沿折叠，使得点，分别落在点，处．若，则的度数是 　　． 21．（2024春•京山市期中）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，当，时，则图中　　，　　． 22．（2024春•鄱阳县校级月考）光从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，用直线，表示一块玻璃的两个面，且．现有一束光线从空气射向玻璃，是折射光线．若，，则的度数为 　　． 23．（2024春•东昌府区月考）如图，已知直线，、和、分别交于点、、、，点在直线或上且不与点、、、重合．记，，． （1）若点在图（1）位置时，求证：； （2）若点在图（2）位置时，写出、、之间的关系并给予证明． 24．（2024春•宁阳县期中）小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． （1）如图①，小明将含角的直角三角板中的点落在直线上，若，则的度数为 　　； （2）如图②，小明将含角的直角三角板中的点，分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由． （3）小明将三角板与三角板按如图③所示方式摆放，点与点重合，求的度数． 25．（2024春•瓦房店市月考）【问题初探】 （1）课堂上，李老师提出问题：如图1，，点是上的点，点是上的点，点是和之间的一点，连接、． 求证：； 请你利用图2的辅助线，证明这个问题； 【类比分析】 （2）如图3，，点、点分别是、上的点，点和点位于直线和之间，射线平分，射线平分，射线和相交于点．探究，，和三个角之间的数量关系： 【学以致用】 （3）如图4，直线，点、在直线上，点、在直线上，连接、，作和的平分线交于点，若，求的度数．（用含的式子表示）（三角形内角和 26．（2024春•离石区月考）如图，，将两块直角三角尺（一块含，一块含按如下方式进行摆放，恰好满足． （1）若，求的度数． （2）试判断与的位置关系，并说明理由． 27．（2024春•右玉县期中）综合与实践： 【问题情境】（1）如图①，为平角，，分别是和的平分线，求的度数，并写出的余角； 【拓展提升】（2）如图②，，射线是内部任一射线，射线，分别平分，，则的大小为 　　（用含字母的代数式表示）； 【综合应用】（3）如图③，，，点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分，，分别交射线于点，，求与的差． 三．平行线的判定与性质 · 平行线的判定与性质 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．28．（2024春•泸县期中）下列说法正确的是　　 A．相等的角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．同位角相等 D．若直线，，则 29．（2024春•肇源县期中）如图，已知，，等于　　 A． B． C． D． 30．（2024•麦积区三模）如图，，平分，且，则的度数是　　 A． B． C． D． 31．（2024春•鹿城区校级期中）如图，已知直线，被所截，是的角平分线，若，，则　　． 32．（2024春•南岗区校级月考）已知，点，分别在，上，点为平面内一点，连接，．当点在上方时，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作直线交直线于，且与互补，的平分线与直线交于点，请你判断与的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，连接，交于点，连接，，，，求的度数． 33．（2024春•离石区月考）综合与探究 【提出问题】（1）如图1，已知，线段，，分别与交于点，，，，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点在上，，，平分，，求的度数． 【拓展探究】（3）如图3，，，试探究，和有怎样的数量关系，写出结论，并说明理由． 34．（2024春•余杭区月考）如图，在四边形中，点在的延长线上，连结，若，，则，请说明理由． 解：平行的理由如下： 　　， 　　 　　， 　　 　　， 　　 ． 35．（2024春•林州市期中）如图，已知，且． （1）判断与的数量关系，并说明理由； （2）若平分，，求的度数． 36．（2024春•凉州区月考）完成下面的说理过程： 已知：如图，平分，平分，且．试说明：． 解：平分（已知）， 　　 平分（已知）， 　　（角平分线的定义）， （等量代换）． 又（已知）， 　　（等量代换）， 　　 37．（2024春•武威期中）已知：如图，，且平分，． （1）求证：． （2）求证：的度数． 38．（2024春•雁塔区校级月考）如图，，，．和是什么位置关系，请说明理由．（请根据下面的解答过程，在横线上补全过程及理由） 解：．理由如下： ， 　　， ， 　　　　（等量代换）， 　　， ． ， 　　， ， ． 39．（2024春•鼓楼区校级月考）如图所示，已知：，，，求证：． 40．（2024春•海淀区校级期中）完成下面推理填空： 如图，、分别在和上，，，于，求证：． 证明：， ． （已知）， 　　　　 　　． 　　． ， ． ， 　　． ． 　　． 四．三角形内角和定理 · 三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 41．（2024•南昌模拟）如图，平面镜放在水平面上，光线，照射到镜面上，反射光线分别为，．若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 42．（2024•榆阳区二模）将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，直角边与直尺的一边重合，点在上，，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 43．（2024春•虹口区期中）如图，在中，，，平分，如果，那么　　． 五．命题与定理 · 命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 44．（2024春•泗阳县期末）下列命题中，是真命题的是　　 A．同位角相等 B．0没有相反数 C．若，则 D．等角的余角相等 45．（2024春•思明区校级期中）已知命题：“若为实数，则”在下列选项中，可以作为“命题是假命题”的反例是　　 A． B． C． D． 46．（2024春•海淀区校级期中）下列命题是假命题的是　　 A．对顶角相等 B．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 C．同位角相等 D．同旁内角互补，两直线平行 47．（2023秋•松阳县期末）下列句子中是假命题的是　　 A．同角的余角相等 B．对顶角相等 C．是实数） D．是实数） 48．（2024•大连二模）对顶角相等的逆命题是 　　命题（填写“真”或“假” ． 49．（2024春•凉州区期中）命题“如果，，那么”，是 　　（选填“真”或“假” 命题， 50．（2024春•南皮县月考）下列命题中，①对顶角相等；②如果，那么；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；④若，则．逆命题是真命题的有 　　．（填序号） 第7章 平行线的证明 基础题过关检测【5个考点50题专练】 2024−2025学年北师大版数学八年级上册 参考答案与试题解析 一．平行线的判定 1．（2024春•恩施市期中）下列图形中，由能得到的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平行线的判定定理分别进行分析即可． 【解答】解：、和互补时，可得到，故此选项错误； 、，根据内错角相等两直线平行可得，故此选项正确； 、，根据内错角相等两直线平行可得，故此选项错误； 、和互补时，可得到，故此选项错误； 故选：． 【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理． 2．（2024春•新郑市期中）下列说法正确的是　　 A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂线段就是点到直线的距离 D．直线，，在同一平面内，若，，则 【答案】 【分析】根据平行公理、点到直线的距离、平行线的判定等知识判断求解即可． 【解答】解：在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 故不符合题意； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故符合题意； 直线外一点到这条直线的垂线段的长度就是这点到这条直线的距离， 故不符合题意； 直线，，在同一平面内，若，，则， 故不符合题意； 故选：． 【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 3．（2024春•碑林区校级月考）下列说法中，正确的是　　 A．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离 B．同一平面内，若，，则 C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】 【分析】根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【解答】解：、从直线外一点到这条直线的垂线段的长，叫做这个点到这条直线的距离，故选项错误，不符合题意； 、同一平面内，若，，则，故选项错误，不符合题意，不符合题意； 、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故选项正确，符合题意； 、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选项错误，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查点到直线的距离，平行线的判定，平行公理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 4．（2024春•西湖区校级月考）如图，将木条，与钉在一起，，，要使木条与平行，木条旋转的度数至少是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据同位角相等，两直线平行可知旋转后，进而可求旋转的度数． 【解答】解：要使木条与平行，则旋转后， 木条旋转的度数至少是， 故选：． 【点评】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线成立的条件是解题的关键． 5．（2024春•禹州市期中）《七彩云南》整合少数民族传统艺术表演，是七彩云南欢乐世界的王牌演艺节目．在展演中，舞台上的灯光由灯带上位于点和点的两盏激光灯控制．如图，光线与灯带的夹角，当光线与灯带的夹角　138或42　时，． 【答案】138或42． 【分析】根据平行线的判定定理求解即可． 【解答】解：当时，，理由如下： ，， ， ， 当在的左侧时，时，， 故答案为：138或42． 【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键． 6．（2024春•大兴区期中）如图，在四边形中，点在的延长线上，点在的延长线上，如果添加一个条件，使，那么可添加的条件为 　（答案不唯一）．　（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】结合平行线的判定条件进行分析即可． 【解答】解：当时，由同位角相等，两直线平行得； 当时，由同旁内角互补，两直线平行得； 当时，由同旁内角互补，两直线平行得； 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 7．（2024春•泰山区期中）如图所示，已知，垂足为，，垂足为，．试说明直线与平行． 【答案】见解析． 【分析】由，得到，，进而得到，从而得证． 【解答】解：，（已知）， ，（垂直定义） 即，， 又（已知）， （等角的余角相等）， （同位角相等，两直线平行）． 【点评】本题考查平行线的判定，垂直的定义，关键掌握等角的余角相等． 二．平行线的性质 8．（2024•崂山区二模）两个直角三角板如图摆放，其中，，．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由平行线的性质推出，由三角形内角和定理得到． 【解答】解：， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，关键是由平行线的性质推出． 9．（2024•章丘区二模）如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平角的定义可得，进而求得，由两直线平行，同位角相等即可解答． 【解答】解：如图， ，， ， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查平行线的性质、平角的定义，熟知两直线平行，同位角相等是解题关键． 10．（2024春•法库县校级月考）下列说法正确的是　　 A．两条直线平行，同旁内角相等 B．过点作直线的垂线段，则垂线段是点到直线的距离 C．平面内，过一点有无数条直线与已知直线垂直 D．平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行 【答案】 【分析】根据平行线的性质，平行公理，点到直线的距离，垂线的性质分别判断即可． 【解答】解：、两条直线平行，同旁内角互补，故原说法错误，所以此选项不符合题意； 、过点作直线的垂线段，则垂线段的长度是点到直线的距离，故原说法错误，所以此选项不符合题意； 、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原说法错误，所以此选项不符合题意； 、平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，故原说法正确，所以此选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质，平行公理，点到直线的距离，垂线的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 11．（2024•罗湖区模拟）如图，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁，使．若，则应为　　度． A． B． C． D． 【答案】 【分析】由两直线平行，同位角相等，即可得到答案． 【解答】解：． ． 故选：． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等． 12．（2024•松原模拟）如图，若，，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由平行线的性质推出，由垂直的定义得到，由三角形外角的性质即可求出的度数． 【解答】解：， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出，由三角形外角的性质求出的度数． 13．（2023秋•齐河县期末）如图，一条公路修到湖边时需绕道，第一次拐角，第二次拐角，为了保持公路与平行，则第三次拐角的度数应为　　 A． B． C． D． 【分析】先延长，交于点，根据平行线的性质，得出，再根据，可得，根据进行计算即可． 【解答】解：如图，延长，交于点， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】此题主要考查了平行线性质以及三角形外角性质的运用，关键是掌握两直线平行，内错角相等． 14．（2024•宁明县二模）把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据矩形性质得出，推出，代入求出即可． 【解答】解： ， ， ，，， ， 故选：． 【点评】本题考查了平行线性质，矩形性质，三角形外角性质的应用，关键是求出和得出． 15．（2024春•建湖县期中）如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线交于点．若，则的度数为　　． 【分析】由，，根据两直线平行，内错角相等，可求得的度数，然后由折叠的性质，求得的度数，进而得到的度数． 【解答】解：，， ， 由折叠的性质可得：， ， 故答案为：． 【点评】此题考查了平行线的性质以及折叠的性质．注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键． 16．（2024春•志丹县月考）如图，已知，若，，则的度数为 　　． 【答案】． 【分析】根据平行线的性质可得，再根据，由此即可求解． 【解答】解：， ， ，且， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查平行线的性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 17．（2024春•南岗区校级月考）在同一平面内，和的两边分别互相平行，且比的3倍少，则　10或50　． 【答案】10或50． 【分析】根据题意画出图形，依据平行线的性质得到或，据此列出方程，解方程即可求解． 【解答】解：设，则． 如图1，， ， ， ， ． ， ； 如图2，， ， ， ， ． ， ． 故答案为：10或50． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解题的关键． 18．（2024春•江南区校级月考）如图，一块含有角的直角三角板的一个顶点恰好落在一把标准直尺的一边，若，则的度数是 　　． 【答案】． 【分析】首先根据平行线的性质得到，进而求解即可． 【解答】解：如图所示， ，， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答本题的关键． 19．（2024春•青羊区校级期中）如图：已知直线，，直线、交于点，则　　． 【答案】． 【分析】延长交于，延长交于，由平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到；依据是的外角，即可得到，进而得出． 【解答】解：如图，延长交于，延长交于， ， ， 是的外角， ，① ，， ，， 是的外角， ，② 由①代入②，可得， 即． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的性质的运用，解决问题的关键是依据平行线的性质及三角形外角性质进行推导计算． 20．（2024春•东城区校级期中）如图，纸片的边缘，互相平行，将纸片沿折叠，使得点，分别落在点，处．若，则的度数是 　　． 【答案】． 【分析】根据平行线的性质可得，从而利用平角定义求出，然后根据折叠的性质进行计算即可解答． 【解答】解：， ， ， 由折叠得： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，以及折叠的性质是解题的关键． 21．（2024春•京山市期中）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，当，时，则图中　　，　　． 【答案】，． 【分析】根据题意可得，，，然后只需运用平行线的性质即可解决问题． 【解答】解：由题意可得： ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：，． 【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． 22．（2024春•鄱阳县校级月考）光从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，用直线，表示一块玻璃的两个面，且．现有一束光线从空气射向玻璃，是折射光线．若，，则的度数为 　　． 【答案】． 【分析】利用平行线的性质和邻补角的定义求解即可． 【解答】解：如图， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，邻补角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 23．（2024春•东昌府区月考）如图，已知直线，、和、分别交于点、、、，点在直线或上且不与点、、、重合．记，，． （1）若点在图（1）位置时，求证：； （2）若点在图（2）位置时，写出、、之间的关系并给予证明． 【答案】（1）证明见解析； （2），证明见解析． 【分析】此题两个小题的解题思路是一致的，过作直线、的平行线，利用平行线的性质得到和、相等的角，然后结合这些等角和的位置关系，来得出、、的数量关系． 【解答】（1）证明：如图1中，过作， ， ， 、； ， ． （2）解：结论：． 理由：如图2中，过作， ， ， 同（1）可证得：； ，， ， 即． 【点评】本题主要考查平行线的性质，能够正确多出辅助线是解题关键． 24．（2024春•宁阳县期中）小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． （1）如图①，小明将含角的直角三角板中的点落在直线上，若，则的度数为 　　； （2）如图②，小明将含角的直角三角板中的点，分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由． （3）小明将三角板与三角板按如图③所示方式摆放，点与点重合，求的度数． 【答案】（1）； （2）平分，理由见解析； （3）． 【分析】（1）先根据角度求出角度和，然后根据两直线平行，内错角相等即可得到结果； （2）先根据角平分线的性质得到，再根据两直线平行，内错角相等，可得到，即可求得； （3）先作辅助线，根据三角尺得到角度，根据两直线平行，同旁内角互补可得到，再根据三角形内角和可求得结果． 【解答】解：（1），， ， ， 故答案为：； （2）平分，理由如下： 平分，， ， ， ， ， ， ， 即平分； （3）延长交于点，如图所示： ， 由题可得：，，， ， ， ， ， ， ， 即． 【点评】本题考查了三角板中角度计算问题、平行线的性质、角平分线性质、三角形内角和定理，准确找到各个角度是解题的关键． 25．（2024春•瓦房店市月考）【问题初探】 （1）课堂上，李老师提出问题：如图1，，点是上的点，点是上的点，点是和之间的一点，连接、． 求证：； 请你利用图2的辅助线，证明这个问题； 【类比分析】 （2）如图3，，点、点分别是、上的点，点和点位于直线和之间，射线平分，射线平分，射线和相交于点．探究，，和三个角之间的数量关系： 【学以致用】 （3）如图4，直线，点、在直线上，点、在直线上，连接、，作和的平分线交于点，若，求的度数．（用含的式子表示）（三角形内角和 【答案】（1）见解析（2）（3）． 【分析】（1）如图2，过点作，则有，利用平行线的性质得出，，则可证明结论． （2）设，，由角平分线的定义可得出，，由于，可利用（1）的结论表示出，，以及，代入即可得出答案． （3）过点作，由三角形内角和定理可得出，由平行线的性质可得出，由角平分线的性质可得出，，即可得出，结合（1）的结论即可求出的度数． 【解答】证明：（1）如图2，过点作，则有， ，， ， 即． （2）设，，如下图所示： 、分别平分、， ，， ，， ， 由（1）可知：，， ， ， ． （3）过点作，如下图所示： ， ， ， ， ，分别是和的角平分线， ，， ， ， 由（1）知，． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理的应用，掌握平行线的性质是关键． 26．（2024春•离石区月考）如图，，将两块直角三角尺（一块含，一块含按如下方式进行摆放，恰好满足． （1）若，求的度数． （2）试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2），见解析． 【分析】（1）先求得，再根据两直线平行、同旁内角互补求得即可求解； （2）先根据平行线的性质，进而得到，则，根据同旁内角互补，两直线平行可得到结论． 【解答】解：（1），， ． ， ， ； （2）． 理由：， ． ， ，即． ， ， ． 【点评】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． 27．（2024春•右玉县期中）综合与实践： 【问题情境】（1）如图①，为平角，，分别是和的平分线，求的度数，并写出的余角； 【拓展提升】（2）如图②，，射线是内部任一射线，射线，分别平分，，则的大小为 　　（用含字母的代数式表示）； 【综合应用】（3）如图③，，，点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分，，分别交射线于点，，求与的差． 【答案】（1）的余角为：，； （2）； （3）． 【分析】（1）先根据为平角得出，再由、分别是和的平分线可得出的度数，据此得出结论； （2）根据可知，再由射线、分别平分、可得出的度数，据此得出结论； （3）先根据平行线的性质得出的度数，再由、分别平分、得出的度数，进而可得出结论． 【解答】解：（1）为平角． ．， ，分别是和的平分线， ，， ，， 的余角为：，； （2）， ， 射线、分别平分、， ， 即； 故答案为：； （3），， ， ，分别平分，． 由（2）河可得：， ，， ． 【点评】本题考查的是平行线的性质及角平分的定义，余角和补角，熟知以上知识是解题的关键． 三．平行线的判定与性质 28．（2024春•泸县期中）下列说法正确的是　　 A．相等的角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．同位角相等 D．若直线，，则 【答案】 【分析】根据对顶角的性质、平行公理及推理、平行线的性质判断求解即可． 【解答】解：相等的角不一定是对顶角， 故错误，不符合题意； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 故错误，不符合题意； 两直线平行，同位角相等， 故错误，不符合题意； 若直线，，则， 故正确，符合题意； 故选：． 【点评】此题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论等知识，熟练运用平行线的判定与性质、平行公理及推论是解题的关键． 29．（2024春•肇源县期中）如图，已知，，等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平行线的判定与性质、邻补角定义求解即可． 【解答】解：如图， ，， ， ， ， ， 故选：． 【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质是解题的关键． 30．（2024•麦积区三模）如图，，平分，且，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据角平分线的意义和平行线的判定可得出，利用平行线的同旁内角互补和按比例分配求出结果． 【解答】解：平分， ， ， ， ， ， 又， ， 故选：． 【点评】本题考查平行线的判定和性质以及按比例分配等知识，得出是解决问题的关键． 31．（2024春•鹿城区校级期中）如图，已知直线，被所截，是的角平分线，若，，则　　． 【答案】． 【分析】由，判定，得到，，再由角平分线的定义得到，可求出，即可得解． 【解答】解：， ， ，， 是的角平分线， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记“同位角相等，两直线平行”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 32．（2024春•南岗区校级月考）已知，点，分别在，上，点为平面内一点，连接，．当点在上方时，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作直线交直线于，且与互补，的平分线与直线交于点，请你判断与的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，连接，交于点，连接，，，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2），理由见解析； （3）． 【分析】（1）由平行线的性质可得，由三角形外角性质可得，等量代换即可求证； （2）．设，交于点，由补角性质可得，进而证明，即可求证； （3）设，，由已知条件求出，，根据可求出，得到，，利用内角和定理即可求出的度数． 【解答】（1）证明：设与相交于点， ， ， 为的外角， ， ， ； （2）解：，理由如下： 设，交于点， 与互补， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 直线平分， ， ， ； （3）解：如图， 平分， 设，， ， ， 在中，， ， 又， ， ， ， ， ， ， 又， 在中，， ， 解得， ， ， 在中， ， 的度数为． 【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理和外角性质，补角性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． 33．（2024春•离石区月考）综合与探究 【提出问题】（1）如图1，已知，线段，，分别与交于点，，，，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点在上，，，平分，，求的度数． 【拓展探究】（3）如图3，，，试探究，和有怎样的数量关系，写出结论，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），见解析． 【分析】（1）由，得到，根据，依据内错角相等，两直线平行即可得出结论； （2）利用，得到，由邻补角的定义得到，再根据角平分线的定义得到，由，得到，即可求出的度数； （3）过点作，根据，得到，，进而推出，再根据，得到，即可得出结论． 【解答】（1）证明：， ． ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 平， ． ， ， ； （3）解：． 理由：如图，过点作． ， ，， ， ． ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质的综合应用，角平分线的定义，邻补角的定义，关键是平行线判定定理的熟练掌握． 34．（2024春•余杭区月考）如图，在四边形中，点在的延长线上，连结，若，，则，请说明理由． 解：平行的理由如下： 　已知　， 　　 　　， 　　 　　， 　　 ． 【答案】已知、、内错角相等，两直线平行、、、． 【分析】由已知条件可得出，再由平行的性质可得出，进而可得出，即可证明． 【解答】解：平行的理由如下： （已知）， （内错角相等，两直线平行）， ， ， 故答案为：已知、、内错角相等，两直线平行、、、． 【点评】本题主要考查了平行线的判定以及性质，熟知平行线的判定以及性质是解决问题的关键． 35．（2024春•林州市期中）如图，已知，且． （1）判断与的数量关系，并说明理由； （2）若平分，，求的度数． 【分析】（1）先证明，得到，根据，得到，即可得证； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质，求解即可． 【解答】解：（1）． 理由如下： 又 ． （2） 平分 ． 【点评】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 36．（2024春•凉州区月考）完成下面的说理过程： 已知：如图，平分，平分，且．试说明：． 解：平分（已知）， 　角平分线的定义　 平分（已知）， 　　（角平分线的定义）， （等量代换）． 又（已知）， 　　（等量代换）， 　　 【答案】角平分线的定义；；180；同旁内角互补，两直线平行． 【分析】首先根据角平分线的定义可得，，根据等量代换可得，进而得到，再根据同旁内角互补两直线平行可得． 【解答】解：平分（已知）， （角平分线的定义）． 平分（已知）， （角的平分线的定义）． （等式的性质）． （已知）， （等量代换）． （同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义；；180；同旁内角互补，两直线平行． 【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法． 37．（2024春•武威期中）已知：如图，，且平分，． （1）求证：． （2）求证：的度数． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）先由角平分线的定义证明，再由同位角相等两直线平行即可证明； （2）先由两直线平行，同旁内角互补得到，再由对等角相等可得． 【解答】（1）证明：，且平分， ， ， ， ； （2）解：，， ， ． 【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，对顶角相等，关键是平行线性质定理的应用． 38．（2024春•雁塔区校级月考）如图，，，．和是什么位置关系，请说明理由．（请根据下面的解答过程，在横线上补全过程及理由） 解：．理由如下： ， 　两直线平行，内错角相等　， ， 　　　　（等量代换）， 　　， ． ， 　　， ， ． 【答案】两直线平行，内错角相等；；；同位角相等，两直线平行；垂直的定义． 【分析】利用平行线的判定与性质，垂直的定义即可求解． 【解答】解：．理由如下： ， （两直线平行，内错角相等）， ， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， ， ， （垂直的定义）， ， ， 故答案为：两直线平行，内错角相等；；；同位角相等，两直线平行；垂直的定义． 【点评】本题考查的是平行线的性质及判定，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理是关键． 39．（2024春•鼓楼区校级月考）如图所示，已知：，，，求证：． 【答案】证明见解析过程． 【分析】根据垂直得到，利用平行线的判定得，再根据平行线的判定，结合已知得到，从而得到，再根据平行线的性质得到即可． 【解答】证明：，， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查平行线的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定定理． 40．（2024春•海淀区校级期中）完成下面推理填空： 如图，、分别在和上，，，于，求证：． 证明：， ． （已知）， 　　　　 　　． 　　． ， ． ， 　　． ． 　　． 【答案】；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【分析】根据垂直的定义得出，由平行线的判定证明，再根据平行线的性质得出，再运用等量代换证得，最后根据平行线的判定定理即可证明结论． 【解答】解：， ． （已知）， （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． 又， ． ， （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质定理、垂直、平角的定义等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质定理是解题关键． 四．三角形内角和定理 41．（2024•南昌模拟）如图，平面镜放在水平面上，光线，照射到镜面上，反射光线分别为，．若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据光的反射规律知，，结合平角定义求出，，再根据三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：，，， ， ， ，，， ， ， ， 故选：． 【点评】此题考查了三角形内角和定理，熟记三角形内角和是是解题的关键． 42．（2024•榆阳区二模）将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，直角边与直尺的一边重合，点在上，，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】在图中标记，利用三角形内角和定理，可求出及的度数，结合邻补角互补，可求出的度数，由直尺的对边平行，再利用“两直线平行，同位角相等”，即可求出的度数． 【解答】解：在图中标记，如图所示 ，， ． 直尺的对边平行， ． 故选：． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质以及余角和补角，利用三角形内角和定理及邻补角互补，找出的度数是解题的关键． 43．（2024春•虹口区期中）如图，在中，，，平分，如果，那么　30　． 【答案】30． 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，再根据求出即可． 【解答】解：，， ， 平分， ， ， ． 故答案为：30． 【点评】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 五．命题与定理 44．（2024春•泗阳县期末）下列命题中，是真命题的是　　 A．同位角相等 B．0没有相反数 C．若，则 D．等角的余角相等 【答案】 【分析】根据平行线的性质与判定即可判断、相反数的定义判定，根据平方的性质即可判断，根据同角（等角）的余角相等即可判断． 【解答】解：．两直线平行，同位角相等，故选项是假命题，不符合题意； ．0的相反数是0，故选项是假命题，不符合题意； ．若，则，故选项是假命题，不符合题意； ．等角的余角相等，是真命题，符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了判断命题真假，掌握命题真假是关键． 45．（2024春•思明区校级期中）已知命题：“若为实数，则”在下列选项中，可以作为“命题是假命题”的反例是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意和各个选项中的结论可以判断各个选项中的结论是否正确，本题得以解决． 【解答】解：当时，，当时，； ，故选项不符合题意， ，故选项不符合题意， ，故选项不符合题意， ，故选项符合题意， 故选：． 【点评】本题考查命题与定理，正确记忆相关知识点是解题关键． 46．（2024春•海淀区校级期中）下列命题是假命题的是　　 A．对顶角相等 B．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 C．同位角相等 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】 【分析】根据对顶角的性质、平行线的判定及性质、平行公理等知识逐项判定即可． 【解答】解：、对顶角相等，正确，为真命题； 、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确，为真命题； 、两直线平行，同位角相等，故原命题为假命题； 、同旁内角互补，两直线平行，正确，为真命题； 故选：． 【点评】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握对顶角的性质、平行线的判定及性质、平行公理等知识是解答此题的关键． 47．（2023秋•松阳县期末）下列句子中是假命题的是　　 A．同角的余角相等 B．对顶角相等 C．是实数） D．是实数） 【答案】 【分析】根据算术平方根，同角的余角相等，对顶角相等知识进行逐一判断即可． 【解答】解：、同角的余角相等，原命题是真命题，不符合题意； 、对顶角相等，原命题是真命题，不符合题意； 、是实数），原命题是真命题，不符合题意； 、是实数），故原命题是假命题，符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了判断命题真假，熟练掌握各知识点是解题的关键． 48．（2024•大连二模）对顶角相等的逆命题是 　假　命题（填写“真”或“假” ． 【分析】先根据互逆命题的定义写出对顶角相等的逆命题，再判断真假． 【解答】解：“对顶角相等”的逆命题是：相等的角是对顶角，它是假命题． 故答案为：假． 【点评】本题考查了互逆命题及真假命题的定义．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题；正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题． 49．（2024春•凉州区期中）命题“如果，，那么”，是 　真　（选填“真”或“假” 命题， 【答案】真． 【分析】正确理解平行公理即可解题． 【解答】解：在同一平面内，两直线平行于同一直线，则这两直线互相平行， 所以命题“如果，，那么”，是真命题， 故答案为：真． 【点评】本题考查平行公理，正确理解平行公理是关键． 50．（2024春•南皮县月考）下列命题中，①对顶角相等；②如果，那么；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；④若，则．逆命题是真命题的有 　②③　．（填序号） 【答案】②③． 【分析】先写出这些命题的逆命题，然后根据对顶角定义，乘方运算法则，补角定义，绝对值意义进行判断即可． 【解答】解：①对顶角相等的逆命题是：相等的角为对顶角，因为相等的角不一定是对顶角，所以原命题的逆命题是假命题，故①错误； ②如果，那么的逆命题是：如果，那么，是真命题，故②正确； ③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角的逆命题是：如果两个角互补，那么这两个角的和为，是真命题，故③正确； ④若，则的逆命题是：如果，那么，是假命题，故④错误； 综上分析可知，②③正确； 故答案为：②③． 【点评】本题考查了对顶角，补角定义，绝对值的意义，乘方运算，解题的关键是掌握这些知识点． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$