第7章 平行线的证明 中档题拓展训练【8个考点50题专练】2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第7章 平行线的证明 中档题拓展训练【8个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版数学八年级上册 考点梳理 一．平行公理及推论 二．平行线的判定 三．平行线的性质 四．平行线的判定与性质 五．三角形内角和定理 六．三角形的外角性质 七．命题与定理 八．推理与论证 考点精讲精练 一．平行公理及推论 · 平行公理及推论 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． （3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 1．（2024春•泌阳县月考）在修建高铁线路时，一些路段经常会遇到大山相隔，为了避免绕道太远，往往要修建隧道将铁路线取直，这样做的数学道理是　　 A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 二．平行线的判定 · 平行线的判定 （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 2．（2024春•芜湖期中）如图，根据下列某个条件，可以得到，则这个条件应该是　　 A． B． C． D． 3．（2024春•泰山区期中）如图，与相交于点，，且平分．判断直线、是否平行？并说明理由． 三．平行线的性质 · 平行线的性质 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 4．（2024春•文山市月考）如图，为，之间的一点，已知，，则的度数为　　 A． B． C． D． 5．（2024春•固安县月考）如图，将一把直尺放在平行的条格本上，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 6．（2024•安徽一模）如图，一个角的三角板的直角顶点在直线上，其斜边与直线平行，则的度数为　　 A． B． C． D． 7．（2024•罗湖区校级模拟）如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学问题，已知，若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 8．（2024春•碑林区校级月考）下列语句中叙述正确的有　　 ①相等的角是对顶角； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③若与相交，与相交，则与相交； ④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； ⑤直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．（2024•花溪区一模）如图，直线与直线，都相交，若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 10．（2024•昆明模拟）如图，，的顶点在直线上，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 11．（2024春•金平区期中）如图，一个含有角的直角三角板的两个顶点放在一个长方形的对边上，如果，那么用含的式子表示的度数是　　 A． B． C． D． 12．（2024•宝应县二模）在数学活动课上，小明同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得，则的度数是　　 A． B． C． D． 13．（2024•碑林区校级模拟）两块平面镜和如图摆放，其夹角，从上的点处向平面镜射出一束光线，其反射光线恰与平行，则入射光线与反射光线形成的　　 A． B． C． D． 14．（2024春•浈江区期中）如图是“大润发”超市里的购物车的侧面示意图，扶手与车底平行，，，则的度数是　　 A． B． C． D． 15．（2024春•五莲县期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，与在原来的方向的垂直方向前进，那么两次拐弯的角度可能是　　 A．第一次左拐，第二次右拐 B．第一次左拐，第二次左拐 C．第一次右拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐 16．（2023秋•温岭市期末）直角三角板与直尺如图摆放，直尺的两个直角顶点分别在三角板的两条直角边上，则　　． 17．（2024春•崇义县期中）已知，点在的边上，，且的一边与平行，则的度数为 　　． 18．（2024春•滕州市校级月考）与的两边分别平行，的度数是，则的度数是 　　． 19．（2024春•固始县期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使顶点，分别落在点，处，交于点，若，则　　． 20．（2024春•英德市期中）为增强学生身体素质、感受中国的优秀传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成如图2的数学问题：已知，，，则的度数为 　　． 21．（2024春•仓山区校级月考）如图，，点、分别在直线、上，点在、之间且在、所在直线的左侧，若，点为线段上一点（不与、重合），连接并延长到点，设，要使得为定值，则的值为 　　． 22．（2024春•上城区校级期中）如图，，点在直线上，点在直线上，点在、之间且在，所在直线的左侧，若，点为线段上一点（不和、重合），连接并延长到，设．要使得为定值，则　　． 23．（2024春•芜湖期中）已知，请完成以下问题： （1）如图1，、、、、的度数之间的等量关系是 　　； （2）如图2，，，，，则　　． 24．（2024春•芜湖期中）如图是大众汽车的标志图案，其中蕴含这一些几何知识，根据下面的条件完成证明． 已知：如图，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 25．（2024春•新郑市期中）已知，直线，直线分别交，于点，． （1）是，之间的一点，连接，． ①如图1，若，，则　　． ②如图2，若平分，平分，试探究和的数量关系，并说明理由． （2）如图3，为直线，外的一点，连接，，的平分线和的平分线交于点，试探究②中的结论是否成立．若成立，请证明；若不成立，请写出此时的数量关系，并说明理由． 26．（2024春•甘井子区月考）将一副三角尺中的两块直角三角尺的直角顶点重合放在一起，其中，，． （1）如图1，与的数量关系是 　　，理由是 　　； （2）如图1，点在上，若，求的度数； （3）如图2，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点重合，当点在直线的上方时，探究以下问题： ①当时，求出的度数； ②这两块三角尺还存在一组边互相平行的情况，请直接角度所有可能的值． 四．平行线的判定与性质 · 平行线的判定与性质 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 27．（2024•汕头模拟）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则　　 A． B． C． D． 28．（2024春•海珠区校级期中）下列结论中，错误的是　　 A．同位角相等，两直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．同一平面内的两条直线不平行就相交 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 29．（2024春•拱墅区校级期中）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，如图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面1平行，，，当为　　度时，与平行． A．54 B．64 C．74 D．116 30．（2024春•甘井子区校级月考）如图，下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 31．（2024春•天心区校级月考）如图，在线段的延长线上，，，，连接交于，的余角比大，为线段上一点，连接，使，在内部有射线，平分．则下列结论： ①； ②平分； ③； ④． 其中正确的结论是 　　． 32．（2023秋•邓州市期末）课题学习：平行线问题中的转化思想． 【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁．当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．有这样一道典型问题： 例题：如图（1），已知，点在直线、之间，探究与、之间的关系． 解：过点作． ，， ， ，， ， ． 【学以致用】 （1）当，时，　　． （2）①如图（2），已知，若，，求出的度数． ②如图（3），在①的条件下，若、分别平分和，求的度数． 33．（2024春•小店区校级月考）如图1，点在直线上，点在直线上，点在，之间， （1）若满足，求证：． 【阅读理解】老师在黑板中写出了部分证明过程，请你补充完整，并填写出证明依据． 证明：如图2．过点作， ①　　②　　； ． ； 又， ， ③　　④　　； 又， ⑤　　 （2）【变式探究】如图1．若满足，试探究，，存在怎样的数量关系？并说明理由． （3）【结论应用】如图3，若，点在线段上，连接，若，则与的数量关系为 　　． （4）【归纳推广】如图4，若为大于1的整数），点在线段上，连接，若．则的值为 　　． 34．（2024春•大连月考）已知，，平分交于点． （1）如图1，，，，判断与的位置关系，并说明理由； （2）如图2，，，当时，求的度数． 35．（2024春•离石区月考）综合与探究 【提出问题】（1）如图1，已知，线段，，分别与交于点，，，，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点在上，，，平分，，求的度数． 【拓展探究】（3）如图3，，，试探究，和有怎样的数量关系，写出结论，并说明理由． 36．（2024春•龙亭区校级期中）如图，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 37．（2024春•无为市月考）如图，已知，，，． （1）判断和的位置关系，并说明理由； （2）若平分，，求和的度数． 38．（2024春•赣州期中）已知：如图，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 39．（2024春•甘井子区校级月考）我们已学习平行线的判定与性质，涉及概念同位角、内错角、同旁内角，学习该部分内容按“定义判定性质”三步进行．如图①，在“三线八角”中，类比内错角，具有与这样位置关系的角称为“外错角”，你可类比有关知识，完成涉及“外错角”的探究． （1）探究定义：如图①，请另找出一对“外错角”：　　； （2）探究判定：请你用已学过的平行线的判定，证明命题：外错角相等，两直线平行． 请完善证明过程． 已知：如图②，与是直线、被直线截出的外错角，且． 求证： 证明： （3）探究性质：请你用已学过的平行线的判定，证明命题：两直线平行，外错角相等． 五．三角形内角和定理 · 三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 40．（2024春•新吴区校级期中）如图，在中，的三等分线、与的三等分线、分别交于点、，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 41．（2024春•南岗区校级期中）已知中，为边上的高，，，则的度数　　． 42．（2024春•碑林区校级期中）如图，将沿、翻折，顶点，均落在点处，且与重合于线段，若，则的度数为 　　． 43．（2024春•朝阳区校级月考）如图，为的中线，为的中线，过点作，垂足为点． （1）若，，，求的度数； （2）若的面积为20，，求． 44．（2024春•郑州期中）阅读下面的解答过程，并填空． 如图，在中，平分，平分，，． 求证：． 证明：平分，平分（已知）， 　　， 　　 　　． 又（已知）， 　　　　． 又（已知）， 　　　　 　　． ． 45．（2023秋•台州期末）如图，在中，，，是边上的高，的平分线交于点．求的度数． 六．三角形的外角性质 · 三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 46．（2023秋•桂平市期末）将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为　　 A． B． C． D． 47．（2024春•青羊区校级期中）如图，已知中，，为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分，，平分，平分以此类推，则　　，　　． 48．（2024春•江夏区校级期中）如图，在中，，，点是边上的一点，且，，则　　． 七．命题与定理 · 命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 49．（2024春•昌平区校级期中）命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是 　　，它是 　　（填“真命题”或“假命题” ． 八．推理与论证 · 推理与论证 （1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程． ①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊． ②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般． （2）论证：用论据证明论题的真实性． 证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证必须遵守推理的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证方式”． 简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式． 50．（2024春•西城区校级期中）刘老师的手机密码是四位数字，请你根据下面四个条件，推断正确的密码是：　　． ①6、4、3、8只有两个数字正确且位置正确； ②6、0、4、7只有两个数字正确但位置都不正确； ③3、5、2、9四个数字都不正确； ④1、8、0、9只有三个数字正确但位置都不正确． 第7章 平行线的证明 中档题拓展训练【8个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版数学八年级上册 参考答案与试题解析 一．平行公理及推论 1．（2024春•泌阳县月考）在修建高铁线路时，一些路段经常会遇到大山相隔，为了避免绕道太远，往往要修建隧道将铁路线取直，这样做的数学道理是　　 A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】 【分析】根据题中描述的实际问题，结合所学数学知识即可确定答案． 【解答】解：由题中描述可知，这样做的数学道理是“两点之间线段最短”， 故选：． 【点评】本题考查数学知识解决实际问题，读懂题意，理解“两点之间线段最短”是解决问题的关键． 二．平行线的判定 2．（2024春•芜湖期中）如图，根据下列某个条件，可以得到，则这个条件应该是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据内错角相等，两直线平行解答即可． 【解答】解：， ，故正确； ， ，故错误； ， 不能得出，故错误； ， 不能得出，故错误； 故选：． 【点评】此题考查平行线的判定，关键是根据内错角相等，两直线平行解答． 3．（2024春•泰山区期中）如图，与相交于点，，且平分．判断直线、是否平行？并说明理由． 【答案】，见解析． 【分析】根据角平分线的定义结合对顶角得到，则可证明，根据平行线的判定即可证明． 【解答】解：，理由如下： 因为平分， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以． 所以． 【点评】本题考查了平行线的判定，掌握“同位角相等，两直线平行”是解题的关键． 三．平行线的性质 4．（2024春•文山市月考）如图，为，之间的一点，已知，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】过作，得到，推出，，求出，即可得到的度数． 【解答】解：过作， ， ， ，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是平行线性质定理的应用． 5．（2024春•固安县月考）如图，将一把直尺放在平行的条格本上，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平行线的性质得出，根据邻补角，即可求解． 【解答】解：如图所示， 依题意，， ， 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，解题的关键是掌握平行线的性质． 6．（2024•安徽一模）如图，一个角的三角板的直角顶点在直线上，其斜边与直线平行，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先由平行线的性质：两直线平行，内错角相等得，再由以及平角的意义可求的度数． 【解答】解： 由题意得，， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质以及垂线的定义的应用，正确合理的使用平行线的性质是解决本题的关键． 7．（2024•罗湖区校级模拟）如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学问题，已知，若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，延长到点，如图，先由两直线平行，同旁内角互补求出，则，再由两直线平行，内错角线段即可得到． 【解答】解：延长到点，如图： ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质，灵活运用所学知识解决问题． 8．（2024春•碑林区校级月考）下列语句中叙述正确的有　　 ①相等的角是对顶角； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③若与相交，与相交，则与相交； ④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； ⑤直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】 【分析】根据对顶角的概念、平行公理、平行线的性质、点到直线的距离逐一判定． 【解答】解：①相等的角不一定是对顶角；①错误； ②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；②错误； ③若与相交，与相交，则与不一定相交；③错误； ④两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补；④错误； ⑤直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；⑤错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，对顶角，点到直线的距离及平行公理的概念，解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质． 9．（2024•花溪区一模）如图，直线与直线，都相交，若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平行线的性质可以得出，然后再利用对顶角的定义，计算即可得出答案． 【解答】解：， ， 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 10．（2024•昆明模拟）如图，，的顶点在直线上，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】作，由平行线的性质得出，由平行公理推出，由平行线的性质得出即可． 【解答】解：作，如图， ， ， ，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 11．（2024春•金平区期中）如图，一个含有角的直角三角板的两个顶点放在一个长方形的对边上，如果，那么用含的式子表示的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由平角的定义得，由平行线的性质得，即可求解． 【解答】解：如图， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 12．（2024•宝应县二模）在数学活动课上，小明同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平行线的性质进行推理即可． 【解答】解：由图可知，， 直尺上下两边是平行线， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线性质是关键． 13．（2024•碑林区校级模拟）两块平面镜和如图摆放，其夹角，从上的点处向平面镜射出一束光线，其反射光线恰与平行，则入射光线与反射光线形成的　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由平行线的性质推出，由光的反射定律得到，由平角定义即可求出的度数． 【解答】解：， ， 由光的反射定律得：， ． 故选：． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出，由光的反射定律得到． 14．（2024春•浈江区期中）如图是“大润发”超市里的购物车的侧面示意图，扶手与车底平行，，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据两直线平行内错角相等可得，依此即可求解． 【解答】解：，，， ， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是正确理解题意，掌握两直线平行内错角相等． 15．（2024春•五莲县期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，与在原来的方向的垂直方向前进，那么两次拐弯的角度可能是　　 A．第一次左拐，第二次右拐 B．第一次左拐，第二次左拐 C．第一次右拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐 【答案】 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【解答】解：．两次拐弯后方向与原方向相同，故不符合题意； ．两次拐弯后方向与原方向相反，故不符合题意； ．两次拐弯后，相当于在原方向向左拐，方向与原方向垂直，故符合题意； ．两次拐弯后，相当于在原方向向右拐，方向与原方向的反方向夹角，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质，能根据平行线的性质找到两次拐弯后的方向是解题的关键． 16．（2023秋•温岭市期末）直角三角板与直尺如图摆放，直尺的两个直角顶点分别在三角板的两条直角边上，则　　． 【答案】． 【分析】根据题意，得到，，，进一步求出的值即可． 【解答】解：由图和题意，可知：，，， ，， ； 故答案为：． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 17．（2024春•崇义县期中）已知，点在的边上，，且的一边与平行，则的度数为 　或或　． 【答案】或或． 【分析】需要分三种情况讨论：；，且位于上方；，且位于下方，根据平行线的性质分别求解即可． 【解答】解：①如图所示，． ， ． ②如图所示，，且位于上方． ， ． ． ③如图所示，，且位于下方． ， ， ， 综上所述，或或． 故答案为：或或． 【点评】本题主要考查平行线的性质和角的运算，能采用分类讨论的思想分析问题是解题的关键． 18．（2024春•滕州市校级月考）与的两边分别平行，的度数是，则的度数是 　或　． 【答案】或． 【分析】由和的两边分别平行，即可得或，又由的度数是，即可求得的度数． 【解答】解：和的两边分别平行， 或， 的度数是， 或， 或， 故答案为：或． 【点评】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练运用． 19．（2024春•固始县期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使顶点，分别落在点，处，交于点，若，则　40　． 【答案】40． 【分析】由可得，，由翻折可得，进而求解． 【解答】解：， ， ， ， 由翻折可得， ， 故答案为：40． 【点评】本题考查角的相关计算，解题关键是掌握平行线的性质． 20．（2024春•英德市期中）为增强学生身体素质、感受中国的优秀传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成如图2的数学问题：已知，，，则的度数为 　　． 【答案】． 【分析】过作，得到，推出，，求出，，即可得到． 【解答】解：过作， ， ， ，， ，， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出，． 21．（2024春•仓山区校级月考）如图，，点、分别在直线、上，点在、之间且在、所在直线的左侧，若，点为线段上一点（不与、重合），连接并延长到点，设，要使得为定值，则的值为 　3　． 【答案】3． 【分析】过点作，过作，设，则，根据平行的性质用与的代数式表示和，再根据代数式特征与条件为定值，求得便可． 【解答】解：过点作，过作，则， ，，，， ，， 设，则， ， ， ， ， 当时，为定值． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义，关键构造平行线． 22．（2024春•上城区校级期中）如图，，点在直线上，点在直线上，点在、之间且在，所在直线的左侧，若，点为线段上一点（不和、重合），连接并延长到，设．要使得为定值，则　3　． 【分析】过点作，过作，设，则，根据平行的性质用与的代数式表示和，再根据代数式特征与条件为定值，求得便可． 【解答】解：过点作，过作，则， ，，，， ，， 设，则， ， ， ， ， 当时，为定值． 故答案为3． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义，关键构造平行线． 23．（2024春•芜湖期中）已知，请完成以下问题： （1）如图1，、、、、的度数之间的等量关系是 　　； （2）如图2，，，，，则　　． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（2）如图1中，作，，结论，利用平行线的性质即可证明． （3）如图2中，作，，与交于点，利用平行线的性质即可解决． 【解答】解：（1）如图1中， 如图2中，作，，， ， ， ，，，， ， 即． 故答案为：． （2）如图2中，作，，与交于点． ，，， ， ， ， ， ，， ，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是添加辅助线利用平行线的性质解决问题，属于中考常考题型． 24．（2024春•芜湖期中）如图是大众汽车的标志图案，其中蕴含这一些几何知识，根据下面的条件完成证明． 已知：如图，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）由平行线的性质（两直线平行，同位角相等）可得，，据此求证即可； （2）由平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）可得，据此求解即可． 【解答】（1）证明：， ， 又， ， ． （2）解：， ， ，， ． 【点评】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁同角互补是解题的关键． 25．（2024春•新郑市期中）已知，直线，直线分别交，于点，． （1）是，之间的一点，连接，． ①如图1，若，，则　　． ②如图2，若平分，平分，试探究和的数量关系，并说明理由． （2）如图3，为直线，外的一点，连接，，的平分线和的平分线交于点，试探究②中的结论是否成立．若成立，请证明；若不成立，请写出此时的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）①过点作，利用猪脚模型进行计算，即可解答； ②利用①的结论可得：，，再利用角平分线的定义可得，，然后利用等量代换进行计算可得，即可解答； （2）设与相交于点，利用平行线的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而利用同理可得：，然后利用角平分线的定义可得，，从而利用等量代换进行计算可得，即可解答． 【解答】解：（1）①过点作， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②， 理由：由①得：，， 平分，平分， ，， ， 即； （2）②中的结论仍然成立， 理由：如图：设与相交于点， ， ， 是的一个外角， ， ， 同理可得：， 平分，平分， ，， ， 即． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 26．（2024春•甘井子区月考）将一副三角尺中的两块直角三角尺的直角顶点重合放在一起，其中，，． （1）如图1，与的数量关系是 　相等　，理由是 　　； （2）如图1，点在上，若，求的度数； （3）如图2，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点重合，当点在直线的上方时，探究以下问题： ①当时，求出的度数； ②这两块三角尺还存在一组边互相平行的情况，请直接角度所有可能的值． 【答案】（1）相等；同角的余角相等； （2）； （3）①；②、、、． 【分析】（1）根据余角的性质进行解答即可； （2）根据角度之间的关系进行解答即可； （3）①根据题意画出图形，过点作，利用平行线的性质进行解答即可；②分别画出图形，利用平行线的性质求出的度数即可． 【解答】解：（1）由题意可得：， ，， ， 故答案为：相等；同角的余角相等； （2）， ， ，， ， ， ； （3）①当时，如图： ， 过点作， ，， ， ，， ， ； ②存在，的度数可能是、、、， 当时，如图所示： ， ， 根据解析（1）可知； 当时，如图所示： ， ； 当时，如图所示： ， ， ； 当时，如图所示： ， ， ； 综上分析可知，的度数可能是、、、． 【点评】本题考查了平行线的性质，几何图形中的角度计算，余角的性质，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． 四．平行线的判定与性质 27．（2024•汕头模拟）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】如图所示，过点作，过点作，则，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到． 【解答】解：如图所示，过点作，过点作， ， ， ， ，即， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． 28．（2024春•海珠区校级期中）下列结论中，错误的是　　 A．同位角相等，两直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．同一平面内的两条直线不平行就相交 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】 【分析】根据平行线的性质与判定，平行公理，依次判断，即可求解． 【解答】解：、同位角相等，两直线平行，正确，不符合题意， 、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，不符合题意， 、同一平面内的两条直线不平行就相交，正确，不符合题意， 、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误，符合题意， 故选：． 【点评】本题考查了，平行线的性质与判定，平行公理，解题的关键是：熟练掌握相关定理． 29．（2024春•拱墅区校级期中）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，如图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面1平行，，，当为　　度时，与平行． A．54 B．64 C．74 D．116 【答案】 【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【解答】解：，都与地面平行， ， ， ， ，， ， 当时，． 故选：． 【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 30．（2024春•甘井子区校级月考）如图，下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】 【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可． 【解答】解：、若，则，不能判断，原说法错误不符合题意； 、若，则，无法判断，原说法错误不符合题意； 、若，则，不能判断，原说法错误不符合题意； 、若，则，而，则，则，原说法正确，符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． 31．（2024春•天心区校级月考）如图，在线段的延长线上，，，，连接交于，的余角比大，为线段上一点，连接，使，在内部有射线，平分．则下列结论： ①； ②平分； ③； ④． 其中正确的结论是 　①②③④　． 【答案】①②③④． 【分析】由，得出，于是证得；根据得到，因为，所以，从而得出平分；设，，先根据的余角比大求出的度数，再根据角平分线的定义得出，即，从而求出，即得出的度数，从而判断即可得出正确的结论． 【解答】解：，， ， ，故①正确； ， ， ， ， 即平分，故②正确； 的余角比大， ， ， ， ， 设，， ， 平分， ， 平分， ， 即， ， 解得， 即，故③④正确； 故答案为：①②③④． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，需熟练掌握角平分线的定义，角的计算等知识点是解题的关键． 32．（2023秋•邓州市期末）课题学习：平行线问题中的转化思想． 【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁．当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．有这样一道典型问题： 例题：如图（1），已知，点在直线、之间，探究与、之间的关系． 解：过点作． ，， ， ，， ， ． 【学以致用】 （1）当，时，　65　． （2）①如图（2），已知，若，，求出的度数． ②如图（3），在①的条件下，若、分别平分和，求的度数． 【答案】（1）； （2）①； ②． 【分析】（1）因为，所以当当，时，； （2）①如图所示过点作，利用平行线的定理和推论可知，最后计算出的度数； ②已知、分别平分和，所以可以推导出和的度数，利用（1）的结论可知的度数． 【解答】解：（1）， 又，， ， 故答案为：； （2）①过点作，如图： ，， ， ，， 又，， ，， ， 答：的度为； ②，平分， ， ，平分， ， 由（1）问可知：， 答：的度数为：． 【点评】本题考查的重点是平行线的性质和角度的计算，可以利用猪蹄模型和铅笔模型的解题思路，很容易得出计算结果． 33．（2024春•小店区校级月考）如图1，点在直线上，点在直线上，点在，之间， （1）若满足，求证：． 【阅读理解】老师在黑板中写出了部分证明过程，请你补充完整，并填写出证明依据． 证明：如图2．过点作， ①　　②　　； ． ； 又， ， ③　　④　　； 又， ⑤　　 （2）【变式探究】如图1．若满足，试探究，，存在怎样的数量关系？并说明理由． （3）【结论应用】如图3，若，点在线段上，连接，若，则与的数量关系为 　　． （4）【归纳推广】如图4，若为大于1的整数），点在线段上，连接，若．则的值为 　　． 【答案】（1），两条直线平行，内错角相等，，内错角相等，两条直线平行，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （2），理由见解析； （3）； （4）． 【分析】（1）根据平行线的性质可得，再根据平行线的判定可得，再由平行线定理即可求解； （2）如图，过点作，根据平行线的性质可得，，再根据平行线的性质可得，再由平角的定义和等量代换即可得出结论； （3）过点作，设，根据平行线的性质和题意可得，，，从而求得，即可得出结论； （4）过点作，设，则，根据平行线的性质可得，从而可得，，即可求解． 【解答】（1）证明：如图2．过点作， （两条直线平行，内错角相等）， ， ， 又， ， ，（内错角相等，两条直线平行）， 又， （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， 故答案为：，两条直线平行，内错角相等，，内错角相等，两条直线平行，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （2）解：，理由如下： 如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，，理由如下： 过点作，设， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （4）解：过点作，设，则， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，关键是平行线判定定理的应用． 34．（2024春•大连月考）已知，，平分交于点． （1）如图1，，，，判断与的位置关系，并说明理由； （2）如图2，，，当时，求的度数． 【答案】（1），理由见解析； （2）． 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行得到，进而得到，进而求出的度数，角平分线得到，进而推出，即可得出结论； （2），得到，进而得到，根据平行线的性质结合角平分线的定义，进行求解即可． 【解答】解：（1），理由如下： ， ， ， ， 平分， ， ， ； （2）， ， ， ，， ， ， 平分， ， ， ． 【点评】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键． 35．（2024春•离石区月考）综合与探究 【提出问题】（1）如图1，已知，线段，，分别与交于点，，，，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点在上，，，平分，，求的度数． 【拓展探究】（3）如图3，，，试探究，和有怎样的数量关系，写出结论，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），见解析． 【分析】（1）由，得到，根据，依据内错角相等，两直线平行即可得出结论； （2）利用，得到，由邻补角的定义得到，再根据角平分线的定义得到，由，得到，即可求出的度数； （3）过点作，根据，得到，，进而推出，再根据，得到，即可得出结论． 【解答】（1）证明：， ． ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 平， ． ， ， ； （3）解：． 理由：如图，过点作． ， ，， ， ． ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质的综合应用，角平分线的定义，邻补角的定义，关键是平行线判定定理的熟练掌握． 36．（2024春•龙亭区校级期中）如图，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据已知可得，从而可以判断； （2）首先求出，再得到，根据平行线的性质可得． 【解答】（1）证明：， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 37．（2024春•无为市月考）如图，已知，，，． （1）判断和的位置关系，并说明理由； （2）若平分，，求和的度数． 【答案】（1），理由见详解； （2），． 【分析】（1），理由如下：根据平行线的判定，由，得，再根据平行线的性质，得，再根据平行线的判定及性质，垂直的定义即可解答； （2）先根据角平分线的定义，得，再根据平行线的性质及垂直的定义即可求解． 【解答】解：（1），理由如下： ， ， ， ， ， ， ，即， （2）， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了平行线的判定及性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定及性质是本题的关键． 38．（2024春•赣州期中）已知：如图，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）． 【分析】（1）欲证明，只要证明即可． （2）利用平行线的性质构建方程组即可解决问题． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ． 【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 39．（2024春•甘井子区校级月考）我们已学习平行线的判定与性质，涉及概念同位角、内错角、同旁内角，学习该部分内容按“定义判定性质”三步进行．如图①，在“三线八角”中，类比内错角，具有与这样位置关系的角称为“外错角”，你可类比有关知识，完成涉及“外错角”的探究． （1）探究定义：如图①，请另找出一对“外错角”：　 和　； （2）探究判定：请你用已学过的平行线的判定，证明命题：外错角相等，两直线平行． 请完善证明过程． 已知：如图②，与是直线、被直线截出的外错角，且． 求证： 证明： （3）探究性质：请你用已学过的平行线的判定，证明命题：两直线平行，外错角相等． 【答案】（1）和； （2）见解析； （3）证明见解析． 【分析】（1）根据“外错角”的概念求解即可； （2）根据对顶角相等和已知条件，得出，即可证明平行； （3）根据命题条件和结论结合图形写出已知和求证，并进行证明即可． 【解答】解：（1）另找出一对“外错角”为和， 故答案为：和； （2）（对顶角相等），（已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． （3）已知：如图①，，和及和是直线、被直线截出的外错角， 求证：，， 证明：， ， ， ， 同理． 【点评】本题考查了对顶角，平行线的判定，理解“外错角”的概念是解题关键． 五．三角形内角和定理 40．（2024春•新吴区校级期中）如图，在中，的三等分线、与的三等分线、分别交于点、，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据三等分线可得，，依据三角形内角和定理可得，解出即可确定选项正误． 【解答】解：、是的三等分线，、是的三等分线， ，， ， 在中，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和为是关键． 41．（2024春•南岗区校级期中）已知中，为边上的高，，，则的度数　或　． 【分析】根据的不同位置，分两种情况进行讨论：在的内部，在的外部，分别求得的度数． 【解答】解：①如图，当在的内部时， ，， ， ； ②如图，当在的外部时， ，， ， ； 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解决问题的关键是进行分类讨论，解题时注意：三角形的内角和为． 42．（2024春•碑林区校级期中）如图，将沿、翻折，顶点，均落在点处，且与重合于线段，若，则的度数为 　42　． 【答案】42． 【分析】如图，连接、．由题意，推出，，由，，推出，，推出，，由，推出，推出，由此即可解决问题． 【解答】解：如图，连接、． 由题意， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：42． 【点评】本题考查三角形内角和定理、直角三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会把条件转化的思想，属于中考常考题型． 43．（2024春•朝阳区校级月考）如图，为的中线，为的中线，过点作，垂足为点． （1）若，，，求的度数； （2）若的面积为20，，求． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据三角形外角的性质得出，根据直角三角形两锐角互余求出结果即可； （2）根据三角形中线的性质得出，根据，求出，即可得出答案． 【解答】解：（1），， ， ， ， ； （2）为的中线，的面积为20， ， 为的中线， ， ， ， 解得：， 为的中线， ． 【点评】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理的应用，三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质，数形结合． 44．（2024春•郑州期中）阅读下面的解答过程，并填空． 如图，在中，平分，平分，，． 求证：． 证明：平分，平分（已知）， 　　， 　　 　　． 又（已知）， 　　　　． 又（已知）， 　　　　 　　． ． 【答案】，，角平分线定义，，，，，两直线平行，同位角相等． 【分析】根据角平分线的定义得到，，等量代换得到，根据平行线的性质即可得到结论． 【解答】证明：平分，平分（已知）， ，（角平分线的定义）， 又（已知）， （等量代换）， 又（已知）， ，（两直线平行，同位角相等）， ． 故答案为：，，角平分线定义，，，，，两直线平行，同位角相等． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键， 45．（2023秋•台州期末）如图，在中，，，是边上的高，的平分线交于点．求的度数． 【答案】． 【分析】先根据三角形的内角和定理得到的度数，然后根据角平分线的定义得到的值，然后利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和解题即可． 【解答】解：在中，，， ， 又是的平分线， ， 又是边上的高， ， ． 【点评】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义以及三角形的外角，关键是三角形内角和定理的应用． 六．三角形的外角性质 46．（2023秋•桂平市期末）将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据三角板的性质得出，，再利用外角的性质计算即可． 【解答】解：由题意可得： ，， ， 故选：． 【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 47．（2024春•青羊区校级期中）如图，已知中，，为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分，，平分，平分以此类推，则　98　，　　． 【答案】98，． 【分析】根据三角形内角和定理可求得的度数，再根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可求出的度数；求出的度数的和，再根据三角形的内角和定理得出结论算出的度数即可． 【解答】解：， ， ． 平分，平分， ，， ． ． ， 平分，平分， ，， ， ． 平分，平分以此类推， ． 故答案为：98，． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线，关键是找到变化规律． 48．（2024春•江夏区校级期中）如图，在中，，，点是边上的一点，且，，则　　． 【答案】． 【分析】以点为圆心为半径画弧交的延长线于，连接，则，把绕点逆时针旋转得到，连接，过点作于，设，由旋转的性质得，，，，证和全等得，，在中，，，则，证为等腰直角三角形，则，，进而得，，因此，从而得，再根据可得的面积． 【解答】解：以点为圆心，为半径画弧交的延长线于，连接，则，把绕点逆时针旋转得到，连接，过点作于，设，如下图所示： 由旋转的性质可知：，，，， 在中，， ， ， 在中，，， ， 又， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， 即， ， 在中，，， ，， 由勾股定理得：， ， 为等腰直角三角形，即， 由勾股定理得：， ，， ， 的边和的边上的高相同， 得， 又， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等，解决问题的关键是等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，难点是构造等腰，并将绕点逆时针旋转得到． 七．命题与定理 49．（2024春•昌平区校级期中）命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是 　如果两个实数的绝对值相等，则这两个实数相等　，它是 　　（填“真命题”或“假命题” ． 【答案】如果两个实数的绝对值相等，则这两个实数相等；假命题． 【分析】如果两个实数的绝对值相等，则这两个实数相等；依据逆命题的定义及真假命题的判断方法可判断真假命题． 【解答】解：“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的条件是两个实数相等，结论是它们的绝对值相等，因此该命题的逆命题是“如果两个实数的绝对值相等，则这两个实数相等”； 比如，但，所以是假命题． 故答案为：如果两个实数的绝对值相等，则这两个实数相等；假命题． 【点评】本题考查了逆命题的定义：把原命题的条件当结论，把结论当条件得到的命题就是该命题的逆命题，要说明一个命题是假命题举一个反例即可，掌握相关的定义、定理等是解题关键． 八．推理与论证 50．（2024春•西城区校级期中）刘老师的手机密码是四位数字，请你根据下面四个条件，推断正确的密码是：　0418　． ①6、4、3、8只有两个数字正确且位置正确； ②6、0、4、7只有两个数字正确但位置都不正确； ③3、5、2、9四个数字都不正确； ④1、8、0、9只有三个数字正确但位置都不正确． 【答案】0418． 【分析】首先根据③、④，判断出3、5、2、9四个数字都不正确，1、8、0三个数字都正确，剩下的4、6、7三个数字中有且只有一个数字正确；然后根据①，判断出6或4正确，再结合②，推出4正确；最后根据①、④判断出这四个数字的正确位置即可． 【解答】解：、5、2、9四个数字都不正确且1、8、0、9只有三个数字正确， 、5、2、9四个数字都不正确，1、8、0三个数字都正确； 刘老师的手机密码是四位数字， 剩下的4、6、7三个数字中有且只有一个数字正确； 正确，3不正确，且6、4、3、8只有两个数字正确且位置正确， 或4正确，假设6正确的话，它的位置也正确，这与6、0、4、7只有两个数字正确但位置都不正确矛盾， 不正确，4正确； 、4、3、8只有两个数字正确、且位置正确，且1、8、0、9只有三个数字正确但位置都不正确， 在最前面，1在4的后面， 正确的密码是：0418． 故答案为：0418． 【点评】此题主要考查了推理与论证问题，解答此题的关键是以条件③和条件④作为突破口，进行逐个推理． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$