第7章 平行线的证明 培优突破练习【8个考点50题专练】2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第7章 平行线的证明 培优突破练习【8个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版数学八年级上册 考点梳理 一．平行公理及推论 二．平行线的判定 三．平行线的性质 四．平行线的判定与性质 五．三角形内角和定理 六．三角形的外角性质 七．命题与定理 八．推理与论证 考点精讲精练 一．平行公理及推论 · 平行公理及推论 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． （3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 1．（2024春•泌阳县月考）在修建高铁线路时，一些路段经常会遇到大山相隔，为了避免绕道太远，往往要修建隧道将铁路线取直，这样做的数学道理是　　 A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 二．平行线的判定 · 平行线的判定 （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．2．（2023秋•嵩明县期末）如图，点在的延长线上，下列条件中能判定的是　　 A． B． C． D． 3．（2024春•芜湖期中）如图，根据下列某个条件，可以得到，则这个条件应该是　　 A． B． C． D． 三．平行线的性质 · 平行线的性质 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 4．（2024•浙江模拟）一对直角三角板如图放置，点在的延长线上，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 5．（2024春•长安区校级期中）在同一平面内有2024条直线，，，，如果，，，，，依此类推，那么与的位置关系是　　 A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 6．（2024春•江南区校级期中）如图，已知，，互相平行，且，为的角平分线，则的度数是　　 A． B． C． D． 7．（2024•普宁市二模）如图是一款折叠护眼灯示意图，是底座，、分别是长臂和短臂，点在上，若，，则长臂和短臂的夹角　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•巴中期末）如图，，为上一点，且垂足为，，平分，且，则下列结论：①；②平分；③；④；其中正确有　　 A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①③④ 9．（2024春•浈江区期中）如图是“大润发”超市里的购物车的侧面示意图，扶手与车底平行，，，则的度数是　　 A． B． C． D． 10．（2024•碑林区校级一模）如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且，则的度数为　　 A． B． C． D． 11．（2024春•南川区期中）如图，将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的度数是　　 A． B． C． D． 12．（2024•碑林区校级模拟）两块平面镜和如图摆放，其夹角，从上的点处向平面镜射出一束光线，其反射光线恰与平行，则入射光线与反射光线形成的　　 A． B． C． D． 13．（2024春•田家庵区校级期中）如图，一块直尺与一个直角三角形如图放置，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 14．（2024春•五莲县期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，与在原来的方向的垂直方向前进，那么两次拐弯的角度可能是　　 A．第一次左拐，第二次右拐 B．第一次左拐，第二次左拐 C．第一次右拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐 15．（2024春•电白区期中）已知：如图，，平分，且，则的度数是　　 A． B． C． D． 16．（2020秋•龙岗区期末）如图，已知，、的交点为，现作如下操作： 第一次操作，分别作和的平分线，交点为， 第二次操作，分别作和的平分线，交点为， 第三次操作，分别作和的平分线，交点为， ， 第次操作，分别作和的平分线，交点为． 若度，那等于　　度． 17．（2021春•奉化区校级期末）如图，已知直线，且和、分别交于、两点，点在直线上． （1）、、之间的关系为 　　； （2）如果点在、两点之间运动时，、、之间的关系为 　　； （3）如果点（点和、不重合）在、两点外侧运动时，、、之间关系为 　　． 18．（2021春•钦州期末）如图，已知，、的交点为，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为，第二次操作，分别作和的平分线，交点为，第三次操作，分别作和的平分线，交点为，第次操作，分别作和的平分线，交点为，若度，则　　度． 19．（2023秋•余江区期末）将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，如图2，，，且，若边与三角板的一条直角边（边，平行时，则所有满足条件的的值为 　　． 20．（2022春•桂平市期末）图1是一张足够长的纸条，其中，点、分别在、上，记．如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕，如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得折痕，将纸条展开后继续折叠，使与重合，得折痕依此类推，第次折叠后，　　（用含和的代数式表示） 21．（2022春•武汉期末）已知：点在直线上，点在直线上，． （1）如图1，连，平分，平分，求的度数． （2）如图2，若，射线，分别在，的内部，且，当时，求的值． （3）如图3，在（1）的条件下，在直线上有一动点（点不与点重合），平分，若，请直接写出　　（结果用含的式子表示）． 22．（2022春•连平县校级期末）如图，已知直线，、和、分别交于点、、、，点在直线或上且不与点、、、重合．记，，． （1）若点在图（1）位置时，求证：； （2）若点在图（2）位置时，请直接写出、、之间的关系； （3）若点在图（3）位置时，写出、、之间的关系并给予证明； （4）若点在、两点外侧运动时，请直接写出、、之间的关系． 23．（2021春•奉化区校级期末）已知，直线，点为平面上一点，连接与． （1）如图1，点在直线、之间，当，时，求． （2）如图2，点在直线、之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，点落在外，与的角平分线相交于点，与有何数量关系？并说明理由． 24．（2024春•青羊区校级期中）如图1，，点，分别在直线，上，，过点作的延长线交于点，交于点，平分，交于点，交于点． （1）直接写出，，之间的关系：　　． （2）若，求． （3）如图2，在（2）的条件下，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时的值． 25．（2023春•仓山区校级期中）如图，直线，连接，直线，及线段把平面分成①，②，③，④四个部分，当动点落在某个部分时，连接，，构成，，三个角．（规定：线上各点不属于任何部分且点，，三点不共线） （1）当动点落在第①部分时，求证：； （2）当动点落在第②部分时，直接用等式表示，，之间的数量关系； （3）当动点落在第③部分时，用等式表示，，之间的数量关系，并写出动点的具体位置和相应的结论，选择其中一种结论加以证明． 四．平行线的判定与性质 · 平行线的判定与性质 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 26．（2024春•开化县期中）下列说法错误的是　　 A．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等 D．在同一个平面内，不相交的两条直线是平行线 27．（2024春•宁阳县期中）义乌市为了方便市民绿色行，出了如图①所示的某品牌共享单车，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，当为　　度时，与平行． A．62 B．65 C．75 D．115 28．下列说法：（1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（3）不相交的两条直线是平行线；（4）连接两点间的线段叫做两点间的距离，其中错误的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 29．（2024春•海珠区校级期中）下列结论中，错误的是　　 A．同位角相等，两直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．同一平面内的两条直线不平行就相交 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 30．（2023秋•衡阳期末）如图，，平分交于，，，，分别是，延长线上的点，和的平分线交于点．下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 31．（2021春•淄川区期中）（1）已知：如图1，，，，试确定与的位置关系，并说明理由． （2）若图形变化为如图2、图3所示，且满足，那么与还满足上述关系吗？若满足，选择一个图形进行证明． 32．（2021春•婺城区校级期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起（其中，，； （1）①若，则的度数为　 　； ②若，求的度数； （2）由（1）猜想与的数量关系，并说明理由． （3）当且点在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出角度所有可能的值（不必说明理由），若不存在，请说明理由． 33．（2020秋•市中区期末）“成绵乐高铁”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒3度，灯转动的速度是每秒2度，假定主道路是平行的，即，且． （1）填空：　　； （2）若灯射线先转动15秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ （3）如图2，若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点，则在灯射线到达之前，灯转动几秒时，． 34．（2021春•赣州期末）（1）问题情境：如图1，，，．求的度数． 小明想到一种方法，但是没有解答完： 如图2，过作，． ． ．． 请你帮助小明完成剩余的解答． （2）问题迁移：请你依据小明的思路，解答下面的问题： 如图3，，点在射线上运动，，． ①当点在、两点之间时，，，之间有何数量关系？请说明理由． ②当点在、两点外侧时（点与点不重合），请直接写出，，之间的数量关系． 35．（2021春•饶平县校级期末）已知，点为平面内一点，于． （1）如图1，直接写出和之间的数量关系 　　； （2）如图2，过点作于点，求证：； （3）如图3，在（2）问的条件下，点、在上，连接、、，平分，平分，若，，求的度数． 36．（2021春•秦都区校级期中）已知，点在直线上，点、在直线上，点在直线、之间，，平分． （1）如图①，求的度数（用含的式子表示）； （2）如图②，过点作交的延长线于点，过作平分交于点．请你判断与的位置关系，并说明理由； （3）如图③，在（2）的条件下，连接，若平分，请你判断与的数量关系，并说明理由． 五．三角形内角和定理 · 三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 37．（2009春•嘉兴期中）有若干个三角形，在所有的内角中，有6个是直角，有3个是钝角，24个是锐角，则其中有个锐角三角形． 38．（2017秋•和平区校级月考）在中，，，平分交于，在上，且，则的度数是 　　． 39．（2019春•乐亭县期末）如图，在第1个中，，，在上取一点，延长到，使得在第2个△中，；在上取一点，延长到，使得在第3个△中，；，按此做法进行下去，第3个三角形中以为顶点的内角的度数为　　；第个三角形中以为顶点的底角的度数为　　． 40．（2021秋•阳东区期中）如图，，任意裁剪的直角三角形纸板两条直角边所在直线与的两边分别交于、两点． （1）如图1，若直角顶点在的边上，则　　度； （2）如图2，若直角顶点在内部，求出的度数； （3）如图3，如果直角顶点在外部，求出的度数． 41．（2022秋•蚌埠期中）如图，在中，内角平分线和外角平分线相交于点，根据下列条件求的度数． （1）若，，则　 　，若，则　 　； （2）若，则　 　； （3）从以上的计算中，你能发现与的关系是　 　； （4）证明第（3）题中你所猜想的结论． 六．三角形的外角性质 · 三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 42．（2017秋•越秀区校级期中）如图，和的平分线相交于点．设、、、的度数依次为、、、，用仅含其中2个字母的代数式来表示的度数：　 　． 43．（2017春•江汉区期中）如图，中，，，，是的外角平分线、的交点，则的长为　 　． 44．（2022秋•芜湖期中）如图，是内一点，连接、、，是的角平分线的反向延长线上的一点，连接，，和的外角平分线相交于点，若，，则的度数为 　　． 45．（2015秋•保亭县校级月考）如图，为中边的延长线上一点，，，则　　． 46．如图，在中，，的外角平分线相交于点，若，则　　度． 47．（2022春•谷城县期末）【推理证明】 （1）如图1，，求证； 小勇同学给出了如下证明，请在下面括号内填写上小勇推理的根据 证明：过点作 　　 ，　　 （等量代换） 备注：小勇同学在证明过程中，先过点作，是证明本题关键的一步，小勇同学作的这条线，叫做“辅助线”，通常用虚线表示，在几何证明过程中有时会用到． 【类比探究】 （2）在小学我们已知道“三角形内角和等于”这个结论，下面请作出合适的辅助线并用所学到的平行线的相关知识证明这个结论． 如图2，已知三角形，求证：请写出证明过程（不写推理根据） 【综合运用】 请运用（1）（2）的经验和结论解答下列问题： 如图3，和交于点，，，的平分线和的平分线交于点，若，直接写出的度数 　　． 七．命题与定理 · 命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 48．（2024春•玄武区校级期中）已知：三条不同的直线，，在同一平面内，①；②；③；④． 请你从①②③④中选择两个作为题设，一个作为结论，用“如果那么”的形式，写出满足下列条件的命题． （1）写出一个真命题，并证明它的正确性； （2）写出一个假命题，并举出反例． 八．推理与论证 · 推理与论证 （1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程． ①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊． ②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般． （2）论证：用论据证明论题的真实性． 证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证必须遵守推理的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证方式”． 简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式． 49．“并字横”想必大家都应该玩过，两名玩家在的横盘上轮流落子，先将自己的3枚棋子连成一线的玩家获胜，在棋盘摆放确定之后，一共有8种可能的胜利方法，如图： 考虑两名玩家在的立方体上轮流落子的“立体并字俱”，先将自己4枚棋子连成一线的玩家获胜，那么在立方体摆放确定之后，“立体并字填”一共有　　种胜利方法． 50．（2005•昆山市自主招生）将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，不同的种植方法共有　 　种． 第7章 平行线的证明 培优突破练习【8个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版数学八年级上册 参考答案与试题解析 一．平行公理及推论 1．（2024春•泌阳县月考）在修建高铁线路时，一些路段经常会遇到大山相隔，为了避免绕道太远，往往要修建隧道将铁路线取直，这样做的数学道理是　　 A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】 【分析】根据题中描述的实际问题，结合所学数学知识即可确定答案． 【解答】解：由题中描述可知，这样做的数学道理是“两点之间线段最短”， 故选：． 【点评】本题考查数学知识解决实际问题，读懂题意，理解“两点之间线段最短”是解决问题的关键． 二．平行线的判定 2．（2023秋•嵩明县期末）如图，点在的延长线上，下列条件中能判定的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案． 【解答】解：、， ， 故不符合题意． 、， ， 故符合题意． 、， ， 不符合题意． 、， ， 故不符合题意． 故选：． 【点评】此题主要考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 3．（2024春•芜湖期中）如图，根据下列某个条件，可以得到，则这个条件应该是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据内错角相等，两直线平行解答即可． 【解答】解：， ，故正确； ， ，故错误； ， 不能得出，故错误； ， 不能得出，故错误； 故选：． 【点评】此题考查平行线的判定，关键是根据内错角相等，两直线平行解答． 三．平行线的性质 4．（2024•浙江模拟）一对直角三角板如图放置，点在的延长线上，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据，求出，即可解决问题． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型． 5．（2024春•长安区校级期中）在同一平面内有2024条直线，，，，如果，，，，，依此类推，那么与的位置关系是　　 A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 【答案】 【分析】根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【解答】解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 以此类推可知，从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为，，，， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了平行线的判断，图形类的规律探索，解题的关键是正确推理． 6．（2024春•江南区校级期中）如图，已知，，互相平行，且，为的角平分线，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，由平行线的性质推出，即可求出． 【解答】解：， ， 为的角平分线， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出，． 7．（2024•普宁市二模）如图是一款折叠护眼灯示意图，是底座，、分别是长臂和短臂，点在上，若，，则长臂和短臂的夹角　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用两直线平行，同旁内角互补进行计算，即可解答． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 8．（2023秋•巴中期末）如图，，为上一点，且垂足为，，平分，且，则下列结论：①；②平分；③；④；其中正确有　　 A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①③④ 【答案】 【分析】根据平行线的性质，角平分线和垂直定义逐个分析计算即可． 【解答】解：，， ， ， 平分， ， 故①正确； ， ， ， 即平分， 故②正确； ，， ， ， ， ， ， 故③正确； ， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故选：． 【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，深入理解题意是解决问题的关键． 9．（2024春•浈江区期中）如图是“大润发”超市里的购物车的侧面示意图，扶手与车底平行，，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据两直线平行内错角相等可得，依此即可求解． 【解答】解：，，， ， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是正确理解题意，掌握两直线平行内错角相等． 10．（2024•碑林区校级一模）如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【解答】解：如图， 两条入射光线平行， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查平行线的性质应用，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． 11．（2024春•南川区期中）如图，将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由于折叠，，已知，可得，因为四边形是长方形，所以，即，可得的度数． 【解答】解：由于折叠，， ， ， 四边形是长方形， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质，关键是掌握平行线的性质． 12．（2024•碑林区校级模拟）两块平面镜和如图摆放，其夹角，从上的点处向平面镜射出一束光线，其反射光线恰与平行，则入射光线与反射光线形成的　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由平行线的性质推出，由光的反射定律得到，由平角定义即可求出的度数． 【解答】解：， ， 由光的反射定律得：， ． 故选：． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出，由光的反射定律得到． 13．（2024春•田家庵区校级期中）如图，一块直尺与一个直角三角形如图放置，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平行线的性质求出，然后根据邻补角的定义求出，最后根据直角三角形两个锐角互余求出即可． 【解答】解：如图， 直尺的两边互相平行， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，准确识图是解题的关键． 14．（2024春•五莲县期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，与在原来的方向的垂直方向前进，那么两次拐弯的角度可能是　　 A．第一次左拐，第二次右拐 B．第一次左拐，第二次左拐 C．第一次右拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐 【答案】 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【解答】解：．两次拐弯后方向与原方向相同，故不符合题意； ．两次拐弯后方向与原方向相反，故不符合题意； ．两次拐弯后，相当于在原方向向左拐，方向与原方向垂直，故符合题意； ．两次拐弯后，相当于在原方向向右拐，方向与原方向的反方向夹角，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质，能根据平行线的性质找到两次拐弯后的方向是解题的关键． 15．（2024春•电白区期中）已知：如图，，平分，且，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据平行线的性质，得出的度数，再根据平分，即可得到的度数，最后根据三角形内角和进行计算即可． 【解答】解：， ， 又平分， ， 中，， 故选：． 【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等． 16．（2020秋•龙岗区期末）如图，已知，、的交点为，现作如下操作： 第一次操作，分别作和的平分线，交点为， 第二次操作，分别作和的平分线，交点为， 第三次操作，分别作和的平分线，交点为， ， 第次操作，分别作和的平分线，交点为． 若度，那等于　　度． 【分析】先过作，根据，得出，再根据平行线的性质，得出，，进而得到；先根据和的平分线交点为，运用（1）中的结论，得出；同理可得；根据和的平分线，交点为，得出；据此得到规律，最后求得的度数． 【解答】解：如图①，过作， ， ， ，， ， ； 如图②，和的平分线交点为， ． 和的平分线交点为， ； 如图②，和的平分线，交点为， ； 以此类推，． 当度时，等于度． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． 17．（2021春•奉化区校级期末）如图，已知直线，且和、分别交于、两点，点在直线上． （1）、、之间的关系为 　　； （2）如果点在、两点之间运动时，、、之间的关系为 　　； （3）如果点（点和、不重合）在、两点外侧运动时，、、之间关系为 　　． 【分析】（1）作，如图1，由于，则，根据平行线的性质得，，所以； （2）由（1）中的证明过程，可知、、之间的关系不发生变化； （3）根据题意，画出图形，利用平行线的性质可推出、、之间的关系． 【解答】证明：（1）如图1，过点作， ， （两直线平行，内错角相等）， ，（已知）， （平行于同一条直线的两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， ， （等量代换）； 故答案为：； （2）、、之间的关系不发生变化； 故答案为：； （3）或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 18．（2021春•钦州期末）如图，已知，、的交点为，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为，第二次操作，分别作和的平分线，交点为，第三次操作，分别作和的平分线，交点为，第次操作，分别作和的平分线，交点为，若度，则　　度． 【答案】． 【分析】先过作，根据，得出，再根据平行线的性质，得出，，进而得到；先根据和的平分线交点为，运用（1）中的结论，得出；同理可得；根据和的平分线，交点为，得出；据此得到规律，最后求得的度数． 【解答】解：如图，过作， ， ， ，， ， ； 和的平分线交点为 ． 和的平分线交点为， ； 和的平分线，交点为， ； 以此类推，． 当度时，等于度． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． 19．（2023秋•余江区期末）将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，如图2，，，且，若边与三角板的一条直角边（边，平行时，则所有满足条件的的值为 　30或120　． 【答案】30或120． 【分析】根据题意得，，（1）如图1，当时，延长交于点，分两种情况讨论：①在上方时，②在下方时，，列式求解即可；（2）当时，延长交于点，①在上方时，，②在下方时，，列式求解即可． 【解答】解：由题意得，，， （1）如图1，当时，延长交于点， ①在上方时， ，，， ， ， ， ， ，即， ， ②在下方时，， ，，， ， ， ， ， ，即， （不符合题意，舍去）， （2）当时，延长交于点， ①在上方时，，如图， 根据题意得：， ，， ， ， 即， ， ，此时应该在下方，不符合题意，舍去； ②在下方时，如图， 根据题意可知：， ， ， ， 即， ， 综上所述：所有满足条件的的值为30或120． 故答案为：30或120． 【点评】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质． 20．（2022春•桂平市期末）图1是一张足够长的纸条，其中，点、分别在、上，记．如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕，如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得折痕，将纸条展开后继续折叠，使与重合，得折痕依此类推，第次折叠后，　　（用含和的代数式表示） 【答案】． 【分析】由折叠的性质折叠次可得，然后根据四边形内角和及补角性质可得答案． 【解答】解：由折叠的性质折叠次可得 在四边形内有四边形的内角和为知： ． 故答案为：． 【点评】此题考查的是折叠，掌握其性质是解决此题关键． 21．（2022春•武汉期末）已知：点在直线上，点在直线上，． （1）如图1，连，平分，平分，求的度数． （2）如图2，若，射线，分别在，的内部，且，当时，求的值． （3）如图3，在（1）的条件下，在直线上有一动点（点不与点重合），平分，若，请直接写出　或　（结果用含的式子表示）． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【分析】（1）过点作，根据，可得．所以，然后根据、分别平分和，可得，，进而可以解决问题； （2）过点，作，，然后根据平行线的性质即可解决问题； （3）由题意可得平分，平分，所以，，然后利用三角形内角和定理即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1，过点作， ． ， ． ． ．即：， 、分别平分和， ，， ， ， ， ， ； （2）如图2，过点，作，， ， ，， ，，，， ，， ， ， ， ， ； （3）如图3， 由题意可知：平分，平分， ，， ， ， ， 在中，， ， ， ． 当在点右侧时，． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线构造内错角或同位角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算． 22．（2022春•连平县校级期末）如图，已知直线，、和、分别交于点、、、，点在直线或上且不与点、、、重合．记，，． （1）若点在图（1）位置时，求证：； （2）若点在图（2）位置时，请直接写出、、之间的关系； （3）若点在图（3）位置时，写出、、之间的关系并给予证明； （4）若点在、两点外侧运动时，请直接写出、、之间的关系． 【分析】此题四个小题的解题思路是一致的，过作直线、的平行线，利用平行线的性质得到和、相等的角，然后结合这些等角和的位置关系，来得出、、的数量关系． 【解答】解：（1）证明：过作， 由两直线平行，内错角相等，可得： 、； ， ． （2）； 证明：过作直线， 则：、； ， ． （3）． 证明：过作； 同（1）可证得：； ，， ， 即． （4）过作； ①当在点上方时， 同（2）可证：； ，， ， 即． ②当在点下方时， ，解法同上． 综上可知：当在点上方时，，当在点下方时，． 【点评】此题主要考查的是平行线的性质，能够正确地作出辅助线，是解决问题的关键． 23．（2021春•奉化区校级期末）已知，直线，点为平面上一点，连接与． （1）如图1，点在直线、之间，当，时，求． （2）如图2，点在直线、之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，点落在外，与的角平分线相交于点，与有何数量关系？并说明理由． 【分析】（1）先过作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可； （2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到； （3）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到． 【解答】解：（1）如图1，过作， ， ， ，， ； （2）． 理由：如图2，过作， ， ， ，， ， 过作， 同理可得，， 与的角平分线相交于点， ， ； （3）． 理由：如图3，过作， ， ， ，， ， 过作， 同理可得，， 与的角平分线相交于点， ， ． 【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算． 24．（2024春•青羊区校级期中）如图1，，点，分别在直线，上，，过点作的延长线交于点，交于点，平分，交于点，交于点． （1）直接写出，，之间的关系：　　． （2）若，求． （3）如图2，在（2）的条件下，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时的值． 【答案】（1）． （2）． （3）当的其中一边与的某一边平行时的值为6秒或24秒或30秒或12秒或21秒． 【分析】（1）根据平行线的性质和三角形的外角性质可得答案； （2）根据，分别表示出、、、、和，再由，可得的度数，则问题可解； （3）结合（2），分以下几种情况求解：①当时，延长交边于，②当时，③当时，即与在同一直线上时，④当时，⑤当时． 【解答】解：（1）， ， 是的外角， ， ． 故答案为：； （2）， ，， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）①当时，延长交边于， ， ， ， ， ， 当绕点旋转时，， 秒， ②当时， ， ， ， ， 当绕点旋转时，， 秒， ③当时，即与在同一直线上时， ， 当绕点旋转时，， 秒， 当的其中一边与的某一边平行时的值为6秒或24秒或30秒． ④当时， ， ． 当旋转时，． （秒． ⑤当时， ，， ． 当旋转时，． （秒． 当的其中一边与的某一边平行时的值为6秒或24秒或30秒或12秒或21秒． 【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形外角的性质、三角形的内角和及一元一次方程在几何问题中的应用，理清题中的数量关系并分类讨论是解题的关键． 25．（2023春•仓山区校级期中）如图，直线，连接，直线，及线段把平面分成①，②，③，④四个部分，当动点落在某个部分时，连接，，构成，，三个角．（规定：线上各点不属于任何部分且点，，三点不共线） （1）当动点落在第①部分时，求证：； （2）当动点落在第②部分时，直接用等式表示，，之间的数量关系； （3）当动点落在第③部分时，用等式表示，，之间的数量关系，并写出动点的具体位置和相应的结论，选择其中一种结论加以证明． 【答案】（1）； （2）不成立； （3）成立．见解答． 【分析】（1）如图1，延长交直线于点，由，可知．由，可知； （2）过点作的平行线，根据平行线的性质解答； （3）根据的不同位置，分三种情况讨论． 【解答】解：（1）解法一：如图1延长交直线于点． ， ． ， ； 解法二：如图2， 过点作， ． ， ． ． ． ； 解法三：如图3， ， ， ． 又， ． （2）不成立． （3）（a）当动点在射线的右侧时，结论是： ． （b）当动点在射线上，结论是： ． 或或， （任写一个即可）． （c）当动点在射线的左侧时， 结论是． 选择（a）， 证明：如图4，连接，连接交于． ， ． 又（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ． 选择（b）证明：如图5， 点在射线上， 度． ， ． ， 或， 或，． 选择（c）， 证明：如图6，连接，连接交于， ， ． ， ． 【点评】此题考查了角平分线的性质；是一道探索性问题，旨在考查同学们对材料的分析研究能力和对平行线及角平分线性质的掌握情况．认真做好（1）（2）小题，可以为（3）小题提供思路． 四．平行线的判定与性质 26．（2024春•开化县期中）下列说法错误的是　　 A．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等 D．在同一个平面内，不相交的两条直线是平行线 【答案】 【分析】根据平行线的性质进行分析判断即可． 【解答】解：、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确，不符合题意； 、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，正确，不符合题意； 、两条直线被第三条直线所截，截得同位角不一定相等，错误，符合题意； 、在同一个平面内，不相交的两条直线是平行线，正确，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是关键． 27．（2024春•宁阳县期中）义乌市为了方便市民绿色行，出了如图①所示的某品牌共享单车，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，当为　　度时，与平行． A．62 B．65 C．75 D．115 【答案】 【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【解答】解：，都与地面平行， ， ， ， ，， ， 当时，． 故选：． 【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 28．下列说法：（1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（3）不相交的两条直线是平行线；（4）连接两点间的线段叫做两点间的距离，其中错误的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】依据平行公理，垂线的定义，两点之间的距离的定义解答即可． 【解答】解；（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； （2）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误； （3）同一平面内，不相交的两条直线是平行线，原说法错误； （4）连接两点间的线段的长度叫做两点间的距离，原说法错误； 说法错误的有4个， 故选：． 【点评】本题主要考查了平行公理，垂线的定义，两点之间的距离的定义，两直线的位置关系等等，熟知相关知识是解题的关键． 29．（2024春•海珠区校级期中）下列结论中，错误的是　　 A．同位角相等，两直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．同一平面内的两条直线不平行就相交 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】 【分析】根据平行线的性质与判定，平行公理，依次判断，即可求解． 【解答】解：、同位角相等，两直线平行，正确，不符合题意， 、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，不符合题意， 、同一平面内的两条直线不平行就相交，正确，不符合题意， 、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误，符合题意， 故选：． 【点评】本题考查了，平行线的性质与判定，平行公理，解题的关键是：熟练掌握相关定理． 30．（2023秋•衡阳期末）如图，，平分交于，，，，分别是，延长线上的点，和的平分线交于点．下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】先根据，平分交于点，，，和的平分线交于点，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论． 【解答】解：，， ，， ， 又， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， 又， ，故②错误； ，，而， ， 平分，故③正确； ， ． 和的平分线交于点， ． ， ， ， ，故④正确． 综上所述正确的有：①③④，共3个． 故选：． 【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的性质，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 31．（2021春•淄川区期中）（1）已知：如图1，，，，试确定与的位置关系，并说明理由． （2）若图形变化为如图2、图3所示，且满足，那么与还满足上述关系吗？若满足，选择一个图形进行证明． 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质得到，等量代换得到，推出， 根据平行线的判定即可得到结论； （2）如答图2，过点作，根据平行线的性质得到，量代换得到，推出，于是得到结论． 【解答】解：（1）过点作， 则，， ， ， ， ， ， ， ； （2）如答图2，过点作， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，案例掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 32．（2021春•婺城区校级期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起（其中，，； （1）①若，则的度数为　　； ②若，求的度数； （2）由（1）猜想与的数量关系，并说明理由． （3）当且点在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出角度所有可能的值（不必说明理由），若不存在，请说明理由． 【分析】（1）①根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数；②根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数； （2）根据以及，进行计算即可得出结论； （3）分五种情况进行讨论：当时，当时，当时，当时，当时，分别求得角度． 【解答】（1）①， 故答案为：； ②， ； （2）猜想： 理由如下： 又 即； （3）、、、、． 理由：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，以及直角三角形的性质，解题时注意分类讨论思想的运用，分类时注意不能重复，也不能遗漏． 33．（2020秋•市中区期末）“成绵乐高铁”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒3度，灯转动的速度是每秒2度，假定主道路是平行的，即，且． （1）填空：　　； （2）若灯射线先转动15秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ （3）如图2，若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点，则在灯射线到达之前，灯转动几秒时，． 【答案】（1）； （2）当秒或66秒时，两灯的光束互相平行； （3）在灯射线到达之前，灯转动60秒或84秒时，． 【分析】（1）根据，，即可得到的度数； （2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当时，根据，可得；当时，根据，可得； （3）设灯射线转动时间为秒，根据题意画出图形分情况讨论计算即可． 【解答】解：（1），， ， 故答案为：； （2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行， ①如图1， ， ， ， ， ， ， 解得； ②如图2， ， ， ， ， 解得， 综上所述，当秒或66秒时，两灯的光束互相平行； （3）设灯转动秒时， 根据题意可知：，， 如图3， ， ， ；当时，灯射线与重合，灯射线与重合 如图4，当， ， ， ， 综上所述：在灯射线到达之前，灯转动60秒或84秒时，． 【点评】本题考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 34．（2021春•赣州期末）（1）问题情境：如图1，，，．求的度数． 小明想到一种方法，但是没有解答完： 如图2，过作，． ． ．． 请你帮助小明完成剩余的解答． （2）问题迁移：请你依据小明的思路，解答下面的问题： 如图3，，点在射线上运动，，． ①当点在、两点之间时，，，之间有何数量关系？请说明理由． ②当点在、两点外侧时（点与点不重合），请直接写出，，之间的数量关系． 【分析】（1）过作，构造同旁内角，通过平行线性质，可得． （2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （3）画出图形，分两种情况：①点在的延长线上，②点在的延长线上，根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【解答】解：（1）剩余过程：， ， ； （2），理由如下： 如图3，过作交于， ， ， ，， ； （3）当在延长线时，；理由： 如图4，过作交于， ， ， ，， ； 当在之间时，．理由： 如图5，过作交于， ， ， ，， ． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角． 35．（2021春•饶平县校级期末）已知，点为平面内一点，于． （1）如图1，直接写出和之间的数量关系 　　； （2）如图2，过点作于点，求证：； （3）如图3，在（2）问的条件下，点、在上，连接、、，平分，平分，若，，求的度数． 【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可； （2）先过点作，根据同角的余角相等，得出，再根据平行线的性质，得出，即可得到； （3）先过点作，根据角平分线的定义，得出，再设，，根据，可得，根据，可得，最后解方程组即可得到，进而得出． 【解答】解：（1）如图1，与的交点记作点， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图2，过点作， ， ，即， 又， ， ， ，， ， ， ； （3）如图3，过点作， 平分，平分， ，， 由（2）可得， ， 设，，则 ，，，， ， ，， ， 中，由，可得 ，① 由，可得 ，② 由①②联立方程组，解得， ， ． 【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用． 36．（2021春•秦都区校级期中）已知，点在直线上，点、在直线上，点在直线、之间，，平分． （1）如图①，求的度数（用含的式子表示）； （2）如图②，过点作交的延长线于点，过作平分交于点．请你判断与的位置关系，并说明理由； （3）如图③，在（2）的条件下，连接，若平分，请你判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）如图①，过点作，可得，进而可得结论； （2）根据已知条件可得，进而可得与的位置关系； （3）结合（2）和已知条件可得，根据三角形内角和定理可得，可得，进而可得结论． 【解答】解：（1）如图①，过点作， ， ， ，， ； （2）如图②，，理由如下： 平分． ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ； （3）如图③，，理由如下： 由（2）可知：，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． ． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 五．三角形内角和定理 37．（2009春•嘉兴期中）有若干个三角形，在所有的内角中，有6个是直角，有3个是钝角，24个是锐角，则其中有　2　个锐角三角形． 【分析】根据三角形内角和为，一个三角形中只能有一个直角或钝角，则这些三角形中有6个直角三角形，3个钝角三角形，还有6个锐角，就只能组成2个锐角三角形． 【解答】解：因为一个三角形中只能有一个直角或钝角， 所以由题可知，在原题中有6个直角三角形、3个钝角三角形， 这9个三角形将用去18个锐角，还有6个锐角，正好组成两个锐角三角形． 【点评】利用了三角形内角和定理来推断．注意一个三角形中只能有一个直角或钝角，其它两个角为锐角． 38．（2017秋•和平区校级月考）在中，，，平分交于，在上，且，则的度数是 　　． 【分析】根据题意和邻补角的性质分别求出和的度数，即可证明是的外角平分线；再作于，于，于，根据角平分线的性质证明平分，最后依据三角形外角性质即可得到的度数． 【解答】解：，， ， ， ， 是的外角平分线， 如图，作于，于，于， 平分，，， ， 同理，， ， 又，， 平分， ，，平分， ，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的判定，作辅助线并判定平分是解题的关键． 39．（2019春•乐亭县期末）如图，在第1个中，，，在上取一点，延长到，使得在第2个△中，；在上取一点，延长到，使得在第3个△中，；，按此做法进行下去，第3个三角形中以为顶点的内角的度数为　　；第个三角形中以为顶点的底角的度数为　　． 【分析】先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第个三角形的以为顶点的底角的度数． 【解答】解：在中，，， ， ，是△的外角， ； 同理可得，，， 以此类推，第个三角形的以为顶点的底角的度数． 故答案为：，． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出，及的度数，进而找出规律是解答此题的关键． 40．（2021秋•阳东区期中）如图，，任意裁剪的直角三角形纸板两条直角边所在直线与的两边分别交于、两点． （1）如图1，若直角顶点在的边上，则　120　度； （2）如图2，若直角顶点在内部，求出的度数； （3）如图3，如果直角顶点在外部，求出的度数． 【分析】（1）由，得到，根据三角形的外角的性质得到，即可得到结论； （2）如图2，连接，根据三角形的外角的性质得到，，由，，代入即可得到结论； （3）如图3，连接，根据三角形的外角的性质得到，，由，，代入即可得到结论． 【解答】解：（1）， ， ， ． 故答案为：； （2）如图2，连接， ，， ，， ， ； （3）如图3，连接， ，， ，， ． 【点评】本题考查了三角形的内角和，三角形的外角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 41．（2022秋•蚌埠期中）如图，在中，内角平分线和外角平分线相交于点，根据下列条件求的度数． （1）若，，则　　，若，则　 　； （2）若，则　 　； （3）从以上的计算中，你能发现与的关系是　 　； （4）证明第（3）题中你所猜想的结论． 【分析】（1）根据互为邻补角的和等于求出的度数，再根据角平分线的定义求出、，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可求出的度数，根据三角形的内角和定理求出的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出，整理即可得解； （2）根据（1）的思路可以求出； （3）根据计算得出关系式即可； （4）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出与，再根据角平分线的定义可得，，然后整理即可得证． 【解答】（1）解：， ， 、分别为、的平分线， ，， 在中，， 即， 解得； ， ， 、分别为、的平分线， ，， 根据三角形的外角性质，， ， ， ， ； （2）解：、分别为、的平分线， ，， 根据三角形的外角性质，， ， ， ， ， ， ； （3）由计算可知，； （4）证明：、分别为、的平分线， ，， 根据三角形的外角性质，， ， ， ， ． 故答案为：（1），；（2）；（3）． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，规律性较强，但难度不大，用两种方法表示出是解题的关键． 六．三角形的外角性质 42．（2017秋•越秀区校级期中）如图，和的平分线相交于点．设、、、的度数依次为、、、，用仅含其中2个字母的代数式来表示的度数：　　． 【分析】根据三角形外角的性质可表示出：，，根据对顶角相等的性质，可得到，从而可以用含有、、、的式子表示，从而不难求解． 【解答】解：，， ． 、、、的度数依次为、、、． ①． 同理：②．①式②式，得，． 故答案为：． 【点评】此题主要考查：三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 43．（2017春•江汉区期中）如图，中，，，，是的外角平分线、的交点，则的长为　　． 【分析】作于，于，于，如图，先计算出，设，，利用角平分线的性质得，，所以，则可判定四边形为正方形，利用得到，接着利用易得，得到，然后求出后利用勾股定理计算的长． 【解答】解：作于，于，于，如图， 在中，， 设，， 是的外角平分线、的交点， ，， ， 四边形为正方形， ，即， ， 易得，， ， ，解得， ， 在中，． 故答案为． 【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，灵活运用利用角平分线的性质是解决本题的关键． 44．（2022秋•芜湖期中）如图，是内一点，连接、、，是的角平分线的反向延长线上的一点，连接，，和的外角平分线相交于点，若，，则的度数为 　50　． 【答案】50． 【分析】设，表示出，于是，由可推出，根据求得的值，进一步得出结果． 【解答】解：如图， 设的延长线交于， 设，则， ， ， 平分， ， ， 在中， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：50． 【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理及其推论等知识，解决问题的关键是设未知数，寻找角之间的数量关系． 45．（2015秋•保亭县校级月考）如图，为中边的延长线上一点，，，则　　． 【分析】利用三角形外角与内角的关系解答即可． 【解答】解：，， ， 故答案为： 【点评】本题解题的关键是熟记三角形外角与内角的关系，即三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和． 46．如图，在中，，的外角平分线相交于点，若，则　53　度． 【分析】根据三角形的内角和定理，得；再根据邻补角的定义，得两个角的邻补角的和是；再根据角平分线的定义，得；最后根据三角形的内角和定理，得． 【解答】解：， ， ． 【点评】此题综合运用了三角形的内角和定理以及角平分线定义．注意此题中可以总结结论：三角形的相邻两个外角的角平分线所成的锐角等于减去第三个内角的一半，即． 47．（2022春•谷城县期末）【推理证明】 （1）如图1，，求证； 小勇同学给出了如下证明，请在下面括号内填写上小勇推理的根据 证明：过点作 　两直线平行内错角相等　 ，　　 （等量代换） 备注：小勇同学在证明过程中，先过点作，是证明本题关键的一步，小勇同学作的这条线，叫做“辅助线”，通常用虚线表示，在几何证明过程中有时会用到． 【类比探究】 （2）在小学我们已知道“三角形内角和等于”这个结论，下面请作出合适的辅助线并用所学到的平行线的相关知识证明这个结论． 如图2，已知三角形，求证：请写出证明过程（不写推理根据） 【综合运用】 请运用（1）（2）的经验和结论解答下列问题： 如图3，和交于点，，，的平分线和的平分线交于点，若，直接写出的度数 　　． 【答案】【推理证明】（1）两直线平行内错角相等；平行于同一条直线的两直线平行； 【类比探究】（2）证明过程见解答； （3）． 【分析】【推理证明】（1）利用平行线的判定与性质可证明结论； 【类比探究】（2）过点作，根据平行线的性质可证明； 【综合运用】由平行线的判定与性质可得，利用角平分线的定义及三角形外角的性质可证明，结合可求解的度数，即可求得的度数，再利用三角形的内角和定理可求解的度数． 【解答】解：【推理证明】 （1）证明：过点作， ， （两直线平行内错角相等）， ，， （平行于同一条直线的两直线平行）， ． ， （等量代换）， 故答案为：两直线平行内错角相等；平行于同一条直线的两直线平行； 【类比探究】 （2）证明：过点作， ，， ； （3）【综合运用】 解：，，， ， ， ， 的平分线和的平分线交于点， ，， ， ， ， ，即， ， ， 解得， ，即， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质求解角的关系是解题的关键． 七．命题与定理 48．（2024春•玄武区校级期中）已知：三条不同的直线，，在同一平面内，①；②；③；④． 请你从①②③④中选择两个作为题设，一个作为结论，用“如果那么”的形式，写出满足下列条件的命题． （1）写出一个真命题，并证明它的正确性； （2）写出一个假命题，并举出反例． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【分析】（1）同一平面内，根据垂直于同一直线的两直线平行；由②③①； （2）假命题：②③④； 【解答】解：（1）如果、、那么； 理由：如图， 、， ，， ， ． （2）如果、、那么； 反例：见上图，如果、、那么． 【点评】本题考查命题与定理、平面内垂直于同一条直线的直线互相平行等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考基础题． 八．推理与论证 49．“并字横”想必大家都应该玩过，两名玩家在的横盘上轮流落子，先将自己的3枚棋子连成一线的玩家获胜，在棋盘摆放确定之后，一共有8种可能的胜利方法，如图： 考虑两名玩家在的立方体上轮流落子的“立体并字俱”，先将自己4枚棋子连成一线的玩家获胜，那么在立方体摆放确定之后，“立体并字填”一共有　76　种胜利方法． 【分析】根据题意，分三种情形画出图形，统计符合条件的情形即可解决问题． 【解答】解：分三种情形：①如图1中，4棵同颜色的棋在同一个桩柱上时，有16种情形． ②如图2中，4棵同颜色的棋在同一个层面上，有种情形． ③如图3中，4棵同颜色的棋在不同的桩柱上（即对角线），有20种情形． 综上所述，共有（种 【点评】本题考查四子立体图形，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考创新题型． 50．（2005•昆山市自主招生）将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，不同的种植方法共有　42　种． 【分析】第一块田有3种选择方法，第二、三、四、五块田均有2种选择方法，因此共有种种植方法，而这48种方法中，包含了只种两种作物的可能，因此要将其除去，只种两种作物时，不同的种法有种，因此本题的种植方法共有种． 【解答】解：第一块田有3种种植方法，第二、三、四、五块田均有2种种植方法， 因此共有种种植方法； 其中，有种是只种两种作物的种植方法， 因此所求的种植方法有种． 故答案为：42． 【点评】用分步计数法易求得总的种植方法，但是很多同学容易忽略只种2种作物的情况，因此做题时要读清题意，细心求解． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$