第5章 二元一次方程组 基础题过关检测【10个考点50题专练】2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第5章 二元一次方程组 基础题过关检测【10个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版数学八年级上册 考点梳理 一．二元一次方程的定义 二．二元一次方程的解 三．解二元一次方程 四．二元一次方程的应用 五．二元一次方程组的解 六．解二元一次方程组 七．由实际问题抽象出二元一次方程组 八．二元一次方程组的应用 九．解三元一次方程组 一十．一次函数与二元一次方程（组） 考点精讲精练 一．二元一次方程的定义 · 二元一次方程的定义 （1）二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． （2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．1．（2024春•临湘市期中）下列方程是二元一次方程的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•仓山区校级期末）已知是关于，的二元一次方程，则　　． 3．（2024春•义乌市期中）是关于，的二元一次方程，则　　． 4．（2024春•南川区期中）若方程是关于，的二元一次方程，则的值为 　　． 二．二元一次方程的解 · 二元一次方程的解 （1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 5．（2024春•惠州期中）二元一次方程的一组解是，则　 　． 6．（2024•新吴区一模）写出一个解为的二元一次方程 　　． 7．（2024春•岱岳区期中）方程的正整数解有 　　个． 8．（2024春•衡阳月考）若是二元一次方程的一个解，则的值为 　　． 三．解二元一次方程 · 解二元一次方程 二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 9．（2024春•鹿城区校级期中）已知二元一次方程，用关于的代数式表示，则　　． 10．（2024春•东西湖区期中）在方程中，用含有的式子表示，则　　． 11．（2024春•南关区期中）已知，用含的代数式表示，则　　． 四．二元一次方程的应用 · 二元一次方程的应用 二元一次方程的应用 （1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程． （4）根据未知数的实际意义求其整数解． 12．（2024•龙江县一模）某宾馆有单人间，双人间，三人间三种客房供游客选择居住，现某旅游团有18名游客同时安排居住在该宾馆，若每个房间都住满，共租了8间客房，则居住方案有　　 A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 五．二元一次方程组的解 · 二元一次方程组的解 （1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． （2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 13．（2024春•桥西区校级期中）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的值为　　 A． B． C．1 D． 14．（2024春•兰考县期中）已知是二元一次方程组的解，则的值是　　 A．7 B．5 C．4 D．3 15．（2024春•丰城市校级月考）已知关于、的方程组，望望由于看错了方程①中的，因此得到方程组的解为，贝贝看错了方程②中的，从而得到方程组的解为，那么的值为 　　． 16．（2024春•高坪区校级期中）解方程组时，小红同学把看错，得到的错解是，而正确的解是，求的值． 17．（2024春•南岗区校级月考）已知关于，的方程组的解是，求关于，的方程组的解． 18．（2024春•郸城县期中）已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解．求、的值． 19．（2024春•巨野县期中）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于，的二元一次方程组的解满足③，求的值． （1）按照小云的方法，的值为 　　，的值为 　　； （2）请按照小辉的思路求出的值． 六．解二元一次方程组 · 解二元一次方程组 （1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解． （2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示． 20．（2023秋•白银期末）已知方程组，①②，得　　 A． B． C． D． 21．（2023春•二道区校级期中）小红同学在解关于和的二元一次方程组时，利用①②就将未知数消去了，则和应该满足的条件是　　 A． B． C． D． 22．（2024春•印江县月考）二元一次方程组，最适合用下列哪种消元法求解　　 A．代入消元法 B．加减消元法 C．代入消元法或加减消元法 D．无法确定 23．（2024春•宜阳县期中）二元一次方程组的解为 　　． 24．（2024春•惠安县期中）已知关于，的二元一次方程的解如表： 0 1 4 2 关于，的二元一次方程的解如表： 0 1 4 1 则关于，的二元一次方程组的解是 　　． 25．（2024春•萧山区期中）已知关于，的二元一次方程的解如表： 0 1 4 2 关于，的二元一次方程的解如表： 0 1 4 1 则关于，的二元一次方程组的解是 　　． 26．（2024•海珠区一模）解方程组． 27．（2024•温岭市一模）（1）计算：； （2）解方程组：． 28．（2024•开福区校级模拟）解方程组：． 29．（2024春•越秀区校级期中）解列方程组． 30．（2024春•武昌区校级期中）解方程组： （1）（代入法）； （2）（加减法）． 七．由实际问题抽象出二元一次方程组 · 由实际问题抽象出二元一次方程组 （1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 31．（2024春•德化县期中）如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的质量相等，且每个果冻的质量也相等，设1块巧克力的质量为克，1个果冻的质量为克，则可列方程组　　 A． B． C． D． 32．（2024春•长寿区校级期中）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为人，物价为钱，以下列出的方程组正确的是　　 A． B． C． D． 33．（2024•泉州模拟）现代办公纸张通常以，，，，等标记来表示纸张的幅面规格，一张纸可裁成2张纸或4张纸．现计划将100张纸裁成纸和纸，两者共计300张，设可裁成纸张，纸张，根据题意，可列方程组　　 A． B． C． D． 34．一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是30；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5、余数是6．这个两位数是多少？设这个两位数的十位数字是，个位数字是，则下列方程组正确的是　　 A． B． C． D． 35．（2024春•仁寿县期中）在《九章算术》的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，若图1所示的算筹图表示的方程组为，则图2所表示的方程组的解为 　　． 八．二元一次方程组的应用 · 二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 36．（2024春•万州区校级期中）在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积之和为　　 A．48 B．72 C．36 D．24 37．（2024•宣城模拟）我们知道自行车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶6000公里报废，后轮行驶4000公里报废，如果在自行车行驶若干公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶　　公里． A．4250 B．4750 C．4800 D．5000 38．（2023秋•利辛县期末）如图，王英家客厅的电视背景墙是由8块形状大小相同的长方形墙砖砌成，已知电视背景墙的长度为，则每一块长方形墙砖的面积为　　 A． B． C． D． 39．（2024春•鲤城区校级期中）如图，长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形，相关数据如图中所示，则图中阴影部分的面积为　　 A．18 B．20 C．22 D．24 40．（2024•蓬江区一模）杜阮凉瓜肉厚脆口，甘而不苦，是全国农产品地理标志．某公司经营该农产品，零售一箱该农产品的利润是80元，批发一箱该农产品的利润是50元． （1）已知该公司某月卖出150箱这种农产品共获利润9000元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？ （2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的．现该公司要经营1000箱这种农产品，问：应该如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？ 41．（2024春•仁寿县期中）2022年上半年在抗击新冠肺炎疫情期间，全国上下万众一心为上海捐赠物资．某物流公司运送捐赠物资，已知用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨． （1）求1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）该物流公司现有80吨货物需要运送，计划同时租用型车辆，型车辆（每种车辆至少1辆且型车数量少于型车），一次运完且恰好每辆车都装满货物．请问有哪几种租车方案？ 42．（2023秋•福田区校级期末）2023年夏天，成都将举办第31届世界大学生夏季运动会，成都掀起了一股热爱体育的热潮，为响应积极锻炼的同学们，西川中学计划同时购进一批篮球和排球，若购进2个篮球和1个排球，共需要资金280元；若购进3个篮球和2个排球，共需要资金460元． （1）求篮球和排球的价格分别为多少元？ （2）学校计划购进两种球类共20个，商场售出一个篮球，利润率为，一个排球的进价为50元．为了促销，商场决定每售出一个排球，返还现金元，而篮球售价不变，要使商场所有购买方案获利相同，求的值． 43．（2024春•南宁期中）某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足球共需540元．求每个篮球和每个足球的售价？ 九．解三元一次方程组 · 解三元一次方程组 （1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． （2）解三元一次方程组的一般步骤： ①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 44．（2024春•华安县期中）解下列方程或方程组： （1）； （2）； （3）； （4）． 45．（2024春•仁寿县校级期中）已知等式，且当时；，当时；当时； （1）求、、的值； （2）当时，的值又是多少？ 一十．一次函数与二元一次方程（组） · 一次函数与二元一次方程（组） （1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． （2）二元一次方程（组）与一次函数的关系 （3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义． 46．（2023秋•和平县期末）如图，直线与交点的横坐标为3，则关于，的二元一次方程组的解为　　 A． B． C． D． 47．（2023秋•长丰县期末）如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得，关于，的二元一次方程组的解是　　 A． B． C． D． 48．（2023秋•龙华区期末）一次函数与的图象如图所示，则下列说法不正确的是　　 A．， B．这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积为4.5 C．关于，的方程组的解为 D．当从0开始增加时，函数比的值先达到3 49．（2024•阿荣旗一模）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于，的方程组的解是　　 A． B． C． D． 50．（2024春•石家庄期中）若用图象法解二元一次方程组时所画的图象如图所示，则该方程组的解是　　 A． B． C． D． 第5章 二元一次方程组 基础题过关检测【10个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版数学八年级上册 参考答案与试题解析 一．二元一次方程的定义 1．（2024春•临湘市期中）下列方程是二元一次方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程进行分析即可． 【解答】解：．只有一个未知数，不是二元一次方程； ．是二元一次方程，选项符合题意； ．含未知数项的最高次数为2，不是二元一次方程； ．不是整式方程，所以不是二元一次方程； 故选：． 【点评】本题主要考查了二元一次方程的定义，解答本题的关键要掌握：含有两个未知数，并且含未知数项的次数都为1，这样的整式方程叫二元一次方程． 2．（2023秋•仓山区校级期末）已知是关于，的二元一次方程，则　2　． 【答案】2． 【分析】根据二元一次方程的定义即可得到答案． 【解答】解：是关于，的二元一次方程， ， 解得． 故答案为：2． 【点评】此题考查的是二元一次方程的定义及绝对值，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程． 3．（2024春•义乌市期中）是关于，的二元一次方程，则　1　． 【答案】1． 【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数是1的整式方程叫做二元一次方程，由此解答即可． 【解答】解：是关于，的二元一次方程， ，， 解得， 故答案为：1． 【点评】本题考查了二元一次方程的定义，熟知这个定义是解题的关键． 4．（2024春•南川区期中）若方程是关于，的二元一次方程，则的值为 　1　． 【答案】1． 【分析】根据二元一次方程的定义列式进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意得． 故答案为：1． 【点评】本题考查了二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的最高次项的次数是1的整式方程，要注意未知项的系数不等于0． 二．二元一次方程的解 5．（2024春•惠州期中）二元一次方程的一组解是，则　　． 【分析】知道了方程的解，可以把这对数值代入方程，得到一个含有未知数的一元一次方程，从而可以求出的值． 【解答】解：把代入，得 ， 解得． 【点评】解题关键是把方程的解代入原方程，把关于和的方程转换为的一元一次方程，求解即可． 6．（2024•新吴区一模）写出一个解为的二元一次方程 　（答案不唯一）　． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】将，的值代入中，即可得出结论． 【解答】解：当，时，， 二元一次方程的一组解为． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了二元一次方程的解，牢记“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”是解题的关键． 7．（2024春•岱岳区期中）方程的正整数解有 　2　个． 【答案】2． 【分析】根据解为正整数列举即可． 【解答】解：方程的正整数解有，，共2个， 故答案为：2． 【点评】本题考查了二元一次方程的解，熟知二元一次方程的解的情况是解题的关键． 8．（2024春•衡阳月考）若是二元一次方程的一个解，则的值为 　2024　． 【答案】2024． 【分析】由题意知，，根据，代值求解即可． 【解答】解：是二元一次方程的一个解， 把代入，得， ， 故答案为：2024． 【点评】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值．熟练掌握二元一次方程的解，代数式求值是解题的关键． 三．解二元一次方程 9．（2024春•鹿城区校级期中）已知二元一次方程，用关于的代数式表示，则　　． 【答案】． 【分析】把看作常数，解关于的一元一次方程即可解得． 【解答】解：， 移项得，． 故答案为：． 【点评】本题考查了解二元一次方程，关键在于把看作常数． 10．（2024春•东西湖区期中）在方程中，用含有的式子表示，则　　． 【答案】． 【分析】移项即可． 【解答】解：， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了二元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 11．（2024春•南关区期中）已知，用含的代数式表示，则　　． 【答案】． 【分析】先根据等式的性质方程两边都加，再根据等式的性质方程两边都除以2即可． 【解答】解：， 移项，得， 方程两边都除以2，得． 故答案为：． 【点评】本题考查了解二元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 四．二元一次方程的应用 12．（2024•龙江县一模）某宾馆有单人间，双人间，三人间三种客房供游客选择居住，现某旅游团有18名游客同时安排居住在该宾馆，若每个房间都住满，共租了8间客房，则居住方案有　　 A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】 【分析】首先设宾馆有客房：单人间间、二人间间、三人间间，根据题意可得方程组：，解此方程组可得，又由，，是非负整数，即可求得答案． 【解答】解：设宾馆有客房：单人间间、二人间间、三人间间，根据题意可得， ， 解得：， ， ，，都是小于8的非负整数， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，． 租房方案有4种． 故选：． 【点评】此题考查了三元一次不定方程组的应用．此题难度较大，解题的关键是理解题意，根据题意列方程组，然后根据，，是整数求解，注意分类讨论思想的应用． 五．二元一次方程组的解 13．（2024春•桥西区校级期中）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的值为　　 A． B． C．1 D． 【答案】 【分析】依据题意将题干中的三个方程重新组成方程组，解方程组，将方程组的解代入含的方程中即可求解． 【解答】解：由题意：， ①②得：． ． 将代入②中得：． ． 将代入得： ． ． 故选：． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解法，二元一次方程的解，将题干中的三个方程重新组成方程组是解题的关键． 14．（2024春•兰考县期中）已知是二元一次方程组的解，则的值是　　 A．7 B．5 C．4 D．3 【答案】 【分析】先代入方程组的解可得，再把两个方程相加即可． 【解答】解：由题意得：， ①②得：， 故选：． 【点评】本题考查的是二元一次方程的解的含义，二元一次方程组的特殊解法，解答本题的关键是熟练掌握加减消元法解二元一次方程． 15．（2024春•丰城市校级月考）已知关于、的方程组，望望由于看错了方程①中的，因此得到方程组的解为，贝贝看错了方程②中的，从而得到方程组的解为，那么的值为 　2　． 【答案】2． 【分析】根据题意，把代入②，即可求出的值，把代入①，即可求出的值，然后把、的值代入代数式计算即可． 【解答】解：把代入方程中，得， 解得， 把代入方程中，得，， 解得， ， 故答案为：2． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，理解题意，正确求出、的值是解题的关键． 16．（2024春•高坪区校级期中）解方程组时，小红同学把看错，得到的错解是，而正确的解是，求的值． 【答案】． 【分析】把代入得关于的方程，求出，再把和代入得关于，的方程组，解方程组，求出，，最后把，，的值代入所求代数式进行计算即可． 【解答】解：把代入得：，解得： 把和代入得：， ①②得：， 把代入②得：， ． 【点评】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握方程组的解是使各个方程左右两边相等的未知数的值． 17．（2024春•南岗区校级月考）已知关于，的方程组的解是，求关于，的方程组的解． 【答案】． 【分析】根据题意可把新方程中可变形为，然后把，看作整体，相当于方程组中的和且其对应值是1和2，据此构造新方程组求解即可． 【解答】解：， ， 关于，的方程组的解是， ， 解得：． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 18．（2024春•郸城县期中）已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解．求、的值． 【答案】，． 【分析】根据二元一次方程组解的定义先求出，，进而再组成方程组求出，即可． 【解答】解：由题意得：， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：， 把代入， 化简得， ①得：③， ②③得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 【点评】本题考查的是二元一次方程组的解，根据解的定义求出，的值是求解本题的关键． 19．（2024春•巨野县期中）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于，的二元一次方程组的解满足③，求的值． （1）按照小云的方法，的值为 　5　，的值为 　　； （2）请按照小辉的思路求出的值． 【分析】（1）根据题意列方程组求解即可； （2）利用整体代入的方法求解即可． 【解答】解：（1）③①，得， 把代入①，得， 解得， 故答案为：5；； （2）①②，得， 即， ， ， ， 解得． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，掌握消元以及整体代入的思想方法是解答本题的关键． 六．解二元一次方程组 20．（2023秋•白银期末）已知方程组，①②，得　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由①②得到，从而作出判断． 【解答】解：， ①②得，， 故选：． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 21．（2023春•二道区校级期中）小红同学在解关于和的二元一次方程组时，利用①②就将未知数消去了，则和应该满足的条件是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据求和后直接消去，令的系数为0即可． 【解答】解：， ①②得， ①②可直接消去未知数， ，故正确． 故选：． 【点评】本题考查了加减消元法解方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 22．（2024春•印江县月考）二元一次方程组，最适合用下列哪种消元法求解　　 A．代入消元法 B．加减消元法 C．代入消元法或加减消元法 D．无法确定 【答案】 【分析】根据两个式子分别有，，运用加减消元进行消，能快速求出的值，即可作答． 【解答】解：二元一次方程组两个式子分别有，， 运用加减消元进行消，能快速求出的值 故选：． 【点评】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是关键． 23．（2024春•宜阳县期中）二元一次方程组的解为 　　． 【答案】 【分析】对于方程组，由②得③，将③代入①可求出，进而再解出即可得原方程组的解． 【解答】解：对于方程组， 由②得：③， 将③代入①，得：， 解得：， 将代入③，得：， 原方程组的解为：． 【点评】此题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解决问题的关键． 24．（2024春•惠安县期中）已知关于，的二元一次方程的解如表： 0 1 4 2 关于，的二元一次方程的解如表： 0 1 4 1 则关于，的二元一次方程组的解是 　　． 【答案】． 【分析】先有表格求出的解，再根据两个方程组个关系求解． 【解答】解：由表可得：的解为：， 二元一次方程组的解为：， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握方程组的解与系数的关系是解题的关键． 25．（2024春•萧山区期中）已知关于，的二元一次方程的解如表： 0 1 4 2 关于，的二元一次方程的解如表： 0 1 4 1 则关于，的二元一次方程组的解是 　　． 【答案】． 【分析】先由表格求出的解，再根据两个方程组个关系求解． 【解答】解：由表可得：的解为：， 将整理得： ， 关于，的二元一次方程组的解为：， ， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握方程组的解与系数的关系是解题的关键． 26．（2024•海珠区一模）解方程组． 【答案】． 【分析】应用加减消元法，求出方程组的解即可． 【解答】解：， ①②，可得， 解得， 把代入①，可得：，解得， 原方程组的解是． 【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键． 27．（2024•温岭市一模）（1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）3； （2）． 【分析】（1）先根据零指数幂和绝对值进行计算，再算加法即可； （2）①②得出，求出，再把代入①求出即可． 【解答】解：（1） ； （2）， ①②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 所以方程组的解是． 【点评】本题考查了零指数幂，实数的混合运算和解二元一次方程组，能正确根据实数的运算法则进行计算是解（1）的关键，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解（2）的关键． 28．（2024•开福区校级模拟）解方程组：． 【答案】． 【分析】先把方程组化简成一般形式，然后利用加减消元和代入消元法求出未知数的值即可． 【解答】解：方程组化简为：， ②得：③， ①③得：， 把代入②得：， 方程组的解为：． 【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤． 29．（2024春•越秀区校级期中）解列方程组． 【答案】． 【分析】利用加减法解二元一次方程组即可． 【解答】解：由①，得③， 由②③，得， 解得． 把代入①，得， 解得， 原方程组的解是． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题关键． 30．（2024春•武昌区校级期中）解方程组： （1）（代入法）； （2）（加减法）． 【分析】（1）把①代入②，消去，得到关于的一元一次方程，解方程求出，再把的值代入①，求出即可； （2）把①②，消去，求出，再把求出的的值代入①，求出即可． 【解答】解：（1）， 把①代入②得：， ， ， ， 把代入①得：， 方程组的解为：； （2）， ①得：③， ③②得：， 把代入①得：， 方程组的解为：． 【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用加减和代入消元法解二元一次方程组． 七．由实际问题抽象出二元一次方程组 31．（2024春•德化县期中）如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的质量相等，且每个果冻的质量也相等，设1块巧克力的质量为克，1个果冻的质量为克，则可列方程组　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即三块巧克力的质量两个果冻的质量，一块巧克力的质量一个果冻的质量克．根据这两个等量关系式可列一个方程组． 【解答】解：设每块巧克力的重量为克，每块果冻的重量为克． 由题意列方程组得：， 故选：． 【点评】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据图表信息列出方程组解决问题． 32．（2024春•长寿区校级期中）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为人，物价为钱，以下列出的方程组正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可． 【解答】解：设合伙人数为人，物价为钱，根据题意可得： ， 故选：． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量是解题的关键． 33．（2024•泉州模拟）现代办公纸张通常以，，，，等标记来表示纸张的幅面规格，一张纸可裁成2张纸或4张纸．现计划将100张纸裁成纸和纸，两者共计300张，设可裁成纸张，纸张，根据题意，可列方程组　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一张纸可裁成2张纸或4张纸，可以得出张纸由张纸裁剪而成，张纸由张纸裁剪而成，根据纸100张，得出；再根据纸和纸共计300张，得出即可． 【解答】解：根据题意得：， 故选：． 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是找到等量关系列出方程组． 34．一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是30；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5、余数是6．这个两位数是多少？设这个两位数的十位数字是，个位数字是，则下列方程组正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是30，可得；根据这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是6，可得，即可得出答案． 【解答】解：根据题意得：． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，要求会表示两位数，会找出列方程组需要的两个等量关系是解题的关键． 35．（2024春•仁寿县期中）在《九章算术》的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，若图1所示的算筹图表示的方程组为，则图2所表示的方程组的解为 　　． 【答案】． 【分析】根据图1所表示的方程组可得出图2所表示的方程组，解之即可得出图2所表示的方程组的解． 【解答】解：依题意得：图2所表示的方程组为， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题列出二元一次方程组以及解二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 八．二元一次方程组的应用 36．（2024春•万州区校级期中）在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积之和为　　 A．48 B．72 C．36 D．24 【答案】 【分析】设小长方形的长、宽分别为 ， ，根据图示可以列出方程组，然后解方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积． 【解答】解：设小长方形的长、宽分别为 ， ， 依题意得， 解之得， 小长方形的长、宽分别为，， ． 故选：． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于、的二元一次方程组是解题的关键． 37．（2024•宣城模拟）我们知道自行车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶6000公里报废，后轮行驶4000公里报废，如果在自行车行驶若干公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶　　公里． A．4250 B．4750 C．4800 D．5000 【答案】 【分析】设每个新轮胎报废时的总磨损量为，一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里，根据交换前磨损总量和交换后的磨损总量相等，可列出方程组，解方程组即可． 【解答】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为， 则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为， 设一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里， 由题意得， 两式相加，得， 解得， 答：轮胎最多可以行驶4800公里 故选：． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键． 38．（2023秋•利辛县期末）如图，王英家客厅的电视背景墙是由8块形状大小相同的长方形墙砖砌成，已知电视背景墙的长度为，则每一块长方形墙砖的面积为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设一块长方形墙砖的长为 ，宽为 ，然后用、的代数式分别表示出长方形的长为，两条宽分别为 ， ，进而根据长方形的性质列出方程组，解方程组得到、的值，再根据长方形面积计算公式即可求出面积． 【解答】解：设一块长方形墙砖的长为 ，宽为 ，依题意得， ， 解得， 每一块长方形墙砖的面积为： 答：每一块长方形墙砖的面积为． 故选：． 【点评】此题考查了二元一次方程组的实际应用，长方形的性质，根据长方形的两组对边分别相等列出方程组是解题的关键． 39．（2024春•鲤城区校级期中）如图，长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形，相关数据如图中所示，则图中阴影部分的面积为　　 A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】 【分析】先设小长方形的长为，宽为，然后根据图形可得：，然后求解，再根据图形可知阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积，计算即可． 【解答】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可得：， 解得， ， 故选：． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 40．（2024•蓬江区一模）杜阮凉瓜肉厚脆口，甘而不苦，是全国农产品地理标志．某公司经营该农产品，零售一箱该农产品的利润是80元，批发一箱该农产品的利润是50元． （1）已知该公司某月卖出150箱这种农产品共获利润9000元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？ （2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的．现该公司要经营1000箱这种农产品，问：应该如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？ 【答案】（1）该公司当月零售这种农产品50箱，批发这种农产品100箱； （2）该公司零售400箱，批发600箱，才能使总利润最大，最大总利润是62000元． 【分析】（1）设该公司当月零售这种农产品箱，批发这种农产品箱，根据该公司某月卖出150箱这种农产品共获利润9000元可得；，即可解得答案； （2）设该公司零售箱，总利润为元，由零售的数量不能多于总数量的得，而，根据一次函数性质可得答案． 【解答】解：（1）设该公司当月零售这种农产品箱，批发这种农产品箱， 根据题意得；， 解得， 该公司当月零售这种农产品50箱，批发这种农产品100箱； （2）设该公司零售箱，总利润为元，则批发箱， 零售的数量不能多于总数量的， ，即， 根据题意得：， ， 随增大而增大， 当时，取最大值（元， 此时， 该公司零售400箱，批发600箱，才能使总利润最大，最大总利润是62000元． 【点评】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式． 41．（2024春•仁寿县期中）2022年上半年在抗击新冠肺炎疫情期间，全国上下万众一心为上海捐赠物资．某物流公司运送捐赠物资，已知用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨． （1）求1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）该物流公司现有80吨货物需要运送，计划同时租用型车辆，型车辆（每种车辆至少1辆且型车数量少于型车），一次运完且恰好每辆车都装满货物．请问有哪几种租车方案？ 【答案】（1）1辆型车装满货物一次可运货3吨，1辆型车装满货物一次可运货4吨； （2）共有2种租车方案， 方案1：租用型车4辆，型车17辆； 方案2：租用型车8辆，型车14辆． 【分析】（1）设1辆型车装满货物一次可运货吨，1辆型车装满货物一次可运货吨，根据“用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据租用的两种车一次运完80吨货物且恰好每辆车都装满货物，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数且，即可得出各租车方案． 【解答】解：（1）设1辆型车装满货物一次可运货吨，1辆型车装满货物一次可运货吨， 根据题意得：， 解得：． 答：1辆型车装满货物一次可运货3吨，1辆型车装满货物一次可运货4吨． （2）根据题意得：， ， ，均为正整数，且， 或， 共有2种租车方案， 方案1：租用型车4辆，型车17辆； 方案2：租用型车8辆，型车14辆． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 42．（2023秋•福田区校级期末）2023年夏天，成都将举办第31届世界大学生夏季运动会，成都掀起了一股热爱体育的热潮，为响应积极锻炼的同学们，西川中学计划同时购进一批篮球和排球，若购进2个篮球和1个排球，共需要资金280元；若购进3个篮球和2个排球，共需要资金460元． （1）求篮球和排球的价格分别为多少元？ （2）学校计划购进两种球类共20个，商场售出一个篮球，利润率为，一个排球的进价为50元．为了促销，商场决定每售出一个排球，返还现金元，而篮球售价不变，要使商场所有购买方案获利相同，求的值． 【分析】（1）设篮球每个元，排球每个元，根据题意建立方程组求解即可得出答案； （2）设学校购进篮球个，则购进排球个，商场获利为元，根据题意得出，根据商场所有购买方案获利相同，即与无关，得到，据此解答即可． 【解答】解：（1）设篮球每个元，排球每个元， 根据题意得， 解得， 答：篮球每个100元，排球每个80元； （2）设学校购进篮球个，则购进排球个，商场获利为元， 篮球的进价为（元， 根据题意得，， 商场所有购买方案获利相同，即与无关， ， ． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 43．（2024春•南宁期中）某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足球共需540元．求每个篮球和每个足球的售价？ 【答案】每个篮球的售价是100元，每个足球的售价是120元． 【分析】设每个篮球的售价是元，每个足球的售价是元，根据“购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足球共需540元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设每个篮球的售价是元，每个足球的售价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：每个篮球的售价是100元，每个足球的售价是120元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 九．解三元一次方程组 44．（2024春•华安县期中）解下列方程或方程组： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答； （2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答； （3）利用代入消元法进行计算，即可解答； （4）利用代入消元法进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ； （3）， 由①得：③， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， 原方程组解为：； （4）， 将①代入③得：， 解得：， 把代入②可得：， 解得：， 把，代入③得：， 解得：， 原方程组的解为：． 【点评】本题考查了解一元一次方程，二元一次方程组，三元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 45．（2024春•仁寿县校级期中）已知等式，且当时；，当时；当时； （1）求、、的值； （2）当时，的值又是多少？ 【答案】（1）、、的值分别是2，，1； （2）15． 【分析】（1）②①，得④，③②，得⑤，然后求出、的值，再代入①即可求出的值； （2）把、、的值代入等式，得到，再将的值代入计算即可． 【解答】解：（1）由题意得， ， ②①，得④， ③②，得，即⑤， ④与⑤组成方程组得， 解得， 把代入①，得， 、、的值分别是2，，1； （2）由（1）知、、的值分别是2，，1， ， 当时，． 【点评】本题考查了解三元一次方程组，将三元化为二元求解是解题的关键． 一十．一次函数与二元一次方程（组） 46．（2023秋•和平县期末）如图，直线与交点的横坐标为3，则关于，的二元一次方程组的解为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】首先利用待定系数法求出两直线交点的纵坐标，进而可得到两直线的交点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解即可得到答案， 【解答】解：把代入得，， 两直线的交点坐标为， 二元一次方程组的解为， 故选：． 【点评】本题考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，解题的关键是理解和掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解． 47．（2023秋•长丰县期末）如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得，关于，的二元一次方程组的解是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先利用正比例函数解析式确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【解答】解：当时，， 解得，则点的坐标为， 所以关于，的二元一次方程组中的解为． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 48．（2023秋•龙华区期末）一次函数与的图象如图所示，则下列说法不正确的是　　 A．， B．这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积为4.5 C．关于，的方程组的解为 D．当从0开始增加时，函数比的值先达到3 【答案】 【分析】观察来直线与轴的交点即可判断；求得三角形的面积即可判断；由函数与方程组的关系即可判断；根据图象即可判断． 【解答】解：、一次函数与轴的交点为，一次函数与轴的交点为， ，， 选项正确，不合题意； 、一次函数与轴的交点为，一次函数与轴的交点为，两直线的交点为， 这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积为， 选项正确，不合题意； 、两直线的交点为， 关于，的方程组的解为， 选项正确，不合题意； 、由图象可知，当从0开始增加时，函数比的值先达到3， 选项不正确，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与二元一次方程组，数形结合是解题的关键． 49．（2024•阿荣旗一模）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于，的方程组的解是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用一次函数的解析式求得点的坐标，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断． 【解答】解：把点代入得，， ， 一次函数的图象与的图象相交于点， 关于，的方程组的解是， 故选：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 50．（2024春•石家庄期中）若用图象法解二元一次方程组时所画的图象如图所示，则该方程组的解是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据用图象法解二元一次方程组时的方法，找出交点坐标即可完成． 【解答】解：观察图象可知两条直线的交点坐标为， 所以二元一次方程组的解是． 故选：． 【点评】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$