第5章 二元一次方程组 中档题拓展训练【9个考点50题专练】2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第5章 二元一次方程组 中档题拓展训练【9个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版数学八年级上册 考点梳理 一.二元一次方程的解 二.解二元一次方程 三.二元一次方程的应用 四.二元一次方程组的解 五.解二元一次方程组 六.由实际问题抽象出二元一次方程组 七.二元一次方程组的应用 八.三元一次方程组的应用 九.一次函数与二元一次方程(组) 考点精讲精练 一.二元一次方程的解 二元一次方程的解 (1)定义:一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解. (2)在二元一次方程中,任意给出一个未知数的值,总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值,所以二元一次方程有无数解. (3)在求一个二元一次方程的整数解时,往往采用“给一个,求一个”的方法,即先给出其中一个未知数(一般是系数绝对值较大的)的值,再依次求出另一个的对应值. 1.(2024春•临县月考)已知是二元一次方程的一组解,则的值是 A.3 B. C.2 D. 2.(2023秋•太湖县期末)已知关于,的二元一次方程,不论取何值,方程总有一个固定不变的解,这个解是 . 二.解二元一次方程 解二元一次方程 二元一次方程有无数解.求一个二元一次方程的整数解时,往往采用“给一个,求一个”的方法,即先给出其中一个未知数(一般是系数绝对值较大的)的值,再依次求出另一个的对应值. 3.(2024春•农安县期中)已知二元一次方程,用含代数式表示 . 三.二元一次方程的应用 二元一次方程的应用 二元一次方程的应用 (1)找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系. (2)找出题中的两个关键的未知量,并用字母表示出来. (3)挖掘题目中的关系,找出等量关系,列出二元一次方程. (4)根据未知数的实际意义求其整数解. 4.(2024•丛台区校级一模)对于题目:“小丽同学带11元钱去买钢笔和笔记本(两种文具都买),钢笔每支3元,笔记本每本1元,那么钢笔能买多少支?”,甲同学的答案是1支,乙同学的答案是2支,丙同学的答案是3支,则正确的是 A.只有甲的答案对 B.甲、乙答案合在一起才完整 C.甲、乙、丙答案合在一起才完整 D.甲、乙、丙答案合在一起也不完整 5.(2024春•游仙区月考)七一中学八年级全体学生378人前往“两弹城”开展红色研学活动,现有大小两种客车可以租赁.已知大客车能容纳54人,小客车能容纳36人,要使每个人都能上车且各辆车刚好坐满,有几种租车方案? A.3 B.4 C.5 D.6 6.(2024春•南京期末)年级花费120元用来购买甲、乙两种奖品(两种奖品都购买),奖励知识竞赛中的获奖同学,若甲种奖品每件15元,乙种奖品每件10元,则购买方案有 种. 7.(2024•肇东市模拟)学校计划用200元钱购买,两种奖品,奖品每个15元,奖品每个25元,两种都要买且钱全部用完,则购买方案有 种. 8.(2023秋•城关区校级期末)一个两位数,若交换其个位数与十位数的位置,则所得新两位数比原两位数大18,这样的两位数共有 个. 9.(2024•昌吉州一模)甲种电影票每张20元,乙种电影票每张15元,若购买甲、乙两种电影票共40张,恰好用去720元,求甲、乙两种电影票各买了多少张? 四.二元一次方程组的解 二元一次方程组的解 (1)定义:一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解. (2)一般情况下二元一次方程组的解是唯一的.数学概念是数学的基础与出发点,当遇到有关二元一次方程组的解的问题时,要回到定义中去,通常采用代入法,即将解代入原方程组,这种方法主要用在求方程中的字母系数. 10.(2024•凉州区二模)已知关于,的方程组的解是.则关于,的方程组的解是 A. B. C. D. 11.(2024春•南皮县月考)方程组的解为,则“ ”“”代表的两个数分别为 A.4,2 B.1,3 C.0, D.2,3 12.(2024春•崇川区校级月考)若方程组的解是,则方程组的解是 A. B. C. D. 13.(2023秋•蒲城县期末)若关于,的二元一次方程组的解也是关于,的二元一次方程的解,则的值是 A. B. C.2 D.1 14.(2024春•安陆市月考)已知关于,的方程组的解的和是,则 . 15.(2024春•鹤壁月考)(1)写出一个解为的二元一次方程组; (2)以(1)中所写的二元一次方程组,编一道生活中的实际问题,并设出未知数. 16.(2024春•尧都区期中)已知关于,的二元一次方程组,甲由于看错了方程组中的,得到的方程组的解为,乙由于看错了,得到方程组的解为. (1)求,的值. (2)若方程组的解与方程组的解相同,求的值. (3)在(2)的条件下,是否存在的值,使得关于的方程有无数个解?若存在,求的值;若不存在,请说明理由. 17.(2024春•怀化月考)阅读材料,回答问题. 解方程组,时,如果直接用代入消元法或加减消元法求解,运算量比较大,也容易出错,如果把方程组中的和分别看作一个整体,设,,原方程组可化为,解得即,所以原方程组的解为,这种解方程组的方法叫做整体换元法. (1)已知关于,的二元一次方程组的解为,那么在关于,的二元一次方程组中,的值为 ,的值为 ; (2)用材料中的方法解二元一次方程组. 18.(2024春•惠州期中)已知关于,的方程组和有相同的解. (1)求出它们的相同解; (2)求的值. 五.解二元一次方程组 解二元一次方程组 (1)用代入法解二元一次方程组的一般步骤:①从方程组中选一个系数比较简单的方程,将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.②将变形后的关系式代入另一个方程,消去一个未知数,得到一个一元一次方程.③解这个一元一次方程,求出x(或y)的值.④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中,求出另一个未知数的值.⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来,就是方程组的解. (2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤:①方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数,就用适当的数去乘方程的两边,使某一个未知数的系数相等或互为相反数.②把两个方程的两边分别相减或相加,消去一个未知数,得到一个一元一次方程.③解这个一元一次方程,求得未知数的值.④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中,求出另一个未知数的值.⑤把所求得的两个未知数的值写在一起,就得到原方程组的解,用的形式表示. 19.(2023秋•白银期末)已知方程组,①②,得 A. B. C. D. 20.(2024春•海口期中)若,则、的值分别为 A.7,7 B.8,3 C.8, D.7,8 21.(2024春•金华期中)解下列方程组 (1); (2). 22.(2024春•新野县期中)(题目:已知有理数,满足,且,求的值. 三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路: 甲同学:先解关于,的方程组,再求的值; 乙同学:先解方程组,再求的值; 丙同学:将原方程组中的两个方程相加,再求的值. (1)关于上述三种不同思路,完成下列任务: ①正确的打“”,错误的画“” 甲同学的思路 ;乙同学的思路 ;丙同学的思路 ; ②试选择其中一个你认为正确的思路,解答此题; (2)在解关于,的方程组时,可以用①②消去未知数,也可以用①②消去未知数,求和的值. (3)在(2)的条件下,直接写出方程组的解为 . 六.由实际问题抽象出二元一次方程组 由实际问题抽象出二元一次方程组 (1)由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法,它的关键是把已知量和未知量联系起来,找出题目中的相等关系. (2)一般来说,有几个未知量就必须列出几个方程,所列方程必须满足:①方程两边表示的是同类量;②同类量的单位要统一;③方程两边的数值要相符. (3)找等量关系是列方程组的关键和难点,有如下规律和方法: ①确定应用题的类型,按其一般规律方法找等量关系.②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面,有“;”时一般“;”前后各一层,分别找出两个等量关系.③借助表格提供信息的,按横向或纵向去分别找等量关系.④图形问题,分析图形的长、宽,从中找等量关系. 23.(2024•深圳模拟)中国古题《和尚吃馒头》的大意是:大和尚每人吃4个,小和尚4人吃1个.有大小和尚100人,共吃100个馒头.大小和尚各几人?设有大和尚人,小和尚人,根据题意列方程组为 A. B. C. D. 24.(2024•金牛区模拟)某工厂去年的利润(总产值总支出)为200万元.今年总产值比去年增加了,总支出比去年减少了,今年的利润为780万元.去年的总产值、总支出各是多少万元?设去年的总产值为万元,总支出为万元,则可列方程组为 A. B. C. D. 25.(2024•桥西区校级二模)某份资料计划印制1000份,该任务由,两台印刷机先后接力完成,印刷机印制150份,印刷机印制200份.两台印刷机完成该任务共需.甲、乙两人所列的方程组如图所示,下列判断正确的是 甲 解:设印刷机印制了, 印刷机印制了. 由题意,得 乙 解:设印刷机印制了份, 印刷机印制了份. 由题意,得 A.只有甲列的方程组正确 B.只有乙列的方程组正确 C.甲和乙列的方程组都正确 D.甲和乙列的方程组都不正确 26.(2024•红花岗区一模)如图,用10个形状、大小完全相同的小长方形拼成一个大长方形,设每个小长方形的长和宽分别为 和 ,则可列方程组为 A. B. C. D. 27.(2024春•海淀区校级期中)如图,长青化工厂从地购买原料运回工厂,制成产品后运到地销售,该工厂与、两地有公路、铁路相连,公路运价为1.5元(吨千米),铁路运价为1.2元(吨千米),这两次运输共支出公路运费15000元,铁路运费97200元.请问该工厂的原料和产品各重有多少吨?若设原料重吨,产品重吨,则可以列方程组 A. B. C. D. 28.(2024春•越秀区校级期中)“践行垃圾分类助力双碳目标”主题班会结束后,甲和乙一起收集了一些废电池,甲说:“我比你多收集了7节废电池.”乙说:“如果你给我9节废电池,我的废电池数量就是你的2倍”设甲收集了节废电池,乙收集了节废电池,根据题意可列方程组为 A. B. C. D. 29.(2024春•海淀区校级期中)如图,小方同学位于玉渊潭公园,小程同学在小方北侧1800米处的花园桥.两人同时出发相向而行,10分钟后相遇;两人同时向北而行,小方90分钟后追上小程.设小方的平均速度为米分钟,小程的平均速度为米分钟,则根据题意可列方程组 . 30.(2024春•北京期中)科学研究表明:树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物,具有滞尘净化空气的作用,已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克,两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克.设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克,一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克.依据题意,可列方程组为 . 七.二元一次方程组的应用 二元一次方程组的应用 (一)列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤: (1)审题:找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系. (2)设元:找出题中的两个关键的未知量,并用字母表示出来. (3)列方程组:挖掘题目中的关系,找出两个等量关系,列出方程组. (4)求解. (5)检验作答:检验所求解是否符合实际意义,并作答. (二)设元的方法:直接设元与间接设元. 当问题较复杂时,有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数,即为间接设元.无论怎样设元,设几个未知数,就要列几个方程. 31.(2023秋•渠县期末)为筑牢拒毒防线,提升青少年识毒能力,2022年秋季学期花溪区某校举行“珍爱生命,远离毒品”知识竞赛活动,评分标准是:答对一题加10分,答错一题扣5分,不回答扣2分;一共10个题,每个队的基本分均为0分,、两个参赛队前8题的答题情况如表,则与的值分别为 参赛队 题目数量(题 答对(题 答错(题 不回答(题 得分(分 8 6 0 2 56 8 0 35 A., B., C., D., 32.(2024春•梁溪区校级月考)古代一歌谣:栖树一群鸦,鸦树不知数;三个坐一棵,五个地上落;五个坐一棵,闲了一棵树.意思是说,有一群乌鸦到树林休息,如果每棵树上有3只乌鸦,则有5只落在地上;如果每棵树上有5只乌鸦,则有一棵树上没有乌鸦,则共有 只乌鸦. 33.(2024•沙洋县模拟)《孙子算经》中有这样一道题,原文是:“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺.木长几何?”意思是:用一根绳子去量一根长木,绳子还剩余4.5尺.将绳子对折再量长木,长木还剩余1尺,问木长和绳长各是多少尺? 答:木长 尺;绳子长 尺. 34.(2024•甘肃二模)某校在劳动周组织学生到校园周边种植甲、乙两种树苗.已知购买3棵甲种树苗、2棵乙种树苗共需12元;购买1棵甲种树苗、3棵乙种树苗共需11元.那么每棵甲种树苗的价格为 元. 35.(2024春•大连期中)如图,小强和小红一起搭积木,小强所搭的小塔高度为28厘米,小红所搭的小树高度为27厘米,设每块型积木的高为厘米,每块型积木的高为厘米,那么 厘米. 36.(2024春•单县期中)千佛山、趵突泉、大明湖并称济南三大风景名胜区,为了激发学生个人潜能和团队精神,某学校组织学生去千佛山开展素质拓展活动.已知千佛山景区成人票每张30元,学生票按成人票五折优惠.某班教师加学生一共去了50人,门票共需810元. (1)这个班参与活动的教师和学生各多少人?(应用二元一次方程组解决) (2)该班在购买活动奖品时,奖品每件20元,奖品每件50元.如果准备用200元购买,两种奖品元恰好用完,两种奖品都有),请你帮班级设计出购买,两种奖品的购买方案. 37.(2023秋•城关区校级期末)某店准备促销“种盲盒”和“种盲盒”,已知“种盲盒”的成本为10元个,售价为20元个,“种盲盒”的成本为12元个,售价为24元个,第一天销售这两种盲盒共136个,获利1432元. (1)求第一天这两种盲盒的销量分别是多少个; (2)经过第一天的销售后,这两种盲盒的库存发生了变化,为了更好的销售这两种盲盒,店主决定把“种盲盒”的售价在原来的基础上增加元,“种盲盒”的售价在原来的基础上减少元,“种盲盒”的销量在原来的基础上减少了10个,“种盲盒”的销量在原来的基础上增加了24个,但两种盲盒的成本不变,结果获利比第一天多134元.求的值. 38.(2024春•荔湾区期中)源翰制衣厂某车间现有24名制作服装的工人,每天都制作某种品牌的衬衫和裤子,每人每天可制作这种衬衫3件或裤子5条.已知制作一件衬衫可获得利润30元,制作一条裤子可获得利润16元,若该厂要求每天获得利润2100元,则需要安排多少名工人制作衬衫? 39.(2024春•南皮县月考)学校打算购买,两种教具,若购买60件种教具和30件种教具共需花费1650元;购买50件种教具和10件种教具共需花费1150元. (1)求种教具和种教具的单价; (2)实际购买时,发现厂家有两种优惠方案.方案一:购买种教具超过20件时,超过的部分按原价的8折付款,种教具没有优惠;方案二:无论购买多少件,教具,两种教具都按原价的9折付款.该校决定购买且为整数)件种教具和40件种教具. 请根据上述信息填空. ①方案一需花费 元;方案二需花费 元(用含的代数式表示);当 时,方案一与方案二的花费相同,此时花费金额为 ; ②当时,方案 更优惠(填“一”或“二” . 40.(2023秋•萍乡期末)萍乡市湘东区有“中国工业陶瓷之都”的美称,湘东区的陶瓷热销全国各地在某次商品交易会上,某陶瓷企业出售了,两种产品:已知出售1件产品和3件产品共收入1100元,出售2件产品和5件产品共收入1900元. (1)求产品和产品每件的售价; (2)若出售,两种产品(均有销售)共收入2200元,则出售,两种产品各几件? 41.(2024春•北碚区校级月考)阅读材料:“哑子来买肉,难言钱数目,一斤少四十,九两多十六,试问能算者,应得多少肉?(所带的钱买16两肉还差40文,买9两肉又多出16文,问所带钱能买多少肉?”这又是一个歌谣体的古算题,见明程大位《算法统宗》书中. 古算法解盈朒n ,亏损)问题,另立专法,将两次所买肉的两数同两次盈脑的数列成下式: ,交叉相乘,两积相并(相加),得数为被除数,又盈相并,得数为除数,两数相除即得. 前题若依古法计算,列式: ,哑子应得肉两.同新法比较,简易而又别致. ——许莼舫《古算趣味》 (1)将原题改为“十两多八文,十三少十六”(所带的钱买10两肉多出8文,买13两肉还差16文),用古法解决这个问题; (2)将原题改为“八两多廿四,九两多十六”(所带的钱买8两肉多出24文,买9两肉又多出16文),能否使用上述古算法解决?如果不能,则说明理由;如果能,算出答案,并说明其合理性; (3)将问题一般化:所带的钱买两肉还差文,买两肉又多出文,问所带钱能买多少肉?,试用代数方法证明古法公式“能买肉两”的正确性. 42.(2024•五华区二模)为调动实习员工工作的积极性,某公司出台了两种工资方案,实习员工任选其中一种方案与公司签订合同.方案一:月工资(单位:元)与生产的产品数量(单位:件)的函数关系如图所示;方案二:每生产一件产品可得25元. (1)选择了工资方案一的实习员工甲,第一个月生产了60件产品,他该月得到的工资是多少元? (2)某月实习员工乙发现,他选择方案一比选择方案二月工资多450元,求乙该月生产产品的数量. 八.三元一次方程组的应用 三元一次方程组的应用 在解决实际问题时,若未知量较多,要考虑设三个未知数,但同时应注意,设几个未知数,就要找到几个等量关系列几个方程. (1)把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组,为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础. (2)通过设二元与三元的对比,体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性.43.(2024春•万州区校级期中)在解决“已知有理数、、满足方程组,求的值”时,小华是这样分析与解答的. 解:由①得:③,由②得:④. ③④得:⑤. 当时, 即,解得. ①②,得. 请你根据小华的分析过程,解决如下问题: (1)若有理数、满足,求、的值; (2)母亲节将至,小新准备给妈妈购买一束组合鲜花,若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元;购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元.则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元? 九.一次函数与二元一次方程(组) 一次函数与二元一次方程(组) (1)一次函数与一元一次方程的关系:由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次方程可以转化为:当某个一次函数的值为0时,求相应的自变量的值,从图象上看,这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值. (2)二元一次方程(组)与一次函数的关系 (3)一次函数和二元一次方程(组)的关系在实际问题中的应用:要准确的将条件转化为二元一次方程(组),注意自变量取值范围要符合实际意义. 44.(2024春•西城区校级期中)如图,直线和直线相交于点,则关于,的方程组的解为 A. B. C. D. 45.(2023秋•宝安区期末)直线与相交于点,则方程组的解为 A. B. C. D. 46.(2023秋•武功县期末)在平面直角坐标系中,直线与相交于点,则关于,的方程组的解为 A. B. C. D. 47.(2023秋•开江县校级期末)已知方程组的解为,则函数与的交点坐标为 A. B. C. D. 48.(2023秋•河源期末)如图,直线与直线相交于点,则方程组的解为 . 49.(2023秋•宁国市期末)如图,直线与直线相交于点,则关于,的方程组的解为 . 50.(2023秋•金牛区期末)如图已知一次函数和的图象交于点,则关于,的二元一次方程组的解为 . 第5章 二元一次方程组 中档题拓展训练【9个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版数学八年级上册 参考答案与试题解析 一.二元一次方程的解 1.(2024春•临县月考)已知是二元一次方程的一组解,则的值是 A.3 B. C.2 D. 【答案】 【分析】将代入方程,即可求出的值. 【解答】解:将代入方程, 得, 解得. 故选:. 【点评】本题考查了二元一次方程的解,将这组解代入二元一次方程是解决本题的关键. 2.(2023秋•太湖县期末)已知关于,的二元一次方程,不论取何值,方程总有一个固定不变的解,这个解是 . 【答案】. 【分析】该方程变形为,再分别令和时求解方程即可. 【解答】解:该方程变形为, 当时,解得, 将代入方程得,, 解得; 当时,解得, 将代入方程得,, 解得, 不论取何值,方程总有一个固定不变的解,这个解是, 故答案为:. 【点评】此题考查了解决含字母参数的二元一次方程组的能力,关键是能准确理解题意并能用特殊值法求解. 二.解二元一次方程 3.(2024春•农安县期中)已知二元一次方程,用含代数式表示 . 【答案】. 【分析】根据等式的性质表示即可. 【解答】解:, 根据等式的性质可得. 故答案为:. 【点评】本题考查用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数,掌握等式的基本性质是解题的关键. 三.二元一次方程的应用 4.(2024•丛台区校级一模)对于题目:“小丽同学带11元钱去买钢笔和笔记本(两种文具都买),钢笔每支3元,笔记本每本1元,那么钢笔能买多少支?”,甲同学的答案是1支,乙同学的答案是2支,丙同学的答案是3支,则正确的是 A.只有甲的答案对 B.甲、乙答案合在一起才完整 C.甲、乙、丙答案合在一起才完整 D.甲、乙、丙答案合在一起也不完整 【答案】 【分析】设买钢笔支,笔记本本,依题意,,根据,是正整数,即可求解. 【解答】解:设买钢笔支,笔记本本,依题意,, ,是正整数, 当时,, 当时,, 当时,, 故选:. 【点评】本题考查了二元一次方程的应用,根据题意列出方程是解题的关键. 5.(2024春•游仙区月考)七一中学八年级全体学生378人前往“两弹城”开展红色研学活动,现有大小两种客车可以租赁.已知大客车能容纳54人,小客车能容纳36人,要使每个人都能上车且各辆车刚好坐满,有几种租车方案? A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】 【分析】根据题意列二元一次方程,再求整数解即可. 【解答】解:设租大客车辆,小客车辆, 由题意可得, 整理得, ,都是非负整数, 或或或, 共4种租车方案, 故选:. 【点评】本题考查二元一次方程的实际应用,(1)找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系.(2)找出题中的两个关键的未知量,并用字母表示出来.(3)挖掘题目中的关系,找出等量关系,列出二元一次方程.(4)根据未知数的实际意义求其整数解. 6.(2024春•南京期末)年级花费120元用来购买甲、乙两种奖品(两种奖品都购买),奖励知识竞赛中的获奖同学,若甲种奖品每件15元,乙种奖品每件10元,则购买方案有 3 种. 【答案】3. 【分析】设购买件甲种奖品,件乙种奖品,根据总价单价数量,列出二元一次方程,求出正整数解,即可得出结论. 【解答】解:设购买件甲种奖品,件乙种奖品, 依题意得:, , 又、均为正整数, 或或, 共有3种购买方案. 故答案为:3. 【点评】本题考查了二元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程是解题的关键. 7.(2024•肇东市模拟)学校计划用200元钱购买,两种奖品,奖品每个15元,奖品每个25元,两种都要买且钱全部用完,则购买方案有 2 种. 【答案】2. 【分析】设购买了种奖品个,种奖品个,根据学校计划用200元钱购买、两种奖品,种每个15元,种每个25元,两种都要买且钱全部用完,列出二元一次方程,再根据,为正整数可求出解. 【解答】解:设购买了种奖品个,种奖品个, 根据题意得:, 整理得:, ,为正整数, 或, 购买方案有2种, 故答案为:2. 【点评】本题考查了二元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程是解题的关键. 8.(2023秋•城关区校级期末)一个两位数,若交换其个位数与十位数的位置,则所得新两位数比原两位数大18,这样的两位数共有 7 个. 【答案】7. 【分析】先设原来的两位数为,根据交换其个位数与十位数的位置,所得新两位数比原两位数大18,列出方程,得出,因此可取1到8个数,并且这8个数的特点都是个位数字比十位数字大2的两位数. 【解答】解:设原来的两位数为, 根据题意可得: , 解得:, 可取从3到9的所有自然数, 即3、4、5、6、7、8、9, 这样的两位数共有7个, 它们分别是13,24,35,46,57,68,79. 故答案为:7. 【点评】本题考查了二元一次方程的应用,解题关键是弄清题意,找合适的等量关系,列出方程,再求解,弄清两位数的表示是:十位上的数个位上的数,注意不要漏数. 9.(2024•昌吉州一模)甲种电影票每张20元,乙种电影票每张15元,若购买甲、乙两种电影票共40张,恰好用去720元,求甲、乙两种电影票各买了多少张? 【分析】设购买甲电影票张,乙电影票张,根据题意列出二元一次方程组,求出和的值即可. 【解答】解:设购买甲电影票张,乙电影票张, 由题意知:, 解得. 答:购买甲电影票24张,乙电影票16张. 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用的知识点,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程组,再求解.利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系,准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键. 四.二元一次方程组的解 10.(2024•凉州区二模)已知关于,的方程组的解是.则关于,的方程组的解是 A. B. C. D. 【答案】 【分析】利用换元法,得到的解为,进一步求解即可. 【解答】解:可化为:, 关于,的方程组的解是, 的解为:; 解得:. 故选:. 【点评】本题考查解二元一次方程组,熟练掌握消元法是关键. 11.(2024春•南皮县月考)方程组的解为,则“ ”“”代表的两个数分别为 A.4,2 B.1,3 C.0, D.2,3 【答案】 【分析】把代入方程中求出的值,进而求出的值即可得到答案. 【解答】解:方程组的解为, , , , “ ”“”代表的两个数分别为0,, 故选:. 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义,解答本题的关键要明确二元一次方程组的解是使方程组两个方程都成立的未知数的值. 12.(2024春•崇川区校级月考)若方程组的解是,则方程组的解是 A. B. C. D. 【答案】 【分析】可得,从而可得,即可求解. 【解答】解:由得 , 方程组的解是, , 解得:; 故选:. 【点评】本题主要考查了方程的解的应用,解二元一次方程组,掌握用整体代换方法解方程组是解题的关键. 13.(2023秋•蒲城县期末)若关于,的二元一次方程组的解也是关于,的二元一次方程的解,则的值是 A. B. C.2 D.1 【答案】 【分析】先解关于,的二元一次方程组,求出,,再把所求,代入得关于的方程,解方程即可. 【解答】解:, ①②得:, 把代入①得:, , 把代入得: , , , 故选:. 【点评】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的解,解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解是使各个方程左右两边相等的未知数的值. 14.(2024春•安陆市月考)已知关于,的方程组的解的和是,则 2 . 【答案】2. 【分析】先利用等式的基本性质求出的值,再根据已知条件中方程组的解的和是,列出关于的方程,解方程求出值即可. 【解答】解:, ①②得:, , , 关于,的方程组的解的和是, , , , , , , 故答案为:2. 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解,解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解的定义和解二元一次方程组的一般步骤. 15.(2024春•鹤壁月考)(1)写出一个解为的二元一次方程组; (2)以(1)中所写的二元一次方程组,编一道生活中的实际问题,并设出未知数. 【答案】(1); (2)示例见解析过程. 【分析】(1)由7和4列出两个算式,即可确定出所求的方程组; (2)以小明去文具店买钢笔和笔记本为例. 【解答】解:(1)根据题意得:; (2)示例:小明去文具店买钢笔和笔记本,买2支钢笔和1个笔记本需要18元,买1支钢笔和2个笔记本需要15元,一支钢笔和一个笔记本各是多少元? 设一支钢笔元,一个笔记本元. 【点评】本题考查了二元一次方程组的解,解答本题的关键要明确:方程组的解即为能使方程组左右两边相等的未知数的值. 16.(2024春•尧都区期中)已知关于,的二元一次方程组,甲由于看错了方程组中的,得到的方程组的解为,乙由于看错了,得到方程组的解为. (1)求,的值. (2)若方程组的解与方程组的解相同,求的值. (3)在(2)的条件下,是否存在的值,使得关于的方程有无数个解?若存在,求的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1),; (2)5; (3). 【分析】(1)根据甲、乙看错的数,确定方程组的解是原方程组的哪一个方程的解,进而求出、的值即可; (2)根据、的值求出原方程组的解,再代入方程组进行适当的变形即可; (3)根据关于的方程有无数个解的意义确定的取值范围即可. 【解答】解:(1)由于甲看错了关于,的二元一次方程组中的,得到的方程组的解为, 满足方程,即, 解得, 由于乙看错了关于,的二元一次方程组中的吧,得到的方程组的解为, 满足方程,即, 解得, 答:,; (2)当,时,原方程可变为, 解得, 把代入方程组得,, 解得, ; (3)存在,理由如下: 把代入关于的方程得,, 即, 由于原方程有无数个解, , 解得, 答:存在的值,使得关于的方程有无数个解,此时. 【点评】本题考查二元一次方程组的解,一元一次方程的解,掌握二元一次方程组的解法,等式的性质是正确解答的关键. 17.(2024春•怀化月考)阅读材料,回答问题. 解方程组,时,如果直接用代入消元法或加减消元法求解,运算量比较大,也容易出错,如果把方程组中的和分别看作一个整体,设,,原方程组可化为,解得即,所以原方程组的解为,这种解方程组的方法叫做整体换元法. (1)已知关于,的二元一次方程组的解为,那么在关于,的二元一次方程组中,的值为 ,的值为 ; (2)用材料中的方法解二元一次方程组. 【答案】(1),10;(2). 【分析】(1)设,,原方程组可化为,根据的解为,即可求解; (2)设,,原方程组可化为,解得,即,即可求解. 【解答】解:(1)设,, 原方程组可化为, 的解为, , 故答案为:,10; (2) 设,, 原方程组可化为, 解得, 即, 解得, 原方程组的解为. 【点评】本题考查了用换元法解二元一次方程组,结合题目给出的示例,合理换元是解题的关键. 18.(2024春•惠州期中)已知关于,的方程组和有相同的解. (1)求出它们的相同解; (2)求的值. 【答案】(1); (2). 【分析】(1)根据已知条件,重新把不含有,的两个方程联立成方程组,利用加减消元法,求出,的值即可; (2)把(1)中所求的,分别代入和得关于,的方程组,解方程组求出,,再代入计算即可. 【解答】解:(1)由题意得:, ①得:③, ②③得:, 把代入②得:, 方程组的解为:; (2)把(1)中所求的,分别代入和得:, ①得:③, ②③得:, 把代入①得:, . 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解,解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解是使每个方程左右两边相等的未知数的值. 五.解二元一次方程组 19.(2023秋•白银期末)已知方程组,①②,得 A. B. C. D. 【答案】 【分析】由①②得到,从而作出判断. 【解答】解:, ①②得,, 故选:. 【点评】本题考查了解二元一次方程组,熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键. 20.(2024春•海口期中)若,则、的值分别为 A.7,7 B.8,3 C.8, D.7,8 【分析】首先根据,可得:,,然后应用加减消元法,求出、的值分别为多少即可. 【解答】解:, ①②,可得 , 解得, 把代入①,解得 , 、的值分别为8,. 故选:. 【点评】此题主要考查了解二元一次方程的方法,以及绝对值、偶次方的非负性质的应用,要熟练掌握. 21.(2024春•金华期中)解下列方程组 (1); (2). 【答案】(1); (2). 【分析】(1)把两个方程相加,消去,求出,再把求出的代入第二个方程,求出即可; (2)先把方程组化成一般形式,然后利用加减消元法消去,求出,再把求出的代入化简后的第二个方程,求出即可. 【解答】解:(1), ①②得:, 把代入②得:, 方程组的解为:; (2), 方程组化简为:, ②得:③, ③①得:, 把代入②得:, 方程组的解为:. 【点评】本题主要考查了解二元一次方程组,解题关键是熟练掌握利用加减消元法解方程组. 22.(2024春•新野县期中)(题目:已知有理数,满足,且,求的值. 三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路: 甲同学:先解关于,的方程组,再求的值; 乙同学:先解方程组,再求的值; 丙同学:将原方程组中的两个方程相加,再求的值. (1)关于上述三种不同思路,完成下列任务: ①正确的打“”,错误的画“” 甲同学的思路 ;乙同学的思路 ;丙同学的思路 ; ②试选择其中一个你认为正确的思路,解答此题; (2)在解关于,的方程组时,可以用①②消去未知数,也可以用①②消去未知数,求和的值. (3)在(2)的条件下,直接写出方程组的解为 . 【答案】(1)①;;;②答案见解答过程; (2),; (3). 【分析】(1)①根据三位同学的思路均可求出的值,据此可得出答案; ②选择甲同学的思路是:先解方程组得,,再根据可得出的值,选择乙同学的思路是:解方程组得,,再将,代入中可得的值;选择丙同学的思路是:对于方程组,①②得,即,再根据得,由此可得出的值; (2)依题意得,,由此即可得出和的值; (3)将(2)中所求的和的值代入方程组之中,再解方程组求出,的值即可. 【解答】解:(1)①甲同学的思路正确;乙同学的思路正确;丙同学的思路正确, 故答案为:;;. 选择甲同学的思路解答如下:对于方程组, ①得:③, ②得:④, ③④得:, , 将代入②,得:, 解得:, , , , 即, 解得:, 选择乙同学的思路解答如下:对于方程组, ①得:③, ③②得:, 将代入①得:, , 将,代入,得:, 解得:, 选择丙同学的思路解答如下:对于方程组, ①②得:, 即, , , 解得:; (2)方程组,用①②消去未知数,也可以用①②消去未知数, ,, 由,得:, 将代入,得:, 解得:, 将代入,得:, ,; (3)将,代入方程组组,得:, ③④,得:, , 把代入②得:, , 方程组的解为. 故答案为:. 【点评】此题主要考查了解二元一次方程组,熟练掌握解二元一次方程组的方法与技巧是解决问题的关键. 六.由实际问题抽象出二元一次方程组 23.(2024•深圳模拟)中国古题《和尚吃馒头》的大意是:大和尚每人吃4个,小和尚4人吃1个.有大小和尚100人,共吃100个馒头.大小和尚各几人?设有大和尚人,小和尚人,根据题意列方程组为 A. B. C. D. 【答案】 【分析】根据有100个和尚,可得到;根据大和尚每人吃4个,小和尚4人吃1个,正好分完100个馒头可以得到,然后即可列出相应的方程组. 【解答】解:由题意可得,, 故选:. 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组,解答本题的关键是明确题意,找出等量关系,列出相应的方程组. 24.(2024•金牛区模拟)某工厂去年的利润(总产值总支出)为200万元.今年总产值比去年增加了,总支出比去年减少了,今年的利润为780万元.去年的总产值、总支出各是多少万元?设去年的总产值为万元,总支出为万元,则可列方程组为 A. B. C. D. 【答案】 【分析】根据今年总产值比去年增加了,总支出比去年减少了即可解决. 【解答】解:根据题意,可列方程组. 故选:. 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组,找等量关系列出方程组是解决问题的关键. 25.(2024•桥西区校级二模)某份资料计划印制1000份,该任务由,两台印刷机先后接力完成,印刷机印制150份,印刷机印制200份.两台印刷机完成该任务共需.甲、乙两人所列的方程组如图所示,下列判断正确的是 甲 解:设印刷机印制了, 印刷机印制了. 由题意,得 乙 解:设印刷机印制了份, 印刷机印制了份. 由题意,得 A.只有甲列的方程组正确 B.只有乙列的方程组正确 C.甲和乙列的方程组都正确 D.甲和乙列的方程组都不正确 【答案】 【分析】根据两台印刷机印刷的时间和数量分别建立方程组进行判断即可得到答案. 【解答】解:设印刷机印制了,印刷机印制了, 两台印刷机完成该任务共需, , 总共印制1000份, , , 设印刷机印制了份,印刷机印制了份, 总共印制1000份, , 印刷机印制150份,印刷机印制200份, 印刷机印制小时,印刷机印制小时, , , 故选:. 【点评】本题考查二元一次方程组的应用,解题的关键是理解题意,建立正确的方程组. 26.(2024•红花岗区一模)如图,用10个形状、大小完全相同的小长方形拼成一个大长方形,设每个小长方形的长和宽分别为 和 ,则可列方程组为 A. B. C. D. 【答案】 【分析】根据图示可得:矩形的宽可以表示为厘米,宽又是25厘米,故,矩的长可以表示为,或,故,整理得,联立两个方程即可. 【解答】解:根据图题意得. 故选:. 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,关键是看懂图示,分别表示出长方形的长和宽. 27.(2024春•海淀区校级期中)如图,长青化工厂从地购买原料运回工厂,制成产品后运到地销售,该工厂与、两地有公路、铁路相连,公路运价为1.5元(吨千米),铁路运价为1.2元(吨千米),这两次运输共支出公路运费15000元,铁路运费97200元.请问该工厂的原料和产品各重有多少吨?若设原料重吨,产品重吨,则可以列方程组 A. B. C. D. 【答案】 【分析】根据公路运价为1.5元(吨千米),铁路运价为1.2元(吨千米),这两次运输共支出公路运费15000元,铁路运费97200元和图中的数据,可以列出相应的二元一次方程组. 【解答】解:依题意得:. 故选:. 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组,理解题意,找出等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键. 28.(2024春•越秀区校级期中)“践行垃圾分类助力双碳目标”主题班会结束后,甲和乙一起收集了一些废电池,甲说:“我比你多收集了7节废电池.”乙说:“如果你给我9节废电池,我的废电池数量就是你的2倍”设甲收集了节废电池,乙收集了节废电池,根据题意可列方程组为 A. B. C. D. 【答案】 【分析】根据两人收集废电池数量间的关系,即可得出关于,的二元一次方程组,此题得解,找准等量关系. 【解答】解:甲比乙多收集了7节废电池, ; 若甲给乙9节废电池,则乙的废电池数量就是甲的2倍, . 根据题意可列方程组为. 故选:. 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,正确列出二元一次方程组是解题的关键. 29.(2024春•海淀区校级期中)如图,小方同学位于玉渊潭公园,小程同学在小方北侧1800米处的花园桥.两人同时出发相向而行,10分钟后相遇;两人同时向北而行,小方90分钟后追上小程.设小方的平均速度为米分钟,小程的平均速度为米分钟,则根据题意可列方程组 . 【答案】. 【分析】根据小程同学在小方北侧1800米处的花园桥,两人同时出发相向而行,10分钟后相遇;两人同时向北而行,小方90分钟后追上小程,可列方程组求解. 【解答】解:根据题意得:, 故答案为:. 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,看懂图示各种量的关系是关键. 30.(2024春•北京期中)科学研究表明:树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物,具有滞尘净化空气的作用,已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克,两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克.设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克,一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克.依据题意,可列方程组为 . 【答案】. 【分析】结合一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克,两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克,可列一元一次方程组即可完成解答. 【解答】解:由题意得:. 故答案为:. 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键. 七.二元一次方程组的应用 31.(2023秋•渠县期末)为筑牢拒毒防线,提升青少年识毒能力,2022年秋季学期花溪区某校举行“珍爱生命,远离毒品”知识竞赛活动,评分标准是:答对一题加10分,答错一题扣5分,不回答扣2分;一共10个题,每个队的基本分均为0分,、两个参赛队前8题的答题情况如表,则与的值分别为 参赛队 题目数量(题 答对(题 答错(题 不回答(题 得分(分 8 6 0 2 56 8 0 35 A., B., C., D., 【答案】 【分析】根据题意可得,然后根据二元一次方程的组解可进行求解. 【解答】解:由题意得:, 解得:; 故选:. 【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用,解题的关键是理解题中的等量关系. 32.(2024春•梁溪区校级月考)古代一歌谣:栖树一群鸦,鸦树不知数;三个坐一棵,五个地上落;五个坐一棵,闲了一棵树.意思是说,有一群乌鸦到树林休息,如果每棵树上有3只乌鸦,则有5只落在地上;如果每棵树上有5只乌鸦,则有一棵树上没有乌鸦,则共有 20 只乌鸦. 【答案】20. 【分析】根据题意可设乌鸦有只,树有棵,然后列出方程组求解即可. 【解答】解:设乌鸦有只,树有棵,依题得 , 解得, 故答案为:20. 【点评】本题考查二元一次方程组与实际问题,关键是根据题意找到等量关系式. 33.(2024•沙洋县模拟)《孙子算经》中有这样一道题,原文是:“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺.木长几何?”意思是:用一根绳子去量一根长木,绳子还剩余4.5尺.将绳子对折再量长木,长木还剩余1尺,问木长和绳长各是多少尺? 答:木长 6.5 尺;绳子长 尺. 【答案】6.5,11. 【分析】设木长尺,绳长尺,由题意:用一根绳子去量一根长木,绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再量长木,长木还剩余1尺.列出二元一次方程组,解方程组即可. 【解答】解:设木长尺,绳长尺, 由题意得:, 解得:, 即绳长11尺, 故答案为:6.5,11. 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键. 34.(2024•甘肃二模)某校在劳动周组织学生到校园周边种植甲、乙两种树苗.已知购买3棵甲种树苗、2棵乙种树苗共需12元;购买1棵甲种树苗、3棵乙种树苗共需11元.那么每棵甲种树苗的价格为 2 元. 【分析】设甲种树苗的价格为元棵,乙种树苗的价格为元棵,根据“购买甲种树苗3棵,乙种树苗2棵共需12元;购买甲种树苗1棵,乙种树苗3棵共需11元”,可列出关于,的二元一次方程组,解之即可得出结论. 【解答】解:设甲种树苗的价格为元棵,乙种树苗的价格为元棵, 根据题意得:, 解得:, 甲种树苗的价格为2元棵, 故答案为:2. 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用解题的关键是找准等量关系,正确列出二元一次方程组. 35.(2024春•大连期中)如图,小强和小红一起搭积木,小强所搭的小塔高度为28厘米,小红所搭的小树高度为27厘米,设每块型积木的高为厘米,每块型积木的高为厘米,那么 11 厘米. 【答案】11. 【分析】小强搭的积木的高度的高度的高度,小红搭的积木的高度的高度的高度,依两个等量关系列出方程组,再求解. 【解答】解: 解得;, , 故答案为:11. 【点评】本题考查了二元一次方程组应用,解题的关键是根据图中和等量关系来列方程组进行解答. 36.(2024春•单县期中)千佛山、趵突泉、大明湖并称济南三大风景名胜区,为了激发学生个人潜能和团队精神,某学校组织学生去千佛山开展素质拓展活动.已知千佛山景区成人票每张30元,学生票按成人票五折优惠.某班教师加学生一共去了50人,门票共需810元. (1)这个班参与活动的教师和学生各多少人?(应用二元一次方程组解决) (2)该班在购买活动奖品时,奖品每件20元,奖品每件50元.如果准备用200元购买,两种奖品元恰好用完,两种奖品都有),请你帮班级设计出购买,两种奖品的购买方案. 【答案】(1)参与活动的教师有4人,学生有46人; (2)购买种奖品5件,购买种奖品2件. 【分析】(1)设参与活动的教师有人,学生有人,根据题意列出二元一次方程组求解即可; (2)设购买种奖品件,购买种奖品件,由题意:奖品每件20元,奖品每件50元.如果准备用200元购买,两种奖品元恰好用完,两种奖品都有)列出二元一次方程,求出正整数解即可. 【解答】解:(1)设参与活动的教师有人,学生有人, 由题意得, 解得, 答:参与活动的教师有4人,学生有46人; (2)设购买种奖品件,购买种奖品件, 由题意得:, 则, 、为正整数, , 答:购买种奖品5件,购买种奖品2件. 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键. 37.(2023秋•城关区校级期末)某店准备促销“种盲盒”和“种盲盒”,已知“种盲盒”的成本为10元个,售价为20元个,“种盲盒”的成本为12元个,售价为24元个,第一天销售这两种盲盒共136个,获利1432元. (1)求第一天这两种盲盒的销量分别是多少个; (2)经过第一天的销售后,这两种盲盒的库存发生了变化,为了更好的销售这两种盲盒,店主决定把“种盲盒”的售价在原来的基础上增加元,“种盲盒”的售价在原来的基础上减少元,“种盲盒”的销量在原来的基础上减少了10个,“种盲盒”的销量在原来的基础上增加了24个,但两种盲盒的成本不变,结果获利比第一天多134元.求的值. 【答案】(1)第一天这两种盲盒的销量分别是100个,36个, (2). 【分析】(1)设第一天这两种盲盒的销量分别是个,个,再根据第一天销售这两种盲盒共136个,获利1432元,列出方程组求解即可; (2)根据利润(售价成本)数量列出方程求解即可. 【解答】解:(1)设第一天这两种盲盒的销量分别是个,个, 由题意得,, 解得, 第一天这两种盲盒的销量分别是100个,36个, 答:第一天这两种盲盒的销量分别是100个,36个; (2)由题意得,, , 解得. 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用,一元一次方程的实际应用,正确理解题意找到等量关系是解题的关键. 38.(2024春•荔湾区期中)源翰制衣厂某车间现有24名制作服装的工人,每天都制作某种品牌的衬衫和裤子,每人每天可制作这种衬衫3件或裤子5条.已知制作一件衬衫可获得利润30元,制作一条裤子可获得利润16元,若该厂要求每天获得利润2100元,则需要安排多少名工人制作衬衫? 【分析】设安排人制作衬衫,安排人制作裤子.由关键语句“现有24名制作服装的工人”和“每天制作的衬衫和裤子数量相等”,可得到等量关系.再另外分开设制作衬衫和裤子的人数为,求出未知数. 【解答】解:设制作衬衫和裤子的人为,. 可得方程组, 解得: 答:制作衬衫和裤子的人为15,9. 设安排人制作衬衫,人制作裤子,可获得要求的利润2100元. 可列方程组, 解得, 所以必须安排18名工人制作衬衫. 答:需要安排18名工人制作衬衫. 【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用,该例中每人每天生产的衬衫或裤子的数目不变,每件衬衫或裤子的利润也不变,这是解题的关键. 39.(2024春•南皮县月考)学校打算购买,两种教具,若购买60件种教具和30件种教具共需花费1650元;购买50件种教具和10件种教具共需花费1150元. (1)求种教具和种教具的单价; (2)实际购买时,发现厂家有两种优惠方案.方案一:购买种教具超过20件时,超过的部分按原价的8折付款,种教具没有优惠;方案二:无论购买多少件,教具,两种教具都按原价的9折付款.该校决定购买且为整数)件种教具和40件种教具. 请根据上述信息填空. ①方案一需花费 元;方案二需花费 元(用含的代数式表示);当 时,方案一与方案二的花费相同,此时花费金额为 ; ②当时,方案 更优惠(填“一”或“二” . 【答案】(1)种教具的单价为20元,种教具的单价为15元; (2)①,,70,1800; ②一. 【分析】(1)设每件种教具的价格为元,每件种教具的价格为元,根据题意列出二元一次方程组求解即可; (2)①首先表示出方案一费用,方案二费用,然后当当时求解即可; ②将分别代入和求解即可. 【解答】解:(1)设每件种教具的价格为元,每件种教具的价格为元, 依题意得:, 解得:, 答:种教具的单价为20元,种教具的单价为15元; (2)解:①方案一费用元, 方案二费用元, 当时,, 解得; , 当时,“方案一”与“方案二”的花费相同,此时花费金额为1800元; 故答案为:,,70,1800; ②当时,; , , 方案一更优惠. 故答案为:一. 【点评】此题考查了二元一次方程组的应用与一元一次方程的实际应用,列代数式,解题的关键是弄清楚题意,找出题目中的数量关系列得方程组. 40.(2023秋•萍乡期末)萍乡市湘东区有“中国工业陶瓷之都”的美称,湘东区的陶瓷热销全国各地在某次商品交易会上,某陶瓷企业出售了,两种产品:已知出售1件产品和3件产品共收入1100元,出售2件产品和5件产品共收入1900元. (1)求产品和产品每件的售价; (2)若出售,两种产品(均有销售)共收入2200元,则出售,两种产品各几件? 【答案】(1)产品的售价200元,产品的售价300元; (2)出售产品2件,产品6件或长品出售5件,产品出售4件或出售产品8件,产品2件. 【分析】(1)设产品的售价元,产品的售价元,根据出售1件产品和3件产品共收入1100元,出售2件产品和5件产品共收入1900元,列出方程组进行求解即可; (2)设出售产品件,则出售产品件,根据题意列出二元一次方程进行求解即可. 【解答】解:(1)设产品的售价元,产品的售价元, 由题意得, 解得, 答:产品的售价200元,产品的售价300元; (2)设出售产品件,则出售产品件, 由题意得, 化简得, ,为正整数, 或或, 答:出售产品2件,产品6件或产品出售5件,产品出售4件或出售产品8件,产品2件. 【点评】本题考查二元一次方程组的实际应用,理解题意,找准等量关系,正确列出方程是解此题的关键. 41.(2024春•北碚区校级月考)阅读材料:“哑子来买肉,难言钱数目,一斤少四十,九两多十六,试问能算者,应得多少肉?(所带的钱买16两肉还差40文,买9两肉又多出16文,问所带钱能买多少肉?”这又是一个歌谣体的古算题,见明程大位《算法统宗》书中. 古算法解盈朒n ,亏损)问题,另立专法,将两次所买肉的两数同两次盈脑的数列成下式: ,交叉相乘,两积相并(相加),得数为被除数,又盈相并,得数为除数,两数相除即得. 前题若依古法计算,列式: ,哑子应得肉两.同新法比较,简易而又别致. ——许莼舫《古算趣味》 (1)将原题改为“十两多八文,十三少十六”(所带的钱买10两肉多出8文,买13两肉还差16文),用古法解决这个问题; (2)将原题改为“八两多廿四,九两多十六”(所带的钱买8两肉多出24文,买9两肉又多出16文),能否使用上述古算法解决?如果不能,则说明理由;如果能,算出答案,并说明其合理性; (3)将问题一般化:所带的钱买两肉还差文,买两肉又多出文,问所带钱能买多少肉?,试用代数方法证明古法公式“能买肉两”的正确性. 【答案】(1)11; (2)11,理由见解析; (3)证明见解析. 【分析】(1)根据公式进行计算即可求解; (2)根据公式进行计算即可求解; (3)设肉价为每两文,他所带钱数为文,解关于,的二元一次方程组,即可求解. 【解答】解:(1)依古法计算,列式: 哑子应得肉(两. (2)能,将所带的钱买8两肉多出24文,看作所带的钱买8两肉少文, 列式为:; (3)列式为, 设肉价为每两文,他所带钱数为文, 依题意得,, 解得:, . 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用,分式的除法,有理数的混合运算; 42.(2024•五华区二模)为调动实习员工工作的积极性,某公司出台了两种工资方案,实习员工任选其中一种方案与公司签订合同.方案一:月工资(单位:元)与生产的产品数量(单位:件)的函数关系如图所示;方案二:每生产一件产品可得25元. (1)选择了工资方案一的实习员工甲,第一个月生产了60件产品,他该月得到的工资是多少元? (2)某月实习员工乙发现,他选择方案一比选择方案二月工资多450元,求乙该月生产产品的数量. 【答案】(1)实习员工甲该月得到的工资是1800元; (2)乙该月生产产品的数量为70件. 【分析】(1)由待定系数法求出方案一中,当时,当时,月工资(元与生产产品(件的关系式为,即可解决问题; (2)根据选择方案一比选择方案二月工资多450元,列出一元一次方程,解方程即可. 【解答】解:(1)方案一中,当时,设月工资(元与生产产品(件的关系式为, 将,代入得:, 解得:, 方案一中,当时,月工资(元与生产产品(件的关系式为, 当时,, 答:实习员工甲该月得到的工资是1800元; (2)根据题意得:, 解得:, 答:乙该月生产产品的数量为70件. 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及一次函数的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)找准等量关系,正确列出一元一次方程. 八.三元一次方程组的应用 43.(2024春•万州区校级期中)在解决“已知有理数、、满足方程组,求的值”时,小华是这样分析与解答的. 解:由①得:③,由②得:④. ③④得:⑤. 当时, 即,解得. ①②,得. 请你根据小华的分析过程,解决如下问题: (1)若有理数、满足,求、的值; (2)母亲节将至,小新准备给妈妈购买一束组合鲜花,若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元;购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元.则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元? 【答案】(1); (2)12元. 【分析】(1)把左边去括号,合并关于、、的同类项,得出和的方程组求解; (2)设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是、、元,然后按照小华的解法解答即可. 【解答】解:(1), , , ,解得; (2)设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是、、元, 由题意得,求的值. 设①得:③, ②得:④, ③④得:⑤, 当时, 即, 解得, , 答:购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需12元. 【点评】本题考查三元一次方程组的应用,正确理解题目所提供的解答方法是解答本题的关键. 九.一次函数与二元一次方程(组) 44.(2024春•西城区校级期中)如图,直线和直线相交于点,则关于,的方程组的解为 A. B. C. D. 【答案】 【分析】根据直线和直线相交于点,即可确定方程组,直接求解即可. 【解答】解:根据题意,可得方程组, 根据函数图象与方程组解的关系可知,函数图象的交点坐标就是联立函数解析式构成的方程组的解,则根据直线和直线相交于点得, 故选:. 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系,熟练掌握两者之间的关系:函数图象的交点坐标就是联立函数解析式构成的方程组的解是解题的关键. 45.(2023秋•宝安区期末)直线与相交于点,则方程组的解为 A. B. C. D. 【答案】 【分析】先求得点的坐标,然后根据二元一次方程组的解的定义,该方程组的解就是组成方程组的两个二元一次方程的图象的交点. 【解答】解:直线过点, ,解得, 直线与相交于点, 方程组的解为. 故选:. 【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系,关键是掌握方程组的解就是两函数图象的交点. 46.(2023秋•武功县期末)在平面直角坐标系中,直线与相交于点,则关于,的方程组的解为 A. B. C. D. 【答案】 【分析】先利用直线确定点坐标,然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题. 【解答】解:把点代入得,解得, 点坐标为, 直线与相交于点, 关于,的方程组的解为. 故选:. 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程:方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标. 47.(2023秋•开江县校级期末)已知方程组的解为,则函数与的交点坐标为 A. B. C. D. 【答案】 【分析】根据方程组的解为组成方程组的两个方程的函数图象的交点解答. 【解答】解:方程组变形得,, 方程组的解为, 一次函数与的图象的交点坐标为, 故选:. 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程(组:函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解. 48.(2023秋•河源期末)如图,直线与直线相交于点,则方程组的解为 . 【答案】. 【分析】由两条直线的交点坐标,先求出,再求出方程组的解即可. 【解答】解:经过, , 直线与直线相交于点, 即, 故答案为:. 【点评】本题考查一次函数的交点与方程组的解的关系、待定系数法等知识,解题的关键是理解方程组的解就是两个函数图象的交点坐标,属于中考常考题型. 49.(2023秋•宁国市期末)如图,直线与直线相交于点,则关于,的方程组的解为 . 【分析】首先利用待定系数法求出的值,进而得到点坐标,再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案. 【解答】解:直线经过点, , 解得, , 关于的方程组的解为, 故答案为:. 【点评】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系,关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解. 50.(2023秋•金牛区期末)如图已知一次函数和的图象交于点,则关于,的二元一次方程组的解为 . 【答案】. 【分析】两个一次函数图象的交点就是两函数组成的方程组的解. 【解答】解:一次函数和的图象交于点, 关于,的二元一次方程组的解为. 故答案为:. 【点评】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组,关键是掌握二元一次方程(组与一次函数的关系. 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $$