第4章 一次函数 中档题拓展训练【10个考点50题专练】2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第4章 一次函数 中档题拓展训练【10个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版数学八年级上册 考点梳理 一．常量与变量 二．函数的图象 三．一次函数的定义 四．一次函数的性质 五．一次函数图象与系数的关系 六．一次函数图象上点的坐标特征 七．一次函数图象与几何变换 八．待定系数法求一次函数解析式 九．一次函数的应用 一十．一次函数综合题 考点精讲精练 一．常量与变量 · 常量与变量 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量．1．（2024春•埇桥区期中）如图表，李师傅到小区附近的“爱心”加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是　　 300.00 金额 44.248 数量升 6.78 单价元 A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 二．函数的图象 · 函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上． 2．（2024•德阳模拟）在恒温下，气体对汽缸壁的压强与汽缸内气体体积的函数关系如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了　　 A． B． C． D． 3．（2024春•兴隆县期中）小明家和学校同处在一条南北向笔直的大道上，他骑单车上学，当骑了一段路时，小明想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题． （1）小明家到学校的距离是 　　米． （2）小明在书店停留了 　　分钟． （3）本次上学途中，小明一共用了 　　分钟，共骑了 　　米． （4）在整个上学的途中 　　（填具体时间段）小明骑车速度最快，最快的速度是 　　米分． （5）观察图象，除上述信息外，你还能得到什么信息？写出一条即可． 　　 三．一次函数的定义 · 一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 4．（2024春•萨尔图区校级期中）已知是关于的一次函数，则　　． 四．一次函数的性质 · 一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 5．（2024•泗洪县三模）已知关于的一次函数为，那么这个函数的图象一定经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2024春•鼓楼区校级期中）一次函数的图象经过第 　　象限． 五．一次函数图象与系数的关系 · 一次函数图象与系数的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 7．（2024•清镇市一模）直线的图象如图所示，则下列说法正确的是　　 A．， B．， C．， D．， 8．（2024春•德惠市期中）在一次函数中，若随的增大而减小，则的值可能是　　 A．2 B． C．0 D． 9．（2024•安徽模拟）若一次函数的函数值随自变量的增大而减小，则的值可能是　　 A． B． C．2 D．3 10．（2024•路桥区二模）当时，直线为常数，在直线的上方，则的取值范围为 　　． 11．（2024•宣汉县一模）在平面直角坐标系中，若一次函数经过第一、三、四象限，则的取值范围是 　　． 12．（2024春•沙坪坝区期中）已知关于的一次函数． （1）若该函数的图象经过坐标原点，求的值； （2）若该函数图象经过第一、二、三象限，求的取值范围． 六．一次函数图象上点的坐标特征 · 一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 13．（2024•鹿城区一模）若一次函数的图象经过点，，则下列结论正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．（2024•武都区一模）点在正比例函数的图象上，则的值为　　 A． B．2 C．3 D．4 15．（2024•昌吉州一模）已知直线与轴、轴分别交于点和点，是线段上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 16．（2023秋•天桥区期末）若点，都在直线上，则与的大小关系是　　 A． B． C． D． 17．（2024春•通州区期中）对于一次函数，其自变量和函数的两组对应值如表所示，则的值为　　 4 A． B． C．2 D．8 18．（2024春•渝中区校级期中）如图，点的坐标为，点在直线上运动，则线段的最短长度为　　 A． B．2 C． D．3 19．（2024春•通州区期中）如图，直线分别交轴、轴于，两点，是线段上一点，，则点的坐标为 　　． 20．（2024春•栾城区期中）如图，点，，当直线与线段有交点时，写出一个满足上述条件的的值是 　　． 21．（2024春•西山区校级期中）点在直线上，则代数式的值是 　　． 22．（2024春•崇明区月考）一次函数的图象与轴的交点坐标为 　　． 七．一次函数图象与几何变换 · 一次函数图象与几何变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 23．（2024•邗江区二模）已知直线与轴、轴分别交于点，，将直线绕点顺时针旋转得到新的直线，则直线与轴的交点坐标是　　 A． B． C． D． 24．（2024春•龙华区校级期中）把函数的图象向上平移3个单位，则下列各坐标所表示的点中，在平移后的直线上的是　　 A． B． C． D． 25．（2024•锦州二模）将一次函数的图象沿轴向上平移2个单位长度后，所得新的一次函数图象与轴的交点坐标为 　　． 26．（2024•武清区二模）若将直线向下平移2个单位长度后经过点，则的值为 　　． 八．待定系数法求一次函数解析式 · 待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 27．（2024春•万州区期中）一次函数中，当时，；当时，，则一次函数解析式为 　　． 28．在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，矩形的顶点坐标分别为，，． （1）若点在直线上，求的值； （2）若直线将矩形面积分成相等的两部分，求直线的函数表达式； （3）若直线与矩形有交点（含边界），直接写出的取值范围． 九．一次函数的应用 · 一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 29．（2023秋•兴化市期末）如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为，，则关于与的关系，正确的是　　 A． B． C． D． 30．（2024春•重庆期中）已知张强家、体育场、文具店在同一直线上，下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中表示张强离家的时间，表示张强离家的距离，则下列结论正确的是　　 A．张强从家到体育场用了 B．体育场离文具店 C．张强在体育场锻炼了 D．张强从文具店回家的速度是 31．（2024•江岸区模拟）甲、乙两车同时从、两地出发，相向而行，甲车到达地后立即返回地，两车离地的路程（单位：与所用时间（单位：之间的函数关系如图所示，则甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为　　 A． B． C． D． 32．（2024•东昌府区模拟）小亮和大刚利用周末进行跑步锻炼．图中的函数图象表示了两人跑步的过程表示小亮和大刚从起点出发所跑的时间，，分别表示小亮和大刚所跑的路程）．下列说法：①两人出发后拉开的最大距离为米；②两人第一次相遇的时间是第40分钟；③两人两次相遇的时间间隔13分钟；④两人第二次相遇时所走的路程是米．其中全部正确的一项是　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 33．（2024春•太原期中）在数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”中，前30米为“加速期”，30米米为“中途期”，80米米为“冲刺期”．小斌某次百米赛时其速度与路程之间的关系如图所示，根据图象，运用数学模型分析下列说法不正确的是　　 A．第15米时小斌的速度是 B．加速期结束时小斌的速度最大 C．中途期小斌的速度先增大后减小 D．冲刺期，小斌的速度增加至最大 34．（2024•江都区一模）漏刻（如图）是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．李明依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，下表是李明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误，错误的值为　　 2 4 7 12 1.8 2.6 4.2 5.8 A．1.8 B．2.6 C．4.2 D．5.8 35．（2024•市中区二模）甲、乙两人沿同一条路线登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度（米与登山时间（分之间的函数图象如图所示．乙中途提速，提速后乙登山速度为甲登山速度的3倍，则乙追上甲时，乙距地面的高度为 　　米． 36．（2024春•长清区期中）快车与慢车分别从甲乙两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙地后停留，然后按原路原速返回，快车比慢车晚到达甲地，快慢两车距各自出发地的路程与所用的时的关系如图所示．下列说法：①甲乙两地之间的路程为；②慢车的速度是；③出发，快慢两车第一次相遇；④快慢两车相距时，两车出发的时间为或，其中正确的有 　　（填序号） 37．（2024•张家界模拟）如图，射线①是某公共汽车线路收支差额（票价总收入减去运营成本）与乘客量的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭转亏损，公交公司在不提高票价的情况下，决定通过优化管理来降低运营成本，改变后与的关系图为射线②．两射线与轴的交点坐标分别是，，则当乘客为1万人时，改变后的收支差额较之前增加 　　万元． 38．（2024•浦东新区三模）在“生活中的函数”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步回家．小明离家的距离与他所用的时间的关系如图所示．当小明离家时，他离开家所用的时间是 　　分． 39．（2023秋•上城区期末）综合与实践 生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度 素材1 如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）． 素材2 对于该背包的背带长度进行测量，设双层的部分长度是 ，单层部分的长度是 ，得到如下数据： 双层部分长度 2 6 10 14 单层部分长度 116 108 100 92 70 素材3 单肩包的最佳背带总长度与身高比例为 素材4 小明爸爸准备购买此款背包．爸爸自然站立，将该背包的背带调节到最短提在手上，背带在背包的悬挂点离地面的高度为；已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的． 任务1 在平面直角坐标系中，以所测得数据中的为横坐标，以为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接，根据图象思考变量、是否满足一次函数关系．如果是，求出该函数的表达式，直接写出值并确定的取值范围． 任务2 设人身高为，当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高与这款背包的背带双层部分的长度之间的函数表达式． 任务3 当小明爸爸的单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时．求此时双层部分的长度． 40．（2024春•青岛期中）某电信公司有甲、乙两种收费方式，除按流量收取上网费外，甲种方式还需收取基础费而乙种不需要．两种方式的费用（元与上网流量之间的关系如图所示： （1）填空：甲种收费的函数表达式是 　　乙种收费的函数表达式是 　　． （2）请你根据不同的上网流量帮忙确定选择哪种交费方式较合算． 41．（2024春•新郑市期中）某游泳馆泳池为长方体，其底部是长为，宽为的长方形，经测量可知泳池中现有水的高度为，现打开进水阀，每小时可注入水． （1）写出泳池中水的体积与注水时间之间的函数关系式． （2）注水多长时间后，泳池中水的高度为？ 42．（2024•漳州模拟）甲、乙两家商店以同样的价格出售品质相同的枇杷，枇杷单价均是40元且包邮．在直播带货活动中，甲商店的优惠方案是一律打九折；乙商店的优惠方案如表为常数） 一次性购买质量 优惠方案 不优惠 超过的部分打七五折 设购买枇杷 ，，（单位：元）分别表示顾客到甲、乙两家商店购买枇杷的费用． （1）写出，关于的函数表达式； （2）在此次活动中，小丽在两家商店分别购买的枇杷，结果费用相同，求的值； （3）请你帮助顾客设计一个购买方案，选择哪家商店更合算？ 43．（2024春•滕州市期中）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元，超出部分按原价的8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元，超出部分按原价的8.5折优惠．设顾客预计累计购物元． （1）在甲超市购物所付费用为元，在乙超市购物所付费用为元，请分别求出，关于的函数解析式； （2）试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由． 44．（2024•柳南区三模）综合与实践 【知识背景】大豆，通称黄豆，属一年生草本，是我国重要粮食作物之一，已有五千年栽培历史，古称“菽”．某校综合实践小组以探究“大豆种植密度优化方案”为主题开展实验研究，探究大豆产量与种植密度的关系． 【研究步骤】 （1）在劳动实践基地中选定6块单位面积平方米）的地块作为试验田，并选定适宜的大豆品种； （2）在不同试验田中种植株数不同的大豆，严格控制影响大豆生长的其它变量，在大豆成熟期，对每株大豆的产量进行统计； （3）数据分析，形成结论． 【实验数据】 实验田编号 1 2 3 4 5 6 单位面积试验田种植株数（株 30 40 50 60 70 80 单株的平均产量（粒 51 46 41 36 31 26 【数学建模】请根据以上材料完成下列任务； （1）根据表中信息推理，单位面积试验田中大豆单株的平均产量（粒是种植株数（株的 　　函数（选填“一次”“二次”“反比例” ，与的函数关系式为 　　； （2）若要使单位面积试验田中大豆的总产量（单位：粒）最大，请通过计算说明单位面积试验田中大豆植株种植的方案； （3）单位面积试验田中大豆的总产量能否达到2160粒，请说明理由． 45．（2024•碑林区校级模拟）《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为． （1）通过记录实验数据得知箭尺读数和供水时间近似满足一次函数的关系，当时，，当时，，如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，画出时的函数图象，并求出它的函数表达式． （2）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么到下午3点时，箭尺读数增加了多少？ 46．（2024•秦淮区校级模拟）小郑和小外同时从出发进行的游泳比赛，小郑游泳速度不变．图中的实线表示部分小外在游泳过程中与的距离和游泳的时间之间的关系，虚线表示小郑在游泳过程中与的距离和游泳的时间之间的关系． （1）小郑游泳的平均速度为 　　，游泳池的长度为 　　． （2）小外在后速度增加，并以增加后的速度匀速行驶，若小外和小郑同时到达终点， ①请补全小外的函数图象； ②小郑出发多长时间后，两人相距？（直接写出结果） 47．（2024春•市中区校级月考）某校门口道路中间的隔离护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为0.2米，立柱间距为3米． 立柱根数 1 2 3 4 护栏总长（米 0.2 3.4 9.8 （1）根据如图所示，写出表格中的　　； （2）设有根立柱，护栏总长度为米，求与之间的关系式； （3）求护栏总长度为93米时立柱的根数？ 48．（2024春•市中区校级月考）某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用气量为立方米，应交煤气费为元． （1）分别写出煤气不超过50立方米和超过50立方米时，与之间的关系式； （2）若小丽家4月份的煤气费为88元，那么她家4月份所用煤气为多少立方米？ （3）已知小丽家6月份的煤气费平均每立方米0.95元，那么6月份小丽家用了多少立方米的煤气？ 一十．一次函数综合题 · 一次函数综合题 （1）一次函数与几何图形的面积问题 首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积． （2）一次函数的优化问题 通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值． （3）用函数图象解决实际问题 从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题． 49．（2023秋•沙坪坝区校级期末）已知四边形是平行四边形，，，，为延长线上一点，，动点，同时从点出发，点以每秒5个单位长度的速度沿折线方向运动，点以每秒3个单位长度的速度沿折线方向运动，当点到达点时，两者都停止运动．设运动时间为秒，点，的距离为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）当时，请直接写出的取值范围． 50．（2024•秦淮区校级模拟）方格纸中的数学——运算线 【加法线】如图①，作的加法线，先在横线上找到第一个加数7并作横线的垂线，再在竖线上找到第二个加数4并作竖线的垂线，两条垂线相交于点，过点沿小方格对角线作直线，与横线相交于点，则点在横线上所表示的数为11，则为的11号加法线号加法线上任一点向横线和竖线作垂直后，垂足在横线与竖线上所表示的数之和为11． （1）在图②中画出的9号加法线； 【减法线】 （2）类比画加法线的方法，在图②中画出的5号减法线． 【换个角度看】 （3）①已知两个数、，判断的11号加法线与的5号减法线的位置关系并说明理由（可借助图③说理）； ②若0所表示的点为坐标原点，以横线为轴，竖线为轴．则的11号加法线与的5号减法线所表示的函数表达式分别是 　　． 【乘法线】 （4）如图④，若0所表示的点为坐标原点，以横线为轴，竖线为轴，与乘数2的积的乘法线称为2号乘法线．求2号乘法线的函数表达式； 【应用】 （5）某校数学社团男同学比女同学多8人，且男同学人数是女同学人数的3倍，在图⑤中，利用运算线求男同学的人数． （6）号乘法线为常数，上任一点的函数值与差的2号减法线和的3号加法线．当时，．结合图象，直接写出的取值范围． 第4章 一次函数 中档题拓展训练【10个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版数学八年级上册 参考答案与试题解析 一．常量与变量 1．（2024春•埇桥区期中）如图表，李师傅到小区附近的“爱心”加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是　　 300.00 金额 44.248 数量升 6.78 单价元 A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【答案】 【分析】根据常量与变量的定义判断即可． 【解答】解：在金额、数量和单价中，金额和数量是变量，单价是常量． 故选：． 【点评】本题考查常量与变量，掌握它们的定义是本题的关键． 二．函数的图象 2．（2024•德阳模拟）在恒温下，气体对汽缸壁的压强与汽缸内气体体积的函数关系如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据函数的图象形状和数值，求出反比例函数的解析式；再将75和100两个数值代入，求出的值；最后将所求的值相减，便是答案． 【解答】解：设反比例函数解析式为：， 把，代入解析式中， 解得， 反比例函数解析式为：． 当时， ； 当时， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了函数的图象，解题的关键是根据图象的信息求出函数解析式． 3．（2024春•兴隆县期中）小明家和学校同处在一条南北向笔直的大道上，他骑单车上学，当骑了一段路时，小明想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题． （1）小明家到学校的距离是 　1500　米． （2）小明在书店停留了 　　分钟． （3）本次上学途中，小明一共用了 　　分钟，共骑了 　　米． （4）在整个上学的途中 　　（填具体时间段）小明骑车速度最快，最快的速度是 　　米分． （5）观察图象，除上述信息外，你还能得到什么信息？写出一条即可． 　　 【分析】根据函数图象得出信息解答即可． 【解答】解：（1）小明家到学校的距离是1500米． （2）小明在书店停留了分钟． （3）本次上学途中，小明一共用了14分钟，共骑了米． （4）在整个上学的途中分钟小明骑车速度最快，最快的速度是米分． （5）观察图象，除上述信息外，还能得到小明家距书店600米，书店距学校900米，小明开始骑车的速度是200米分， 故答案为：（1）1500；（2）4；（3）14；2700；（4）分钟；450；（5）小明家距书店600米，书店距学校900米，小明开始骑车的速度是200米分． 【点评】本题考查了函数的图象，解决本题的关键是数形结合思想的熟练运用． 三．一次函数的定义 4．（2024春•萨尔图区校级期中）已知是关于的一次函数，则　　． 【答案】． 【分析】由定义可得，，从而可得答案． 【解答】解：函数是关于的一次函数， 则，， 解得， 故答案为：． 【点评】本题考查的是一次函数的定义，熟记定义是解本题的关键． 四．一次函数的性质 5．（2024•泗洪县三模）已知关于的一次函数为，那么这个函数的图象一定经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【分析】当时，可求出，由此即可得出答案． 【解答】解：当时，， 即此一次函数的图象经过定点， 因为点位于第二象限，所以这个函数的图象一定经过第二象限． 故选：． 【点评】本查了一次函数的图象，求出一次函数的图象经过定点是解题的关键． 6．（2024春•鼓楼区校级期中）一次函数的图象经过第 　一、二、四　象限． 【答案】一、二、四． 【分析】根据一次函数的性质，，过二、四象限，，与轴交于正半轴，综合来看即可得到结论． 【解答】解：一次函数中，， 图象过一、二、四象限， 故答案为：一、二、四． 【点评】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是关键． 五．一次函数图象与系数的关系 7．（2024•清镇市一模）直线的图象如图所示，则下列说法正确的是　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】根据一次函数图象与系数的关系解答即可． 【解答】解：根据图示，一次函数过第二四象限，，过第一象限，． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数与系数的关系，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是关键． 8．（2024春•德惠市期中）在一次函数中，若随的增大而减小，则的值可能是　　 A．2 B． C．0 D． 【答案】 【分析】根据一次函数图象与性质即可得到答案． 【解答】解：一次函数中，若随的增大而减小， ， 四个选项中只有， 故选：． 【点评】本题考查一次函数增减性，熟记一次函数增减性与的关系是解决问题的关键． 9．（2024•安徽模拟）若一次函数的函数值随自变量的增大而减小，则的值可能是　　 A． B． C．2 D．3 【答案】 【分析】根据一次函数的增减性得到，解出，再根据选项进行判断即可． 【解答】解：一次函数的函数值随自变量的增大而减小， ，解得， 故选：． 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数时函数的增减性是关键． 10．（2024•路桥区二模）当时，直线为常数，在直线的上方，则的取值范围为 　　． 【答案】． 【分析】当时，，把点代入，得，根据函数与不等式的关系即可得的取值范围． 【解答】解：当时，， 把点代入， 得， 当时，直线为常数，在直线的上方， 的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 11．（2024•宣汉县一模）在平面直角坐标系中，若一次函数经过第一、三、四象限，则的取值范围是 　　． 【答案】． 【分析】根据一次函数经过一、三、四象限，得出，从而求出的取值范围． 【解答】解：一次函数经过第一、三、四象限， ， ， 即的取值范围是， 故答案为：． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数，为常数，中，当，时函数图象经过第一、二、三象限；当，时函数图象经过第一、三、四象限；当，时函数图象经过第一、二、四象限；当，时函数图象经过第二、三、四象限． 12．（2024春•沙坪坝区期中）已知关于的一次函数． （1）若该函数的图象经过坐标原点，求的值； （2）若该函数图象经过第一、二、三象限，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）当时，函数图象经过第一、二、三象限． 【分析】（1）把代入函数解析式即可求得； （2）根据一次函数图象经过的象限可得，再解不等式组即可． 【解答】解：（1）由题意得， 可得； （2）由， 可得， 当时，函数图象经过第一、二、三象限． 【点评】此题主要考查了一次函数的性质和待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握①，的图象在一、二、三象限；②，的图象在一、三、四象限；③，的图象在一、二、四象限；④，的图象在二、三、四象限． 六．一次函数图象上点的坐标特征 13．（2024•鹿城区一模）若一次函数的图象经过点，，则下列结论正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】 【分析】根据一次函数的性质，可得答案． 【解答】解：当时，随的增大而增大， ．， 当时，随的增大而减小， ， 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的性质，利用一次函数的性质是解题关键． 14．（2024•武都区一模）点在正比例函数的图象上，则的值为　　 A． B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】将点的坐标代入可求得的值即可． 【解答】解：将的坐标代入，得：， 解得：． 故选：． 【点评】本题主要考查一次函数上点的坐标特征，点的坐标代入解析式中计算是关键． 15．（2024•昌吉州一模）已知直线与轴、轴分别交于点和点，是线段上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先令，均等于0，由一次函数的解析式求出相对应的和，从而求出，的坐标，再根据两点间的距离公式求出，和，再由折叠的性质求出，设点的坐标为，利用勾股定理求出的长从而求出点的坐标即可． 【解答】解：令，则， ， 令，则，解得：， 点， ， ，， 轴轴， ， ， 由折叠可知：，， ， 设点坐标为， ， ，， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 故选：． 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标和折叠，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式． 16．（2023秋•天桥区期末）若点，都在直线上，则与的大小关系是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一次函数的增减性进行求解即可． 【解答】解：一次函数解析式为，， 随增大而减小， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了一次函数的增减性，熟知对于一次函数为常数，，当时，随增大而增大；当时，随增大而减小是解题的关键． 17．（2024春•通州区期中）对于一次函数，其自变量和函数的两组对应值如表所示，则的值为　　 4 A． B． C．2 D．8 【答案】 【分析】根据待定系数法得到，即，解得再代入①式恒等变形得到． 【解答】解：将，代入函数解析式得： ， ②①得：，即， ， 将代入①得：， ． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键． 18．（2024春•渝中区校级期中）如图，点的坐标为，点在直线上运动，则线段的最短长度为　　 A． B．2 C． D．3 【答案】 【分析】根据点到直线垂线段最短进行分析计算即可． 【解答】解：点在直线上运动， 最短线段所在直线解析式的值为， 设最短线段所在直线解析式为， 将坐标代入解析式得：， 直线的解析式为：． 如图，两条直线的交点正好在轴上，即， 最短线段． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握垂线段最短是解答本题的关键． 19．（2024春•通州区期中）如图，直线分别交轴、轴于，两点，是线段上一点，，则点的坐标为 　，　． 【答案】，． 【分析】易得，，作，交直线于点，作，垂足为点，利用证明得到，，设则，，将点代入直线解析式解出值即可． 【解答】解：如图，作，交直线于点，作，垂足为点， ， ， ， ， ，， 直线解析式为直线， ，， 设则，， 点在直线的图象上， 解得： ，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一线三垂直证明全等是解答本题的关键． 20．（2024春•栾城区期中）如图，点，，当直线与线段有交点时，写出一个满足上述条件的的值是 　（答案不唯一）　． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】分别求出直线经过点和点时的值，进而得出的取值范围即可解决问题． 【解答】解：将点坐标代入得， ， 解得； 将点坐标代入得， ， 解得； 因为直线与线段有交点， 所以， 所以符合题意． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键． 21．（2024春•西山区校级期中）点在直线上，则代数式的值是 　4　． 【答案】4． 【分析】将点坐标代入可得，整理出，再整体代入所求代数式即可． 【解答】解：点在直线上， ， ， ． 故答案为：4． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标满足直线解析式是解答本题的关键． 22．（2024春•崇明区月考）一次函数的图象与轴的交点坐标为 　　． 【答案】． 【分析】当与轴的相交时，横坐标为0；再将代入解析式中，即可求出结果． 【解答】解：图象与轴的相交， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是运用代入法来解答． 七．一次函数图象与几何变换 23．（2024•邗江区二模）已知直线与轴、轴分别交于点，，将直线绕点顺时针旋转得到新的直线，则直线与轴的交点坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设直线交轴于，，，，可得出，根据将直线绕点逆时针旋转得到新的直线，即可得，故，可得． 【解答】解：设直线交轴于，如图： 在中，令得，令得， ，，； ，， ， 将直线绕点逆时针旋转得到新的直线， ， ， ， ， ， ， ， ， 直线与轴的交点坐标为； 故选：． 【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，解题的关键是画出图形，掌握函数图象上点坐标的特征和锐角三角函数的定义． 24．（2024春•龙华区校级期中）把函数的图象向上平移3个单位，则下列各坐标所表示的点中，在平移后的直线上的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接根据“上加下减”的原则求得平移后的解析式，然后把代入求得函数值即可判断． 【解答】解：由“上加下减”的原则可知，把函数的图象向上平移3个单位所得直线的解析式为：， 当时，， 所以在平移后的直线上的是， 故选：． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键． 25．（2024•锦州二模）将一次函数的图象沿轴向上平移2个单位长度后，所得新的一次函数图象与轴的交点坐标为 　　． 【答案】． 【分析】根据平移的规律，得出解析式，进而解答即可． 【解答】解：函数的图象沿轴向上平移2个单位长度得，即， 令，可得：， 解得：， 新的一次函数图象与轴的交点坐标为， 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数的性质：当，图象经过第一、三象限，随增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随增大而减小；当，图象与轴的交点在的上方；当，图象经过原点；当，图象与轴的交点在的下方，也考查了一次函数的图象与几何变换． 26．（2024•武清区二模）若将直线向下平移2个单位长度后经过点，则的值为 　1　． 【答案】1． 【分析】直线向下平移2个单位长度得到的直线为，再把代入可解得的值． 【解答】解：直线向下平移2个单位长度得到的直线为， 把代入得：， 解得， 故答案为：1． 【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握“上加下减，左加右减”的平移规律． 八．待定系数法求一次函数解析式 27．（2024春•万州区期中）一次函数中，当时，；当时，，则一次函数解析式为 　　． 【答案】． 【分析】根据待定系数法求一次函数解析式解答即可． 【解答】解：设一次函数解析式为：， 当时，；当时，， ，解得， 一次函数解析式为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是关键． 28．在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，矩形的顶点坐标分别为，，． （1）若点在直线上，求的值； （2）若直线将矩形面积分成相等的两部分，求直线的函数表达式； （3）若直线与矩形有交点（含边界），直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【分析】（1）根据矩形的性质得到点，代入，即得求得的值； （2）当直线经过矩形的对称中心时，直线把矩形分成两部分的面积相等，由点，，得其对称中心的坐标为，用待定系数法即得，即可求得； （3）当直线经过时，解得，当直线经过时，解得，即得当或时，直线与矩形有交点． 【解答】解：（1）由题意可知：点， 将点代入直线中，， 解得：． （2）矩形是中心对称图形，直线将矩形分成面积相等的两部分． 直线一定经过矩形的对称中心； 矩形顶点，， 其对称中心的坐标为， 代入直线中，解得， 直线的函数表达式为． （3）如图： ，， 直线经过时，， 解得， 当直线经过时，， 解得， 由图象可知，的取值范围是或． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式．矩形中心对称性，一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出直线经过相关顶点时的值，利用数形结合得到的范围． 九．一次函数的应用 29．（2023秋•兴化市期末）如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为，，则关于与的关系，正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可求解． 【解答】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为的两个点和， 则，， ， ， 当取横坐标为正数时，同理可得， 综上所述，， 故选：． 【点评】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题关键是取横坐标相同的点，利用纵坐标的大小关系得到比例系数的关系． 30．（2024春•重庆期中）已知张强家、体育场、文具店在同一直线上，下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中表示张强离家的时间，表示张强离家的距离，则下列结论正确的是　　 A．张强从家到体育场用了 B．体育场离文具店 C．张强在体育场锻炼了 D．张强从文具店回家的速度是 【答案】 【分析】根据函数图象提供的信息，进行计算，逐项判断即可得解． 【解答】解：由图可得： 张强从家到体育场用了，故选项错误，不符合题意； 体育场离文具店，故选项错误，不符合题意； 张强在体育场锻炼了，故选项正确，符合题意； 张强从文具店回家的速度是，故选项错误，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了从函数图象中获取信息，读懂函数图象，采用数形结合的思想是解此题的关键． 31．（2024•江岸区模拟）甲、乙两车同时从、两地出发，相向而行，甲车到达地后立即返回地，两车离地的路程（单位：与所用时间（单位：之间的函数关系如图所示，则甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据函数图象中的数据，可以分别写出甲和乙的速度，再设甲乙两地的路程，根据路程速度时间，即可求得两次相遇的时间，再作差即可． 【解答】解：设甲乙两地的路程为 ， 由图象可得， 甲的速度为，乙的速度为， 设甲和乙第一次相遇的时间为，他们第二次相遇的时间为， 由题意可得：， 解得， 则， 故选：． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 32．（2024•东昌府区模拟）小亮和大刚利用周末进行跑步锻炼．图中的函数图象表示了两人跑步的过程表示小亮和大刚从起点出发所跑的时间，，分别表示小亮和大刚所跑的路程）．下列说法：①两人出发后拉开的最大距离为米；②两人第一次相遇的时间是第40分钟；③两人两次相遇的时间间隔13分钟；④两人第二次相遇时所走的路程是米．其中全部正确的一项是　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】 【分析】根据图中数据求出小亮和大刚在整个过程中的速度，然后逐项计算即可． 【解答】解：根据图象分析： 分钟，小亮跑完3000米， 速度为（米分钟）， 分钟，大刚跑完2500米， 速度为（米分钟）， 分钟，小亮停止运动， 分钟，小亮跑到5000米， 速度为（米分钟）， 分钟，大刚跑到5000米， 速度为（米分钟）， ①根据图中和相差最大时的值为10， 此时米，米， （米， 故①正确； ②根据图象两人第一次在3000米处相遇， 此时小亮在停止阶段，大刚在分之间， （分钟）， 故②正确； ③两人第二次相遇时均处于运动状态，设此时时间为， ， ， ， 解得， 根据②中计算，两次相遇间隔时间为（分钟）， 故③错误； ④根据③中计算，在第分钟时， （米， 故④正确． 综上，正确的选项为①②④． 故选：． 【点评】本题考查一次函数的应用，能够从函数图象中获取解答问题的信息是解答本题的关键． 33．（2024春•太原期中）在数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”中，前30米为“加速期”，30米米为“中途期”，80米米为“冲刺期”．小斌某次百米赛时其速度与路程之间的关系如图所示，根据图象，运用数学模型分析下列说法不正确的是　　 A．第15米时小斌的速度是 B．加速期结束时小斌的速度最大 C．中途期小斌的速度先增大后减小 D．冲刺期，小斌的速度增加至最大 【答案】 【分析】观察图象判断即可． 【解答】解：第15米时小斌的速度是， 正确，不符合题意； 由图象可知，冲刺期结束时小斌的速度最大， 不正确，符合题意； 中途期小斌的速度先增大后减小， 正确，不符合题意； 冲刺期，小斌的速度增加至最大， 正确，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查一次函数的应用，观察图象，从图象获得数学信息是本题的关键． 34．（2024•江都区一模）漏刻（如图）是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．李明依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，下表是李明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误，错误的值为　　 2 4 7 12 1.8 2.6 4.2 5.8 A．1.8 B．2.6 C．4.2 D．5.8 【答案】 【分析】不妨设过点和点的函数解析式为，然后求出函数解析式，再将和代入求出相应的函数解析式，看是否符合题意，即可解答本题． 【解答】解：设过点和点的函数解析式为， 则， 解得， 即， 当时，， 当时，， 由上可得，点不在该函数图象上，与题目中有一个的值记录错误相符合， 故选：． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． 35．（2024•市中区二模）甲、乙两人沿同一条路线登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度（米与登山时间（分之间的函数图象如图所示．乙中途提速，提速后乙登山速度为甲登山速度的3倍，则乙追上甲时，乙距地面的高度为 　165　米． 【答案】165． 【分析】根据“速度路程时间”求出甲的速度，从而求出乙提速后的速度；设分时乙追上甲，根据“乙追上甲时，二人距地面的高度相等”列方程并求解，进而求出乙距地面的高度． 【解答】解：甲的速度（米分），则乙提速后的速度为（米分）． 设分时乙追上甲． 当乙追上甲时，二人距地面的高度相等，得，解得， （米， 乙追上甲时，乙距地面的高度为165米． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间、路程之间的数量关系是本题的关键． 36．（2024春•长清区期中）快车与慢车分别从甲乙两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙地后停留，然后按原路原速返回，快车比慢车晚到达甲地，快慢两车距各自出发地的路程与所用的时的关系如图所示．下列说法：①甲乙两地之间的路程为；②慢车的速度是；③出发，快慢两车第一次相遇；④快慢两车相距时，两车出发的时间为或，其中正确的有 　①②　（填序号） 【答案】①②． 【分析】①观察图象即可判断； ②快车在段与段行驶的路程相等、速度相等，根据“时间路程速度”可知快速在这两段时间相等，从而求出点坐标，进而求出点坐标，根据“速度路程时间”求出慢车的速度； ③快车在开往乙地的途中与慢车第一次相遇，根据“快车与甲地的距离慢车与乙地的距离甲乙两地的距离”列方程并求解即可； ④根据题意，作出慢车距甲发地的路程与所用的时的图象，利用待定系数法分别求出快车和慢车与的函数关系式，快慢两车相距时列绝对值方程并求解即可． 【解答】解：①由图象可知，甲乙两地之间的路程为， ①正确； ②快车在段与段行驶的路程相等、速度相等， 快车在段与段所用时间相等，均为（小时）， （小时）， 点的坐标为， （小时）， 点的坐标为． ， 慢车的速度是， ②正确； ③快车的速度为， 设出发 ，快慢两车第一次相遇，根据“快车与甲地的距离慢车与乙地的距离甲乙两地的距离”，得，解得， 出发，快慢两车第一次相遇， ③不正确； ④如图，是慢车距甲发地的路程与所用的时的图象，各点的坐标为，，，，． 设的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和代入， 得， 解得， 的函数关系式为． 设的函数关系式为为常数，且． 将坐标代入， 得， 解得， 的函数关系式为； 的函数关系式为； 设的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和代入， 得， 解得， 的函数关系式为． 综上，快车的函数关系式为． 当时，快慢两车相距时，，解得或； 当时，快慢两车相距时，，解得（不符合题意，舍去）； 当时，快慢两车相距时，，解得或（不符合题意，舍去）； 当时，快慢两车相距时，，解得（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）． 综上，快慢两车相距时，两车出发的时间为或或． ④不正确． 综上，①②正确． 故答案为：①②． 【点评】本题考查一次函数的应用，熟练掌握并灵活运用时间、速度和路程三者之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是本题的关键． 37．（2024•张家界模拟）如图，射线①是某公共汽车线路收支差额（票价总收入减去运营成本）与乘客量的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭转亏损，公交公司在不提高票价的情况下，决定通过优化管理来降低运营成本，改变后与的关系图为射线②．两射线与轴的交点坐标分别是，，则当乘客为1万人时，改变后的收支差额较之前增加 　0.6　万元． 【答案】0.6． 【分析】利用待定系数法分别求出①②的解析式，再把代入解答即可． 【解答】解：设①所在所在直线的解析式为，则： ， 解得， ①所在所在直线的解析式为； 由题意可知，直线②由①平移得到， 设②所在所在直线的解析式为，则： ， 解得， 所在所在直线的解析式为， （万元）， 改变后的收支差额较之前增加0.6． 故答案为：0.6． 【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法是解答本题的关键． 38．（2024•浦东新区三模）在“生活中的函数”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步回家．小明离家的距离与他所用的时间的关系如图所示．当小明离家时，他离开家所用的时间是 　12或　分． 【答案】12或． 【分析】小明离家时，有两个时间，第一个时间是小明从家跑步去体育场的过程中存在离家，利用路程速度可得此时间，第二个时间利用段解析式可求得． 【解答】解：小明家离体育场的距离为，小明跑步的平均速度为， 当小明离从家出发时，所用时间为：（分钟）； 如图，，， 设的解析式为：， 则， 解得， 的解析式为：， 当时，，解得， 即小明返回离家时，他离开家所用的时间是分． 综上所述，当小明离家时，他离开家所用的时间是12或分． 故答案为：12或． 【点评】本题考查了一次函数的应用，正确求出段解析式是解答本题的关键． 39．（2023秋•上城区期末）综合与实践 生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度 素材1 如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）． 素材2 对于该背包的背带长度进行测量，设双层的部分长度是 ，单层部分的长度是 ，得到如下数据： 双层部分长度 2 6 10 14 单层部分长度 116 108 100 92 70 素材3 单肩包的最佳背带总长度与身高比例为 素材4 小明爸爸准备购买此款背包．爸爸自然站立，将该背包的背带调节到最短提在手上，背带在背包的悬挂点离地面的高度为；已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的． 任务1 在平面直角坐标系中，以所测得数据中的为横坐标，以为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接，根据图象思考变量、是否满足一次函数关系．如果是，求出该函数的表达式，直接写出值并确定的取值范围． 任务2 设人身高为，当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高与这款背包的背带双层部分的长度之间的函数表达式． 任务3 当小明爸爸的单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时．求此时双层部分的长度． 【答案】任务1：描点并作图见解答；是，，25； 任务； 任务． 【分析】任务1：直接描点并作图，利用待定系数法求出函数关系式，并求出的最大值和最小值；当时求出的值即可． 任务2：根据“背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和”和与之间的函数关系式，用含的代数式将背带的总长度表示出来，再由背带总长度与身高的比例关系列出等式，将表示为的函数的形式即可； 任务3：当背包的背带调节到最短时都为双层部分，求出此时的值，从而求出手离地面的高度；设小明爸爸的身高为未知数，根据臂展与身高的关系及肩宽，将一条胳膊的长度用身高表示出来，头顶到肩膀的垂直高度、一条胳膊的长度、手离地面的高度之和为身高，利用此等量关系列方程求出身高，将其代入任务2中得到的函数关系式，求出对应的值即可． 【解答】解：任务1：描点并作图如图所示： 根据图象可知，变量、满足一次函数关系． 设、为常数，且， 将，和，代入， 得，解得， ． 将和代入， 得，解得； 当背带都为单层部分时，； 当背带都为双层部分时，，即，解得， 的取值范围是． 任务背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和， 总长度为， 当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，得， ． 任务3：由素材可知，当背包的背带调节到最短时都为双层部分，即，． 背包提在手上，且背包的悬挂点距地面高度为， 手到地面的距离为，即． 设小明爸爸的身高为 ． 臂展和身高一样，且肩宽为， 小明爸爸一条胳膊的长度为， ，解得， 根据任务2，得，解得， 此时双层部分的长度为． 【点评】本题考查一次函数的应用，理解题意、利用待定系数法求函数关系式、求出小明爸爸的身高是本题的关键． 40．（2024春•青岛期中）某电信公司有甲、乙两种收费方式，除按流量收取上网费外，甲种方式还需收取基础费而乙种不需要．两种方式的费用（元与上网流量之间的关系如图所示： （1）填空：甲种收费的函数表达式是 　　乙种收费的函数表达式是 　　． （2）请你根据不同的上网流量帮忙确定选择哪种交费方式较合算． 【答案】（1），； （2）当上网流量多于时，选择甲种交费方式较合算；当上网流量等于时，选择甲种或乙种交费方式均可，同样合算；当上网流量少于时，选择乙种交费方式较合算． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分别比较两种收费方式对应函数值的大小，求出对应的取值范围即可． 【解答】解：（1）设甲种收费的函数表达式是、为常数，且． 将坐标和代入， 得， 解得， 甲种收费的函数表达式是． 设乙种收费的函数表达式是为常数，且． 将坐标代入， 得， 解得， 乙种收费的函数表达式是． 故答案为：，． （2）当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 当上网流量多于时，选择甲种交费方式较合算；当上网流量等于时，选择甲种或乙种交费方式均可，同样合算；当上网流量少于时，选择乙种交费方式较合算． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数表达式、一元一次不等式的解法是本题的关键． 41．（2024春•新郑市期中）某游泳馆泳池为长方体，其底部是长为，宽为的长方形，经测量可知泳池中现有水的高度为，现打开进水阀，每小时可注入水． （1）写出泳池中水的体积与注水时间之间的函数关系式． （2）注水多长时间后，泳池中水的高度为？ 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据“泳池中水的体积泳池中原有水的体积新注入的水的体积”作答即可； （2）根据长方体的体积公式，计算泳池中水的高度为水的体积，当这个数值代入（1）中得到的函数关系式，求出对应的值即可． 【解答】解：（1）根据题意，得， 与的函数关系式为． （2）当泳池中水的高度为时，水的体积为， 当时，得， 解得， 注水后，泳池中水的高度为． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握长方体的体积公式是解题的关键． 42．（2024•漳州模拟）甲、乙两家商店以同样的价格出售品质相同的枇杷，枇杷单价均是40元且包邮．在直播带货活动中，甲商店的优惠方案是一律打九折；乙商店的优惠方案如表为常数） 一次性购买质量 优惠方案 不优惠 超过的部分打七五折 设购买枇杷 ，，（单位：元）分别表示顾客到甲、乙两家商店购买枇杷的费用． （1）写出，关于的函数表达式； （2）在此次活动中，小丽在两家商店分别购买的枇杷，结果费用相同，求的值； （3）请你帮助顾客设计一个购买方案，选择哪家商店更合算？ 【答案】（1）；； （2）； （3）当时，到甲商店购买更合算；当时，到甲乙两家商店购买费用相同；当时，到乙商店购买更合算． 【分析】（1）根据题意分别写出，关于的函数表达式即可； （2）小丽在两家商店分别购买的枇杷的费用相同，列出方程，解方程求出的值； （3）由（2）可得出购买方案． 【解答】解：（1）根据题意得：； 当时，， 当时，， 关于的函数表达式为； （2）小丽在甲商店购买枇杷的费用为：（元， 小丽在乙商店购买枇杷的费用为， 小丽在两家商店分别购买的枇杷的费用相同， ， 解得； （3）由（2）可知，当时，到甲商店购买更合算； 当时，到甲乙两家商店购买费用相同； 当时，到乙商店购买更合算． 【点评】此题主要考查了一次函数的应用，求出函数解析式是解题关键． 43．（2024春•滕州市期中）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元，超出部分按原价的8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元，超出部分按原价的8.5折优惠．设顾客预计累计购物元． （1）在甲超市购物所付费用为元，在乙超市购物所付费用为元，请分别求出，关于的函数解析式； （2）试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由． 【答案】（1），； （2）当时，到甲超市购物更优惠；当时，到甲、乙两超市购物所付费用一样多，任选一家即可；当时，到乙超市购物更优惠． 【分析】（1）分别根据“在甲超市购物所付费用折扣超出300元部分”和“在乙超市购物所付费用折扣超出200元部分”作答即可； （2）分别计算当、、时对应的取值范围即可． 【解答】解：（1）根据题意，得，， 关于的函数解析式为，关于的函数解析式为． （2）当时，到甲超市购物更优惠；当时，到甲、乙两超市购物所付费用一样多，任选一家即可；当时，到乙超市购物更优惠．理由如下： 当时，得，解得； 当时，得，解得； 当时，得，解得； 当时，到甲超市购物更优惠；当时，到甲、乙两超市购物所付费用一样多，任选一家即可；当时，到乙超市购物更优惠． 【点评】本题考查一次函数的应用，分别根据“在甲超市购物所付费用折扣超出300元部分”和“在乙超市购物所付费用折扣超出200元部分”写出，关于的函数解析式是解题的关键． 44．（2024•柳南区三模）综合与实践 【知识背景】大豆，通称黄豆，属一年生草本，是我国重要粮食作物之一，已有五千年栽培历史，古称“菽”．某校综合实践小组以探究“大豆种植密度优化方案”为主题开展实验研究，探究大豆产量与种植密度的关系． 【研究步骤】 （1）在劳动实践基地中选定6块单位面积平方米）的地块作为试验田，并选定适宜的大豆品种； （2）在不同试验田中种植株数不同的大豆，严格控制影响大豆生长的其它变量，在大豆成熟期，对每株大豆的产量进行统计； （3）数据分析，形成结论． 【实验数据】 实验田编号 1 2 3 4 5 6 单位面积试验田种植株数（株 30 40 50 60 70 80 单株的平均产量（粒 51 46 41 36 31 26 【数学建模】请根据以上材料完成下列任务； （1）根据表中信息推理，单位面积试验田中大豆单株的平均产量（粒是种植株数（株的 　一次　函数（选填“一次”“二次”“反比例” ，与的函数关系式为 　　； （2）若要使单位面积试验田中大豆的总产量（单位：粒）最大，请通过计算说明单位面积试验田中大豆植株种植的方案； （3）单位面积试验田中大豆的总产量能否达到2160粒，请说明理由． 【答案】（1）一次，； （2）单位面积试验田中种植66株大豆； （3）能，理由见解答． 【分析】（1）根据表中数据，单位面积试验田种植株数每增加10株，单株的平均产量减少5粒，故是的一次函数，利用待定系数法求其函数关系式即可； （2）设单位面积试验田中大豆的总产量为粒，根据“单位面积试验田中大豆的总产量单位面积试验田种植株数单株的平均产量”写出关于的函数关系式，求出当的值最大时对应的值即可； （3）当时，求出对应的值，若它符合题意，则说明单位面积试验田中大豆的总产量能达到2160粒，否则说明不能达到2160粒． 【解答】解：（1）根据表中数据，单位面积试验田种植株数每增加10株，单株的平均产量减少5粒， 是的一次函数； 设与的函数关系式为、为常数，且． 将，和，分别代入， 得， 解得， 与的函数关系式为． 故答案为：一次，． （2）设单位面积试验田中大豆的总产量为粒，则， ， 当时，的值最大， 单位面积试验田中种植66株大豆可使单位面积试验田中大豆的总产量最大． （3）单位面积试验田中大豆的总产量能达到2160粒．理由如下： 当时，解得或， 单位面积试验田中大豆的总产量能达到2160粒． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数的判断方法和二次函数的性质及一元二次方程的解法是本题的关键． 45．（2024•碑林区校级模拟）《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为． （1）通过记录实验数据得知箭尺读数和供水时间近似满足一次函数的关系，当时，，当时，，如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，画出时的函数图象，并求出它的函数表达式． （2）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么到下午3点时，箭尺读数增加了多少？ 【答案】（1）图象见解答；箭尺读数和供水时间的函数解析式为； （2）箭尺读数增加了． 【分析】（1）在平面直角坐标系中描点并连线即可；用待定系数法求出函数解析式即可； （2）分别把和代入（1）中得到的函数解析式求出对应的主的值即可． 【解答】解：（1）箭尺读数和供水时间的函数解析式为， 把当时，，当时，代入解析式得： ， 解得， 箭尺读数和供水时间的函数解析式为； 如图： （2）当时，； 当时，， ， 箭尺读数增加了． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的特点并利用待定系数法求函数的解析式是本题的关键． 46．（2024•秦淮区校级模拟）小郑和小外同时从出发进行的游泳比赛，小郑游泳速度不变．图中的实线表示部分小外在游泳过程中与的距离和游泳的时间之间的关系，虚线表示小郑在游泳过程中与的距离和游泳的时间之间的关系． （1）小郑游泳的平均速度为 　　，游泳池的长度为 　　． （2）小外在后速度增加，并以增加后的速度匀速行驶，若小外和小郑同时到达终点， ①请补全小外的函数图象； ②小郑出发多长时间后，两人相距？（直接写出结果） 【答案】（1），25； （2）①补全小外的函数图象见解答过程； ②小郑出发、、、、、时，两人相距． 【分析】（1）观察图象，根据速度路程时间可得小郑游泳的平均速度，由100除以往返次数4可得游泳池的长度； （2）①求出关键点的横坐标，再描点可画出图象； ②求出函数关系式，再分类讨论，列方程即可解得答案． 【解答】解：（1）曲线为小郑的运动图象，用时， 小郑游泳的平均速度为， 小郑来回游了4次， 游泳池的长度为， 故答案为：，25； （2）①小外在后游泳的速度也保持不变，且小郑和小外同时到达终点， 小外剩余时间3等分，每份为， 图象关键点的横坐标为70，95，120， 函数图象如图所示： ②小郑的函数表达式为：，，，， 小外的函数表达式为：，，，， （Ⅰ）当时，，解得，符合题意， （Ⅱ）当时，，解得，符合题意， （Ⅲ）当时，，解得，符合题意， （Ⅳ）当时，，解得，不符合题意，舍去， （Ⅴ）当时，，解得，符合题意， （Ⅵ）当时，，解得，符合题意， （Ⅶ）当时，，解得，符合题意， （Ⅷ）当时，，解得，不符合题意，舍去， （Ⅸ）当时，，解得，不符合题意，舍去， 综上所述，小郑出发、、、、、时，两人相距． 【点评】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是分类讨论思想的应用． 47．（2024春•市中区校级月考）某校门口道路中间的隔离护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为0.2米，立柱间距为3米． 立柱根数 1 2 3 4 护栏总长（米 0.2 3.4 9.8 （1）根据如图所示，写出表格中的　6.6　； （2）设有根立柱，护栏总长度为米，求与之间的关系式； （3）求护栏总长度为93米时立柱的根数？ 【答案】（1）6.6； （2）； （3）护栏总长度为93米时立柱的根数为30根． 【分析】（1）根据图示列出式子求解即可． （2）由题意得与之间的关系式为：； （3）当时，代入与之间的关系式，求解． 【解答】解：（1）根据题意得：； 故答案为：6.6； （2）根据题意得：与之间的关系式为： ； （3）当时，， 解得：， 即护栏总长度为93米时立柱的根数为30根． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用，列函数关系式，求自变量，解答本题的关键是找准等量关系，列出函数关系式． 48．（2024春•市中区校级月考）某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用气量为立方米，应交煤气费为元． （1）分别写出煤气不超过50立方米和超过50立方米时，与之间的关系式； （2）若小丽家4月份的煤气费为88元，那么她家4月份所用煤气为多少立方米？ （3）已知小丽家6月份的煤气费平均每立方米0.95元，那么6月份小丽家用了多少立方米的煤气？ 【答案】（1）当时，；当时，； （2）小丽家4月份用煤气90立方米； （3）6月份小丽家用了80立方米的煤气． 【分析】（1）根据题意计算即可； （2）设小丽家4月份所用煤气量为立方米，先判断是否大于50，然后代入对应的关系式中求值即可； （3）设6月份小丽家用了立方米的煤气，先判断是否大于50，然后根据题意列方程，并解方程即可． 【解答】解：（1）当时，； 当时，； （2）设小丽家4月份用煤气立方米， （元，而88元元， 根据题意得：， 解得：， 答：小丽家4月份用煤气90立方米； （3）设6月份小丽家用了立方米的煤气， 根据题意得：， 解得：， 答：6月份小丽家用了80立方米的煤气． 【点评】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出函数解析式． 一十．一次函数综合题 49．（2023秋•沙坪坝区校级期末）已知四边形是平行四边形，，，，为延长线上一点，，动点，同时从点出发，点以每秒5个单位长度的速度沿折线方向运动，点以每秒3个单位长度的速度沿折线方向运动，当点到达点时，两者都停止运动．设运动时间为秒，点，的距离为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）当时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； （3）． 【分析】（1）分两种情况，当点在上，点在上时，，证明，得出，求出；当点在上，点在上时，，可求出； （2）描点、连线即可画出图象，再观察的图象，可以从增减性写出函数的一条性质； （3）结合图象即可求解． 【解答】解：（1）当点在上，点在上时，， 由题意可知，， ， ， ， ， ； 当点在上，点在上时，， ，，， ． 关于的函数表达式为； （2）函数图象如图所示； 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； （2）当时，由图象可知． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，求一次函数的解析式，根据解析式画一次函数的图象，一次函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 50．（2024•秦淮区校级模拟）方格纸中的数学——运算线 【加法线】如图①，作的加法线，先在横线上找到第一个加数7并作横线的垂线，再在竖线上找到第二个加数4并作竖线的垂线，两条垂线相交于点，过点沿小方格对角线作直线，与横线相交于点，则点在横线上所表示的数为11，则为的11号加法线号加法线上任一点向横线和竖线作垂直后，垂足在横线与竖线上所表示的数之和为11． （1）在图②中画出的9号加法线； 【减法线】 （2）类比画加法线的方法，在图②中画出的5号减法线． 【换个角度看】 （3）①已知两个数、，判断的11号加法线与的5号减法线的位置关系并说明理由（可借助图③说理）； ②若0所表示的点为坐标原点，以横线为轴，竖线为轴．则的11号加法线与的5号减法线所表示的函数表达式分别是 　，　． 【乘法线】 （4）如图④，若0所表示的点为坐标原点，以横线为轴，竖线为轴，与乘数2的积的乘法线称为2号乘法线．求2号乘法线的函数表达式； 【应用】 （5）某校数学社团男同学比女同学多8人，且男同学人数是女同学人数的3倍，在图⑤中，利用运算线求男同学的人数． （6）号乘法线为常数，上任一点的函数值与差的2号减法线和的3号加法线．当时，．结合图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1）见解析：（2）见解析；（3）①互相垂直；②，；（4）；（5）男同学人数是12人；（6）． 【分析】（1）根据新定义，类比画出的9号加法线； （2）根据新定义，类比画出的5号加法线； （3）①观察图象即可求解； ②根据题意写出解析式，即可求解； （4）依题意，与乘数2的积的乘法线称为2号乘法线，即； （5）设男同学的人数为人，女同学的人数为人，分别画出号乘法线与的8号减法线，交点的横坐标即为所求； （6）根据题意得，，则过定点，进而画出函数图象，结合函数图象，即可求解． 【解答】解：（1）在图②中画出的9号加法线，如图所示， 作的加法线，先在横线上找到第一个加数3并作横线的垂线，再在竖线上找到第二个加数6并作竖线的垂线，两条垂线相交于点，过点沿小方格对角线作直线，1与横线相交于点，则点在横线上所表示的数为9，则为的9号加法线． （2）作的减法线，先在横线上找到第一个被减数8并作横线的垂线，再在竖线上找到第二个减数3并作竖线的垂线，两条垂线相交于点，过点沿小方格对角线作直线，1与横线相交于点，则点在横线上所表示的数为5，则为的5号减法线． （3）①如图所示， 的11号加法线与的5号减法线的位置关系是互相垂直， 根据网格的特点可得两直线经过正方形的对角线， 的11号加法线与的5号减法线的位置关系是互相垂直． ②， ， ， 则． 故答案为：，． （4）依题意，与乘数2的积的乘法线称为2号乘法线，即， 所以2号乘法线的函数表达式为． （5）设男同学的人数为人，女同学的人数为人， 依题意，，， 即画出号乘法线与的8号减法线， 如图所示，交点对应的横坐标为， 男同学人数是12人． （6）如图所示， 2号减法线的解析式为， 3号加法线的解析式为， 号乘法线为常数，上任一点的函数值与的2号减法线和的3号加法线， 设号乘法线的解析式为， ，， 则过定点， 如图所示， 当时，， 当时，， 将代入得， ， 结合函数图象可得． 【点评】本题考查了一次函数的综合应用，灵活运用一次函数的性质是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$