第4章 一次函数 培优突破练习【10个考点50题专练】2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第4章 一次函数 培优突破练习【10个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版数学八年级上册 考点梳理 一．函数值 二．函数的图象 三．函数的表示方法 四．一次函数的性质 五．一次函数图象与系数的关系 六．一次函数图象上点的坐标特征 七．一次函数图象与几何变换 八．待定系数法求一次函数解析式 九．一次函数的应用 一十．一次函数综合题 考点精讲精练 一．函数值 · 函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 1．（2021•黄州区校级自主招生）若函数，当自变量取1，2，3，，100个自然数时，函数值的和是　　 A．374 B．390 C．765 D．578 2．设，则关于的性质，正确的一项为　　 A．对任意实数，总是大于0 B．对任意实数，总是小于0 C．当时， D．以上均不对 二．函数的图象 · 函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．． 3．（2020•汉阳区校级自主招生）小雨利用几何画板探究函数图象，在他输入一组，，的值之后，得到了如图所示的函数图象，根据学习函数的经验，可以判断，小雨输入的参数值满足　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（2017•和县一模）从甲地到乙地的铁路路程约为615千米，高铁速度为300千米小时，直达；动车速度为200千米小时，行驶180千米后，中途要停靠徐州10分钟，若动车先出发半小时，两车与甲地之间的距离（千米）与动车行驶时间（小时）之间的函数图象为　　 A． B． C． D． 三．函数的表示方法 · 函数的表示方法 函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化． 5．（2024春•长安区期中）小英的爸爸用中国移动的套餐月租为58元，包含通用流量和国内拨打电话200分钟，其中通用流量他每月都用不完，超出套餐部分国内拨打电话0.19元分钟（不足1分钟按1分钟时间收费）．如表是超出套餐部分国内拨打电话的收费标准： 时间分 1 2 3 4 5 6 电话费元 0.19 0.38 0.57 0.76 0.95 1.14 （1）这个表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）他上个月拨打电话的时间为225分钟，求他上个月支付的费用是多少元？ （3）设他某月拨打电话时间为分钟，支付费用为元，求与的关系式； （4）若他某月业务多，支付费用86.5元，求他该月拨打电话的时间是多少分钟？ 四．一次函数的性质 · 一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． · 一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 6．（2017秋•萧山区期末）已知，，那么对于一次函数，给出下列结论：①函数一定随的增大而增大；②此函数图象与坐标轴所围成的三角形面积最大为，则下列判断正确的是　　 A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都正确 D．①，②都错误 五．一次函数图象与系数的关系 · 一次函数图象与系数的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 7．（2023•灞桥区校级模拟）已知直线与直线在第三象限交于点，若直线与轴的交点为，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 8．（2022•武侯区模拟）如图，在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”．已知点的坐标为，点的坐标为，是轴上一点，连接，，，．现设直线的函数解析式为，记线段，，，所围成的封闭区域（不含边界）为，若区域内的整点个数为6，则的取值范围是 　　． 六．一次函数图象上点的坐标特征 · 一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 9．（2021•镇江二模）已知点在经过原点的一条直线上，且，则的值为　　 A． B． C．0 D． 10．（2023春•青山区期末）如图，已知点，点，分别是直线和直线上的动点，连接，．则的最小值为　　 A．2 B． C． D． 11．（2015•岱岳区二模）如图，直线与直线相交于点，直线与轴交于点，一动点从点出发，先沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于轴的方向运动，到达直线上的处后，再沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于轴的方向运动，达到直线上的点处后，仍沿平行于轴的方向运动，照此规律运动，动点依次经过点，，，，，，，，，则当动点到达处时，运动的总路径的长为　　 A． B． C． D． 12．（2019春•乐清市期中）如图所示，已知直线与、轴交于、两点，，在内依次作等边三角形，使一边在轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第1个△，第2个△，第3个△，则第个等边三角形的边长等于　　 A． B． C． D． 13．（2023春•郾城区期末）已知，、，是一次函数图象上两点，且，则的取值范围为　　． 14．（2022•黄州区校级自主招生）已知是整数，且，由直线和直线与轴及轴所围成的图形面积为，则的最小值是 　　． 15．直线、为常数）分别与轴、轴交于点，、，动点的坐标为，为常数）． （1）当　　时，有且仅有一个满足条件的的值，使得点在直线上； （2）若有且仅有两个符合条件的的值，使得点到直线的距离为1，则的取值范围是 　　． 16．（2024春•西城区校级期中）画出函数的图象． （1）列表： 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 （2）描点并连线； （3）已知点在函数图象上，求出的值； （4）观察上述图象：当　　时，有最 　　值，这个值是 　　； （5）当时，随的增大而 　　 七．一次函数图象与几何变换 · 一次函数图象与几何变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 17．（2020•碑林区校级模拟）若直线与直线关于直线对称，则、值分别为　　 A．、 B．、 C．、 D．、 18．（2014春•江汉区期末）将直线先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后的直线解析式为 　　． 八．待定系数法求一次函数解析式 · 待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 19．已知一次函数，当时，，则的值为　　 A．3 B．2 C． D．2或 九．一次函数的应用 · 一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 20．（2021•北碚区校级模拟）甲、乙两人同时骑自行车分别从，两地出发到，两地之间的地，且，，三地在同一直线上．当乙到达地时甲还未到达，乙在地等了5分钟，接到甲的电话说他的自行车坏了需要工具修理，于是乙在地拿了工具箱立即以原来倍的速度前往甲坏车处，乙与甲汇合后帮助甲花了10分钟修好自行车，然后两人以甲原来倍的速度骑行同时到达地．甲、乙两人距地的距离之和（米与甲所用时间（分钟）之间的函数关系如图所示（乙接电话和找工具箱的时间忽略不计）．则以下说法错误的是　　 A．甲原来的速度为150米分钟，乙原来的速度为200米分钟 B．甲坏车处距离地2625米 C．，两地之间的距离为4125米 D．，两地之间的距离为6875米 21．（2022•北碚区校级开学）、两地相距2400米，甲、乙两人准备从地出发去地，甲出发5分钟后，乙再出发，两人到达地后，停止运动．甲乙之间的距离与甲运动时间之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是　　 A．乙每分钟比甲多走 B．乙出发后两人相遇 C．乙到达地时，甲距离地还有 D．相遇前，甲走或时两人相距 22．（2023秋•罗湖区校级期末）已知甲，乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，货车改变速度 继续出发后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离与货车行驶时间之间的函数图象，则下列说法错误的是　　 A． B．点的坐标为 C．出租车从乙地返回甲地的速度为 D．出租车返回的过程中，货车出发或都与出租车相距 23．（2023•湖北开学）有10条不同的直线，2，3，4，5，6，7，8，9，，其中，，则这10条直线的交点个数最多是　　 A．38 B．39 C．40 D．41 24．（2023春•新市区期末）甲、乙两人在同一直线道路上同起点、同方向、同时出发，分别以不同的速度匀速跑步1000米，甲超出乙150米时，甲停下来等候乙，甲、乙会合后，两人分别以原来的速度继续跑向终点，先到终点的人在终点休息，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离（米与乙出发的时间（秒之间的关系如图所示，则甲到终点时，乙距离终点还有　　米． 25．（2021春•株洲期末）甲、乙两小朋友都从地出发，匀速步行到地、两地之间为笔直的道路），甲出发半分钟后，乙才从地出发，经过一段时间追上甲，两人继续向地步行，当甲、乙之间的距离刚好是70米时，乙立刻掉头以原速度向地步行，半分钟后与甲相遇，乙又立刻掉头向地以原速度步行（两次掉头时间忽略不计）．甲、乙相距的路程为（米与乙出发的时间（分钟）之间的关系如图所示，当乙到达地时，甲与地相距的路程是 　　米． 26．（2023秋•寿县期末）甲、乙两车分别从、两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为，甲、乙两车离中点的路程（千米）与甲车出发时间（时的关系图象如图所示，则下列说法：（1）、两地之间的距离为180千米；（2）乙车的速度为36千米时；（3）的值为3.75；（4）当乙车到达终点时，甲车距离终点还有30千米；其中正确的说法是 　　（把正确答案的序号全部写出来）． 27．（2018春•沙坪坝区校级月考）在甲、乙两城市之间有城市丙，一辆客车从甲地匀速驶往乙地，一辆货车从乙地匀速驶往甲地，两车同时出发，客车、货车离丙的距离（千米），（千米）与行驶的时间（小时）的函数图象如图中实线所示，同时，有一辆邮政车从丙出发去甲地取货后返回乙地（取货的时间忽略不计），整个过程速度保持不变，邮政车离丙的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系如图中的虚线所示，在整个运动过程中，经过　　小时，邮政车最后一次与客车、货车的距离相等． 28．（2019•沙坪坝区校级模拟）甲乙两人分别从、两地相向而行，甲先走3分钟后乙才开始行走，甲到达地后立即停止，乙到达地后立即以另一速度返回地．在整个行驶的过程中，两人保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人之间的距离（米与乙出发的时间（分钟）的函数关系如图所示．当甲到达地时，则乙距离地的时间还需要　　分钟． 29．、两码头之间是一段静水直线河道．一艘科考船从码头出发45分钟后突发故障，发出求救信号的同时立即原地调头，调头后以原速返航．与此同时，码头的救生艇接到求救信号后立刻出发与科考船会合，排除故障后，科考船再次原地调头以原来的1.5倍速度向码头前进．救生艇在科考船完成调头后出发的同时以原速返回码头停止运动，科考船到达码头后也停止运动．两船之间的距离（千米）与科考船出发时间（分钟）的函数关系如图所示（其中发出信号、接收信号、维修故障以及快艇调头的时间均忽略不计；科考船两次调头所用时间相同；两船均视为匀速运动），则两码头之间间隔 　　千米． 30．（2017秋•沙坪坝区校级期末）一艘货轮从乙地逆流匀速驶向甲地，同时另一艘“长江号”游轮则从甲地出发顺流匀速驶向乙地，行至某处，发现游轮上的救生艇不知何时落入水中，游轮立即原地调头沿原路返回，遇到救生艇并打捞上来（打捞救生艇的时间忽略不计）后立即调头继续顺流驶向乙地，结果游轮比货轮早到目的地，已知游轮每次原地调头时间为15分钟，救生艇顺流的速度与水速相同，游轮和货轮在静水中的速度相同．在整个过程中，游轮和货轮之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，则救生艇在水中顺流的时间为　　小时． 31．（2019春•沙坪坝区校级期末）2019年6月12日，重庆直达香港高铁的车票正式开售，据悉，重庆直达香港的这趟次高铁预计在7月份开行，全程1342公里只需7个半小时．该车次沿途停靠站点包括遵义、贵阳东、桂林西、肇庆东、广州南和深圳北．重庆直达香港高铁开通将为重庆旅游业发展增添生机与活力，预计重庆旅游经济将创新高．在此之前技术部门做了大量测试，在一次测试中一高铁列车从地出发，匀速驶向地，到达地停止；同时一普快列车从地出发，匀速驶向地，到达地停止．且，两地之间有一地，其中，如图①，两列车与地的距离之和（千米）与普快列车行驶时间（小时）之间的关系如图②所示．则高铁列车到达地时，普快列车离地的距离为　　千米． 32．（2024春•左权县期中）由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过，对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 谛回答下列问题： （1）当刹车时车速为时，刹车距离是 　　； （2）根据如表反映的规律写出该种型号汽车与之间的关系式：　　； （3）该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为，推测刹车时车速是多少？并说明事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？（相关法规：《道路交通安全法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时120公里． 33．（2024•南安市模拟）某学校、电影院、市体育馆依次在一条东西向的路上．某日，甲同学到距离学校的电影院看电影，在电影院内停留后，以的速度步行到达市体育馆．甲同学与学校的距离（单位：与时间（单位：的关系如图所示． （1）求甲同学与学校的距离关于时间的函数解析式； （2）乙同学在甲到达电影院后从学校出发，以的速度步行去市体育馆，他们会在路上相遇吗？请说明理由． 34．（2024•盐城二模）甲、乙两名工人分别加工个同种零件．甲先加工一段时间，由于机器故障进行维修后继续按原来的工作效率进行加工，当甲加工1.5小时后乙开始加工，乙的工作效率是甲的工作效率的3倍．如图分别表示甲、乙加工零件的数量 （个与甲工作时间 （时的函数图象． （1）甲的工作效率为　　个时，维修机器用了　　小时； 乙的工作效率是　　个时； （2）乙加工多长时间与甲加工的零件数量相同，并求此时乙加工零件的个数； （3）若乙比甲早1小时完成任务，求的值． 35．（2024•官渡区二模）某运输公司安排甲、乙两种货车共20辆运送176吨物资到，两地．已知每辆甲种货车装10吨物资，每辆乙种货车装8吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资． （1）这20辆货车中甲、乙两种货车各有多少辆？ （2）两种货车运费如表： 目的地 车型 地（元辆） 地（元辆） 甲种货车 1200 900 乙种货车 1000 750 现安排这20辆货车中的10辆前往地，其余前往地．设前往地的甲种货车有辆，这20辆货车的总运费为元．求当为何值时最小，并求出最小值． 36．（2024春•和平区期中）下面是某项目化学小组的部分学习过程再现，请阅读并解答问题： 【项目主题】品味经典，感悟数学 【童话故事】“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉：兔子和乌龟同时从起点出发，比赛跑步．领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，就在路边的小树下睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，最终乌龟先到达终点． 【分组探究】我们假设乌龟和兔子的速度及赛场均保持不变，第一小组经探讨研究用图1刻画了“龟兔赛跑”的故事，其中（分表示乌龟从起点出发所行的时间，（米表示兔子所行的路程，（米表示乌龟所行的路程． 问题1：分别求乌龟和兔子的速度． 问题2：乌龟是在何时超过的兔子？ 第二小组对童话故事进行了改编： 象子输了比赛，心里很不服气它们约定再次赛跑，兔子让乌龟先跑30分钟，它才开始追赶． 问题3：请在图2中画出兔子所行的路程与之间的图象，并直接判断谁先到达终点． 第三小组也对童话故事进行了改编： 兔子让乌龟从路边小树处（兔子第一次睡觉的地方）起跑，它们同时出发． 问题4：请在图3中画出兔子所行的路程与和乌龟所行路程与之间的图象，并直接判断谁先到达终点． （仿照图1完成图2和图3．要求标注出关键点对应横轴与纵轴的位置及数量） 37．（2024•碑林区校级模拟）西安是今年五一假期热门旅游城市之一，在这里，人们穿着汉服拍照，实现了传统与时尚的融合．汉服热销，晏瑞抓住商机，多次购进汉服并销售．经过调查发现，每套汉服的售价（元与进价（元之间满足一次函数关系，当进价为96元时，售价为140元；当进价为112元时，售价为160元． （1）求售价（元与进价（元之间的函数关系式； （2）若晏瑞以120元套的进价购进150套汉服，则销售完这批汉服可获利多少元？ 38．（2024春•新郑市期中）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示． （1）分别求出轿车和货车的平均速度． （2）求轿车到达终点时，货车离终点的距离． （3）货车出发多长时间后，两车相距？ 39．（2024•二道区校级模拟）甲骑摩托车从地去地，乙开汽车从地去地，两人同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止．甲、乙两人间的距离与甲行驶的时间之间的关系如图所示． （1）以下是点，，所代表的实际意义，请将，，填入对应的横线上． ①甲到达终点：　　；②甲、乙两人相遇：　　；③乙到达终点：　　． （2）甲出发多少小时后，甲、乙两人相距？ 40．（2024•中山市校级二模）2023年3月22日是第三十一届“世界水日”，联合国呼吁全世界关注和重视水资源的重要性．小明同学发现水龙头关闭不严会造成滴水浪费．为了倡议全校同学节约用水，他做了如下试验：用一个足够大的量杯，放置在水龙头下观察量杯中水量的变化情况．已知量杯中原来装有水，内7个时间点量杯中的水量变化如下表所示，其中表示时间，表示量杯中的水量． 时间 0 5 10 15 20 25 30 量杯中的水量 10 20 30 40 50 60 70 解决下列问题： （1）在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点并连线； （2）结合表中数据写出量杯中的水量关于时间的函数表达式 　　（不要求写自变量的取值范围）； （3）在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，估算照这样漏一天量杯中的水量约为多少． 41．（2024春•滕州市期中）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元，超出部分按原价的8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元，超出部分按原价的8.5折优惠．设顾客预计累计购物元． （1）在甲超市购物所付费用为元，在乙超市购物所付费用为元，请分别求出，关于的函数解析式； （2）试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由． 42．（2024•西安三模）甲乙两人相约去华山踏青，上午，甲开车从南郊出发，同时乙坐出租车从东郊出发．上午，甲在离南郊处的地方追上乙并继续前行，途中甲在某高速服务区加油休息，然后继续按原速前行，最后甲乙同时到达华山风景区入口处．甲乙离南郊的路程与所用时间的函数关系如图所示． （1）求乙离南郊的路程与所用时间的函数表达式； （2）求甲在某高速服务区加油休息所用的时间． 43．（2024•长春校级二模）用甲、乙两个机器加工一批零件，两个机器同时开始加工，加工一段时间后，甲机器进行检修，乙机器以原来的效率加工，检修结束后，甲机器提高工作效率继续加工，两个机器共用了完成任务，两个机器加工的零件总数（件与乙机器加工时间之间的函数图象如图所示． （1）乙机器的工作效率是 　　件，甲机器提速后的工作效率是 　　件； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）当甲机器加工130个零件时，的值为 　　． 一十．一次函数综合题 · 一次函数综合题 （1）一次函数与几何图形的面积问题 首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积． （2）一次函数的优化问题 通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值． （3）用函数图象解决实际问题 从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题． 44．（2021秋•海曙区校级期末）如图，在直角坐标系中，点的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边，点为轴正半轴上一动点，连接，以线段为边在第四象限内作等边，直线交轴于点．下列结论正确的有　　个． （1）； （2）的度数随着点位置的变化而改变； （3）点的位置不随着点位置的变化而变化，点的坐标是； （4）当点的坐标为，时，四边形的面积与的函数关系式为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 45．如图，在等腰中，，边交轴于点，点在直线，其中，则点的坐标为　　 A．， B．， C．， D．， 46．（2013•河东区二模）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，以线段为边在第一象限内作等腰，．则过、两点直线的解析式为　　 A． B． C． D． 47．（2013•市中区模拟）如图，已知、两点的坐标分别为、，的圆心坐标为，半径为5．若是上的一个动点，线段与轴交于点，则面积的最大值是　　 A．63 B． C．32 D．30 48．（2014•陆川县校级模拟）如图，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的平行线，分别与直线，直线交于，两点，以为边向右侧作正方形．有下列五个结论： ①；②是等腰三角形；③；④；⑤当时，正方形的周长是16． 其中正确结论的序号是　　． 49．（2012•南充自主招生）已知直线的解析式为：，且经过点，，，．当是整数时，满足条件的整数的值为　　． 50．（2024春•九龙坡区校级月考）如图1，在四边形中，，，且，．、为四边形边上的两个动点，其中，点从出发，以每秒1个单位长度的速度，沿的方向运动，同时点从出发，以每秒个单位长度的速度，沿的方向运动，、相遇时同时停止运动．设的运动时间为秒，的面积为． （1）直接写出与之间的函数关系式，并注明的取值范围； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据所画图象，写出该函数的一条性质：　　； （3）若直线与该函数图象有两个不同交点，请直接写出的取值范围：　　． 第4章 一次函数 培优突破练习【10个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版数学八年级上册 参考答案与试题解析 一．函数值 1．（2021•黄州区校级自主招生）若函数，当自变量取1，2，3，，100个自然数时，函数值的和是　　 A．374 B．390 C．765 D．578 【答案】 【分析】由，可知当从3到97时，函数值为0，再分别求出、2、98、99、100时的函数值即可． 【解答】解：令， 解得：，， 当从3到97时，，则； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故所求和为． 故选：． 【点评】本题考查函数值的知识，有一定难度，关键是将分解为，进行解答． 2．设，则关于的性质，正确的一项为　　 A．对任意实数，总是大于0 B．对任意实数，总是小于0 C．当时， D．以上均不对 【答案】 【分析】对进行变形得：，的△得：，平方具有非负性，而与这两个平方不能同时取0，所以． 【解答】解： ， ，当且仅当时等号成立； ， ，当且仅当时等号成立； ， 故选：． 【点评】本题考查了函数值，根据平方的非负性得到是解题的关键． 二．函数的图象 3．（2020•汉阳区校级自主招生）小雨利用几何画板探究函数图象，在他输入一组，，的值之后，得到了如图所示的函数图象，根据学习函数的经验，可以判断，小雨输入的参数值满足　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【分析】从函数整体图象来看，发现部分图象有类似反比例函数，再从轴右侧图象，判断图象虚线代表的意义，即可求解． 【解答】设虚线为 （显然，，易知两条 由图中可知，当 时，，，所以， 当 时，，，所以，可得在的左右两侧时，符号是不同的，即； 当时，，而，所以显然另外一条分割线为， 故选：． 【点评】本题考查函数的图象，要求学生根据学过的反比例函数、分式等知识，通过函数图象，大致发现图象的一些特征，此类题目难度较大． 4．（2017•和县一模）从甲地到乙地的铁路路程约为615千米，高铁速度为300千米小时，直达；动车速度为200千米小时，行驶180千米后，中途要停靠徐州10分钟，若动车先出发半小时，两车与甲地之间的距离（千米）与动车行驶时间（小时）之间的函数图象为　　 A． B． C． D． 【分析】先根据两车并非同时出发，得出选项错误；再根据高铁从甲地到乙地的时间以及动车从甲地到乙地的时间，得出两车到达乙地的时间差，结合图形排除选项，再根据图象的交点位置即可得出结论． 【解答】解：由题可得，两车并非同时出发，故选项错误； 高铁从甲地到乙地的时间为， 动车从甲地到乙地的时间为， 动车先出发半小时， 两车到达乙地的时间差为， 该时间差小于动车从甲地到乙地所需时间的一半，故选项错误； 假设动车出发小时后与高铁相遇，则， 解得， 又动车第二次开始行驶的时间为：， 两个图象的交点应出现在动车图象的第三段上， 故选项符合题意，选项不合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了函数图象，对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．解决问题的关键是比较各函数图象的不同之处，依据函数图象中各端点的实际意义，运用排除法进行判断． 三．函数的表示方法 5．（2024春•长安区期中）小英的爸爸用中国移动的套餐月租为58元，包含通用流量和国内拨打电话200分钟，其中通用流量他每月都用不完，超出套餐部分国内拨打电话0.19元分钟（不足1分钟按1分钟时间收费）．如表是超出套餐部分国内拨打电话的收费标准： 时间分 1 2 3 4 5 6 电话费元 0.19 0.38 0.57 0.76 0.95 1.14 （1）这个表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）他上个月拨打电话的时间为225分钟，求他上个月支付的费用是多少元？ （3）设他某月拨打电话时间为分钟，支付费用为元，求与的关系式； （4）若他某月业务多，支付费用86.5元，求他该月拨打电话的时间是多少分钟？ 【答案】（1）超出套餐部分国内拨打电话的时间和超出套餐部分国内拨打电话的电话费，超出套餐部分国内拨打电话的时间，超出套餐部分国内拨打电话的电话费； （2）62.75； （3）； （4）350． 【分析】（1）根据题意和表格内容及自变量、因变量的定义作答即可； （2）（3）根据“支付费用套餐月租超出套餐部分国内拨打电话的电话费”作答即可； （4）由可以判断，将代入（3）中得到的与的关系式，求出对应的值即可． 【解答】解：（1）这个表反映了超出套餐部分国内拨打电话的时间和超出套餐部分国内拨打电话的电话费两个变量之间的关系，超出套餐部分国内拨打电话的时间是自变量，超出套餐部分国内拨打电话的电话费是因变量． （2）根据“支付费用套餐月租超出套餐部分国内拨打电话的电话费”， 得（元， 他上个月支付的费用是62.75元． （3）根据“支付费用套餐月租超出套餐部分国内拨打电话的电话费”， ， 与的关系式为． （4）， ， ，解得， 他该月拨打电话的时间是350分钟． 【点评】本题考查函数的表示方法、常量与变量等，掌握变量、自变量与因变量的定义，并根据“支付费用套餐月租超出套餐部分国内拨打电话的电话费”写出函数关系式是解题的关键． 四．一次函数的性质 6．（2017秋•萧山区期末）已知，，那么对于一次函数，给出下列结论：①函数一定随的增大而增大；②此函数图象与坐标轴所围成的三角形面积最大为，则下列判断正确的是　　 A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都正确 D．①，②都错误 【答案】 【分析】根据一次函数的性质、配方法即可解决问题； 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， 随的增大而增大，故①正确， 函数图象与坐标轴所围成的三角形面积， ， 此函数没有最大值，故②错误， 故选：． 【点评】本题考查一次函数的性质、配方法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 五．一次函数图象与系数的关系 7．（2023•灞桥区校级模拟）已知直线与直线在第三象限交于点，若直线与轴的交点为，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】直线轴的表达式为，则与轴交点在原点和点之间，即可求解． 【解答】解：直线与轴的交点为， ， ， 直线与轴的交点坐标为， 若直线与轴的交点为， 则与轴交点在原点和点之间， 即：， 解得：， 故选：． 【点评】本题通过考查一次函数的图象性质及一元一次不等式的解，本题的关键在于确定，与轴交点在原点和点之间，进而求解． 8．（2022•武侯区模拟）如图，在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”．已知点的坐标为，点的坐标为，是轴上一点，连接，，，．现设直线的函数解析式为，记线段，，，所围成的封闭区域（不含边界）为，若区域内的整点个数为6，则的取值范围是 　或　． 【答案】或． 【分析】分两种情形，点值中点上方或中点下方，画出图形，利用特殊点解决问题即可． 【解答】解：如图， 当点在轴上方时，直线经过点，此时直线的解析式为， 此时， 直线的解析式为， 当直线经过点时，直线的解析式为， 观察图形可知，满足条件的的取值范围为：， 当点在轴的下方，经过时，满足条件，此时直线的解析式为， 当直线经过时，解析式为， 观察图形可知，满足条件的的取值范围为：， 综上所述，满足条件的的范围为：或 故答案为：或． 【点评】本题考查一次函数的性质，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点解决问题，属于中考填空题在的压轴题． 六．一次函数图象上点的坐标特征 9．（2021•镇江二模）已知点在经过原点的一条直线上，且，则的值为　　 A． B． C．0 D． 【答案】 【分析】由在经过原点的一条直线上，可得．由得，、不等于0，故且，从而，进而解决该题． 【解答】解：在经过原点的一条直线上， ． 又， ． ， ． ． 故选：． 【点评】本题主要考查过原点直线的表达式，并用代入消元的思想解决此类题型． 10．（2023春•青山区期末）如图，已知点，点，分别是直线和直线上的动点，连接，．则的最小值为　　 A．2 B． C． D． 【答案】 【分析】在坐标系中构造边长为6的正方形，得点关于的对称点，连接，，则，当且仅当，，三点共线时，，即的最小值为的长，根据点到直线，垂线段最短，过点作垂直直线于点，即于点，交直线于点，此时最小，利用等积法求出的长即可． 【解答】解：如图，在正方形 中，， 直线经过点，， 直线是正方形的对称轴， 点在上， 可得点关于的对称点， 当时，， 即直线经过点， 过点作垂直直线于点，即于点，交直线于点， 和关于关于对称， ， ，即的最小值为的长， ， ， ， ， 解得， 即的最小值为， 故选：． 【点评】此题考查了正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质、一次函数的图象和性质等知识，熟练掌握 相关性质和数形结合是解题的关键． 11．（2015•岱岳区二模）如图，直线与直线相交于点，直线与轴交于点，一动点从点出发，先沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于轴的方向运动，到达直线上的处后，再沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于轴的方向运动，达到直线上的点处后，仍沿平行于轴的方向运动，照此规律运动，动点依次经过点，，，，，，，，，则当动点到达处时，运动的总路径的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由直线直线可知，，则纵坐标为1，代入直线中，得，又、横坐标相等，可得，则，，可判断△为等腰直角三角形，利用平行线的性质，得△、△、、都是等腰直角三角形，根据平行于轴的直线上两点纵坐标相等，平行于轴的直线上两点横坐标相等，及直线、的解析式，分别求，的长，得出一般规律． 【解答】解：由直线可知，，根据平行于轴的直线上两点纵坐标相等，平行于轴的直线上两点横坐标相等，及直线、的解析式可知，，， ，，， ，，，，， ， 由此可得， 所以，当动点到达处时，运动的总路径的长为， 当动点到达处时，运动的总路径的长为， 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的综合运用．关键是利用平行于轴的直线上点的纵坐标相等，平行于轴的直线上点的横坐标相等，得出点的坐标，判断等腰直角三角形，得出一般规律． 12．（2019春•乐清市期中）如图所示，已知直线与、轴交于、两点，，在内依次作等边三角形，使一边在轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第1个△，第2个△，第3个△，则第个等边三角形的边长等于　　 A． B． C． D． 【分析】，则，则，，同理可得：，通过找规律即可求解． 【解答】解：直线与、轴交于、两点，则点、的坐标分别为，、， ，则， 在内依次作等边三角形，则， 则， ， 同理可得：， ， ， 故第个等边三角形的边长为：， 故选：． 【点评】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，通过确定第1个△，第2个△，第3个△边长的值，找出其变化的规律，是此类题目解题的关键． 13．（2023春•郾城区期末）已知，、，是一次函数图象上两点，且，则的取值范围为　　． 【分析】根据，得出随的增大而减小，再根据，求出其取值范围即可． 【解答】解：， 即：或， 也就是，随的增大而减小， 因此，，解得，， 故答案为：． 【点评】考查一次函数的图象和性质，掌握一次函数的增减性以及适当的转化是解决问题的关键． 14．（2022•黄州区校级自主招生）已知是整数，且，由直线和直线与轴及轴所围成的图形面积为，则的最小值是 　　． 【答案】． 【分析】直线和直线都过，求出两直线与坐标轴的交点，即可表示出，由二次函数的性质即可求出的最小值． 【解答】解：作轴于，作轴于， ，， 两直线都过． 直线交坐标轴于，， 当时，，当时，， 的坐标是，，的坐标是， ，， 直线交坐标轴于，， 当时，，当时，， 的坐标是，，的坐标是， ，， ，， 的面积，的面积， 四边形的面积的面积的面积， 当时，函数，随的增大而增大， 当时，有最小值12， 此时四边形的面积有最小值是． 的最小值是． 故答案为：． 【点评】本题考查一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，关键是掌握一次函数的性质． 15．直线、为常数）分别与轴、轴交于点，、，动点的坐标为，为常数）． （1）当　　时，有且仅有一个满足条件的的值，使得点在直线上； （2）若有且仅有两个符合条件的的值，使得点到直线的距离为1，则的取值范围是 　　． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】（1）将点坐标代入直线方程，得到关于的一元二次方程，求其只有一个解，即有两个相等的实根时的值； （2）将点坐标代入点到直线的距离公式，讨论的值有两个时的取值范围． 【解答】解：（1）分别将、两点的坐标代入直线，得方程组，解得， 故直线的表达式为． 将点的坐标代入，得． 若它只有一个根（即有两相等实根），则有，解的． 故答案为：． （2）点到直线的距离为， 整理得，即． ①若有两个不相等的解，而无解，则有， 解得且． ②若有两个不相等的解，而无解，则有，无解． ③若有一个解， 有一个解，则有，无解． 故答案为：或． 【点评】本题难度较大，主要考查一次函数的性质及其图象上的坐标，计算量非常大，过程很容易出错，要求学生有一定的数学思维和极强的运算能力． 16．（2024春•西城区校级期中）画出函数的图象． （1）列表： 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 （2）描点并连线； （3）已知点在函数图象上，求出的值； （4）观察上述图象：当　　时，有最 　　值，这个值是 　　； （5）当时，随的增大而 　　 【答案】（1），，，，，0，1，，，，，0，1，2（横向填入）； （2）函数图象见解析过程； （3）； （4），小，； （5）增大． 【分析】（1）对进行取值，并求出相应的值，填入表格即可． （2）按要求画出函数图象即可． （3）将点坐标代入函数解析式即可． （4）根据所画函数图象即可解决问题． （5）利用数形结合的思想即可解决问题． 【解答】解：（1）令得，； 令得，； 令得，； 令得，； 令得，； 令得，； 令得，； 故答案为：，，，，，0，1，，，，，0，1，2（横向填入）． （2）函数图象，如图所示， （3）点在函数图象上， ， 解得． （4）由函数图象可知， 当时，有最小值，这个值是． 故答案为：，小，． （5）由函数图象可知， 当时，随的增大而增大． 故答案为：增大． 【点评】本题考查一次函数的图象和性质，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键． 七．一次函数图象与几何变换 17．（2020•碑林区校级模拟）若直线与直线关于直线对称，则、值分别为　　 A．、 B．、 C．、 D．、 【分析】先求出一次函数与轴交点关于直线的对称点，得到的值，再求出一次函数与轴交点关于直线的对称点，代入一次函数，求出的值即可． 【解答】解：一次函数与轴交点为， 点关于直线的对称点为， 代入直线，可得 ， 解得， 一次函数与轴交点为， 关于直线的对称点为， 代入直线，可得 ， 解得． 故选：． 【点评】本题考查的是一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，先根据题意得出直线与坐标轴的交点是解决问题的关键． 18．（2014春•江汉区期末）将直线先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后的直线解析式为 　　． 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【解答】解：将直线先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，所得直线的解析式为，即． 故答案为． 【点评】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”． 八．待定系数法求一次函数解析式 19．已知一次函数，当时，，则的值为　　 A．3 B．2 C． D．2或 【答案】 【分析】结合一次函数的性质，对分类讨论，当时，一次函数随增大而增大，此时，且，；当时，一次函数随增大而减小，此时，且，；最后利用待定系数法求解即可． 【解答】解：当时，一次函数随增大而增大， 当时，且当时，， 令，，解得，不符题意， 令，，解得，不符题意， 当时，一次函数随增大而减小， 当时，且当时，， 令，，解得， 令，，解得，符合题意， 故选：． 【点评】本题主要考查一次函数的性质，待定系数法求解析式等，深度理解一次函数的性质是解题关键． 九．一次函数的应用 20．（2021•北碚区校级模拟）甲、乙两人同时骑自行车分别从，两地出发到，两地之间的地，且，，三地在同一直线上．当乙到达地时甲还未到达，乙在地等了5分钟，接到甲的电话说他的自行车坏了需要工具修理，于是乙在地拿了工具箱立即以原来倍的速度前往甲坏车处，乙与甲汇合后帮助甲花了10分钟修好自行车，然后两人以甲原来倍的速度骑行同时到达地．甲、乙两人距地的距离之和（米与甲所用时间（分钟）之间的函数关系如图所示（乙接电话和找工具箱的时间忽略不计）．则以下说法错误的是　　 A．甲原来的速度为150米分钟，乙原来的速度为200米分钟 B．甲坏车处距离地2625米 C．，两地之间的距离为4125米 D．，两地之间的距离为6875米 【答案】 【分析】由图象可知，修车时，二人均在车坏处，此时米，说明车坏处距地为米； 行这段路程乙用原来倍的速度，行了分，而修好车之后，行这段路程，以甲原来倍的速度，行了分，这样可以求出甲、乙的原速度，以及原来倍的速度（后速度）； 根据甲坏车处距离地2625米和坏车时甲行驶了15分钟可得，两地之间的距离； 设乙行至地用时分，则甲行至车坏处分，再根据行驶时间总时间为49.5分，可求出乙行至地时间，进而求出、两地的距离． 【解答】解：车坏处距地距离：（米，故正确，不符合题意； 乙用原来倍的速度行驶这段路程需要时间为：（分， 因此乙用原来倍的速度为：（米分），乙原来速度为：（米分）， 甲用原来倍的速度行驶这段路程需要时间为：（分， 因此甲用原来倍的速度为：（米分），甲原来速度为：（米分），故正确，不符合题意； 甲坏车处距离地2625米， 、两地的距离为（米，故错误，符合题意； 设乙行至地用时分，则甲行至车坏处分， 由题意得：， 解得：， 、两地之间的距离为：（米，故正确，不符合题意； 故选：． 【点评】考查函数图象的识图能力，能从图象中获取相关的数量，再依据数量关系进行有关的计算，同时加深对函数意义的理解，体会变量之间的变化关系，熟练掌握行程类问题的数量关系是解决问题的前提． 21．（2022•北碚区校级开学）、两地相距2400米，甲、乙两人准备从地出发去地，甲出发5分钟后，乙再出发，两人到达地后，停止运动．甲乙之间的距离与甲运动时间之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是　　 A．乙每分钟比甲多走 B．乙出发后两人相遇 C．乙到达地时，甲距离地还有 D．相遇前，甲走或时两人相距 【答案】 【分析】从图象看，甲走的路程为，则甲的速度为，由图象知，乙的速度快，则时，乙到达地，所用时间为，则乙的速度为：，进而求解． 【解答】解：．从图象看，甲走的路程为，则甲的速度为， 由图象知，乙的速度快，则时，乙到达地，所用时间为， 则乙的速度为：， 故乙每分钟比甲多走，正确，不符合题愿意； ．设乙追上甲，则， 解得：， 即乙出发15 时，两人相遇，故错误，符合题意； ．当时，甲运动的路程为：， 则乙到达地时，甲距离地还有，故正确，不符合题意； ．甲开始走4分钟，走的路程为， 此时两人相距， 甲走8分钟时，乙走了3分钟，此时两人的距离为， 故正确，不符合题意， 故选：． 【点评】本题考查一次函数的应用，通过图象关键点，确定运动速度是求解的关键． 22．（2023秋•罗湖区校级期末）已知甲，乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，货车改变速度 继续出发后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离与货车行驶时间之间的函数图象，则下列说法错误的是　　 A． B．点的坐标为 C．出租车从乙地返回甲地的速度为 D．出租车返回的过程中，货车出发或都与出租车相距 【答案】 【分析】由图象知，，设直线的解析式为：，则直线的解析式为，进而求得：；由于停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，货车行驶时间为小时，此时出租车距离乙地为，可得，而租车的速度为，相遇时，货车的速度为，则可设直线的解析式为，所以直线的解析式为，可得，，出租车和货车第二次相遇前，相距时，分两种情况求解即可． 【解答】解：由图象知，， 设直线的解析式为：， 把代入得，， 解得， 则直线的解析式为， 把代入， 解得：，故正确； 由于停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，货车行驶时间为小时， ， 货车卸货时与乙地相距， 出租车距离乙地为， 出租车距离甲地为， 把代入得 解得：， 货车装完货物时，，则 根据货车继续出发后与出租车相遇， 可得（出租车的速度货车的速度）， 根据直线的解析式为， 可得出租车的速度为 相遇时，货车的速度为， 故可设直线的解析式为， 将代入， 可得， ：解得， 直线的解析式为， 故货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离与行驶时间之间的函数关系式为， 把代入， 可得：， 解得， ， ，故正确； 根据出租车到达乙地后立即按原路返回经过比货车早15分钟到达甲地， 可得， ，， 出租车返回后的速度为：，故正确； 设在出租车返回的行驶过程中，货车出发小时，与出租车相距， 此时货车距离乙地为 ，出租车距离乙地为， ①出租车和货车第二次相遇前，相距时， 可得， 解得； ②出租车和货车第二次相遇后，相距时， 可得， 解得； 故在出租车返回的行驶过程中，货车出发或与出租车相距，故错误， 故答案选：． 【点评】本题考查一次函数得实际应用，理解题意，弄出数量关系是解决问题的关键． 23．（2023•湖北开学）有10条不同的直线，2，3，4，5，6，7，8，9，，其中，，则这10条直线的交点个数最多是　　 A．38 B．39 C．40 D．41 【答案】 【分析】因为题中已知，，可知：，2，3对应的直线相互平行没有交点，直线4，5，5 交于一点，由此即可求解此题． 【解答】解：由直线且，可得： ，2，3对应的直线相互平行没有交点，，5，6对应的直线 交于原点， 则，4，5，7，8，10对应的直线的交点数量为：， 再加上，3对应的两条直线增加的交点数量为， 所以得出交点最多就是条， 故选：． 【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，难度较大，做题关键在于分析得出三条平行三条相交． 24．（2023春•新市区期末）甲、乙两人在同一直线道路上同起点、同方向、同时出发，分别以不同的速度匀速跑步1000米，甲超出乙150米时，甲停下来等候乙，甲、乙会合后，两人分别以原来的速度继续跑向终点，先到终点的人在终点休息，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离（米与乙出发的时间（秒之间的关系如图所示，则甲到终点时，乙距离终点还有　50　米． 【分析】乙从开始一直到终点，行1000米用时200秒，因此乙的速度为米秒，甲停下来，乙又走秒才与甲第一次会和，第一次会和前甲、乙共同行使秒，从起点到第一次会和点的距离为米，因此甲的速度为米秒，甲行完全程的时间为秒，甲到终点时乙行驶时间为秒，因此乙距终点还剩秒的路程，即米． 【解答】解：乙的速度为：米秒，从起点到第一次会和点距离为米， 甲停下来到乙到会和点时间秒，之前行驶时间秒， 甲的速度为米秒， 甲到终点时乙行驶时间秒， 还剩10秒路程，即米， 故答案为50米． 【点评】考查函数图象的意义，将行程类实际问题和图象联系起来，理清速度、时间、路程之间的关系是解决问题关键． 25．（2021春•株洲期末）甲、乙两小朋友都从地出发，匀速步行到地、两地之间为笔直的道路），甲出发半分钟后，乙才从地出发，经过一段时间追上甲，两人继续向地步行，当甲、乙之间的距离刚好是70米时，乙立刻掉头以原速度向地步行，半分钟后与甲相遇，乙又立刻掉头向地以原速度步行（两次掉头时间忽略不计）．甲、乙相距的路程为（米与乙出发的时间（分钟）之间的关系如图所示，当乙到达地时，甲与地相距的路程是 　40　米． 【分析】设甲的速度为，乙的速度为，由第一次相遇时，图象上的数据求得与的关系，再根据“当甲、乙之间的距离刚好是70米时，乙立刻掉头以原速度向地步行，半分钟后与甲相遇”求得两人的速度和，进而求得两人的速度与，再求得第二次相遇时间，由图象知时，乙到达地，求得此时甲与地相距的路程． 【解答】解：设甲的速度为，乙的速度为， 由函数图象知，当时，，即两人第一次相遇，根据题意得， ， ， 当甲、乙之间的距离刚好是70米时，乙立刻掉头以原速度向地步行，半分钟后与甲相遇， ， ， ，， 于是，当甲、乙之间的距离刚好是70米时，乙出发的时间为：， 两人第二次相遇时的时间为：， 根据函数图象知，当时，乙到达了地， 此时，两人相距：， 甲与两地的距离为：． 故答案为：40． 【点评】本题考查实际问题中的函数图象的应用，关键是理解是图象上的点所表示的意义，并根据题意，求出两人的速度． 26．（2023秋•寿县期末）甲、乙两车分别从、两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为，甲、乙两车离中点的路程（千米）与甲车出发时间（时的关系图象如图所示，则下列说法：（1）、两地之间的距离为180千米；（2）乙车的速度为36千米时；（3）的值为3.75；（4）当乙车到达终点时，甲车距离终点还有30千米；其中正确的说法是 　（1）（2）（3）　（把正确答案的序号全部写出来）． 【答案】（1）（2）（3）． 【分析】根据相遇时甲、乙所走路程的比为，可设甲走了千米，那么乙走了千米，图中交点的坐标为，由图象可得：出发3小时，两车相遇．此时乙车超过中点18千米，甲车还未到中点，距离中点18千米，那么乙车所走路程甲车所走的路程，列出方程求解即可得到的值，进而算出的值即可得到（1）是否正确； 易得乙车的速度，计算后可得（2）是否正确； 易得甲车的速度，所求的表示甲车走完一半路程的时间，让90除以甲车的速度即可求得的值，即可判断出（3）是否正确； 让总路程180除以乙的速度可得乙走完全程的时间，根据甲的速度判断出此时甲走的路程，让总路程180减去甲走的路程即为离终点的路程，即可判断出（4）是否正确． 【解答】解：设相遇时甲走了千米，那么乙走了千米． 交点的坐标为， 出发3小时，两车相遇．此时乙车超过中点18千米，甲车还未到中点，距离中点18千米； ， 解得：． ． 、两地之间的距离为180千米． （1）正确； 乙车3小时走了千米， 乙车的速度（千米时）． （2）正确； 甲车3小时走了千米， 甲车的速度（千米时）． 甲车到达中点时的时间（小时）． ． （3）正确； 乙走完全程的时间（小时）， 甲此时走的路程为：（千米）． 此时距离终点（千米）． （4）错误． 故答案为：（1）（2）（3）． 【点评】本题考查一次函数的应用．根据图象及题意得到交点的意义是解决本题的关键． 27．（2018春•沙坪坝区校级月考）在甲、乙两城市之间有城市丙，一辆客车从甲地匀速驶往乙地，一辆货车从乙地匀速驶往甲地，两车同时出发，客车、货车离丙的距离（千米），（千米）与行驶的时间（小时）的函数图象如图中实线所示，同时，有一辆邮政车从丙出发去甲地取货后返回乙地（取货的时间忽略不计），整个过程速度保持不变，邮政车离丙的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系如图中的虚线所示，在整个运动过程中，经过　7.5　小时，邮政车最后一次与客车、货车的距离相等． 【分析】分两种情况讨论，当邮政车去甲地的途中会有某个时间邮政车与客车和货车的距离相等；当邮政车从甲地返回乙地时，货车与客车相遇时，邮政车与客车和货车的距离相等． 【解答】解：千米时， 千米时， 设当邮政车去甲地的途中时，经过小时邮政车与客车和货车的距离相等， （小时）； 设当邮政车从甲地返回乙地时，经过小时邮政车与客车和货车的距离相等， 解得， 当客车和货车相遇时，邮政车与客车和货车的距离相等满足条件， 即，解得 综上所述，经过1.2或4.8小时或7.5小时邮政车与客车和货车的距离相等，经过 7.5小时，邮政车最后一次与客车、货车的距离相等． 故答案为：7.5． 【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了时间、路程、速度三者之间的关系，准确识图理解两车的行驶过程是解题的关键． 28．（2019•沙坪坝区校级模拟）甲乙两人分别从、两地相向而行，甲先走3分钟后乙才开始行走，甲到达地后立即停止，乙到达地后立即以另一速度返回地．在整个行驶的过程中，两人保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人之间的距离（米与乙出发的时间（分钟）的函数关系如图所示．当甲到达地时，则乙距离地的时间还需要　11　分钟． 【分析】在乙出发后18分钟两车相遇，两车相遇后，又经过分钟，两车之间的距离达到最大1400米，可以求出两车的速度和为：米分，说明此时乙车已到地，于是可以得到：甲从开始到第一次相遇地点用时分，而乙用14分，因此甲的速度是乙的，根据速度和是100米分，可求出乙车的速度为60米分，甲车速度为40米分；两地的路程为：米，当乙到地时，甲距地还有米，因此甲到地需要分，乙以另一速度返回13分走的路程米，所以返回速度为米，到地还要分． 【解答】解：两车的速度和为：米分， 甲从开始到第一次相遇地点用时分，而乙相遇后只用14分，因此甲的速度是乙的， 甲速度为米分，乙的速度为米分， 两地的路程为：米， 当乙到地时，甲距地还有米， 因此甲到地需要分， 乙以另一速度返回13分走的路程米， 所以返回速度为米， 到地还要分． 故答案为：11 【点评】考查函数图象的识图能力，从图象中获取相关的数据，依据数量关系求出相应的速度、时间、路程，在整个过程中，熟练掌握追及、相遇问题的数量关系是解决问题的关键． 29．、两码头之间是一段静水直线河道．一艘科考船从码头出发45分钟后突发故障，发出求救信号的同时立即原地调头，调头后以原速返航．与此同时，码头的救生艇接到求救信号后立刻出发与科考船会合，排除故障后，科考船再次原地调头以原来的1.5倍速度向码头前进．救生艇在科考船完成调头后出发的同时以原速返回码头停止运动，科考船到达码头后也停止运动．两船之间的距离（千米）与科考船出发时间（分钟）的函数关系如图所示（其中发出信号、接收信号、维修故障以及快艇调头的时间均忽略不计；科考船两次调头所用时间相同；两船均视为匀速运动），则两码头之间间隔 　195　千米． 【答案】195． 【分析】设科考船，救生艇初始速度分别为千米分钟，千米分钟，科考船调头后行驶的时间为分钟，根据题意列出方程组分别求出两船的行驶速度，再根据“路程速度时间”解答即可． 【解答】解：设科考船，救生艇初始速度分别为千米分钟，千米分钟，科考船调头后行驶的时间为分钟，则： 科考船45分钟行驶的路程为千米， 由图象可知，67分钟时两船相遇， ， 即①， 从分钟到99分钟两船相距132千米，此时救生艇返回码头， ， 解得， ②， 把代入①，得③， 由②③联立方程组，解得， 分钟时科考船到达码头， 相遇点到码头的距离为： （千米）， 相遇点到码头的距离为：（千米）， 两码头之间间隔：（千米）． 故答案为：195． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用．理解函数图象的点的坐标的实际意义，从而得到两船的行驶的距离和速度是解题的关键． 30．（2017秋•沙坪坝区校级期末）一艘货轮从乙地逆流匀速驶向甲地，同时另一艘“长江号”游轮则从甲地出发顺流匀速驶向乙地，行至某处，发现游轮上的救生艇不知何时落入水中，游轮立即原地调头沿原路返回，遇到救生艇并打捞上来（打捞救生艇的时间忽略不计）后立即调头继续顺流驶向乙地，结果游轮比货轮早到目的地，已知游轮每次原地调头时间为15分钟，救生艇顺流的速度与水速相同，游轮和货轮在静水中的速度相同．在整个过程中，游轮和货轮之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，则救生艇在水中顺流的时间为　　小时． 【分析】根据题意结合函数图象，可知：当时间为12小时，货轮到达了甲地，此时货轮与游轮的距离96千米（恰是甲、乙两地的距离），由此可求出逆货轮逆流速度；再从函数图象可知，两船行驶2小时时相距48千米，便可求得两船在静水中的速度；再从函数图象，不难发现，2小时到3.5小时之间的三条折线分别代表游轮发现救生艇后的调头时段，返回时段，遇到救生艇后调头时段的函数图象，据此列出救生艇顺流时间的方程便可． 【解答】解：由函数图象可知，当时间为12小时，货轮到达了甲地，此时货轮与游轮的距离96千米，恰是甲乙两地的距离，则货轮逆流速度为：千米时， 设游轮和货轮在静水中的速度为千米时，水流速度为千米时，由函数图象“2小时时，两轮相距48千米”知，， 解得，（千米时）， 水流速度为：（千米时）， 设救生艇在水中顺流的时间为小时，根据题意得， ， 解得，（小时）． 故答案为：． 【点评】本题考查一次函数的应用、一次方程的应用等知识，解题的关键是学会设未知数，正确寻找等量关系解决问题，属于中考常考题型． 31．（2019春•沙坪坝区校级期末）2019年6月12日，重庆直达香港高铁的车票正式开售，据悉，重庆直达香港的这趟次高铁预计在7月份开行，全程1342公里只需7个半小时．该车次沿途停靠站点包括遵义、贵阳东、桂林西、肇庆东、广州南和深圳北．重庆直达香港高铁开通将为重庆旅游业发展增添生机与活力，预计重庆旅游经济将创新高．在此之前技术部门做了大量测试，在一次测试中一高铁列车从地出发，匀速驶向地，到达地停止；同时一普快列车从地出发，匀速驶向地，到达地停止．且，两地之间有一地，其中，如图①，两列车与地的距离之和（千米）与普快列车行驶时间（小时）之间的关系如图②所示．则高铁列车到达地时，普快列车离地的距离为　360　千米． 【分析】由图象可知4.5小时两列车与地的距离之和为0，于是高铁列车和普快列车在站相遇，由于，因此高铁列车的速度是普快列车的2倍，相遇后图象的第一个转折点，说明高铁列车到达站，此时两车距站的距离之和为360千米，由于，因此距离为360千米的三分之二，即240千米，普快离开占的距离为360千米的三分之一，即120千米，于是可以得到全程为千米，当高铁列车到达站时，普快列车离开站千米，此时距站的距离为千米． 【解答】解：图象过 高铁列车和普快列车在站相遇 ， ， 之间的距离为：千米，全程为千米， 此时普快离开站千米， 当高铁列车到达站时，普快列车距站的距离为：千米， 故答案为：360． 【点评】考查了一次函数的应用．关键是由函数图象得出相关信息，明确图象中各个点坐标的实际意义．联系行程类应用题的数量关系是解决问题的关键，图象与实际相结合容易探求数量之间的关系，也是解决问题的突破口． 32．（2024春•左权县期中）由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过，对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 谛回答下列问题： （1）当刹车时车速为时，刹车距离是 　15　； （2）根据如表反映的规律写出该种型号汽车与之间的关系式：　　； （3）该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为，推测刹车时车速是多少？并说明事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？（相关法规：《道路交通安全法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时120公里． 【答案】（1）15； （2）； （3）推测刹车时车速是，所以事故发生时，汽车是超速行驶． 【分析】（1）根据表格数据可得答案； （2）根据刹车时车速每增加，刹车距离增加，可得答案； （3）结合（2）的结论得出可得车速为，进而得出答案． 【解答】解：（1）由表格信息可得：当刹车时车速为时，刹车距离是； 故答案为：15； （2）由表格可知，刹车时车速每增加，刹车距离增加， 与之间的关系式为：， 故答案为：； （3）当时，， ， ， 事故发生时，汽车是超速行驶． 答：推测刹车时车速是，所以事故发生时，汽车是超速行驶． 【点评】本题考查了一次函数的应用，理清刹车时车速与刹车距离的关系是解答本题的关键． 33．（2024•南安市模拟）某学校、电影院、市体育馆依次在一条东西向的路上．某日，甲同学到距离学校的电影院看电影，在电影院内停留后，以的速度步行到达市体育馆．甲同学与学校的距离（单位：与时间（单位：的关系如图所示． （1）求甲同学与学校的距离关于时间的函数解析式； （2）乙同学在甲到达电影院后从学校出发，以的速度步行去市体育馆，他们会在路上相遇吗？请说明理由． 【答案】（1）；（2）会在路上相遇，理由见解答． 【分析】（1）根据题意求出体育馆与学校的距离，再利用待定系数法解答即可； （2）先求出乙同学的与的关系式，再结合（1）的结论列方程组求解即可． 【解答】解：（1）由题可设的解析式为， 依题意，体育馆与学校的距离为，所以． 把，分别代入， 得， 解得， 所以的解析式为， 所以甲同学与学校的距离关于时间的函数解析式为 ； （2）他们会在路上相遇，理由如下： 由题可知，对于乙同学，与的关系为：． 即． 当时，甲在电影院内，乙在路上行走，两人不会相遇． 当时，解方程组 可得， 因为，即在甲从电影院到体育馆的路上，两人会相遇． 所以他们会在路上相遇． 【点评】本题考查了一次函数的运用，熟练掌握待定系数法求出相应函数解析式是解答本题的关键． 34．（2024•盐城二模）甲、乙两名工人分别加工个同种零件．甲先加工一段时间，由于机器故障进行维修后继续按原来的工作效率进行加工，当甲加工1.5小时后乙开始加工，乙的工作效率是甲的工作效率的3倍．如图分别表示甲、乙加工零件的数量 （个与甲工作时间 （时的函数图象． （1）甲的工作效率为　20　个时，维修机器用了　　小时； 乙的工作效率是　　个时； （2）乙加工多长时间与甲加工的零件数量相同，并求此时乙加工零件的个数； （3）若乙比甲早1小时完成任务，求的值． 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以分别得到甲的工作效率，甲维修机器用的时间和乙的工作效率； （2）根据（1）中的结果和题意，可以得到相应的方程，从而可以得到乙加工多长时间与甲加工的零件数量相同和此时乙加工零件的个数； （3）根据甲、乙两名工人分别加工个同种零件和乙比甲早1小时完成任务，可以得到关于的方程，从而可以求得的值． 【解答】解：（1）由图可得， 甲的工作效率为：（个小时）， 维修机器用了（小时）， 乙的工作效率是（个小时）， 故答案为：20，0.5，60； （2）设乙加工小时与甲加工的零件数量相同， ， 解得，， ， 答：乙加工0.5小时与甲加工的零件数量相同，此时乙加工零件是30个； （3）， 解得，， 即的值是60． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 35．（2024•官渡区二模）某运输公司安排甲、乙两种货车共20辆运送176吨物资到，两地．已知每辆甲种货车装10吨物资，每辆乙种货车装8吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资． （1）这20辆货车中甲、乙两种货车各有多少辆？ （2）两种货车运费如表： 目的地 车型 地（元辆） 地（元辆） 甲种货车 1200 900 乙种货车 1000 750 现安排这20辆货车中的10辆前往地，其余前往地．设前往地的甲种货车有辆，这20辆货车的总运费为元．求当为何值时最小，并求出最小值． 【答案】（1）这20辆货车中甲种货车有12辆，乙种货车有8辆． （2）当时最小，最小值为18700． 【分析】（1）设甲货车、乙货车各有与辆，根据“这20辆货车恰好装完这批物资”列出方程求解． （2）根据题中给出的等量关系即可列出与的函数关系，先求出的范围，然后根据函数关系式即可求出的最小值． 【解答】解：（1）设这20辆货车中甲种货车有辆， 根据题意，得：， 解得， ， 答：这20辆货车中甲种货车有8辆，乙种货车有12辆． （2）根据题意，得 ． ， 随的增大而增大．， ， 当时，最小，最小值为． 当时最小，最小值为18700． 【点评】本题考查了一元一次方程和一次函数的应用，找到相等关系和函数的性质是解题的关键． 36．（2024春•和平区期中）下面是某项目化学小组的部分学习过程再现，请阅读并解答问题： 【项目主题】品味经典，感悟数学 【童话故事】“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉：兔子和乌龟同时从起点出发，比赛跑步．领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，就在路边的小树下睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，最终乌龟先到达终点． 【分组探究】我们假设乌龟和兔子的速度及赛场均保持不变，第一小组经探讨研究用图1刻画了“龟兔赛跑”的故事，其中（分表示乌龟从起点出发所行的时间，（米表示兔子所行的路程，（米表示乌龟所行的路程． 问题1：分别求乌龟和兔子的速度． 问题2：乌龟是在何时超过的兔子？ 第二小组对童话故事进行了改编： 象子输了比赛，心里很不服气它们约定再次赛跑，兔子让乌龟先跑30分钟，它才开始追赶． 问题3：请在图2中画出兔子所行的路程与之间的图象，并直接判断谁先到达终点． 第三小组也对童话故事进行了改编： 兔子让乌龟从路边小树处（兔子第一次睡觉的地方）起跑，它们同时出发． 问题4：请在图3中画出兔子所行的路程与和乌龟所行路程与之间的图象，并直接判断谁先到达终点． （仿照图1完成图2和图3．要求标注出关键点对应横轴与纵轴的位置及数量） 【答案】问题1：乌龟的速度为20米分钟，兔子的速度为40米分； 问题2：乌龟在出发20分钟后超过兔子； 问题3：图象见解答，乌龟和兔子同时到达终点； 问题4：图象见解答，兔子比乌龟早10分钟到达终点． 【分析】问题1：根据图象1，用路程除以时间速度即可求出乌龟和兔子的速度； 问题2：根据乌龟的路程列方程，解方程求出的值； 问题3：求出兔子和乌龟到达终点所用时间，然后按照题意画出图象； 问题4：求出兔子和乌龟到达终点所用时间，然后按照题意画出图象． 【解答】解：问题1：乌龟的速度为：（米分钟）， 兔子的速度为（米分）； 问题2：设乌龟分钟追上兔子， 则， 解得， 答：乌龟在出发20分钟后超过兔子； 问题乌龟的速度为20米分， 乌龟到达终点需要（分钟）， 兔子的速度为40米分， 兔子到达终点需要（分钟）， 根据题意画出兔子所行的路程与之间的图象，如图： 从图向上可以看出，乌龟和兔子同时到达终点； 问题乌龟的速度为20米分， 乌龟到达终点需要（分钟）， 兔子的速度为40米分， 兔子到达终点需要（分钟）， 根据题意画出兔子所行的路程与和乌龟所行路程与之间的图象，如图： 从图向上可以看出，兔子比乌龟早10分钟到达终点． 【点评】本题考查一次函数的应用，能从函数图象获取作息是解答本题的关键． 37．（2024•碑林区校级模拟）西安是今年五一假期热门旅游城市之一，在这里，人们穿着汉服拍照，实现了传统与时尚的融合．汉服热销，晏瑞抓住商机，多次购进汉服并销售．经过调查发现，每套汉服的售价（元与进价（元之间满足一次函数关系，当进价为96元时，售价为140元；当进价为112元时，售价为160元． （1）求售价（元与进价（元之间的函数关系式； （2）若晏瑞以120元套的进价购进150套汉服，则销售完这批汉服可获利多少元？ 【答案】（1）； （2）7500． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中得到的函数关系式，求出对应的值，根据“利润（售价进价）数量”计算获利即可． 【解答】解：（1）设与之间的函数关系式为、为常数，且． 将，和，分别代入， 得， 解得， 与之间的函数关系式为． （2）当时，， （元， 销售完这批汉服可获利7500元． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键． 38．（2024春•新郑市期中）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示． （1）分别求出轿车和货车的平均速度． （2）求轿车到达终点时，货车离终点的距离． （3）货车出发多长时间后，两车相距？ 【分析】（1）轿车和货车到达目的地分别用时和，分别根据“速度路程时间”计算即可； （2）由图象可知，当轿车到达终点时，货车离终点还有的路程，根据“路程时间速度”计算即可； （3）利用待定系数法，分别求出当和时关于的函数关系式，分别将代入关系式，求出对应的的值即可． 【解答】解：（1）根据“速度路程时间”，轿车的平均速度为，货车的平均速度为， 轿车的平均速度为，货车的平均速度为． （2）根据“路程时间速度”，得， 轿车到达终点时，货车离终点的距离为． （3）当时，设与的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和代入， 得， 解得， ， 当时，得，解得； 当时，设与的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和代入， 得， 解得， ， 当时，，解得． 货车出发或后，两车相距． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间、路程三者之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键． 39．（2024•二道区校级模拟）甲骑摩托车从地去地，乙开汽车从地去地，两人同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止．甲、乙两人间的距离与甲行驶的时间之间的关系如图所示． （1）以下是点，，所代表的实际意义，请将，，填入对应的横线上． ①甲到达终点：　　；②甲、乙两人相遇：　　；③乙到达终点：　　． （2）甲出发多少小时后，甲、乙两人相距？ 【答案】（1），，； （2）甲出发或小时后，甲、乙两人相距． 【分析】（1）根据函数图象，两个相距为0时两个相遇，然后距离逐渐增加，当增加量减小时说明一个已经停止，最后达到最大停止即可得到答案； （2）分相遇前相距，即在第一段图象上，相遇后相距，即在第三段图象上，分别求出解析式代入求解即可得到答案． 【解答】解：（1）由图象可得， 点上，此时两人相遇， 点之后，两人的距离增加速度减少，此时乙先到达终点， 点表示两人距离为，此时甲到达终点 故答案为：，，； （2）设第一段解析式为：， 将点，代入得， ， 解得：， ， 当时，， 解得：， 设第三段解析式为：， 将点，代入得， ，解得：， ， 当时，， 解得：， 综上所述：甲出发或小时后，甲、乙两人相距． 【点评】本题考查一次函数应用，函数图象的意义，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想和数形结合的思想解答． 40．（2024•中山市校级二模）2023年3月22日是第三十一届“世界水日”，联合国呼吁全世界关注和重视水资源的重要性．小明同学发现水龙头关闭不严会造成滴水浪费．为了倡议全校同学节约用水，他做了如下试验：用一个足够大的量杯，放置在水龙头下观察量杯中水量的变化情况．已知量杯中原来装有水，内7个时间点量杯中的水量变化如下表所示，其中表示时间，表示量杯中的水量． 时间 0 5 10 15 20 25 30 量杯中的水量 10 20 30 40 50 60 70 解决下列问题： （1）在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点并连线； （2）结合表中数据写出量杯中的水量关于时间的函数表达式 　　（不要求写自变量的取值范围）； （3）在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，估算照这样漏一天量杯中的水量约为多少． 【答案】（1）图象见解答； （2）； （3）一天量杯中的水量约为． 【分析】（1）用描点，连线的方法画出函数图象； （2）用待定系数法求函数解析式； （3）把小时分钟代入解析式求出的值． 【解答】解：（1）由表格中数据，在坐标系内描点，连线，如图所示： （2）设量杯中的水量关于时间的函数表达式为， 把，代入得：， 解得， 量杯中的水量关于时间的函数表达式为， 故答案为：； （3）一天24小时分钟， 当时，， 一天量杯中的水量约为． 【点评】本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式． 41．（2024春•滕州市期中）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元，超出部分按原价的8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元，超出部分按原价的8.5折优惠．设顾客预计累计购物元． （1）在甲超市购物所付费用为元，在乙超市购物所付费用为元，请分别求出，关于的函数解析式； （2）试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由． 【答案】（1），； （2）当时，到甲超市购物更优惠；当时，到甲、乙两超市购物所付费用一样多，任选一家即可；当时，到乙超市购物更优惠． 【分析】（1）分别根据“在甲超市购物所付费用折扣超出300元部分”和“在乙超市购物所付费用折扣超出200元部分”作答即可； （2）分别计算当、、时对应的取值范围即可． 【解答】解：（1）根据题意，得，， 关于的函数解析式为，关于的函数解析式为． （2）当时，到甲超市购物更优惠；当时，到甲、乙两超市购物所付费用一样多，任选一家即可；当时，到乙超市购物更优惠．理由如下： 当时，得，解得； 当时，得，解得； 当时，得，解得； 当时，到甲超市购物更优惠；当时，到甲、乙两超市购物所付费用一样多，任选一家即可；当时，到乙超市购物更优惠． 【点评】本题考查一次函数的应用，分别根据“在甲超市购物所付费用折扣超出300元部分”和“在乙超市购物所付费用折扣超出200元部分”写出，关于的函数解析式是解题的关键． 42．（2024•西安三模）甲乙两人相约去华山踏青，上午，甲开车从南郊出发，同时乙坐出租车从东郊出发．上午，甲在离南郊处的地方追上乙并继续前行，途中甲在某高速服务区加油休息，然后继续按原速前行，最后甲乙同时到达华山风景区入口处．甲乙离南郊的路程与所用时间的函数关系如图所示． （1）求乙离南郊的路程与所用时间的函数表达式； （2）求甲在某高速服务区加油休息所用的时间． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据“速度路程时间”求出乙的速度，再由“时间路程速度”求出乙到达华山所用的时间（即的值），利用待定系数法求出关于的函数表达式即可； （2）根据“速度路程时间”求出甲的速度，根据“时间路程速度”求出甲开车的时间，再根据的值求解即可． 【解答】解：（1）乙的速度为，则乙到达华山所用的时间为， ； 设乙离南郊的路程与所用时间的函数表达式为、为常数，且． 将坐标和分别代入， 得， 解得， 乙离南郊的路程与所用时间的函数表达式为． （2）甲的速度为，则甲开车的时间为， ， 甲在某高速服务区加油休息所用的时间是． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握并灵活运用速度、时间、路程之间的数量关系是解题的关键． 43．（2024•长春校级二模）用甲、乙两个机器加工一批零件，两个机器同时开始加工，加工一段时间后，甲机器进行检修，乙机器以原来的效率加工，检修结束后，甲机器提高工作效率继续加工，两个机器共用了完成任务，两个机器加工的零件总数（件与乙机器加工时间之间的函数图象如图所示． （1）乙机器的工作效率是 　30　件，甲机器提速后的工作效率是 　　件； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）当甲机器加工130个零件时，的值为 　　． 【答案】（1）30，50； （2）关于的函数解析式为； （3）4.2． 【分析】（1）由函数图象列式可得乙的工作效率是30件；再根据甲提速后甲的工作效率总的工作效率乙的工作效率计算即可； （2）用待定系数法可得答案； （3）求出甲加工110个零件所需时间再加2即可． 【解答】解：（1）（件， 乙的工作效率是30件； 甲机器提速后的工作效率是（件． 故答案为：30；50； （2）设当时，关于的函数解析式为， 将，代入得：， 解得：， 关于的函数解析式为； （3）第1个小时甲加工（个零件， 甲提速后加工110个零件需要用， ， 当甲机器加工130个零件时，的值为4.2． 故答案为：4.2． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 一十．一次函数综合题 44．（2021秋•海曙区校级期末）如图，在直角坐标系中，点的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边，点为轴正半轴上一动点，连接，以线段为边在第四象限内作等边，直线交轴于点．下列结论正确的有　　个． （1）； （2）的度数随着点位置的变化而改变； （3）点的位置不随着点位置的变化而变化，点的坐标是； （4）当点的坐标为，时，四边形的面积与的函数关系式为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】（1）易证，即可证明，即可解题； （2）根据（1）容易得到，可得，可得的度数不会随着点位置的变化而改变；即可证明该结论错误； （3）根据，根据直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半可以得到，从而得到的坐标是固定的． （4）根据，可得四边形的面积，即可解题． 【解答】解：（1）是等边三角形， ，， 又是等边三角形 ，， ， 即， 在和中， ， ；（1）正确； （2）， ， 又， ， 的度数不会随着点位置的变化而改变；（2）错误； （3）， ， ， ， ， 点的位置不会发生变化，的坐标为；（3）正确； （4）， ， 是等边三角形，， ，， 过点作轴于，过点作轴于， ， ， 四边形的面积 ，故（4）错误； 故选：． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、面积相等的性质，等边三角形的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求证是解题的关键． 45．如图，在等腰中，，边交轴于点，点在直线，其中，则点的坐标为　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】设直线与轴交于点，由，可证，设，由，可求出，由，得，再利用相似三角形的性质列出的方程，即可解决问题． 【解答】解：设直线与轴交于点， 则， ， ， 设， ， ， ， ，， 在中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了三角函数的定义，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，余弦定理等知识，利用余弦定理求出的长是解题的关键． 46．（2013•河东区二模）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，以线段为边在第一象限内作等腰，．则过、两点直线的解析式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据一次函数的解析式求出、两点的坐标，再作轴于点，由全等三角形的判定定理可得出，由全等三角形的性质可知，故可得出点坐标，再用待定系数法即可求出直线的解析式． 【解答】解：一次函数中， 令得：；令，解得， 的坐标是，的坐标是． 如图，作轴于点． ， ， 又， ． 在与中， ， ， ，，． 则的坐标是． 设直线的解析式是， 根据题意得：， 解得， 直线的解析式是． 故选：． 【点评】本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． 47．（2013•市中区模拟）如图，已知、两点的坐标分别为、，的圆心坐标为，半径为5．若是上的一个动点，线段与轴交于点，则面积的最大值是　　 A．63 B． C．32 D．30 【答案】 【分析】当直线与圆相切时，的面积最大，易证，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得的长，则的长度可以求得，最后利用三角形的面积公式即可求解． 【解答】解：当直线与圆相切时，的面积最大． 连接，则， 在直角中，． ． 又， ， ， ． ， ． 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质，以及相似三角形的判定与性质，理解的面积最大的条件是关键． 48．（2014•陆川县校级模拟）如图，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的平行线，分别与直线，直线交于，两点，以为边向右侧作正方形．有下列五个结论： ①；②是等腰三角形；③；④；⑤当时，正方形的周长是16． 其中正确结论的序号是　③④　． 【分析】①由两条垂直直线的斜率的积等于即可判定①故选项错误； ②根据等腰三角形的判定定理即可判定②是等腰三角形，故选项错误； ③由直线的斜率可知，，根据，即可求得，故选项正确； ④设，则，得出的面积，的面积，从而求得，进而得出，故选项正确； ⑤时根据直线的解析式先求得、，进而求得，所以正方形的周长，故选项错误； 【解答】解：①由直线，直线可知，它们的斜率的积，所以，故错误； ②轴，， ，，， 不是等腰三角形，故是等腰三角形； ③由直线的斜率可知：，， ， ，故正确； ④设，则， 的面积，的面积， ， ， 故； ⑤时，， ， ， 正方形的周长；故当时，正方形的周长是16错误； 故答案为③④． 【点评】本题考查了直线斜率的特点，等腰三角形的判定，直角三角函数的意义，三角形的面积的求法，正方形的周长等，③的求得是本题的难点． 49．（2012•南充自主招生）已知直线的解析式为：，且经过点，，，．当是整数时，满足条件的整数的值为　9或15　． 【分析】把、两点的坐标代入可得关于、的方程组，用、表示出和，再利用条件进行判断即可． 【解答】解：经过点，， 代入直线解析式可得：， 解得：， ， ，，且为整数， 或， 故答案为：9或15． 【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，利用、分别表示出、的值是解题的关键． 50．（2024春•九龙坡区校级月考）如图1，在四边形中，，，且，．、为四边形边上的两个动点，其中，点从出发，以每秒1个单位长度的速度，沿的方向运动，同时点从出发，以每秒个单位长度的速度，沿的方向运动，、相遇时同时停止运动．设的运动时间为秒，的面积为． （1）直接写出与之间的函数关系式，并注明的取值范围； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据所画图象，写出该函数的一条性质：　当时，函数有最大值12　； （3）若直线与该函数图象有两个不同交点，请直接写出的取值范围：　　． 【答案】（1）； （2）见解析；当时，函数有最大值12； （3）． 【分析】（1）直接确定三角形的底和高求解即可； （2）描点、连线即可画出图象，再观察的图象，可以从增减性写出函数的一条性质； （3）先求得直线经过特殊点时的的值，结合图象即可求解．正确求出函数解析式并画出图象，数形结合是解题的关键． 【解答】解：（1），， ， 依题意，在上运动的时间为秒，点在上运动的时间为秒， ， 解得：， 当，相遇时，运动时间为9秒， 当时，如图所示， 设的运动时间为秒， ， ， 当时，，都在上，如图所示， ， ， ； （2）如图所示， 当时，函数有最大值12； 故答案为：当时，函数有最大值12；． （3）如图所示， 当经过时，，解得：， 当经过时，， 结合函数图象可得，当直线与该函数图象有两个不同交点，， 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，掌握一次函数图象上点的坐标特征，函数的图象和性质等知识点是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$