第22节 矩形、菱形、正方形（word练习）-【卓文中考·加速度】2024年内蒙古中考数学复习

第22节　矩形、菱形、正方形 命题点1 与矩形有关的证明与计算 1.[2023呼和浩特，7]如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N.若AM＝1，BN＝2，则BD的长为（　　） 第1题图 :A.2　 B.3　 C.2　 D.3 2.[2022包头，12]如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，点E，F分别在AD，BC边上，EF∥AB，AE＝AB，AF与BE相交于点O，连接OC.若BF＝2CF，则OC与EF之间的数量关系正确的是（　　） 第2题图 A.2OC＝EF B.OC＝2EF C.2OC＝EF D.OC＝EF 命题点2 与菱形有关的证明与计算 3.[2022呼和浩特，9]如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，点E是DA中点，F是对角线AC上一点，且∠DEF＝45°，则AF∶FC的值是（　　） A.3 B.＋1 C.2＋1 D.2＋ 第3题图 4.多解题[2022鄂尔多斯，9]如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，矩形BEFG的边EF经过点C，且点G在边AD上.若BG＝4，则BE的长为（　　） 第4题图 A.　 B.　 C.　 D.3 5.[2021呼和浩特，15]已知菱形ABCD的面积为2，点E是一边BC上的中点，点P是对角线BD上的动点，连接AE.若AE平分∠BAC，则线段PE与PC的和的最小值为　，最大值为　　. 6.[2021呼和浩特，18]如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF且分别交对角线AC于点E，F. 第6题图 （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）当四边形ABCD分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形BEDF的形状（无需说明理由）. 7.[2023呼和浩特，20]如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC，BD交于点O，DE平分∠ADB交AC于点E，BF平分∠CBD交AC于点F，连接BE，DF. （1）求证：∠1＝∠2； （2）若四边形ABCD是菱形且AB＝2，∠ABC＝120°，求四边形BEDF的面积. 第7题图 8.[2023包头，23]如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点P，Q分别是边BC，线段OD上的点，连接AP，QP，AP与OB相交于点E. （1）如图①，连接QA.当QA＝QP时，试判断点Q是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由； （2）如图②，若∠APB＝90°，且∠BAP＝∠ADB， ①求证：AE＝2EP； ②当OQ＝OE时，设EP＝a，求PQ的长（用含a的代数式表示）. 第8题图 命题点3 与正方形有关的证明与计算 9.[2021包头，19]如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF.若DE＝DC，EF＝EC，则∠BAF的度数为　　. 第9题图 10.[2023呼和浩特，16]如图，正方形ABCD的边长为2，点E是CD的中点，BE与AC交于点M，F是AD上一点，连接BF分别交AC，AE于点G，H，且BF⊥AE，连接MH，则AH＝　　，MH＝　. 第10题图 11.[2023通辽，22]综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下： 操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM，延长PM交CD于点Q，连接BQ. 第11题图 （1）如图①，当点M在EF上时，∠EMB＝　　　　度； （2）如图②，改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由. 12.[2022呼和浩特，23]下面图片是八年级教科书中的一道题. 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：AE＝EF（提示：取AB的中点G，连接EG.） （1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：　　； （2）如图，若点E是BC边上任意一点（不与B，C重合），其他条件不变.求证：AE＝EF； （3）在（2）的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为P. 设＝k，当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明. 第12题图 备用图 学科网（北京）股份有限公司 第22节　矩形、菱形、正方形 【中考真题分点练】 1.A 2.A　【解析】如答图，过点O作OH⊥BC于点H.∵在矩形ABCD中，EF∥AB，AE＝AB，∴四边形ABFE是正方形，∴OH＝EF＝BF＝BH＝HF.∵BF＝2CF，∴CH＝BF＝EF＝2OH，∴OC＝OH，即2OC＝EF.故选A. 第2题答图 3.D　【解析】如答图，连接DB交AC于点O，连接OE.∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AC⊥BD，OD＝BD，AC＝2AO，AB＝AD.∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AD.∵∠AOD＝90°，点E是DA中点，∴OE＝AE＝DE＝AD.设OE＝AE＝DE＝a，则AD＝BD＝2a，∴OD＝BD＝a，在Rt△AOD中，AO＝＝＝a，∴AC＝2AO＝2a.∵AE＝OE，∴∠EOA＝∠EAO＝30°，∴∠DEO＝∠EAO＋∠EOA＝60°.∵∠DEF＝45°，∴∠OEF＝∠DEO－∠DEF＝15°，∴∠EFO＝∠EOA－∠OEF＝15°，∴∠OEF＝∠EFO，∴OF＝OE＝a，∴AF＝AO＋OF＝a＋a，∴FC＝AC－AF＝a－a，∴＝＝＝2＋.故选D. 第3题答图 4.B　【解析】方法一：如答图①，过点G作GM⊥BC于点M，过点C作CN⊥AD于点N.∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝AD＝CD＝AB＝2，∠D＝∠ABC＝60°，AD∥BC，∴∠MGN＝∠GMC＝90°，又∵∠CNG＝90°，∴四边形GMCN为矩形，∴GM＝CN.在Rt△CDN中，∠D＝60°，CD＝2，∴CN＝CD·sin 60°＝2×＝3，∴GM＝3.∵四边形BEFG为矩形，∴∠E＝90°，BG∥EF，∴∠BCE＝∠GBM，又∵∠E＝∠BMG，∴△GBM∽△BCE，∴＝，∴＝，∴BE＝.故选B.方法二：如答图②，连接CG，同方法一求出BC上的高为3，∴S菱形ABCD＝2×3＝6，∵S△BCG＝S矩形BEFG＝S菱形ABCD，∴BE×4＝×6，∴BE＝.故选B. 第4题答图 5.　2＋　【解析】根据题意可画出图形，如答图，过点B作BF∥AC交AE的延长线于点F，∴∠F＝∠CAE，∠EBF＝∠ACE.∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，∴△ACE≌△FBE（AAS），∴BF＝AC.∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴∠BAE＝∠F，∴AB＝BF＝AC.在菱形ABCD中，AB＝BC，∴AB＝BC＝AC，即△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°.设AB＝a，则BD＝a，∴S菱形ABCD＝AC·BD＝2，即a·a＝2，∴a＝2（负值已舍去），即AB＝BC＝CD＝2.连接AP.∵四边形ABCD是菱形，∴点A和点C关于BD对称，∴PE＋PC＝PE＋PA≥AE，当点A，P，E三点共线时，PE＋PA的值最小，即为AE，此时AE＝；当点P和点D重合时，PE＋PC的值最大，此时PC＝DC＝2，过点D作DG⊥BC交BC的延长线于点G，连接DE.∵AB∥CD，∠ABC＝60°，∴∠DCG＝60°，∴CG＝1，DG＝，∴EG＝2，∴DE＝＝＝，此时PE＋PC＝2＋.综上所述，线段PE与PC的和的最小值为，最大值为2＋. 第5题答图 6.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCF. ∵BE∥DF， ∴∠BEC＝∠DFA， ∴180°－∠BEC＝180°－∠DFA， ∴∠AEB＝∠CFD. 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（AAS）. （2）解：如答图，连接ED，BF，BD. 由（1）知△ABE≌△CDF，∴BE＝DF. ∵BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形. ∴当四边形ABCD是矩形时，四边形BEDF是平行四边形； 当四边形ABCD是菱形时， 可得AC⊥BD，即EF⊥BD， ∴四边形BEDF是菱形. 第6题答图 7.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OD＝OB，∴∠ADO＝∠CBO， ∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD， ∴∠ODE＝∠ADO，∠OBF＝∠CBO， ∴∠ODE＝∠OBF，∴DE∥BF， ∵OD＝OB，∠DOE＝∠BOF， ∴△ODE≌△OBF（ASA）， ∴DE＝BF， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴BE∥DF，∴∠1＝∠2. （2）解：由（1）知△ODE≌△OBF， ∴OE＝OF， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥EF，AD＝AB，OD＝OB，AD∥BC， ∴四边形DEBF是菱形， ∵AD∥BC， ∴∠BAD＋∠ABC＝180°. ∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°， ∵AD＝AB，∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB＝2，∠ADO＝60°， ∴OD＝BD＝1， ∵∠ODE＝∠ADO＝30°， ∴OE＝OD＝，∴EF＝2OE＝， ∴S四边形BEDF＝BD·EF＝×2×＝. 8.（1）解：点Q在线段PC的垂直平分线上.理由如下： 如答图①，连接QC. ∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O， ∴BD⊥AC，OA＝OC，∴QA＝QC， ∵QA＝QP，∴QC＝QP， ∴点Q在线段PC的垂直平分线上. 第8题答图 （2）①证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA， ∴∠ABD＝∠ADB，∠CBD＝∠CDB， ∵BD⊥AC， ∴∠ADO＝∠CDO， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ADO. ∵∠BAP＝∠ADB， ∴∠BAP＝∠ABD＝∠CBD， ∴AE＝BE. ∵∠APB＝90°， ∴∠BAP＋∠ABP＝90°， ∴∠BAP＝∠ABD＝∠CBD＝30°. 在Rt△BPE中，∠EPB＝90°，∠PBE＝30°， ∴EP＝BE. ∵AE＝BE， ∴EP＝AE， ∴AE＝2EP. ②解：如答图②，连接QC. ∵AB＝BC，∠ABC＝60°， ∴△ABC 是等边三角形. ∵∠APB＝90°，∴BP＝CP. ∵EP＝a， ∴AE＝2a，AP＝3a， 在Rt△APB中，∠APB＝90°， ∵tan∠ABP＝＝， ∴BP＝a，∴CP＝BP＝a， ∵AO＝CO，∠AOE＝∠COQ，OE＝OQ，△AOE≌△COQ（SAS）， ∴CQ＝AE＝2a，∠EAO＝∠QCO， ∴AE∥CQ. ∵∠APB＝90°， 在Rt△PCQ中，由勾股定理得PQ2＝PC2＋CQ2， ∴PQ2＝（a）2＋（2a）2， ∴PQ＝a（负值已舍去）. 9.22.5°　【解析】如答图，连接AE.∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠BDC＝45°.∵DE＝DC＝AD，∴∠DEC＝∠DCE＝＝67.5°.∵∠DCB＝90°，∴∠BCE＝90°－∠DCE＝90°－67.5°＝22.5°.∵EF＝EC，∴∠EFC＝∠ECF＝22.5°，∴∠FEC＝180°－∠EFC－∠ECF＝180°－22.5°－22.5°＝135°.∵∠BEC＝180°－∠DEC＝180°－67.5°＝112.5°，∴∠BEF＝∠FEC－∠BEC＝135°－112.5°＝22.5°.∵AD＝DE，∠ADE＝45°，∴∠AED＝＝67.5°，∴∠BEF＋∠AED＝22.5°＋67.5°＝90°.∴∠AEF＝180°－90°＝90°，在△ADE和△CDE中，，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴AE＝EC，∴AE＝EF，即△AEF为等腰直角三角形，∴∠AFE＝45°，∴∠AFB＝∠AFE＋∠BFE＝45°＋22.5°＝67.5°.∵∠ABF＝90°，∴∠BAF＝90°－∠AFB＝90°－67.5°＝22.5°. 第9题答图 10.2　　【解析】∵四边形ABCD为正方形，且边长为2，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠BAD＝∠D＝90°，AB∥CD，∵点E为CD的中点，∴DE＝CE＝，在Rt△ADE中，AD＝2，DE＝，∴AE＝＝5，∵∠BAD＝90°，BF⊥AE于点H，∴∠BAH＋∠DAE＝90°，∠ABF＋∠BAH＝90°，∴∠DAE＝∠ABF，在△DAE和△ABF中， ∴△DAE≌△ABF（ASA），∴AF＝DE＝，BF＝AE＝5，∵BF⊥AE，∠D＝90°，∴∠AHF＝∠D＝90°，又∵∠HAF＝∠DAE，∴△AHF∽△ADE，∴＝，即＝，∴AH＝2.如答图，过点M作MN⊥AE于点N，在△ADE和△BCE中， ∴△ADE≌△BCE（SAS），∴BE＝AE＝5，∴EH＝AE－AH＝5－2＝3，在Rt△AHB中，AB＝2，AH＝2，∴BH＝＝4，∵AB∥CD，∴△MEC∽△MBA，∴＝＝＝，∴＝，∴ME：EB＝1∶3，∵BF⊥AE，MN⊥AE，∴MN∥BH，∴△MNE∽△BHE，∴＝＝，∴＝＝，∴MN＝，EN＝1，∴HN＝EH－EN＝3－1＝2，在Rt△MHN中，MN＝，HN＝2，由勾股定理得MH＝＝. 第10题答图 11.解：（1）30 （2）∠MBQ＝∠CBQ.理由如下： ∵在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处， ∴AB＝BM，∠A＝∠BMP＝90°， ∴BC＝AB＝BM，∠BMQ＝∠C＝90°， ∵BQ＝BQ， ∴Rt△BMQ≌Rt△BCQ（HL）， ∴∠MBQ＝∠CBQ. 12.（1）解：AG＝CE （2）证明：如答图①，取AG＝EC，连接EG. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°. ∵AG＝EC， ∴BG＝BE， ∴△BGE是等腰直角三角形， ∴∠BGE＝∠BEG＝45°， ∴∠AGE＝135°. ∵CF为正方形外角的平分线， ∴∠DCF＝45°， ∴∠ECF＝135°， ∴∠AGE＝∠ECF. ∵AE⊥EF，∴∠AEB＋∠FEC＝90°. ∵∠BAE＋∠AEB＝90°， ∴∠FEC＝∠BAE. 在△GAE和△CEF中， ∴△GAE≌△CEF（ASA）， ∴AE＝EF. 第12题答图 （3）解：k＝时，四边形ECFP是平行四边形.如答图②. 由（2）知，△GAE≌△CEF， ∴GE＝CF. 设BC＝x，则BE＝kx， ∴EC＝（1－k）x. 由（2）知，△BGE是等腰直角三角形， ∴CF＝GE＝kx. ∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线， ∴∠ACB＝45° 又∵EP⊥AC，∴△PEC是等腰直角三角形， ∴∠PEC＝45°，PE＝EC＝（1－k）x. 由（2）知，∠ECF＝135°， ∴∠PEC＋∠ECF＝180°，∴PE∥CF， ∴当PE＝CF时，四边形ECFP是平行四边形， ∴（1－k）x＝kx，解得k＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$