17.1一元二次方程 精讲精练 2023-2024学年沪科版八年级数学下册

第17章　一元二次方程 17.1　一元二次方程 要点一 一元二次方程的定义 只含一个未知数x的整式方程，并且都可以化成（a,b,c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程. 注意：①是整式方程，即方程两边都是关于未知数的整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2次；④经过整理后，能写成的形式. 【例1】判断下列关于x的方程是不是一元二次方程. ⑴，⑵，⑶，⑷，⑸，⑹，⑺，⑻，⑼， ⑽ 分析：一元二次方程必须具备下列三个条件：⑴是整式方程；⑵只含有一个未知数；⑶未知数的最高次数是2.用这三个条件去判断是否是一元二次方程. 解：方程⑴⑹⑺的左边是分式，不属于整式方程，故不是一元二次方程.方程⑶含有两个未知数，不是一元二次方程.方程⑷的左边不是整式，不是一元二次方程.方程⑸经整理后，得－6x＝1，不是一元二次方程.方程⑻没有明确规定二次项系数不为零，即ab≠0,不是一元二次方程.因此只有方程⑵⑼⑽是一元二次方程. 剖析：判定关于x的方程是否是一元二次方程，关键是要将题目中各方程化为一般形式，然后再根据一元二次方程的定义进行判断. 要点二 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是：（a、b、c为常数，a≠0） 它的特征是：等式左边是一个关于未知数的二次三项式，右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项. 注意：⑴a≠0是一元二次方程概念的一部分，当a=0,b≠0时，该方程为一元一次方程；⑵确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项时，要先将方程化成一般形式，各项系数包含它前面的符号. 【例2】写出方程的二次项系数、一次项系数和常数项. 错解一：二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是5. 错解二：将方程化为一般形式：，所以二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是5. 误区分析：错解一产生的原因是没有将一元二次方程化为一般形式；错解二虽然将一元二次方程化为一般形式，但写一次项系数和常数项时，漏掉了这两项的符号. 正解：将方程化为一般形式：，所以二次项系数是3，一次项系数是-2，常数项是-5. 要点3　一元二次方程的根 一元二次方程的解的概念：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，或叫做一元二次方程的根. 注意：要判断一个值是否是一元二次方程的解，只要将这个值代入一元二次方程，看看方程左右两边是否相等即可.相等，则是方程的解；反之，则不是. 典例3:已知x＝2是关于x的方程的一个根，则2a－1的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析:根据方程的解的意义可知，当x＝2 时，方程左右两边相等，此题即是求当x＝2时，a的值.进而求出2a－1的值. 解:将x＝2 代入方程中，得 解得a＝3 所以2a－1＝5. 知识点1 一元二次方程的定义 1.(2023河北唐山丰南月考)下列方程中,一元二次方程共有(　　) ①x2-2x-1=0;　　　 ②ax2+bx+c=0; ③+3x-5=0;　　　 ④-x2=0; ⑤(x-1)2+y2=2;　　　⑥(x-1)(x-3)=x2. A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.4个 2.(2023河北魏县期中)若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程,则m的取值范围是(　　) A.m=1　　　　B.m≠1 C.m≥1　　　　D.m≠0 3.若方程(m-1)x|m|+1-2x=3是关于x的一元二次方程,则m=　　　　. 4.(2023福建龙岩二中期中)已知关于x的方程(m-)-x=3. (1)m为何值时,该方程是关于x的一元一次方程? (2)m为何值时,该方程是关于x的一元二次方程? 知识点2　一元二次方程的一般形式 5.(2022湖南永州新田期末)下列方程是一元二次方程的一般形式的是 (　　) A.(x-1)2=16　　　　B.3(x-2)2=27 C.5x2-3x=0　　　　D.x2+2x=8 6.(2023河南驻马店泌阳光亚学校第一次月考)将方程x2+9=6x改写成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式,则a,b,c的值分别为(　　) A.0,6,9　　　　B.0,6,-9 C.1,-6,9　　　　D.1,-6,-9 知识点3　一元二次方程的根 7.下列一元二次方程的一个根是3的是(　　) A.x2+2x-3=0　　　　B.x2+2x+3=0 C.x2-2x-3=0　　　　D.x2-2x+3=0 8.(2023河北威县月考)已知关于x的一元二次方程x2-bx-2=0的一个解是x=1,则b的值是(　　) A.1　　　　 B.-1　　　　 C.±1　　　　D.2 9.已知m是方程x2+x-1=0的一个根,求代数式(m+1)2+(m+1)(m-1)的值. 10.若方程(m-1)x2+x+=0是关于x的一元二次方程,则下列结论正确的是 (　　) A.m≥2　 　 B.m≤2 C.m≤2且m≠1　　 D.m≠1 11.已知m为方程x2+3x-2 022=0的根,那么m3+2m2-2 025m+2 022的值为(　　) A.-2 022　　B.0　　C.2 022　　D.4 044 12.(2023江苏盐城建湖汇杰中学月考)关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,a、b、c满足a+b+c=0和9a-3b+c=0,则该方程的根是 (　　) A.x=1或x=-3　　B.x=1或x=3 C.x=-1或x=3　　D.无法确定 13.(2022江苏南通启东二模)若关于x的一元二次方程ax2+2bx-2=0的一个根是x=2 022,则一元二次方程(x+2)2+bx+2b=1必有一根为(　　) A.2 020　　B.2 021　　C.2 022　　D.2 023 14.(2023辽宁沈阳大东期中)方程(m-2)+(5+m)x+3=0是关于x的一元二次方程,则m=　　　　. 15.(2022浙江衢州中考)将一个容积为360 cm3的包装盒剪开铺平,纸样如图所示.利用容积列出图中x满足的一元二次方程: 　　　　　　　　　　(不必化简).  16. (2023山西大同云冈月考)已知关于x的方程2(x+a)2+b=0的解是x=-2或x=1,求关于x的方程2(x-4+a)2+b=0的解. 17. (2023山东泰安新泰青云中学月考)先化简,再求值:÷,其中a是方程x2-x-1=0的根. 18.阅读理解: 定义:关于x的方程a1x2+b1x+c1=0(a1≠0,a1、b1、c1是常数)与a2x2+b2x+c2=0(a2≠0,a2、b2、c2是常数),若方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则这两个方程互为“对称方程”.比如:求方程2x2-3x+1=0的“对称方程”.这样思考:由方程2x2-3x+1=0可知a1=2,b1=-3,c1=1,根据a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,求出a2,b2,c2的值就能确定这个方程的“对称方程”. 请用以上方法解决下面的问题: (1)关于x的方程x2-4x+3=0的“对称方程”是　　　　　　;  (2)若关于x的方程5x2+(m-1)x-n=0与-5x2-x=1互为“对称方程”,求(m+n)2的值. 答案： 17.1　一元二次方程 1.B解析：根据一元二次方程的概念判断,只有①④是一元二次方程. ②ax2+bx+c=0,当a=0时,该方程不是一元二次方程; ③+3x-5=0不是整式方程,故不是一元二次方程; ⑤(x-1)2+y2=2,方程中含有两个未知数,不是一元二次方程; ⑥(x-1)(x-3)=x2,方程整理后,未知数的最高次数是1,不是一元二次方程. 2.B　解析：由题意得m-1≠0,解得m≠1,故选B. 3.-1解析：∵方程(m-1)x|m|+1-2x=3是关于x的一元二次方程,∴|m|+1=2且m-1≠0,解得m=-1. 4.解：(1)当m2-1=1时,解得m=±, 此时该方程是一元一次方程; 当m-=0时,解得m=, 此时该方程是一元一次方程; 当m2-1=0时,解得m=±1, 此时该方程是一元一次方程. 综上,当m的值为±1,±,时,该方程是关于x的一元一次方程. (2)由题意,得m2-1=2,且m-≠0,解得m=-,∴当m=-时,该方程是关于x的一元二次方程. 5.C解析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),只有C符合.故选C. 6.C解析：方程x2+9=6x化为一般形式为x2-6x+9=0,故a=1,b=-6,c=9,故选C. 7.C解析：把x=3分别代入各方程,若方程左右两边相等,则方程的一个根是3.故选C. 8.B解析：把x=1代入方程x2-bx-2=0得1-b-2=0,解得b=-1. 9.解：把x=m代入方程得m2+m-1=0,即m2+m=1,则原式=m2+2m+1+m2-1=2(m2+m)=2. 10.D解析：∵(m-1)x2+x+=0是关于x的一元二次方程,∴m-1≠0,解得m≠1,故选D. 11.B解析：∵m为方程x2+3x-2 022=0的根,∴m2+3m-2 022=0,∴m2+3m=2 022,∴原式=m3+3m2-m2-3m-2 022m+2 022=m(m2+3m)-(m2+3m)-2 022m+2 022=2 022m-2 022-2 022m+2 022=0. 12.A解析：对于方程ax2+bx+c=0,当x=1时,a+b+c=0,当x=-3时,9a-3b+c=0,所以该方程的根为x=1或x=-3.故选A. 13.A解析：一元二次方程(x+2)2+bx+2b=1可变形为a(x+2)2+2b(x+2)-2=0,此方程可看成关于(x+2)的一元二次方程,因为关于x的一元二次方程ax2+2bx-2=0的一个根是x=2 022,所以关于(x+2)的一元二次方程a(x+2)2+2b(x+2)-2=0的一个根是x+2=2 022,所以x=2 020,所以一元二次方程(x+2)2+bx+2b=1必有一根为2 020.故选A. 14.-2解析：∵方程(m-2)+(5+m)x+3=0是关于x的一元二次方程, ∴m2-2=2,且m-2≠0,解得m=-2. 15.15x(10-x)=360解析：由题意可得长方体的高为15 cm,长为(20-2x)÷2=(10-x)cm,宽为x cm.则列出关于x的方程为15x(10-x)=360. 16.解：∵关于x的方程2(x+a)2+b=0的解是x=-2或x=1,∴关于x的方程2(x-4+a)2+b=0的解满足x-4=-2或x-4=1,∴x1=2,x2=5. 17.解:÷ =÷ =·==, ∵a是方程x2-x-1=0的根, ∴a2-a-1=0,∴a2-a=1,∴原式==1. 18.解:(1)方程x2-4x+3=0的“对称方程”是-x2-4x-3=0. (2)-5x2-x=1,移项,得-5x2-x-1=0.∵方程5x2+(m-1)x-n=0与-5x2-x-1=0互为“对称方程”,∴m-1=-1,-n+(-1)=0,解得m=0,n=-1,∴(m+n)2=(0-1)2=1. 学科网（北京）股份有限公司 $$