第07讲 整式的乘法（多项式与多项式相乘）与整式的除法（知识梳理+11考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第07讲 整式的乘法（多项式与多项式相乘）与整式的除法 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解与掌握多项式乘以多项式的运算法则； 2.理解与掌握单项式除以单项式运算法则，并进行计算； 3.理解与掌握多项式除以单项式运算法则，并进行计算； 多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 即(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 【补充说明】 1）多项式乘多项式时，要按一定的顺序进行，必须做到不重不漏. 2）多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号. 3）运算结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 4）若结果中含有同类项，则一定要进行合并同类项，使得结果为最简形式. 5）多项式乘多项式法则也适用于多个多项式相乘，即按顺序先将前两个多项式相乘，再把乘积和第三个多项式相乘，依次类推. 6）特殊二次项相乘： 其中：a，b为常数. 单项式除单项式 一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 　 多项式除单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题解决. 【考点一 计算多项式乘多项式】 例1．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列各式计算结果是的是（    ） A． B． C． D． 变式1-1 （23-24七年级下·浙江温州·期中）计算，所得结果的一次项系数是（    ） A． B． C．1 D．2 变式1-2．（23-24七年级下·山西晋中·期中）如图，综合与实践课上，小青将长为4，宽为2的长方形硬纸片的四个角处各剪去边长为x的小正方形，再按折痕（虚线）折叠，可以制成有底无盖的长方体盒子．根据图中信息，该长方体盒子的容积可表示为（    ） A． B． C． D． 变式1-3．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 变式1-4．（2024·广东汕头·二模）若规定符号的意义是：，则当时，值为 ． 【考点二 已知多项式乘多项式结果求参数的值】 例2．（2024·陕西渭南·一模）已知，则m、n的值依次为（    ） A．5，2 B．， C．3， D．， 变式2-1．（23-24七年级下·湖南郴州·期中）在的展开式中，x的一次项系数是3，则m的值是 ． 变式2-2．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）若，则的值为（　　） A． B．125 C． D．1 变式2-3．（23-24七年级下·河北保定·期中）除以的商式为，余式为，求（    ） A． B． C． D．7 变式2-4．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知，求与的值． 【考点三 利用多项式乘多项式求代数式的值】 例3．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知 ，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 变式3-1．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）若，则的值是 ． 变式3-2．（22-23七年级下·广东·期中）已知，则 ． 变式3-3．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知，．求： (1)的值； (2)的值． 变式3-4．（2024九年级下·全国·专题练习）已知，求的值． 【考点四 （x+p）（x+q）型特殊多项式相乘】 例4．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 变式4-1．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如果，那么的值分别是（    ） A． B． C． D． 变式4-2．（23-24八年级下·四川眉山·期中）已知，，则 ． 变式4-3．（23-24七年级下·河北保定·期中）回答下列问题： (1)计算： ①______；    ②______． ③______；    ④______． (2)总结公式______ (3)已知，，均为整数，且．求的所有可能值． 变式4-4．（23-24七年级下·山东枣庄·期中）先观察下列各式，再解答后面问题： ； ； ； ． (1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？ (2)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来； (3)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果． ①_____________； ②_____________． 【考点五 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 例5．（23-24七年级下·陕西榆林·期中）如果计算的结果不含项，那么的值为（    ） A． B． C．2 D． 变式5-1．（23-24七年级下·河南郑州·期中）若关于x的多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为12，则的值为 ． 变式5-2．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）已知多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且常数项为，试求的值； 变式5-3．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）关于x的代数式化简后不含有项和常数项． (1)求a，b的值． (2)求的值． 变式5-4．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）若 的积中不含x项与项． (1)求p、q的值； (2)求代数式的值． 【考点六 多项式乘多项式-化简求值】 例6．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）先化简，再求值：，其中． 变式6-1．（22-23七年级下·山东聊城·期中）先化简，再求值：，其中，，． 变式6-2．（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【考点七 多项式乘多项式与图形面积】 例7．（23-24七年级下·广西崇左·期中）如图，甲、乙、丙、丁四名同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①；②；③；④．你认为正确的有（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 变式7-1．（23-24六年级下·山东泰安·期中）设有边长分别为a和的A类和B类正方形纸片，长为a宽为b的C类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 变式7-2．（23-24七年级下·陕西西安·期中）甲长方形的长与宽分别为厘米和厘米，乙长方形的长和宽分别为厘米和厘米，则这两个长方形的面积大小关系为（    ） A．甲大 B．乙大 C．一样大 D．无法比较 变式7-3．（23-24七年级下·山西运城·期中）求图中阴影部分的面积 （用代数式表示）． 变式7-4．（23-24七年级下·浙江温州·期中）小陈用五块布料制作靠垫面子，其中四周的四块由长方形布料裁成四块得到，正中的一块正方形布料从另一块布料裁得，靠垫面子和布料尺寸简图，如图所示∶ (1)用含a，b的代数式表示图中阴影部分小正方形的面积． (2)当，时，求阴影部分面积． 变式7-5．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）将两张全等的矩形纸片和另外两张全等的正方形纸片按如图所示的方式不重叠地放置在矩形内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等，若的面积为4，则图中阴影部分的面积为 ． 【考点八 计算单项式除以单项式】 例8．（2024·陕西西安·二模）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 变式8-1．（23-24七年级下·全国·课后作业）计算： （1） ； （2） ． 变式8-2．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）若定义  表示，  表示，则运算  的结果 ． 变式8-3．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式8-4．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知，则 ， ． 【考点九 用科学计数法表示数的除法】 例9．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式9-1．（22-23七年级下·陕西宝鸡·期中）火星的体积约为立方米，地球的体积约为立方米，地球体积约是火星体积的 倍． 变式9-2．（22-23七年级下·山东·期中）计算： ． 【考点十 计算多项式除以单项式】 例10．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）若长方形的面积为，且一边长为，则其周长为（    ） A． B． C． D． 变式10-1．（23-24八年级上·吉林四平·期末）有下列式子：①；②；③；④，其中计算正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 变式10-2．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 变式10-3．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）阅读材料：多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算，可用竖式计算，如图： 所以除以，商式为，余式为0． 请根据阅读材料回答下列问题： 若能被整除，则 ． 【考点十一多项式除以单项式-化简求值】 例11．（22-23八年级下·福建福州·开学考试）先化简，再求值：，其中，． 变式11-1．（23-24八年级上·四川巴中·期末）先化简，再求值：，其中． 变式11-2．（23-24八年级上·广西南宁·期中）先化简，再求值：，其中，． 一、单选题 1．（22-23八年级上·贵州黔南·期末）的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东江门·开学考试）通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（n＝1，2，3，4，…）的展开式的系规律（按a的次数由大到小的顺序）： 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 4．（23-24八年级上·广西钦州·阶段练习）如果，那么的值分别是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·安徽黄山·期末）如果多项式与多项式的乘积中不含y的一次项，则a的值为（    ） A． B． C．5 D． 6．（23-24八年级上·山东临沂·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C．1 D．5 7．（23-24八年级上·福建泉州·期末）已知一个长方形，若它的长增加，宽减少，则面积保持不变；若它的长减少，宽增加，则面积仍保持不变．这个长方形的面积为（    ） A．12 B．24 C．36 D．72 8．（23-24八年级上·吉林白山·阶段练习）若，则内应填的单项式是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·陕西延安·期末）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·天津河东·期末）下列计算中，正确的个数有（    ） （1）    （2） （3）     （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）若，则 12．（22-23八年级上·河南洛阳·期末）小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为 ． 13．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）已知的展开式中不含项，常数项是，则 ． 14．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，某小区要在长方形操场上铺设塑胶地垫（地垫无缝拼接，不可剪裁），现有正方形地垫A，B和长方形地垫C若干张已知操场长、宽分别为和，则需要用到B地垫的张数为 张． 15．（23-24八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）若A与的积为，则 ． 三、解答题 16．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）先化简，再求值：，其中 17．（23-24八年级上·河南洛阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中 ，． 18．（23-24八年级上·吉林白山·阶段练习）已知、均为整式，，小马在计算时，误把“÷”抄成了“”，这样他计算的结果为． (1)将整式化为最简形式； (2)求的正确结果． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 整式的乘法（多项式与多项式相乘）与整式的除法 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解与掌握多项式乘以多项式的运算法则； 2.理解与掌握单项式除以单项式运算法则，并进行计算； 3.理解与掌握多项式除以单项式运算法则，并进行计算； 多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 即(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 【补充说明】 1）多项式乘多项式时，要按一定的顺序进行，必须做到不重不漏. 2）多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号. 3）运算结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 4）若结果中含有同类项，则一定要进行合并同类项，使得结果为最简形式. 5）多项式乘多项式法则也适用于多个多项式相乘，即按顺序先将前两个多项式相乘，再把乘积和第三个多项式相乘，依次类推. 6）特殊二次项相乘： 其中：a，b为常数. 单项式除单项式 一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 　 多项式除单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题解决. 【考点一 计算多项式乘多项式】 例1．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列各式计算结果是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式．解题的关键在于对多项式的乘法法则的熟练掌握．利用整式乘法一一验证即可． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意． 故选：D． 变式1-1 （23-24七年级下·浙江温州·期中）计算，所得结果的一次项系数是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，直接利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可. 【详解】解： ； ∴结果的一次项系数是； 故选A 变式1-2．（23-24七年级下·山西晋中·期中）如图，综合与实践课上，小青将长为4，宽为2的长方形硬纸片的四个角处各剪去边长为x的小正方形，再按折痕（虚线）折叠，可以制成有底无盖的长方体盒子．根据图中信息，该长方体盒子的容积可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的运算法则和列代数式，能根据题意列出代数式是解此题的关键．长方体盒子的底为边长为，的长方形的面积，利用长方体的体积公式即可表示出长方形的体积． 【详解】解：长方体盒子的底为边长为，的长方形的面积， 则长方形的体积为：， 故选：A． 变式1-3．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的乘法运算，涉及知识点：积的乘方、单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘多项式、合并同类项，熟练掌握运算法则是关键． （1）先计算积的乘方、单项式乘单项式，再合并即可； （2）利用单项式乘多项式法则去掉括号即可； （3）利用多项式乘多项式法则去掉括号，再合并即可； （4）先利用单项式乘多项式法则、多项式乘多项式法则去掉括号，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 变式1-4．（2024·广东汕头·二模）若规定符号的意义是：，则当时，值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了整式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．根据定义的新运算进行计算，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ∵， ∴， ∴当时，原式， 故答案为：6． 【考点二 已知多项式乘多项式结果求参数的值】 例2．（2024·陕西渭南·一模）已知，则m、n的值依次为（    ） A．5，2 B．， C．3， D．， 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用多项式乘以多项式的法则，将等式左边展开，根据对应项相等，求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴，； 故选：C． 变式2-1．（23-24七年级下·湖南郴州·期中）在的展开式中，x的一次项系数是3，则m的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的法则，多项式的定义，先根据多项式乘以多项式的法则去掉括号，合并同类项后，根据x的一次项系数是3即可解答． 【详解】解：∵， 又∵x的一次项系数是3， ∴， ∴． 故答案为：4． 变式2-2．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）若，则的值为（　　） A． B．125 C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，运用多项式乘以多项式运算法则计算后，根据对应项的系数相等得到的值，再代入计算即可 【详解】解： 又， ∴ ∴， 故选：A 变式2-3．（23-24七年级下·河北保定·期中）除以的商式为，余式为，求（    ） A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】本题考查的是除法的意义，多项式的乘法运算，理解题意是解本题的关键，根据除法的意义可得，再建立方程求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， 故选C． 变式2-4．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知，求与的值． 【答案】， 【分析】本题考查的是已知整式乘法运算的结果求解参数，先计算多项式乘以多项式，再建立方程求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴，， 解得，． 【考点三 利用多项式乘多项式求代数式的值】 例3．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知 ，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的混合运算，利用整式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式 ． 故选：B． 变式3-1．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，根据多项式乘以多项式的计算法则得到，则，据此求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式3-2．（22-23七年级下·广东·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，将展开可得，代入即可解答，熟练掌握整式的乘法计算法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 变式3-3．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知，．求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟记多项式乘以多项式的乘法法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式法则，将括号展开，再将代入即可解答； （2）根据多项式乘以多项式法则，将括号展开，再将，代入进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； （2）解： ． 变式3-4．（2024九年级下·全国·专题练习）已知，求的值． 【答案】5 【分析】此题考查了多项式的乘法，合并同类项，整体代入法求代数式的值，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．先将展开化简，然后将整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴原式 ． 【考点四 （x+p）（x+q）型特殊多项式相乘】 例4．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的乘法，利用多项式乘以多项式运算法则将等式左边的代数式展开并合并同类项，使得等式两边对应项的系数相等，得到关于m、n的方程，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：D． 变式4-1．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如果，那么的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘多项式运算法则是解题的关键．先将等式的左边利用多项式乘以多项式法则计算，再根据多项式相等的条件即可求出m与n的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴，． 故选B． 变式4-2．（23-24八年级下·四川眉山·期中）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘法的变形求值，掌握乘法法则是关键． 根据多项式与多项式相乘的法则对所求代数式进行变形，再把和的值代入，即可得到答案． 【详解】解： ， ， 故答案为∶． 变式4-3．（23-24七年级下·河北保定·期中）回答下列问题： (1)计算： ①______；    ②______． ③______；    ④______． (2)总结公式______ (3)已知，，均为整数，且．求的所有可能值． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) (3)8或 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式： （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （3）根据（2）可得，则，再由都是整数，，得到或或或，据此求解即可． 【详解】（1）解：① ； ② ； ③ ； ④ ； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵都是整数，， ∴或或或， ∴或． 变式4-4．（23-24七年级下·山东枣庄·期中）先观察下列各式，再解答后面问题： ； ； ； ． (1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？ (2)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来； (3)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果． ①_____________； ②_____________． 【答案】(1)两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项 (2) (3)①；② 【分析】本题考查了多项式乘多项式． （1）根据乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项之间的规律作答； （2）根据（1）中呈现的规律，列出公式； （3）根据（2）中的公式代入计算． 【详解】（1）解：乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系为： 两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项； （2）解：公式为： （3）解：① ； ② ． 【考点五 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 例5．（23-24七年级下·陕西榆林·期中）如果计算的结果不含项，那么的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算，熟练掌握单项式乘以多项式的法则是解题的关键．先计算单项式乘以多项式，再结合项的系数为零即可得出答案． 【详解】解：∵ ， 又∵计算的结果不含项， ∴． ∴． 故选D． 变式5-1．（23-24七年级下·河南郑州·期中）若关于x的多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为12，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式中的不含某项问题，代数式求值，先利用多项式乘多项式法则展开，根据展开式中没有二次项和常数项为12得到关于m、n的方程，求出m、n的值，再代入到中计算即可求解，掌握整式的乘法运算是解题的关键． 【详解】解∶ ， ∵多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为12， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 变式5-2．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）已知多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且常数项为，试求的值； 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的展开式不含有某一项，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键．多项式中不含有某一项就是其系数为0．先根据多项式乘以多项式法则展开整理，再确定二次项和常数项，进而求出a，b的值，即可得出答案． 【详解】解： ， ∵多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，常数项为， ∴，， 解得：，， ∴． 变式5-3．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）关于x的代数式化简后不含有项和常数项． (1)求a，b的值． (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查整式的四则混合运算、解一元一次方程、代数式求值，熟练掌握整式的四则混合运算法则，正确得到a、b的方程是解答的关键，尤其（2）中利用积的乘方的逆运算求解是关键． （1）先将原式括号展开，再合并同类项，最后根据不含和常数项得出，，即可解答； （2）根据幂的运算法则得出，根据（1）中得出的a和b的值，即可解答． 【详解】（1）解： ， ∵不含和常数项， ∴，， ∴，． （2）解：， 由（1）知，， 原式． 变式5-4．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）若 的积中不含x项与项． (1)求p、q的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值的问题，注意计算的准确性即可. （1）计算，令含x项与项的系数为零即可求解； （2）将代入计算即可. 【详解】（1）解： ∵的积中不含x项与项 ∴， 解得： （2）解：∵， ∴ ∴ 【考点六 多项式乘多项式-化简求值】 例6．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的乘法运算，化简求值，先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，最后把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 变式6-1．（22-23七年级下·山东聊城·期中）先化简，再求值：，其中，，． 【答案】；8 【分析】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用整式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 变式6-2．（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先根据多项式乘以多项式、单项式乘以多项式去括号，再合并同类项即可化简，最后代入，计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【考点七 多项式乘多项式与图形面积】 例7．（23-24七年级下·广西崇左·期中）如图，甲、乙、丙、丁四名同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①；②；③；④．你认为正确的有（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了整式乘法的应用，根据长方形面积公式判断各式是否正确即可，根据图形正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：根据长方形面积：①，该选项正确，符合题意； ②由①将看作整体，去括号得：，该选项正确，符合题意； ③由①将看作整体，去括号得：，该选项正确，符合题意； 由①去括号得：，该选项正确，符合题意； ∴正确的有①②③④， 故选：D． 变式7-1．（23-24六年级下·山东泰安·期中）设有边长分别为a和的A类和B类正方形纸片，长为a宽为b的C类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】用长乘宽，列出算式，根据多项式乘多项式的运算法则展开，然后根据、、类卡片的形状可得答案．本题考查了多项式乘多项式在几何图形问题中的应用，数形结合并明确多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：依题意 ， 若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要类纸片的张数为10张． 故选：B． 变式7-2．（23-24七年级下·陕西西安·期中）甲长方形的长与宽分别为厘米和厘米，乙长方形的长和宽分别为厘米和厘米，则这两个长方形的面积大小关系为（    ） A．甲大 B．乙大 C．一样大 D．无法比较 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式在几何图形中的应用，分别求出两个长方形的面积，然后利用作差法求解即可． 【详解】解：由题意得，甲长方形面积为平方厘米， 乙长方形的面积为平方厘米， ∴ ， ∴， 故选：A． 变式7-3．（23-24七年级下·山西运城·期中）求图中阴影部分的面积 （用代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的应用，整式混合运算，直接用代数式表示阴影部分面积即可． 【详解】解：阴影部分面积为： ． 故答案为：． 变式7-4．（23-24七年级下·浙江温州·期中）小陈用五块布料制作靠垫面子，其中四周的四块由长方形布料裁成四块得到，正中的一块正方形布料从另一块布料裁得，靠垫面子和布料尺寸简图，如图所示∶ (1)用含a，b的代数式表示图中阴影部分小正方形的面积． (2)当，时，求阴影部分面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式运算的应用；能表示出阴影部分的面积是解题的关键． （1）由图可求得小长方形的长为，小长方形的宽为，可求大正方形的边长，由，即可求解； （2）将，代入计算，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得： 长方形的长为：， 长方形的宽为：， 大正方形的长为：， ； （2）解：，， ． 变式7-5．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）将两张全等的矩形纸片和另外两张全等的正方形纸片按如图所示的方式不重叠地放置在矩形内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等，若的面积为4，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用．根据题意表示出、、、的长，根据三角形面积公式进行计算，再计算中间小正方形的面积，即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：如图， ∵四边形和四边形是大小完全一样的正方形， 设，，， ∵四边形是正方形， ∴设， ∵的面积为4， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形和四边形是两张大小完全一样的长方形纸片， ∴，，， ∴ ， 故答案为：16． 【考点八 计算单项式除以单项式】 例8．（2024·陕西西安·二模）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算．先算积的乘方，再算单项式的乘除法即可． 【详解】解： 故选：D． 变式8-1．（23-24七年级下·全国·课后作业）计算： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查的是积的乘方运算，单项式除以单项式，掌握运算法则是解本题的关键； （1）直接利用单项式除以单项式的运算法则计算即可； （2）先计算积的乘方，再计算单项式除以单项式即可． 【详解】解：（1） ； 故答案为： （2） ． 故答案为： 变式8-2．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）若定义  表示，  表示，则运算  的结果 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整单项式除法运算，先根据定义列出代数式，然后再利用积的乘方、单项式除法解答即可．根据新定义列出整式是解答本题的关键． 【详解】解：由题意可得： ． 故答案为：． 变式8-3．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，积的乘方计算，单项式除以单项式，先把原式变形为，进而得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 变式8-4．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知，则 ， ． 【答案】 5 3 【分析】本题考查的是单项式的除法，根据单项式除以单项式进行计算，再建立方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，． 故答案为：， 【考点九 用科学计数法表示数的除法】 例9．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据幂的乘方与积的乘方的性质计算，然后根据用科学记数法表示的数的计算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方、用科学记数法表示的数的计算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 变式9-1．（22-23七年级下·陕西宝鸡·期中）火星的体积约为立方米，地球的体积约为立方米，地球体积约是火星体积的 倍． 【答案】8 【分析】根据整式除法法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了整式的除法，掌握整式的除法法则是解题关键． 变式9-2．（22-23七年级下·山东·期中）计算： ． 【答案】 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案，最后结果用科学记数法表示． 【详解】， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了整式的除法，正确运用整式的除法运算法则是解题关键． 【考点十 计算多项式除以单项式】 例10．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）若长方形的面积为，且一边长为，则其周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的除法及整式加减运算的应用，根据长方形的面积公式可得长方形的另一边长为，根据多项式除法法则进行计算；长方形的周长（长宽），据此列式，然后根据合并同类项法则进行化简．正确掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：∵长方形的面积为，且一边长为， ∴另一边长是：， 则其周长是：． 故选：D． 变式10-1．（23-24八年级上·吉林四平·期末）有下列式子：①；②；③；④，其中计算正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了整式的乘除，涉及同底数幂除法、积的乘方、整式乘法，根据相关运算法则逐一计算，即可得出答案． 【详解】解：，故此选项错误； ，故此选项错误； ，故此选项错误； ，正确． 故选：C． 变式10-2．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加即可． 【详解】解：， ， 故选：A． 变式10-3．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）阅读材料：多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算，可用竖式计算，如图： 所以除以，商式为，余式为0． 请根据阅读材料回答下列问题： 若能被整除，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查整式的除法，解题的关键是理解被除式=除式×商式+余式，学会模仿解题，属于中考常考题型． 设商式为，则有,根据对应项系数相等即可解决问题． 【详解】设商式为， 则有, , , , , ． 故答案为：2. 【考点十一多项式除以单项式-化简求值】 例11．（22-23八年级下·福建福州·开学考试）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2023 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算括号内的整式的乘法运算，合并同类项，最后计算多项式除以单项式，再把，代入计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 变式11-1．（23-24八年级上·四川巴中·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的运算，先进行括号内的单项式乘以多项式，平方差公式和合并同类项运算，再多项式除以单项式运算即可，把变形为，然后利用整体代入求值即可，熟练掌握运算法则及整体代入是解题的关键． 【详解】解：原式， ， ， ∵， ∴， ∴原式． 变式11-2．（23-24八年级上·广西南宁·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的混合运算．先根据整式的混合运算法则进行化简，再代入数值计算． 【详解】解： ， 当，时，原式 ． 一、单选题 1．（22-23八年级上·贵州黔南·期末）的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，利用多项式乘以多项式的运算法则直接计算即可求解，掌握用多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 2．（23-24八年级下·广东江门·开学考试）通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式运算．要求阴影部分面积，若不规则图形可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算，若规则图形可以直接利用公式进行求解． 【详解】解：图1中，阴影部分长宽长方形面积， 阴影部分的面积， 图2中，阴影部分大长方形面积长宽长方形面积长宽长方形面积边长的正方形面积， 阴影部分的面积， ． 故选：D． 3．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（n＝1，2，3，4，…）的展开式的系规律（按a的次数由大到小的顺序）： 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，首先确定含的项是的展开式中的第二项，再根据杨辉三角可得展开式中的第二项系数为n，据此可得答案． 【详解】解：由图中规律可知： 含的项是的展开式中的第二项， ∵展开式中的第二项系数为1， 展开式中的第二项系数为2， 展开式中的第二项系数为3， 展开式中的第二项系数为4， ……， ∴以此类推，可知展开式中的第二项系数为n， ∴的展开式中的第二项系数为2023， 故选：C． 【点睛】本题考查了数字的变化类、数学常识、多项式、完全平方式，解决本题的关键是理解“杨辉三角”． 4．（23-24八年级上·广西钦州·阶段练习）如果，那么的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘多项式，先根据多项式乘多项式的运算求出，再和的系数比较，得到p和q的值． 【详解】解：， 对比式子，得到，． 故选：A． 5．（22-23八年级上·安徽黄山·期末）如果多项式与多项式的乘积中不含y的一次项，则a的值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算，理解题意，确定多项式的乘积的结果中不含某项的含义是解本题的关键． 先计算多项式乘以多项式，再合并关于的同类项，根据该项的系数为0建立方程求解即可． 【详解】解： ， 多项式与多项式的乘积中不含的一次项， ， 解得． 故选：B． 6．（23-24八年级上·山东临沂·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C．1 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查多项式乘多项式及求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：C． 7．（23-24八年级上·福建泉州·期末）已知一个长方形，若它的长增加，宽减少，则面积保持不变；若它的长减少，宽增加，则面积仍保持不变．这个长方形的面积为（    ） A．12 B．24 C．36 D．72 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系．可利用面积相等列方程组，求出x，y的值，进而求出长方形的面积． 【详解】解：设这个长方形的长为，宽为，由题意，得， ， 解得 ， ∴， 故选D． 8．（23-24八年级上·吉林白山·阶段练习）若，则内应填的单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的除法，同底数幂相除．根据题意计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 9．（23-24八年级上·陕西延安·期末）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 故选：B． 10．（23-24八年级上·天津河东·期末）下列计算中，正确的个数有（    ） （1）    （2） （3）     （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，单项式除以单项式，积的乘方，多项式除以单项式，熟练掌握运算法则，逐一计算判断即可． 【详解】解：（1），正确，符合题意； （2），错误，不符合题意； （3），错误，不符合题意；     （4），错误，不符合题意； 故选：A． 二、填空题 11．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）若，则 【答案】 【分析】 本题主要考查了多项式乘以多项式，利用多项式乘以多项式的计算法则求出所给等式左边的结果，即可得到，解之即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：15． 12．（22-23八年级上·河南洛阳·期末）小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为 ． 【答案】1 【分析】本题考查多项式乘以多项式，设，根据多项式乘以多项式的运算法则将原式展开，使得一次项系数等于列方程求解即可． 【详解】解：设， 则原式， ∵结果中的一次项系数为， ∴，解得， 故答案为：1． 13．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）已知的展开式中不含项，常数项是，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，整式中不含某项的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． 根据多项式乘以多项式展开，再根据不含的项，含项的系数为零即可求解． 【详解】解： ， ∵常数项为， ∴， ∴， ∵不含项， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，某小区要在长方形操场上铺设塑胶地垫（地垫无缝拼接，不可剪裁），现有正方形地垫A，B和长方形地垫C若干张已知操场长、宽分别为和，则需要用到B地垫的张数为 张． 【答案】48 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，解答本题的关键在于熟练掌握多项式乘以多项式运算法则，用边长表示出操场的面积即可求解． 【详解】解：操场长和宽分别为和， ∴操场的面积为， ∴需要96张A型地垫，48张B型地垫，136张C型地垫， 即，需要用到B型地垫的张数为48张． 故答案为：48． 15．（23-24八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）若A与的积为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，根据乘除法互为逆运算，只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】解：∵A与的积为 ∴， 故答案为：． 三、解答题 16．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】，1 【分析】此题考查了整式乘法的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用多项式乘以多项式、单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ， 当时， 原式． 17．（23-24八年级上·河南洛阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中 ，． 【答案】，； 【分析】本题考查整式的化简求值，先去括号，去绝对值，再根据乘除加减法则计算即可得到答案； 【详解】解：原式 ∵，， ∴原式 ， 当，时， 原式． 18．（23-24八年级上·吉林白山·阶段练习）已知、均为整式，，小马在计算时，误把“÷”抄成了“”，这样他计算的结果为． (1)将整式化为最简形式； (2)求的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式计算，合并同类项等． （1）根据题意先将每项整理后合并同类项即可； （2）先计算求出的代数式，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意得：， ， ． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$