高一数学期末模拟试卷（天津专用）-2023-2024学年高一数学人教A版2019

天津高一期末试卷（原卷版） 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题9个小题，每小题5分，共45分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．复数（    ） A． B． C． D． 2．已知，为单位向量，当向量与的夹角等于时，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．如图，正方体，棱长为是的中点，则二面角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 4．如图，圆柱中，是侧面的母线，是底面的直径，是底面圆上一点，则（    ）    A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 5．盒中装有形状､大小完全相同的4个球，其中红色球2个，黄色球2个，若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色相同的概率等于（    ） A． B． C． D． 6．一组数据的第30百分位数为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 7．已知平面向量，且与的夹角为，则（    ） A．12 B．16 C． D． 8．为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（    ）    A．a的值为0.005 B．估计这组数据的众数为75 C．估计这组数据的第85百分位数为86 D．估计成绩低于60分的有25人 9．下列结论正确的个数为（    ） ①在中，若，则； ②在锐角中，不等式恒成立； ③在中，若，，则为等腰直角三角形； ④在中，若，，面积，则外接圆半径为. A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，试题中包含两空的，答对一个给3分，全部答对给5分） 10．若事件与互斥，且，，则 . 11．已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于 . 12．如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，记，用表示 ；设，若，则的最小值为 ． 13．在中，内角所对的边分别为.若，则 . 14．数学兴趣小组的四名同学各自抛掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，四名同学的部分统计结果如下： 甲同学：中位数为3，方差为2.8；        乙同学：平均数为3.4，方差为1.04； 丙同学：中位数为3，众数为3；        丁同学：平均数为3，中位数为2. 根据统计结果，数据中肯定没有出现点数6的是 同学. 15．在三棱锥中（如图所示），，则二面角的余弦值为 .    三、解答题（本大题共5个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．一个盒子中装有4个编号依次为1､2､3､4的球，这4个球除号码外完全相同，采用放回方式取球，先从盒子中随机取一个球，该球的编号为，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为. (1)写出试验的样本空间； (2)设事件A=“两次取出球的编号之和小于4”，事件B=“编号”，分别求事件A，B，AB发生的概率. 17．已知.求： (1)与的夹角； (2)； (3)若与夹角为钝角，求的取值范围. 18．甲、乙两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的成绩（环数）如下： 甲  7  8  7  9  5  4  9  10  7  4 乙  9  5  7  8  7  6  8  6  7  7 (1)求甲运动员的样本数据的众数和第85百分位数； (2)分别计算这两位运动员射击成绩的方差； (3)如果选一位成绩稳定的运动员参加比赛，选谁较好？说明理由. 注：一组数据的平均数为，它的方差为 19．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，平面，，为中点. (1)证明： 平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的余弦值. 20．在中，角所对的边分别为，. (1)求的值； (2)若，求的面积； (3)求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津高一期末试卷 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题9个小题，每小题5分，共45分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（22-23高一下·天津红桥·期末）复数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数模长运算法则直接求解即可. 【详解】. 故选：A. 2．（21-22高一下·天津河西·期末）已知，为单位向量，当向量与的夹角等于时，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过投影公式进行计算即可． 【详解】解：由定义可得向量在向量上的投影为， 所以向量在向量上的投影向量为． 故选：D． 3．（22-23高一下·天津和平·期末）如图，正方体，棱长为是的中点，则二面角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二面角平面角的定义得到是二面角的平面角，然后求正弦值即可. 【详解】    如图，取中点，连接，， 因为为正方体，所以，， 因为为中点，所以，， 因为平面平面，平面，平面， 所以是二面角的平面角， ，，， ，所以二面角的正弦值为. 故选：B. 4．（21-22高一下·天津河西·期末）如图，圆柱中，是侧面的母线，是底面的直径，是底面圆上一点，则（    ）    A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】A 【分析】根据线面垂直的判定定理、性质定理及定义逐项判断即可. 【详解】依题意平面，平面，所以， 又是底面圆的直径，所以， ，，平面，所以平面，故A正确； 对于B，在中，，显然与不垂直，则不可能垂直平面，故B错误； 对于C：在中，，显然与不垂直，则不可能垂直平面，故C错误； 对于D：在中，，显然与不垂直，则不可能垂直平面，故D错误； 故选：A. 5．（22-23高一下·天津·期末）盒中装有形状､大小完全相同的4个球，其中红色球2个，黄色球2个，若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色相同的概率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用列举法求得基本事件的总数，以及所求事件中包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由盒中装有形状､大小完全相同的4个球，其中红色球2个，设为，黄色球2个，设为， 从中随机取出2个球，包含：，共有6种不同的取法， 其中两个球的颜色相同，包含，有2种取法， 所以所取出的2个球颜色相同的概率等于. 故选：B. 6．（22-23高一下·天津和平·期末）一组数据的第30百分位数为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】将给定数据由小到大排列，再求出第30百分位数作答. 【详解】将数据从小到大排列为，共7个数据， 由，故第30百分位数是第三个数据为5. 故选：C 7．（22-23高一下·天津和平·期末）已知平面向量，且与的夹角为，则（    ） A．12 B．16 C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积的定义可得，结合模长公式和数量积的运算律运算求解. 【详解】由题意可知：， 所以. 故选：C. 8．（22-23高一下·天津和平·期末）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（    ）    A．a的值为0.005 B．估计这组数据的众数为75 C．估计这组数据的第85百分位数为86 D．估计成绩低于60分的有25人 【答案】D 【分析】对A：根据频率之和为1，结合图表数据，计算即可； 对B：找出面积最大的小长方形对应的区间，求得众数即可； 对C：根据百分位数定义，结合数据求解即可； 对D：求得成绩低于60分的频率，结合总人数计算即可. 【详解】对A：， 即，，故A正确； 对B：由面积最大的小长方形可知，估计这组数据的众数为75，故B正确； 对C：前4组频率之和为， 前5组频率之和为， 设这组数据的第85百分位数为， 则，，故C正确； 对D：成绩低于60分的频率为， 故估计成绩低于60分的有人，D错误. 故选：D 9．（22-23高一下·天津·期末）下列结论正确的个数为（    ） ①在中，若，则； ②在锐角中，不等式恒成立； ③在中，若，，则为等腰直角三角形； ④在中，若，，面积，则外接圆半径为. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据大边对大角、余弦函数的单调性可判断①；由余弦定理可判断②；由余弦定理、正弦定理可判断③；由三角形的面积公式、余弦定理、正弦定理可判断④. 【详解】对于①：在中，若，根据大边对大角则， 因为，在上单调递减，所以，故选项①正确； 对于选项②：在锐角三角形中，，即， 故不等式恒成立，故选项②正确； 对于选项③：在中，， 由余弦定理可知：，因此有 可得 ， 即，因为，所以， 因此，所以或，即，或（舍去）， ，所以，故③正确． 对于选项④：在中，若，，三角形面积， 所以，解得， 所以， 由正弦定理，故选项④正确． 故选：D． 【点睛】方法点睛：在解三角形问题中，主要利用正弦定理、余弦定理及面积公式解题，考查了学生思维能力、计算能力. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，试题中包含两空的，答对一个给3分，全部答对给5分） 10．（22-23高一下·天津·期末）若事件与互斥，且，，则 . 【答案】0.8/ 【分析】 根据互斥事件概率加法公式计算求解. 【详解】因为事件与互斥，且，， 所以. 故答案为：0.8 11．（22-23高一下·天津·期末）已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于 . 【答案】 【分析】化简得到，根据题意列出方程组，即可求解. 【详解】由复数， 因为复数是纯虚数，可得，解得. 故答案为：. 12．（23-24高三上·天津和平·期末）如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，记，用表示 ；设，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用平面向量的线性运算、用基底表示向量，结合基本不等式即可求解. 【详解】由题知， ， 即. 由，， 所以， 因为、、三点共线， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：； 13．（22-23高一下·湖北·阶段练习）在中，内角所对的边分别为.若，则 . 【答案】/ 【分析】利用大边对大角结合正弦定理可求得，再利用同角三角函数基本关系直接求解即可. 【详解】在中，由正弦定理可得，解得， 又，所以，所以为锐角，所以. 故答案为： 14．（22-23高一下·天津河东·期末）数学兴趣小组的四名同学各自抛掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，四名同学的部分统计结果如下： 甲同学：中位数为3，方差为2.8；        乙同学：平均数为3.4，方差为1.04； 丙同学：中位数为3，众数为3；        丁同学：平均数为3，中位数为2. 根据统计结果，数据中肯定没有出现点数6的是 同学. 【答案】乙 【分析】假设出现6点，利用特例法，结合平均数和方差的计算公式，即可求解. 【详解】对于甲同学，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3， 平均数为：，方差为，可以出现点数6； 对于乙同学，若平均数为3.4，且出现点数6，则方差， 所以当平均数为3.4，方差为1.04时，一定不会出现点数6； 对于丙同学，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，众数为3，可以出现点数6； 对于丁同学，当投掷骰子出现的结果为时，满足平均数为，中位数为，可以出现点数. 综上，根据统计结果，数据中肯定没有出现点数6的是乙同学. 故答案为：乙 15．（22-23高一下·天津河东·期末）在三棱锥中（如图所示），，则二面角的余弦值为 .    【答案】 【分析】利用二面角平面角的定义作出二面角的平面角，利用余弦定理求解即可. 【详解】    如图，取AB的中点M，连接PM，CM， 在中，，所以，， 同理可得，，， 所以即为二面角的平面角. 因为，， 在中，由余弦定理得，， 所以二面角的余弦值为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共5个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（22-23高一下·天津和平·期末）一个盒子中装有4个编号依次为1､2､3､4的球，这4个球除号码外完全相同，采用放回方式取球，先从盒子中随机取一个球，该球的编号为，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为. (1)写出试验的样本空间； (2)设事件A=“两次取出球的编号之和小于4”，事件B=“编号”，分别求事件A，B，AB发生的概率. 【答案】(1)见详解； (2)，，. 【分析】（1）用列举法写出样本空间计算即可； （2）根据事件的运算及古典概型计算即可. 【详解】（1）由题意可知所有可能的结果共有16种，样本空间为{， }； （2）由题意可知事件A=，共三个结果，故， 事件B=，共六个结果，故， 事件包含的结果有一个，故. 17．（22-23高一下·天津·期末）已知.求： (1)与的夹角； (2)； (3)若与夹角为钝角，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的运算法则，列出方程，求得，即可求解； （2）根据题意，求得，即可求得的值； （3）由与夹角为钝角，得到且与不共线，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）因为， 可得， 即，解得， 又因为的取值范围为，可得. （2）由，且， 可得 所以. （3）若与夹角为钝角，则满足且与不共线 所以，即，解得， 令，可得，解得， 综上可得且，即求的取值范围. 18．（22-23高一下·天津·期末）甲、乙两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的成绩（环数）如下： 甲  7  8  7  9  5  4  9  10  7  4 乙  9  5  7  8  7  6  8  6  7  7 (1)求甲运动员的样本数据的众数和第85百分位数； (2)分别计算这两位运动员射击成绩的方差； (3)如果选一位成绩稳定的运动员参加比赛，选谁较好？说明理由. 注：一组数据的平均数为，它的方差为 【答案】(1)众数是7，第85百分位数为9 (2)4；1.2 (3)选乙参加比赛，理由见解析 【分析】（1）根据众数和百分位数求解方法直接计算求解； （2）根据公式先计算平均数，再运用公式计算方差即可； （3）根据（2）中方差计算结果结合方差实际意义进行判断即可. 【详解】（1）根据题意可知，甲的数据里的众数是7； 把甲的数据按从小到大排列如下： 4   4   5   7   7   7   8   9   9   10   因为85%10=8.5所以第9个数据是第85百分位数， 所以第85百分位数为9. （2）， ； . （3）由（2）知，， 即甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小， 乙的成绩较稳定，所以选乙参加比赛. 19．（22-23高一下·天津和平·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，平面，，为中点. (1)证明： 平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 (3) 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而证明出线面平行； （2）由余弦定理求出，从而由勾股定理逆定理得到⊥，由线面垂直得到⊥，从而证明出结论； （3）作出辅助线，得到直线与平面所成角，求出各边长，求出余弦值. 【详解】（1）连接，， 因为底面为平行四边形，为中点， 故与相交于， 因为为的中点， 则 ， 因为平面，平面， 所以 平面； （2）因为， 由余弦定理得，即， 解得， 因为，所以⊥， 因为⊥平面，平面，所以⊥， 因为平面，， 所以平面； （3）取的中点，连接，则 ， 因为⊥平面，所以⊥平面， 则为直线与平面所成角， 其中，故， 因为⊥，，由勾股定理得， 故， 由勾股定理得， 所以. 20．（22-23高一下·天津和平·期末）在中，角所对的边分别为，. (1)求的值； (2)若，求的面积； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理边化角即可得结果； （2）根据题意利用余弦定理求得，再结合面积公式运算求解； （3）根据三角形内角和关系可得，结合三角恒等变换运算求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得. （2）若，则， 由余弦定理，即， 整理得，解得或（舍去）， 所以的面积. （3）因为，则， 则， 又因为，即，则， 可得， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$