高二数学期末模拟试卷（天津专用）-2023-2024学年高二数学人教A版2019

天津高二期末试卷 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题9个小题，每小题5分，共45分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．命题“，总有”的否定是（    ） A．，总有 B．，总有 C．，使得 D．，使得 2．设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋“日落云里走，雨在半夜后等，一位同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了某地区的100天日落和夜晚天气，得到列联表如下，并计算得到，下列中该同学对某地区天气的判断不正确的是（    ） 日落云里走 夜晚天气 下雨 未下雨 出现 25天 5天 未出现 25天 45天 A．夜晚下雨的概率约为 B．未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为 C．有99.9%的把握，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关 D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气无关 4．某班要从5名学生中选出若干人在星期一至星期三这3天参加志愿活动，每天只需1人，则不同的选择方法有（    ） A．10种 B．60种 C．120种 D．125种 5．下列函数求导正确的是（   ） A． B． C． D． 6．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．设是定义域为R的奇函数，且，若，则（    ） A． B． C． D． 8．已知为等比数列的前项和，，，则（    ） A．3 B． C． D． 9．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，试题中包含两空的，答对一个给3分，全部答对给5分） 10．如果随机变量，且，那么 . 11．已知，则的最小值为 . 12．在的展开式中，二项式系数和是32，的系数为 . 13．已知函数存在减区间，则实数a的取值范围为 . 14．数列的前项和为，，则 ；设数列的前项和为，则 . 15．设，函数恰有三个零点，则a的取值集合为 . 三、解答题（本大题共5个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．今年是中国共产党建党102周年，为庆祝中国共产党成立102周年，某高中决定在全校约3000名高中生中开展“学党史，知奋进”党史知识克赛活动，设置一、二、三等奖若干名，为了解学生的获奖情况与选修历史学科之间的关系，在全校随机选取了50名学生作为样本，统计这50名学生的获奖情况后得到如下列联表： 没有获奖 获奖 合计 选修历史 4 20 没有选修历史 12 合计 附： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式： (1)完成上面2×2列联表，并依据的独立性检验，能否认为“党史知识竞赛是否获奖与选修历史学科”有关；（结果保留一位小数） (2)从选修历史且获奖的学生中选取2名男生和4名女生组成“学党史、知奋进宣讲团”，在某次活动中，从这6名学生中随机选取3人为宣讲员，求男生宣讲员人数的分布列和数学期望． 17．在一次庙会上，有种“套圈游戏”，规则如下：每组每人3个圆环，向A，B两个目标投掷，先向目标A连续掷两次，每套中一次得1分，没有套中不得分，再向目标B掷一次，每套中一次得2分，没有套中不得分，根据最终得分由主办方发放奖品.已知甲每投掷一次，套中目标A的概率为，套中目标B的概率为，假设甲每次投掷的结果相互独立. (1)求甲在一组游戏中恰好套中一次的概率； (2)求甲在一组游戏中的总分X的分布列及数学期望； (3)甲连续玩了5组套圈游戏，假设甲每组投掷的结果相互独立，求甲恰有3组套圈游戏中得2分或者3分的概率. 18．已知函数. (1)判断的奇偶性； (2)若，判断在的单调性，并证明（定义法、导数法均可）； (3)若，，判断函数的零点个数，并说明理由. 19．已知数列， (1)令，求证：数列是等比数列； (2)若，求数列的前项和. 20．已知函数为其定义域上的奇函数． (1)求a的值； (2)若，且在区间上的最小值为，求b的值； (3)若b＝12，求函数在区间上的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津高二期末试卷 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题9个小题，每小题5分，共45分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（22-23高二下·天津红桥·期末）命题“，总有”的否定是（    ） A．，总有 B．，总有 C．，使得 D．，使得 【答案】D 【分析】利用全称命题的否定直接求解. 【详解】利用“改量词否结论”可知：，总有”的否定是：，使得. 故选：D 2．（22-23高二下·天津红桥·期末）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据补集和交集的概念即可得出答案. 【详解】，， 又，.     故选：C 3．（22-23高二下·天津滨海新·期末）千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋“日落云里走，雨在半夜后等，一位同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了某地区的100天日落和夜晚天气，得到列联表如下，并计算得到，下列中该同学对某地区天气的判断不正确的是（    ） 日落云里走 夜晚天气 下雨 未下雨 出现 25天 5天 未出现 25天 45天 A．夜晚下雨的概率约为 B．未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为 C．有99.9%的把握，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关 D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气无关 【答案】D 【分析】根据列联表中的数据，结合概率的计算公式，以及独立性检验的思想，逐项判定，即可求解. 【详解】由列联表知，100天中有50天下雨，50天未下雨， 所以夜晚下雨的概率为，所以A正确； 又由未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为，所以B正确； 因为， 所以有99.9%的把握，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关，所以C正确； 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关，所以D不正确. 故选：D. 4．（22-23高二下·天津滨海新·期末）某班要从5名学生中选出若干人在星期一至星期三这3天参加志愿活动，每天只需1人，则不同的选择方法有（    ） A．10种 B．60种 C．120种 D．125种 【答案】D 【分析】根据条件，分三类情况讨论：选1人、2人和3人，利用排列组合分别求出每类情况的方法数，再利用计数加法原理即可求出结果. 【详解】5名学生中选出1人在星期一至星期三这3天参加志愿活动，共有种； 5名学生中选出2人在星期一至星期三这3天参加志愿活动，共有种； 5名学生中选出3人在星期一至星期三这3天参加志愿活动，共有种； 所以，不同的选择方法有：种. 故选：D. 5．（22-23高二下·天津西青·期末）下列函数求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按导数公式及法则逐个求导对比即可. 【详解】由求导公式及法则可知： 对于选项A，，所以选项A错误； 对于选项B，，所以选项B错误； 对于选项C，，所以选项C错误； 对于选项D，，所以选项D正确. 故选：D 6．（22-23高二下·天津红桥·期末）设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性判断出的范围，根据指数幂运算求解出，则大小关系可知. 【详解】由指数函数单调性可知：，且， 由对数函数单调性可知：， 所以， 故选：B. 7．（22-23高二下·天津河西·期末）设是定义域为R的奇函数，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质，结合已知等式判断函数的周期，利用周期进行求解即可 【详解】解：因为是定义域为R的奇函数， 由，得， 该函数的周期为2， 所以. 故选：A 8．（23-24高二上·天津·期末）已知为等比数列的前项和，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列前n项和的性质，结合等比中项的应用计算即可求解. 【详解】由题意知，为等比数列的前n项和， 则成等比数列， 由等比中项，得， 即，解得或（舍去）. 故选：C 9．（22-23高二下·天津西青·期末）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，由此构造函数，判断其单调性，将化为，即，即可求得答案. 【详解】由题意对任意的，都有，即， 令，则， 即为R上的增函数， 而，故， 又即，即， 所以，即不等式的解集为， 故选：D 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，试题中包含两空的，答对一个给3分，全部答对给5分） 10．（22-23高二下·天津滨海新·期末）如果随机变量，且，那么 . 【答案】0.8/ 【分析】先得到正态曲线的对称轴是，得到，即可得到要求的结果． 【详解】因为随机变量， 所以正态曲线的对称轴是， 所以， 所以. 故答案为：0.8. 11．（22-23高二下·天津·期末）已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】巧用1的代换根据基本不等式求最值. 【详解】 ∵，∴，，且， ∴ ，当且仅当时， 即时等号成立， 所以的最小值为， 故答案为：. 12．（22-23高二下·天津·期末）在的展开式中，二项式系数和是32，的系数为 . 【答案】 【分析】根据二项式系数之和可得，进而结合二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】由题意可得：，解得， 可得的展开式的通项为， 令，解得，则， 所以的系数为. 故答案为：. 13．（22-23高二下·天津和平·期末）已知函数存在减区间，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】函数存在减区间，则有解可求解． 【详解】由题可知， 因为函数存在减区间，则在上有解， 即有解， 令，， 令，解得；令，解得， 所以在单调递减，单调递增， 所以， 因为有解，所以， 解得． 故答案为： 14．（23-24高二上·天津宁河·期末）数列的前项和为，，则 ；设数列的前项和为，则 . 【答案】 【分析】利用关系及等比数列的定义求通项公式，根据等比数列前n项和公式求. 【详解】由，，即， 又，故是首项、公比都为2的等比数列，则， 所以，故. 故答案为：， 15．（22-23高二下·天津南开·期末）设，函数恰有三个零点，则a的取值集合为 . 【答案】 【分析】先根据绝对值的性质分析可知，再讨论的符号去绝对值，分别研究的零点个数，即可得结果. 【详解】因为， 1.若，则，显然等号不同时成立， 所以恒成立，不合题意； 2.若，令，解得，即有两个零点，不合题意； 3. 若，构建， 因为，即函数有两个零点， 且，即不是的零点， （1）当，即时，则， 令，解得或， 且，即， 所以在有两个零点； （2）当，即或时，则， 由题意可知：在内有且仅有一个零点， （ⅰ）当时，则，且， 此时在上的零点为，符合题意； （ⅱ）当且时，令，解得或， 且， 即， ①若，解得，所以在内的零点是，符合题意； ②若，则在内的零点是，不合题意； 综上所述：或. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：根据，可得函数有两个零点，结合二次不等式分类讨论去绝对值. 三、解答题（本大题共5个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（22-23高二下·天津西青·期末）今年是中国共产党建党102周年，为庆祝中国共产党成立102周年，某高中决定在全校约3000名高中生中开展“学党史，知奋进”党史知识克赛活动，设置一、二、三等奖若干名，为了解学生的获奖情况与选修历史学科之间的关系，在全校随机选取了50名学生作为样本，统计这50名学生的获奖情况后得到如下列联表： 没有获奖 获奖 合计 选修历史 4 20 没有选修历史 12 合计 附： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式： (1)完成上面2×2列联表，并依据的独立性检验，能否认为“党史知识竞赛是否获奖与选修历史学科”有关；（结果保留一位小数） (2)从选修历史且获奖的学生中选取2名男生和4名女生组成“学党史、知奋进宣讲团”，在某次活动中，从这6名学生中随机选取3人为宣讲员，求男生宣讲员人数的分布列和数学期望． 【答案】(1)列联表见解析；能 (2)分布列见解析；1 【分析】（1）由题意可得列联表，计算的值，并与临界值表比较，可得结论； （2）确定变量的取值，求得每个值对应的概率，即可得分布列，根据数学期望公式即可求得期望. 【详解】（1）由题意可得列联表： 没有获奖 获奖 合计 选修历史 4 20 24 没有选修历史 14 12 26 合计 18 32 50 则 故依据的独立性检验，能认为“党史知识竞赛获奖与选修历史学科”有关 （2）由题意可知男生宣讲员人数的取值可能为， 则, 故的分布列为： 0 1 2 P 则. 17．（22-23高二下·天津滨海新·期末）在一次庙会上，有种“套圈游戏”，规则如下：每组每人3个圆环，向A，B两个目标投掷，先向目标A连续掷两次，每套中一次得1分，没有套中不得分，再向目标B掷一次，每套中一次得2分，没有套中不得分，根据最终得分由主办方发放奖品.已知甲每投掷一次，套中目标A的概率为，套中目标B的概率为，假设甲每次投掷的结果相互独立. (1)求甲在一组游戏中恰好套中一次的概率； (2)求甲在一组游戏中的总分X的分布列及数学期望； (3)甲连续玩了5组套圈游戏，假设甲每组投掷的结果相互独立，求甲恰有3组套圈游戏中得2分或者3分的概率. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据分步乘法计算概率，再应用互斥事件的概率是概率的和即得； （2）分别求出对于概率写出分布列再计算数学期望即可； （3）先计算甲在1组中得2分或3分的概率，再根据二项分布求概率即可. 【详解】（1）设甲恰好套中1次为事件A， （2）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，4. ， ， ， ， ， 故X的分布列是： X 0 1 2 3 4 P 则X的均值为：； （3）设甲在1组中得2分或3分的事件为B， 则 设5组游戏中，甲恰有3组游戏中得2分或3分为事件C， 则， 则. 18．（22-23高二下·天津红桥·期末）已知函数. (1)判断的奇偶性； (2)若，判断在的单调性，并证明（定义法、导数法均可）； (3)若，，判断函数的零点个数，并说明理由. 【答案】(1)奇函数 (2)单调递减，证明见解析 (3)两个不同的零点，理由见解析 【分析】（1）根据奇偶性定义直接判断即可； （2）方法一：任取，可得，由单调性定义可得结论；方法二：求导，证明在上小于0即可； （3）令，，令可求得的值，由此可求得对应的的取值，即的零点，进而可得结论． 【详解】（1）由题意知：的定义域为， ∵， ∴为定义在上的奇函数； （2）方法一：若，在上单调递减， 任取， ， ∵，∴，∴，又，∴， ∴在上单调递减. 证明二：， ∵， ∴在上小于0， ∴在上单调递减. （3）当时，，∴． 令，则，， 令，解得： 由在上单调递增，∴当时，， ∴有两个不同的零点. 19．（23-24高二上·天津·期末）已知数列， (1)令，求证：数列是等比数列； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明根据递推公式证明为定值即可； （2）利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，即， 又， 所以数列是公比为，首项为的等比数列； （2）由（1）得，则， 则， ， 两式相减得， 所以. 20．（20-21高二下·天津河北·期末）已知函数为其定义域上的奇函数． (1)求a的值； (2)若，且在区间上的最小值为，求b的值； (3)若b＝12，求函数在区间上的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)12 【分析】（1）利用奇函数的定义建立方程求解即可求出a的值； （2）利用对勾函数的单调性，分类讨论求解； （3）将的表达式分离常数，利用基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为，， 因为是奇函数，所以在定义域上恒成立， 即，，所以； （2）由（1）可知，，若，则为对勾函数， 则在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，在上单调递减， 此时，解得满足题意； 当，即时，在上单调递增， 此时，解得不满足题意； 当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得或， 因为，所以满足题意； 综上所述，或. （3）当时，， 所以，因为，所以， 所以， 当且仅当即时取等号， 即函数在区间上的最小值为12． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$