第12讲 画轴对称图形（3个知识点+9个考点）【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

第12讲 画轴对称图形（3个知识点+9个考点） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解图形轴对称变换的性质．(难点) 2．能按要求画出一个图形关于某直线对称的另一个图形．(重点) 3．直角坐标系中关于x轴、y轴对称的点的特征．(重点) 4．直角坐标系中关于某条直线对称的点的特征．(难点) 知识点1.轴对称变换 1.轴对称变换 由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同,这种变换称为轴对称变换. 2.轴对称变换的性质 (1)新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点 (2)连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分 要点归纳： （1）成轴对称的两个图形中任何一个图形都可以看成是由另一个图形经过轴对称变换得到的. （2）一个轴对称图形也可以看成是以它的一部分为基础经过轴对称变换而得到的. 知识点2.画轴对称图形 几何图形都可以看作由点组成的,对于某些图形,我们只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)关于某直线的对称点,连接这些对称点就可以得到原图形的轴对称图形 1.画轴对称图形的依据 如果两个图形关于某一条直线对称,那么连接对称点的线段被对称轴垂直平分 2.画轴对称图形的方法 (1)找——在原图形上找特殊点(如线段的端点); (2)定——确定各个特殊点关于对称轴的对称点; (3)连——依次连接各对称点 要点归纳： （1）找特殊点对画轴对称图形极为重要,找特殊点时,要把确定图形形状的特殊点找全,除线段的端点外,线与线的交点也是画图过程中的特殊点; （2）对称轴上任意一点的对称点是它本身 知识点3.平面直角坐标系中的轴对称（难点） 1.关于坐标轴对称的点的坐标特征 (1)点关于轴对称的点的坐标为 特征:横坐标相等,纵坐标互为相反数 (2)点关于y轴对称的点的坐标为 特征:横坐标互为相反数,纵坐标相等 2. 在平面直角坐标系中画轴对称图形的步骤 (1)计算——计算对称点的坐标 (2)描点——根据对称点的坐标描点; (3)连接——依次连接所描各点,即可得到成轴对称的图形 考点1.剪纸问题 【例1】将一张正方形纸片按如图①，图②所示的方向对折，然后沿图③中的虚线剪裁得到图④，将图④的纸片展开铺平，再得到的图案是(　　) 解析：严格按照图中的顺序先向右上翻折，再向左上翻折，剪去左上角，展开得到图形B.故选B. 方法总结：此类题目主要考查学生的动手能力及空间想象能力，对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现． 【变式1-1】如图1，将一张正方形纸片沿虚线对折得到图2，再沿虚线对折得到图3，然后沿虚线剪去一个角，展开铺平后的图形如图4，则图3中沿虚线的剪法是（    ）    A．  B．   C．   D．   【答案】A 【分析】如图4，连接四边形的对角线，可知从图3到图4，是在正方形中心减去了4个全等的三角形，然后进行判断即可． 【详解】解：如图4，连接四边形的对角线，    ∴从图3到图4，是在正方形中心减去了4个全等的三角形， ∴A符合要求， 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式1-2】）将一个正方形纸片依次按图1中a，b的方式对折，然后沿图c中的虚线裁剪成图d样式，将纸展开铺平，所得到的图形是图2中的（    ）    A．  B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题是一道图形的剪拼的题目，解答此类问题通常可通过动手操作的方法来解决；严格按照图中的顺序向上对折，向右对折，从右下角剪去一个四分之一圆，从左上角和左下角各剪去一个直角三角形，展开可得到D中的图形． 【详解】解：根据图中的顺序可得，将纸展开铺平，所得到的图形D， 故选：D． 【变式1-3】剪纸是我国传统的民间艺术．将一张正方形纸片按图1，图2中的方式沿虚线依次对折后，再沿图3中的虚线裁剪，最后将图4中的纸片打开铺平，所得图案应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据翻折变换，将图4中的纸片按顺序打开铺平，即可得到一个图案． 【详解】解：将图4中的纸片打开铺平，所得图案应该是： 故选：A． 【点睛】本题主要考查了剪纸问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确地找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案． 考点2.折叠问题 【例2】如图，将矩形ABCD沿DE折叠，使A点落在BC上的F处，若∠EFB＝60°，则∠CFD＝(　　) A．20° B．30° C．40° D．50° 解析：根据图形翻折变换后全等可得△ADE≌△FDE，∴∠EAD＝∠EFD＝90°.∵∠EFB＝60°，∴∠CFD＝30°，故选B. 方法总结：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等． 【变式2-1】（22-23八年级上·山东潍坊·期末）如图，在矩形纸片中，把沿直线折叠，使得点落在边上的点处．已知与的度数之比为，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据矩形的性质得到，由折叠得，设，则，得到，求出，即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了矩形与折叠，熟记矩形的性质是解题的关键． 【变式2-2】．（23-24八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，中，，将沿折叠，便得点落在边上的点处，若且中有两个内角相等，则的度数为（   ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】分三种情形：①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， 由折叠可得：， ∴； ①当时，则， ∴， ∴． ②当时，， ∴， ∴． ③当时，则， ∴， ∴点F与C重合，不符合题意． 综上所述，或， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，翻折变换等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 【变式2-3】如图，在中，，点D、E分别在上，将沿折叠，使点A落在点F处．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用平角用∠1表示出∠BDF，再利用三角形的内角和定理及推论用∠1表示出∠CEF，两式相减可得结论． 【详解】如图， ∵△DEF是由△DEA折叠成的， ∴∠1=∠2，∠3=∠DEF． ∵∠BDF+∠1+∠2=180°， ∴∠BDF=180°-2∠1． ∵∠CEF+∠CED=∠DEF，∠CED=∠1+∠A，∠3+∠1+∠A=180°， ∴∠CEF=∠3-∠CED =180°-∠1-∠A-∠1-∠A =180°-2∠1-40° =140°-2∠1． ∴∠BDF-∠CEF=180°-2∠1-（140°-2∠1） =180°-2∠1-140°+2∠1 =40°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和等于180°”、折叠的性质是解决本题的关键． 考点3.画一个图形关于已知直线对称的另一个图形 【例3】画出△ABC关于直线l的对称图形． 解析：分别作出点A、B、C关于直线l的对称点，然后连接各点即可． 解：如图所示： 方法总结：我们在画一个图形关于某条直线对称的图形时，先确定一些特殊的点，然后作这些特殊点的对称点，顺次连接即可得到． 【变式3-1】作图 （1）已知△ABC和直线l，用三角尺画出△ABC关于直线l的对称图形． 【答案】见解析； 【分析】分别作出各点关于直线的对称点，再顺次连接即可． 【详解】解：如图，△即为所求． 【点睛】本题考查的是作图轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． 【变式3-2】．（22-23九年级上·广东梅州·开学考试）画出关于直线的对称图形． 【答案】见解析 【分析】分别作出△ABC的顶点关于直线l的对称点，然后依次连接所作的对称点，可得到相应的图形． 【详解】解：如图所示： 【点睛】本题考查作图—轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 【变式3-3】在正方形网格中的位置如图所示，点A、B、C均在格点上．在图中画出关于直线对称的，点A、B、C的对应点分别为点、、． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键． 利用网格特点和轴对称的性质画出点A、B、C关于直线的对称点即可． 【详解】如图，为所作． 考点4.在方格中设计轴对称图形 【例4】在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF. 解析：对称轴可以随意确定，根据你确定的对称轴去画另一半对称图形即可． 解：如图所示： 方法总结：作一个图形关于一条已知直线的对称图形，关键是作出图形上一些点关于这条直线的对称点，然后再根据已知图形将这些点连接起来． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上．画出关于轴的对称图形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 【变式4-2】如图，在的正方形网格中，点均在正方形的顶点上．请在图①、图②中画出不同的，使和关于某条直线成轴对称．    【分析】根据轴对称的性质可进行求解． 【详解】解：如图所示（答案不唯一）．    【点睛】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 【变式4-3】（2023秋·山西运城·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)请在如图的坐标系中画出； (2)在如图的坐标系中，画出关于轴对称的，并直接写出三个顶点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，，， 【分析】（1）根据点坐标找到点的位置，依次连接即可得到； （2）两个点关于y轴对称时横坐标互为相反数，纵坐标相等，依此找到对应点，依次连线即可 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求， 的顶点坐标分别为，，． 【点睛】此题考查坐标与图形，点的坐标及对称点坐标间的关系，正确掌握点坐标的表示方法是关键 考点5.利用轴对称设计图案 【例5】某居民小区搞绿化，要在一块矩形空地(如下图)上建花坛，现征集设计方案，要求设计的图案由圆和正方形组成(圆与正方形的个数不限)，并且使整个矩形场地成轴对称图形．请在下边矩形中画出你的设计方案． 解析：矩形是轴对称图形，而正方形和圆也是轴对称图形，设计出的图案只要折叠重合即可． 解：如图所示： 方法总结：利用轴对称可以设计出精美的图案，一个图形经过不同位置的几次变换，若再结合平移、旋转等，便可以得到非常美丽的图案． 【变式5-1】在“”正方形网格中，已有2个小正方形被涂黑．请你分别在图①②中再将若干个空白的小正方形涂黑，使得涂黑的图形成为轴对称图形．（图①要求只要1条对称轴，图②要求只有2条对称轴） 【答案】（1）见解析（答案不唯一）；（2）见详解（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，利用轴对称图形的性质结合对称轴的条数进而得出答案． 【详解】解：（1）如图为所求：（答案不唯一） （2）如图为所求：（答案不唯一） 【变式5-2】利用轴对称画出的两幅图如图所示，观察这两幅图，自己再设计出几个图案． 【答案】见详解(答案不唯一) 【分析】本题主要考查了轴对称图形的设计，根据轴对称的定义设计即可，轴对称的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：两幅轴对称图形如下：(答案不唯一) 【变式5-3】．（2024·四川广安·三模）下图是由5个全等的正方形组成的，请你移动其中一个正方形，使它变成轴对称图形．（在网格图中画出4种形状不同的图形，涂上阴影）    【答案】见解析 【分析】本题考查作图—利用轴对称设计图案．“轴对称就是一个图形的一部分，沿着一条直线折叠，能够与另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形”．根据轴对称图形的定义画出图形即可． 【详解】解：图形如图所示：   ． 考点6.求一个点关于坐标轴的对称点的坐标 【例6】在平面直角坐标系中，与点P(2，3)关于x轴或y轴成轴对称的点是(　　) A．(－3，2) B．(－2，－3) C．(－3，－2) D．(－2，3) 解析：点P(2，3)关于x轴对称的点的坐标为(2，－3)，关于y轴对称的点的坐标为(－2，3)，故选D. 方法总结：关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 【变式6-1】在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角坐标系点的对称性质，比较简单．平面直角坐标系中任意一点，关于轴的对称点的坐标是，据此即可求得点关于轴对称的点的坐标． 【详解】解：根据轴对称得，点关于轴对称的点的坐标是． 故选：D 【变式6-2】（2024·河北石家庄·模拟预测）若点B与点关于y轴对称，则B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标．根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点与点关于轴对称， 的坐标是． 故选：A． 【变式6-3】（2024·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系点的对称性质，掌握关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数成为解题的关键． 根据平面直角坐标系中关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数即可解答． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是． 故答案为． 考点7.关于坐标轴对称的点与方程的综合 【例7】已知点A(2a－b，5＋a)，B(2b－1，－a＋b)． (1)若点A、B关于x轴对称，求a、b的值； (2)若A、B关于y轴对称，求(4a＋b)2016的值． 解析：(1)根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得2a－b＝2b－1，5＋a－a＋b＝0，解方程(组)即可；(2)根据关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得2a－b＋2b－1＝0，5＋a＝－a＋b，解方程(组)即可． 解：(1)∵点A、B关于x轴对称，∴2a－b＝2b－1，5＋a－a＋b＝0，解得a＝－8，b＝－5； (2)∵A、B关于y轴对称，∴2a－b＋2b－1＝0，5＋a＝－a＋b，解得a＝－1，b＝3，∴(4a＋b)2016＝1. 方法总结：根据关于x轴、y轴对称的点的特征列方程(组)求解． 【变式7-1】在平面直角坐标系中，点、的坐标是，．   （1）若点 与点关于轴对称，求点的坐标； （2）若,关于轴对称，求的值． 【答案】（1）点的坐标为；（2）196 【分析】（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，列方程计算即可； （2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，列方程计算即可． 【详解】解：由题意得， 解得 ∴   ，． ∴点的坐标为． 由题意得， 解得 ∴， 【点睛】本题主要考查关于坐标轴对称的点的坐标特点，结合坐标特点列方程是解题的关键． 【变式7-2】已知点， （1）如果点、关于轴对称，求、的值及线段的长； （2）如果点、关于轴对称，求、的值及线段的长． 【分析】（1）根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求出、的值，然后纵坐标相减即可得的长． （2）根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出、的值，然后横坐标相减即可得的长． 【解答】解：（1）点、关于轴对称， ，解得：， ，， ； （2）点、关于轴对称， ，解得：， ，， ． 【点评】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 【变式7-3】（2023秋•三元区期末）已知点，关于轴对称，求，的值． 【分析】根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可． 【解答】解：点，关于轴对称， ， 解得． 即，． 【点评】本题考查了关于、轴对称的点的坐标特征：点关于轴的对称点的坐标是．点关于轴的对称点的坐标是． 考点8.关于坐标轴对称的点与不等式(组)的综合 【例8】已知点P(a＋1，2a－1)关于x轴的对称点在第一象限，求a的取值范围． 解析：点P(a＋1，2a－1)关于x轴的对称点在第一象限，则点P(a＋1，2a－1)在第四象限． 解：依题意得P点在第四象限，∴解得－1＜a＜，即a的取值范围是－1＜a＜. 方法总结：根据点的坐标关于坐标轴对称，判断出对称点所在的象限，由各象限内坐标的符号，列不等式(组)求解． 【变式8-1】（23-24八年级上·河南周口·期中）已知点关于轴的对称点在第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，解一元一次不等式组，根据关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数得出对称点坐标，再根据第一象限内点的坐标特征得出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：∵点关于轴的对称点坐标为，且在第一象限， ∴， 解得：， 故选：C． 【变式8-2】已知点P(a＋1，2a－3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（    ） A．a> B．a>-1 C．-1＜a＜ D．a＜ 【答案】C 【分析】根据点P关于x轴的对称点在第一象限，可以确定点P在第四象限，根据第四象限的点的坐标特点列出关于a的不等式即可解决. 【详解】点P关于x轴的对称点在第一象限，则确定点P在第四象限， ∴a+1>0,解得：a>-1 2a-3<0,解得：a<, ∴a的取值范围为：-1＜a＜， 故答案为C. 【点睛】本题考查了平面直角标坐标系中点的坐标的符号，根据题意确定点所在的象限列出不等式是解题的关键. 【变式8-3】已知点P（a＋1，2a－1）关于x轴的对称点在第一象限，求a的取值范围． 【答案】－1＜a＜ 【分析】根据点P（a＋1，2a－1）关于x轴的对称点在第一象限，则点在第四象限，符号为：（＋，－）． 【详解】解：依题意得p点在第四象限， ∴， 解得：－1＜a＜， 即a的取值范围是－1＜a＜． 【点睛】本题考查了第四象限的点关于轴对称的点在第四象限，要学会发散性思考，可以由此题联想到更多的点关于某一对称轴对称的性质． 考点9.作关于x轴或y轴对称的图形及与对称点有关的综合题 【例9-1】在平面直角坐标系中，已知点A(－3，1)，B(－1，0)，C(－2，－1)，请在图中画出△ABC，并画出与△ABC关于y轴对称的图形． 解析：作出A，B，C三点关于y轴的对称点，顺次连接各点即可． 解：如图所示，△DEF是△ABC关于y轴对称的图形． 方法总结：在坐标系中作出关于坐标轴的对称点，然后顺次连接，此类问题一般比较简单． 【例9-1】如图，在10×10的正方形网格中，每个小方格的边长都是1，四边形ABCD的四个顶点在格点上． (1)若以点B为原点，线段BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，画出四边形ABCD关于y轴对称的四边形A1B1C1D1； (2)点D1的坐标是________； (3)求四边形ABCD的面积． 解析：(1)以点B为原点，线段BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，然后作出各点关于y轴对称的点，顺次连接即可；(2)根据直角坐标系的特点，写出点D1的坐标；(3)把四边形ABCD分解为两个直角三角形，求出面积． 解：(1)如图所示； (2)点D1的坐标为(－1，1)； (3)四边形ABCD的面积为×1×3＋×1×2＝. 方法总结：轴对称变换作图，基本作法是：(1)先确定图形的关键点；(2)利用轴对称性质作出关键点的对称点；(3)按原图形中的方式顺次连接对称点．求多边形的面积可将多边形转化为规则图形的面积的和或差求解． 【变式9-1】（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点的坐标为，点的坐标为． (1)请在图中画出平面直角坐标系． (2)请写出点和点的坐标． (3)若点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)点的坐标为，点的坐标为 (3) 【分析】本题考查了坐标与图形、轴对称，根据题意正确建立平面直角坐标系是解此题的关键． （1）根据点的坐标为，点的坐标为建立平面直角坐标系即可； （2）根据（1）中建立的平面直角坐标系，写出点和点的坐标即可； （3）先求出的坐标，再求出的长即可． 【详解】（1）解：画出平面直角坐标系如下： ； （2）解：由图可得：点的坐标为，点的坐标为． （3）解：点关于轴的对称点为， 点． 点关于轴的对称点为， 点， ． 【变式9-2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C与点A关于y轴对称． (1)写出点C的坐标，画出； (2)画出关于y轴对称的； (3)在y轴上存在一点D，使得，直接写出点D的坐标． 【答案】(1)，画图见解析 (2)见解析 (3)D的坐标为或 【分析】（1）根据关于y轴对称得到的坐标，再描点，连线即可； （2）分别确定关于y轴对称的对称点，再连接即可； （3）先计算，设，再利用三角形的面积公式列方程即可； 本题考查的是画轴对称图形，坐标与图形面积，熟练的画图是解本题的关键． 【详解】（1） 解：如图，，即为所求作的三角形， （2） 如图，即为所求作的三角形， （3） ∵A，B，， ， 设， ， ∴， 或， ∴D的坐标为或． 一．选择题（共7小题） 1．（2024•石家庄模拟）若点与点关于轴对称，则的坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案． 【解答】解：点与点关于轴对称， 的坐标是 故选：． 【点评】本题考查了关于轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 2．（2024•柳北区校级四模）已知点的坐标为，则点关于轴对称的点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得答案． 【解答】解：点的坐标为， 点关于轴对称的点的横坐标为3，纵坐标为， 点关于轴对称的点的坐标为． 故选：． 【点评】本题考查关于轴、轴对称的点的坐标，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键． 3．（2023秋•东莞市期末）已知点和关于轴对称，则的值为　　 A．0 B． C．1 D． 【分析】根据关于轴对称点的特点，求出，，然后代入求值即可． 【解答】解：点和关于轴对称， ，， ，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了关于轴对称点的坐标特点，代数式求值，乘方运算，解题的关键是熟记关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同． 4．（2023秋•五华区期末）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点坐标是，则经过第2023次变换后点的对应点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】观察图形不难发现，每四次变换为一个循环组循环，用2023除以4，根据余数的情况确定最后点所在的象限，然后根据关于坐标轴对称的点的变化规律解答． 【解答】解：点第一次关于轴对称后在第三象限，点第二次关于轴对称后在第四象限，点第三次关于轴对称后在第一象限，点第四次关于轴对称后在第二象限， 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， 余3， 经过第2023次变换后所得的点与第三次变换的位置相同，坐标为． 故选：． 【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转，对称，确定出每4次变换为一个循环组是解题的关键． 5．（2023秋•浑南区期末）已知点与点关于某条直线对称，则这条直线是　　 A．轴 B．轴 C．过点且垂直于轴的直线 D．过点且平行于轴的直线 【分析】根据轴对称的性质解决问题即可． 【解答】解：点与点的位置关系是关于直线对称， 故选：． 【点评】本题考查轴对称，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 6．（2023秋•潮南区期末）已知点关于轴的对称点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】先判断出点在第二象限，再根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列不等式组求解，然后选择即可． 【解答】解：点关于轴的对称点在第一象限， 点在第二象限， ， 解得， 在数轴上表示如下：． 故选：． 【点评】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 7．（2023秋•阿城区期末）小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用表示，右下角方子的位置用表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是　　 A． B． C． D． 【分析】首先根据题意建立坐标系，然后再确定根据轴对称图形的定义确定位置． 【解答】解：如图：小莹放的位置所表示的点的坐标是． 故选：． 【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 二．填空题（共9小题） 8．（2024春•白塔区校级月考）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 　　． 【分析】根据关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可． 【解答】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 【点评】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于轴对称的两点，纵坐标相同是解题的关键． 9．（2024春•南关区校级月考）点与点关于轴对称，则等于 　　． 【分析】先根据关于轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数求出，的值，然后代入计算即可． 【解答】解：点与点关于轴对称， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数． 10．（2023秋•婺城区期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标，则　　． 【分析】利用关于轴对称的点纵坐标相同，可得，即可求出答案． 【解答】解：点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解题的关键是熟练掌握“关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等”． 11．（2023秋•海陵区校级期末）若点，关于轴对称，则的值为 　　． 【分析】直接利用关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点关于轴的对称点的坐标是，进而得出关于，的等式，即可得出答案． 【解答】解：点，关于轴对称， ， 解得：， 故的值为：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确得出关于，的等式是解题关键． 12．（2023秋•海曙区期末）已知点，，，，，是平面坐标系内的6个点，选择其中三个点连成一个三角形，剩下三个点连成另一个三角形，若这两个三角形关于轴对称，就称为一组对称三角形，那么，坐标系中可找出　四　组对称三角形． 【分析】找出纵坐标相等，横坐标相反的三组对称点即可． 【解答】解：因为这六个点中与，与，与，都是关于轴对称，所以对称三角形有，，，，，，，．共4对． 【点评】主要考查了坐标的对称特点．解此类问题的关键是要掌握轴对称的性质．利用点的轴对称性找到关于轴对称的三角形是解题的关键． 13．（2023秋•思明区校级期末）我们给出如下的定义：点先关于轴对称得到点，再将点关于直线（直线上各点的纵坐标都为对称得点，则称点为点关于轴和直线的二次反射点．已知点，关于轴和直线的二次反射点分别为，，点关于直线（直线上各点的横坐标都为对称的点为，则当△的面积为1时，　1或3　． 【分析】根据对称性质由已知点坐标求得，，的坐标，再根据三角形的面积列出方程求得的值便可． 【解答】解：根据题意得，，，， ，， △的面积为1， ， 解得或3． 故答案为：1或3． 【点评】本题考查了新定义，坐标与图形变化对称，三角形的面积公式，关键是读懂新定义，根据新定义求出，的坐标． 14．（2023春•黄山期末）已知点，点关于轴对称，则的值是　　． 【分析】熟悉：平面直角坐标系中任意一点，关于轴的对称点的坐标是． 【解答】解：根据题意，得， 解得：． ． 【点评】本题考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识记的内容，此题考查内容除了坐标系的对称还要注意方程组的解法． 记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数． 15．（2023秋•雄县期中）在平面直角坐标系中，点，，作，使与全等，则点的横坐标为 　或1　，其中与成轴对称的有 　　个． 【分析】根据三角形全等的性质作出，再根据坐标与图形性质写出坐标即可． 【解答】解：根据题意，作出如图所示， 则，， 所以，点的坐标为或或， 所以点的横坐标为或1，其中与成轴对称的有2个． 故答案为：或1，2． 【点评】本题考查全等三角形的性质、坐标与图形，能作出符合条件的，找到点位置是解答的关键． 16．（2023秋•蕲春县期中）如图是由两个阴影的小正方形组成的图形，请你在空白网格中补画一个阴影的小正方形，使补画后的三个阴影图形为轴对称图形，共有 　5　种画法． 【分析】根据轴对称图形的性质作出图形即可求解． 【解答】解：根据轴对称图形可作如图所示： 共有5种画法， 故答案为：5． 【点评】本题考查了作图轴对称变换，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 三、解答题 17．已知点，． （1）若点，关于轴对称，求，的值； （2）若点，关于轴对称，求的值． 【分析】（1）根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可； （2）根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；”列方程组求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：（1）点，关于轴对称， ， 解得：； （2）点，关于轴对称， ， 解得：， ． 【点评】本题考查了关于、轴对称的点的坐标特征：点关于轴的对称点的坐标是．点关于轴的对称点的坐标是． 18．（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，已知与关于直线成轴对称，， (1)当时，求的度数； (2)若，，则的面积为________. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的面积，解题的关键是掌握对称的性质． （1）根据对称的性质可得，再根据三角形的内角和即可求解； （2）根据对称的性质可得，，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：与关于直线成轴对称， ， ， ; （2）与关于直线成轴对称， ，，即， ， ， 故答案为：． 19．如图，在正方形网格中，三个顶点在格点上，每个小方格的边长为1个单位长度．    (1)请在正方形网格中画出关于直线 l对称的； (2)连接，，求四边形的面积； (3)请在直线l找一点 P， 使得． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查画轴对称图形，网格中求四边形面积，垂直平分线性质． （1）利用轴对称图形定义画出图形即可； （2）观察图形可知四边形为等腰梯形，利用梯形面积公式即可求出； （3）作线段垂直平分线交直线于点，则此时． 【详解】（1）解：分别作三点关于直线 l的对称点，依次连接即可得到，如下图所示：   ； （2）解：四边形为等腰梯形， ∵每个小方格的边长为1个单位长度， ∴，， ∴四边形的面积：，   ； （3）解：作线段垂直平分线交直线于点，则此时，如下图所示：   ． 20．（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)以点C为原点，方格线为坐标轴建立平面直角坐标系； (2)画出关于直线l对称的； (3)写出中、的坐标：　 　，　 　； (4)求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)，； (4)5 【分析】（1）根据平面直角坐标系的定义直接建立如图所示； （2）根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对应点连线即可得到答案； （3）根据（2）中图形直接写出坐标即可； （4）根据割补法，用矩形面积减去三角形面积即可得到答案． 【详解】（1）解：以C点为原点，C点所在水平直线为x轴，C点所在竖直直线为y轴，如图所示， ； （2）根据轴对称的性质，找到、、，连接，，，如图所示， ； （3）解：由（2）可得， ，； 故答案为：，； （4）解：构造如图所示矩形， ∴的面积为： 故答案为5． 【点睛】本题考查：建立直角坐标系，作轴对称图形，求坐标与求不规则图形面积，解题的关键是作出轴对称图形及构造矩形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 画轴对称图形（3个知识点+9个考点） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解图形轴对称变换的性质．(难点) 2．能按要求画出一个图形关于某直线对称的另一个图形．(重点) 3．直角坐标系中关于x轴、y轴对称的点的特征．(重点) 4．直角坐标系中关于某条直线对称的点的特征．(难点) 知识点1.轴对称变换 1.轴对称变换 由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同,这种变换称为轴对称变换. 2.轴对称变换的性质 (1)新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点 (2)连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分 要点归纳： （1）成轴对称的两个图形中任何一个图形都可以看成是由另一个图形经过轴对称变换得到的. （2）一个轴对称图形也可以看成是以它的一部分为基础经过轴对称变换而得到的. 知识点2.画轴对称图形 几何图形都可以看作由点组成的,对于某些图形,我们只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)关于某直线的对称点,连接这些对称点就可以得到原图形的轴对称图形 1.画轴对称图形的依据 如果两个图形关于某一条直线对称,那么连接对称点的线段被对称轴垂直平分 2.画轴对称图形的方法 (1)找——在原图形上找特殊点(如线段的端点); (2)定——确定各个特殊点关于对称轴的对称点; (3)连——依次连接各对称点 要点归纳： （1）找特殊点对画轴对称图形极为重要,找特殊点时,要把确定图形形状的特殊点找全,除线段的端点外,线与线的交点也是画图过程中的特殊点; （2）对称轴上任意一点的对称点是它本身 知识点3.平面直角坐标系中的轴对称（难点） 1.关于坐标轴对称的点的坐标特征 (1)点关于轴对称的点的坐标为 特征:横坐标相等,纵坐标互为相反数 (2)点关于y轴对称的点的坐标为 特征:横坐标互为相反数,纵坐标相等 2. 在平面直角坐标系中画轴对称图形的步骤 (1)计算——计算对称点的坐标 (2)描点——根据对称点的坐标描点; (3)连接——依次连接所描各点,即可得到成轴对称的图形 考点1.剪纸问题 【例1】将一张正方形纸片按如图①，图②所示的方向对折，然后沿图③中的虚线剪裁得到图④，将图④的纸片展开铺平，再得到的图案是(　　) 【变式1-1】如图1，将一张正方形纸片沿虚线对折得到图2，再沿虚线对折得到图3，然后沿虚线剪去一个角，展开铺平后的图形如图4，则图3中沿虚线的剪法是（    ）    A．  B．   C．   D．   【变式1-2】）将一个正方形纸片依次按图1中a，b的方式对折，然后沿图c中的虚线裁剪成图d样式，将纸展开铺平，所得到的图形是图2中的（    ）    A．  B．   C．   D．   【变式1-3】剪纸是我国传统的民间艺术．将一张正方形纸片按图1，图2中的方式沿虚线依次对折后，再沿图3中的虚线裁剪，最后将图4中的纸片打开铺平，所得图案应该是（    ） A． B． C． D． 考点2.折叠问题 【例2】如图，将矩形ABCD沿DE折叠，使A点落在BC上的F处，若∠EFB＝60°，则∠CFD＝(　　) A．20° B．30° C．40° D．50° 【变式2-1】（22-23八年级上·山东潍坊·期末）如图，在矩形纸片中，把沿直线折叠，使得点落在边上的点处．已知与的度数之比为，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】．（23-24八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，中，，将沿折叠，便得点落在边上的点处，若且中有两个内角相等，则的度数为（   ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2-3】如图，在中，，点D、E分别在上，将沿折叠，使点A落在点F处．则（    ） A． B． C． D． 考点3.画一个图形关于已知直线对称的另一个图形 【例3】画出△ABC关于直线l的对称图形． 【变式3-1】作图 （1）已知△ABC和直线l，用三角尺画出△ABC关于直线l的对称图形． 【变式3-2】．（22-23九年级上·广东梅州·开学考试）画出关于直线的对称图形． 【变式3-3】在正方形网格中的位置如图所示，点A、B、C均在格点上．在图中画出关于直线对称的，点A、B、C的对应点分别为点、、． 考点4.在方格中设计轴对称图形 【例4】在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF. 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上．画出关于轴的对称图形． 【变式4-2】如图，在的正方形网格中，点均在正方形的顶点上．请在图①、图②中画出不同的，使和关于某条直线成轴对称．    【变式4-3】（2023秋·山西运城·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)请在如图的坐标系中画出； (2)在如图的坐标系中，画出关于轴对称的，并直接写出三个顶点的坐标． 考点5.利用轴对称设计图案 【例5】某居民小区搞绿化，要在一块矩形空地(如下图)上建花坛，现征集设计方案，要求设计的图案由圆和正方形组成(圆与正方形的个数不限)，并且使整个矩形场地成轴对称图形．请在下边矩形中画出你的设计方案． 【变式5-1】在“”正方形网格中，已有2个小正方形被涂黑．请你分别在图①②中再将若干个空白的小正方形涂黑，使得涂黑的图形成为轴对称图形．（图①要求只要1条对称轴，图②要求只有2条对称轴） 【变式5-2】利用轴对称画出的两幅图如图所示，观察这两幅图，自己再设计出几个图案． 【变式5-3】．（2024·四川广安·三模）下图是由5个全等的正方形组成的，请你移动其中一个正方形，使它变成轴对称图形．（在网格图中画出4种形状不同的图形，涂上阴影）    考点6.求一个点关于坐标轴的对称点的坐标 【例6】在平面直角坐标系中，与点P(2，3)关于x轴或y轴成轴对称的点是(　　) A．(－3，2) B．(－2，－3) C．(－3，－2) D．(－2，3) 【变式6-1】在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·河北石家庄·模拟预测）若点B与点关于y轴对称，则B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2024·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是 ． 考点7.关于坐标轴对称的点与方程的综合 【例7】已知点A(2a－b，5＋a)，B(2b－1，－a＋b)． (1)若点A、B关于x轴对称，求a、b的值； (2)若A、B关于y轴对称，求(4a＋b)2016的值． 【变式7-1】在平面直角坐标系中，点、的坐标是，．   （1）若点 与点关于轴对称，求点的坐标； （2）若,关于轴对称，求的值． 【变式7-2】已知点， （1）如果点、关于轴对称，求、的值及线段的长； （2）如果点、关于轴对称，求、的值及线段的长． 【变式7-3】（2023秋•三元区期末）已知点，关于轴对称，求，的值． 考点8.关于坐标轴对称的点与不等式(组)的综合 【例8】已知点P(a＋1，2a－1)关于x轴的对称点在第一象限，求a的取值范围． 【变式8-1】（23-24八年级上·河南周口·期中）已知点关于轴的对称点在第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知点P(a＋1，2a－3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（    ） A．a> B．a>-1 C．-1＜a＜ D．a＜ 【变式8-3】已知点P（a＋1，2a－1）关于x轴的对称点在第一象限，求a的取值范围． 考点9.作关于x轴或y轴对称的图形及与对称点有关的综合题 【例9-1】在平面直角坐标系中，已知点A(－3，1)，B(－1，0)，C(－2，－1)，请在图中画出△ABC，并画出与△ABC关于y轴对称的图形． 【例9-1】如图，在10×10的正方形网格中，每个小方格的边长都是1，四边形ABCD的四个顶点在格点上． (1)若以点B为原点，线段BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，画出四边形ABCD关于y轴对称的四边形A1B1C1D1； (2)点D1的坐标是________； (3)求四边形ABCD的面积． 【变式9-1】（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点的坐标为，点的坐标为． (1)请在图中画出平面直角坐标系． (2)请写出点和点的坐标． (3)若点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，求的长． 【变式9-2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C与点A关于y轴对称． (1)写出点C的坐标，画出； (2)画出关于y轴对称的； (3)在y轴上存在一点D，使得，直接写出点D的坐标． 一．选择题（共7小题） 1．（2024•石家庄模拟）若点与点关于轴对称，则的坐标是　　 A． B． C． D． 2．（2024•柳北区校级四模）已知点的坐标为，则点关于轴对称的点的坐标为　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•东莞市期末）已知点和关于轴对称，则的值为　　 A．0 B． C．1 D． 4．（2023秋•五华区期末）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点坐标是，则经过第2023次变换后点的对应点的坐标为　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•浑南区期末）已知点与点关于某条直线对称，则这条直线是　　 A．轴 B．轴 C．过点且垂直于轴的直线 D．过点且平行于轴的直线 6．（2023秋•潮南区期末）已知点关于轴的对称点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是　　 A． B． C． D． 7．（2023秋•阿城区期末）小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用表示，右下角方子的位置用表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共9小题） 8．（2024春•白塔区校级月考）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 　　． 9．（2024春•南关区校级月考）点与点关于轴对称，则等于 　　． 10．（2023秋•婺城区期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标，则　　． 11．（2023秋•海陵区校级期末）若点，关于轴对称，则的值为 　　． 12．（2023秋•海曙区期末）已知点，，，，，是平面坐标系内的6个点，选择其中三个点连成一个三角形，剩下三个点连成另一个三角形，若这两个三角形关于轴对称，就称为一组对称三角形，那么，坐标系中可找出　 　组对称三角形． 13．（2023秋•思明区校级期末）我们给出如下的定义：点先关于轴对称得到点，再将点关于直线（直线上各点的纵坐标都为对称得点，则称点为点关于轴和直线的二次反射点．已知点，关于轴和直线的二次反射点分别为，，点关于直线（直线上各点的横坐标都为对称的点为，则当△的面积为1时，　　． 14．（2023春•黄山期末）已知点，点关于轴对称，则的值是　　． 15．（2023秋•雄县期中）在平面直角坐标系中，点，，作，使与全等，则点的横坐标为 　　，其中与成轴对称的有 　　个． 16．（2023秋•蕲春县期中）如图是由两个阴影的小正方形组成的图形，请你在空白网格中补画一个阴影的小正方形，使补画后的三个阴影图形为轴对称图形，共有 　　种画法． 三、解答题 17．已知点，． （1）若点，关于轴对称，求，的值； （2）若点，关于轴对称，求的值． 18．（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，已知与关于直线成轴对称，， (1)当时，求的度数； (2)若，，则的面积为________. 19．如图，在正方形网格中，三个顶点在格点上，每个小方格的边长为1个单位长度．    (1)请在正方形网格中画出关于直线 l对称的； (2)连接，，求四边形的面积； (3)请在直线l找一点 P， 使得． 20．（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)以点C为原点，方格线为坐标轴建立平面直角坐标系； (2)画出关于直线l对称的； (3)写出中、的坐标：　 　，　 　； (4)求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$