专题 三角形的内角和外角（十二大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（浙教版）

八年级上册数学《第1章 三角形的初步认识》 专题 三角形的内角和外角 题型一 直接运用三角形内角和定理求角的度数 1．已知△ABC中，∠B＝2∠A，∠C＝∠A+40°，则∠A的度数为 　 　． 【分析】利用题目条件结合三角形内角和180°即可列出关于∠A的方程，进而求出结果． 【解答】解：由三角形内角和定理可知： ∠A+∠B+∠C＝180°， ∵∠B＝2∠A，∠C＝∠A+40°， ∴∠A+2∠A+∠A+40°＝180°， 解得：∠A＝35°． 故答案为：35°． 【点评】本题考查三角形内角和定理，属于基础题． 2．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：5，则∠C等于 　 　． 【分析】根据三个角的比例关系可设三个角分别是2x，3x，5x，进而利用内角和180°列方程求解即可． 【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝2：3：5， 可设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝5x， 则2x+3x+5x＝180°， 记得：x＝18°， ∴∠C＝5x＝90°， 故答案为：90°． 【点评】本题考查三角形的内角和定理，熟练掌握内角和180°及利用设元法求解角度是解题关键． 3．（2023秋•安徽期中）在△ABC中，若∠A＝36°，∠B：∠C＝1：5，则∠C等于（　　） A．120° B．100° C．24° D．20° 【分析】由题意知∠B∠C，再根据三角形内角和定理即可求出∠C的度数． 【解答】解：∵∠B：∠C＝1：5， ∴∠B∠C， ∵∠A+∠B+C＝180°， 即36°∠C＝180°， ∴∠C＝120°， 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，利用内角和定理列出∠C的方程是解题的关键． 4．在△ABC中，已知∠B＝3∠A，∠C＝5∠A，则∠A＝　 　，∠B＝　 　，∠C＝　 　． 【分析】设∠A＝x，则∠B＝3x，∠C＝5x，根据三角形内角和定理可列方程x+3x+5x＝180°，然后解方程求出x，再计算3x和5x即可． 【解答】解：设∠A＝x，则∠B＝3x，∠C＝5x， 根据题意得x+3x+5x＝180°， 解得x＝20°，则3x＝60°，5x＝100°， 所以∠A＝20°，∠B＝60°，∠C＝100°． 故答案为：20°，60°，100°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理：熟记三角形内角和等于180°是解题的关键． 5．（2024春•新吴区校级月考）在△ABC中，∠A＝60°，∠B﹣∠C＝20°，则∠C＝　 　度． 【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C＝180°，结合已知∠A＝60°，∠B﹣∠C＝20°，即可求出∠C的度数． 【解答】解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°， ∵∠A＝60°， ∴∠B+∠C＝120°， ∵∠B﹣∠C＝20°， ∴∠C＝50°， 故答案为：50． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟知三角形三个内角的和是180°是解题的关键． 6．（2024•姑苏区校级二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，∠ACP＝∠PBC，则∠BPC的度数为　 ．　 【分析】在△PBC中由三角形内角和定理得出∠BPC+∠PBC+∠BCP＝180°，再根据∠BCP＝70°﹣∠ACP，即可求出∠BPC的度数． 【解答】解：在△PBC中，∠BPC+∠PBC+∠BCP＝180°， ∵∠ACP＝∠PBC， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝180°﹣∠ACP﹣∠BCP， ∵∠ACB＝70°， ∴∠BCP＝70°﹣∠ACP， ∴∠BPC＝180°﹣∠ACP﹣∠BCP＝180°﹣∠ACP﹣（70°﹣∠ACP）＝180°﹣∠ACP﹣70°+∠ACP＝110°， 故答案为：110°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟知三角形三个内角的和是180°是解题的关键． 题型二 三角形内角和定理与平行线 1．（2024•郫都区模拟）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD∥BA．若∠B＝54°，则∠ACD的度数为 　 　． 【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠A的度数，由CD∥BA，再利用“两直线平行，内错角相等”，即可求出结论． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝54°， ∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝180°﹣90°﹣54°＝36°， 又∵CD∥BA， ∴∠ACD＝∠A＝36°． 故答案为：36°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，牢记“三角形内角和是180°”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 2．（2024•漳州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作DE∥AB，若∠B＝55°，则∠ACD等于 　 　度． 【分析】根据DE∥AB，得出∠B＝∠BCE＝55°，∠A＝∠DCA，再根据三角形内角和定理解答即可． 【解答】解：∵DE∥AB， ∴∠B＝∠BCE＝55°，∠A＝∠ACD， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴∠A＝35°， ∴∠ACD＝35°， 故答案为：35°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 3．（2024春•虹口区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BE平分∠ABC，如果DC∥BE，那么∠BCD＝　 °． 【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再根据DC∥BE求出∠BCD＝∠EBC即可． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBCABC＝30°， ∵DC∥BE， ∴∠BCD＝∠EBC＝30°． 故答案为：30． 【点评】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 4．（2024春•西安期中）如图，在三角形ABC中，过点C作CD//AB，CB平分∠ACD，∠ACD＝140°，E为AC上一点，F为三角形ABC内部一点，连接EF、BF，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°．求∠CEF的度数． 【分析】根据CD//AB，CB平分∠ACD可得∠CBA＝∠DCB＝70°利用三角形内角和可得∠A＝40°，利用同旁内角互补得到EF//AB，最后根据两直线平行，同位角相等得到∠CEF的度数． 【解答】解：因为CB平分∠ACD，∠ACD＝140°，∠ACD＝140°， 所以∠DCB＝70°． 因为AB//CD，所以∠CBA＝∠DCB＝70°， 因为∠CBF＝20°，所以∠FBA＝70°﹣20°＝50°， 因为∠EFB＝130°， 所以∠EFB+∠FBA＝180°，所以EF//AB， 所以∠CEF＝∠A， 因为AB//CD，∠ACD＝140°， 所以∠A＝180°﹣140°＝40°，所以∠CEF＝40°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理及平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解答本题的关键． 5．（2024春•长沙期中）如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，AB∥DE，∠A＝∠EDF． （1）求证：AC∥DF； （2）若DE平分∠CDF，∠A＝55°，求∠C的度数． 【分析】（1）根据平行线的判定与性质求解即可； （2）根据角平分线定义及平行线的性质求出∠DEC＝∠EDF＝55°，再根据三角形内角和定理求解即可． 【解答】（1）证明：∵AB∥DE， ∴∠A＝∠DEC（两直线平行，同位角相等）， ∵∠A＝∠EDF， ∴∠DEC＝∠EDF（等量代换）， ∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行）； （2）解：∵∠A＝55°， ∴∠EDF＝∠A＝55°， ∵DE平分∠CDF， ∴∠EDC＝∠EDF＝55°， 又∵∠DEC＝∠EDF＝55°， ∴∠C＝180°﹣∠DEC﹣∠EDC＝70°． 【点评】此题考查了三角形内角和定理、平行线的判定与性质，熟记三角形内角和定理、平行线的判定与性质是解题的关键． 6．（2024春•无锡期中）如图，AD是△ABC的高，点E、F在AB、AC上，DE∥AB，∠BAC＝90°， ∠C＝40°． （1）求∠CDE的度数； （2）若∠BDF＝∠BAD，求证：DF∥AC． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B＝50°，再根据“两直线平行，同位角相等”求解即可； （2）根据直角三角形的性质求出∠C＝∠BAD，等量代换求出∠C＝∠BDF，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解． 【解答】（1）解：在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝40°， ∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝50°， ∵DE∥AB， ∴∠CDE＝∠B＝50°； （2）证明：∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠C+∠CAD＝90°， ∴∠C＝∠BAD， ∵∠BDF＝∠BAD， ∴∠C＝∠BDF， ∴DF∥AC． 【点评】此题考查了三角形内角和定理、平行线的判定与性质，熟练运用三角形内角和定理、平行线的判定与性质是解题的关键． 题型三 三角形内角和定理与角平分线、高线综合 1．（2024•福建模拟）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠ADC＝110°，AD是△ABC的角平分线，则∠BAC的度数是 　 　． 【分析】通过三角形的外角得出∠BAD的度数，再通过角平分线得出∠BAC的度数． 【解答】解：∵∠B+∠BAD＝∠ADC，∠B＝60°，∠ADC＝110°， ∴∠BAD＝50°， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD＝50°， ∴∠BAC＝100°， 故答案为：100°． 【点评】本题考查了三角形的外角和角平分线的定义． 2．（2024春•沙坪坝区校级月考）如图，△ABC中AD⊥BC，∠ACB＝28°，∠ACB的角平分线CE与AD交于点F，与AB交于点E，则∠EFD的度数为 　 　． 【分析】先由垂直的定义得到∠ADC＝90°，再由角平分线的定义得到，则由三角形外角的性质可得∠EFD＝∠ADC+∠DCF＝104°． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵CE平分∠ACB，∠ACB＝28°， ∴， ∴∠EFD＝∠ADC+∠DCF＝104°， 故答案为：104°． 【点评】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，垂直的定义，掌握三角形外角的性质是关键． 3．（2024春•法库县期中）如图，在△ABC中，CE是∠ACB的平分线，∠B＝60°，点D在AC的延长线上，∠BCD＝110°．求：∠AEC的度数． 【分析】先由邻补角的性质，求出∠ACB的度数，然后由角平分线的定义即可求出∠BCE的度数，然后再根据邻补角的性质，即可求∠AEC的度数． 【解答】解：∵∠BCD＝110°， ∴∠ACB＝180°﹣110°＝70°， 又CE平分∠ACB ∴∠BCE＝35°， 又∠B＝60° ∴∠BEC＝180°﹣∠B﹣∠BCE＝85°， ∴∠AEC＝180°﹣85°＝95°． 【点评】此题考查了三角形邻补角的性质及角平分线的定义，熟记邻补角性质S是解题的关键． 4．（2024春•鲤城区校级期中）△ABC中，∠B＝26°，∠C＝74°，AD是高，AE是三角形的角平分线．求∠DAE的度数． 【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAE，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，然后求解即可． 【解答】解：∵∠B＝26°，∠C＝74°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣26°﹣74°＝80°， ∵AE是△ABC的角平分线， ∴， ∵AD是△ABC的高， ∴∠BDA＝90°， ∴∠BAD+∠B＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣26°＝64°， ∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝64°﹣40°＝24°． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键． 5．（2024春•南岗区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝65°，∠C＝35°，AD是△ABC的角平分线． （1）求∠ADC的度数． （2）过点B作BE⊥AD于点E，BE延长线交AC于点F．求∠AFE的度数． 【分析】（1）依据三角形内角和定理，即可得到∠ABC的度数，再根据角平分线的定义，即可得出∠EAF的度数，进而得到∠ADC的度数； （2）依据BE⊥AD，即可得到∠AEF＝90°，由（1）可得∠EAF＝40°，即可得出∠AFE的度数． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝65°，∠C＝35°， ∴∠BAC＝80°， 又∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠DAF∠BAC＝40°， ∴△ACD中，∠ADC＝180°﹣40°﹣35°＝105°； （2）∵BE⊥AD， ∴∠AEF＝90°， 由（1）可得∠EAF＝40°， ∴∠AFE＝180°﹣40°﹣90°＝50°． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解决问题的关键是掌握：三角形内角和是180°． 6．（2023春•南开区期末）如图一，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AE是BC边上的高，∠ABC＝30°，∠ACB＝70°． （1）求∠DAE的度数． （2）如图二，若点F为AD延长线上一点，过点F作FG⊥BC于点G，求∠AFG的度数． 【分析】（1）先利用三角形内角和定理求出∠BAC＝80°，再利用角平分线求出∠BAD＝40°，进而求出∠ADC＝∠BAD+∠ABD＝70°，最后用三角形的内角和定理 即可得出结论； （2）先判断出FG∥AE，即可得出结论． 【解答】解：（1）在△ABC中， ∵∠ABC＝30°，∠ACB＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣70°＝80° ∵AD平分∠BAC ∴∠BAD＝∠CAD∠BAC80°＝40°， 在△ABD中，∠ADC＝∠BAD+∠ABD＝40°+30°＝70° ∵AE为三角形的高， ∴∠AED＝90°． 在△AED中，∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣70°﹣90°＝20°． （2）∵FG⊥BC∴∠FGD＝90° ∵∠AED＝90° ∴∠FGD＝∠AED ∴FG∥AE ∴∠AFG＝∠DAE 由（1）可知∠DAE＝20° ∴∠AFG＝20°． 【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，平行线的判定和性质，求出∠BAE是解本题的关键． 题型四 三角形内角和定理与三角板问题 1．（2024•周村区一模）如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（　　） A．75° B．60° C．105° D．120° 【分析】根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°， 故选：A． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟记三角形内角和等于180°是解题的关键． 2．（2024•榆阳区二模）将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，直角边BC与直尺的一边重合，点E在AC上，∠ABC＝∠D＝90°，∠A＝30°，∠DEC＝45°，则∠1的度数为（　　） A．75° B．70° C．65° D．60° 【分析】在图中标记∠2，利用三角形内角和定理，可求出∠ACB及∠DCE的度数，结合邻补角互补，可求出∠2的度数，由直尺的对边平行，再利用“两直线平行，同位角相等”，即可求出∠1的度数． 【解答】解：在图中标记∠2，如图所示. ∵∠ACB＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∠DCE＝180°﹣90°﹣45°＝45°， ∴∠2＝180°﹣∠ACB﹣∠DCE＝180°﹣60°﹣45°＝75°． ∵直尺的对边平行， ∴∠1＝∠2＝75°． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质以及余角和补角，利用三角形内角和定理及邻补角互补，找出∠2的度数是解题的关键． 3．（2024•开封二模）将一副三角尺如图摆放，点D在AC上，延长EA交CB的延长线于点F，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠C＝30°，∠E＝45°，则∠F的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【分析】根据直角三角形互余及平角的定义即可求解． 【解答】解：∵∠C＝30°，∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝60°， ∵∠E＝45°，∠ABC＝90°， ∴∠EAD＝45°， ∵∠FAB+∠BAC+∠EAD＝180°， ∴∠FAB＝180°﹣60°﹣45°＝75°， ∵∠ABF＝90°，∠F+∠FAB＝90°， ∴∠F＝90°﹣75°＝15°． 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理及直角三角形的性质，熟知三角形内角和是180°是解题的关键． 4．（2024•东昌府区二模）将一副三角板按如图放置，其中∠B＝∠C＝45°，∠D＝60°，∠E＝30°，如果∠CAD＝150°，则∠4＝（　　） A．75° B．80° C．60° D．65° 【分析】先计算∠3＝∠CAD﹣∠CAB＝60°，根据对顶角相等得∠EFB＝∠AFD，根据三角形内角和得∠4+∠B＝∠3+∠D，即可得解． 【解答】解：如图，根据题意，∠CAB＝90°， ∵∠CAD＝150°，∠B＝∠C＝45°，∠D＝60°， ∴∠3＝∠CAD﹣∠CAB＝150°﹣90°＝60°， ∵∠EFB＝∠AFD， ∴∠4+∠B＝180°﹣∠EFB＝180°﹣∠AFD＝∠3+∠D， ∴∠4+45°＝60°+60°， ∴∠4＝75°． 故选：A． 【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形的内角和是180°． 5．（2024春•沙坪坝区校级月考）将一副三角板按如图叠加放置，其中∠BAC＝45°，∠E＝30°，．则∠EOC的度数为（　　） A．30° B．31° C．34° D．35° 【分析】先根据三角板特性以及，得出∠6＝∠1＝20°，再结合三角形内角和性质，列式代入数值，计算即可． 【解答】解：如图： ∵， ∴∠ABC＝90°，∠C＝45°，∠E＝30°（三角板的特性）， ∴， 解得∠1＝20°， ∵∠1+∠2＝90°＝∠2+∠6， ∴∠6＝∠1＝20°， ∵∠5+∠3+∠E＝180°，∠6+∠4+∠C＝180°，∠3＝∠4， ∴∠5+∠E＝∠6+∠C， ∴∠5+30°＝20°+45°， ∴∠EOC＝∠5＝35°， 故选：D． 【点评】本题考查了三角板与三角形内角和性质，解答本题的关键是熟练掌握三角形内角和定理：三角形内角和是180°． 题型五 三角形内角和定理与折叠问题 1．（2022秋•新乡期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，将其折叠使点A落在BC边上的A'处，折痕为CD，则∠A'DB＝　 度． 【分析】利用三角形内角和定理，三角形的外角的性质求解即可． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝40°， ∴∠A＝90°﹣40°＝50°， 由翻折变换的性质可知∠A＝∠CA′D＝50°， ∵∠CA′D＝∠B+∠A′DB， ∴∠A′DB＝50°﹣40°＝10°， 故答案为：10． 【点评】本题考查直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握三角形内角和定理，三角形的外角的性质，属于中考常考题型． 2．（2023春•东方期末）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若∠BAE＝50°，则∠DAC的度数为 　 　°． 【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC＝110°，可得∠CAE＝60°，由折叠的性质可得∠CAD＝∠EAD＝30°． 【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝110°， ∵∠BAE＝50°， ∴∠CAE＝60°， ∵△ADC沿直线AD折叠得到△ADE， ∴∠CAD＝∠EAD＝30°， 故答案为：30． 【点评】本题考查三角形内角和定理，折叠的性质，解题的关键是明确折叠前后对应的角相等． 3．（2022秋•江门期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在边AC上点E处，若∠B＝65°，则∠ADE的大小为（　　） A．40° B．50° C．65° D．75° 【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠A＝25°，再由折叠可得∠CED的度数，再根据三角形外角的性质可得∠ADE的度数． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝65°， ∴∠A＝90°﹣65°＝25°， 根据折叠可得∠CED＝∠B＝65°， ∴∠ADE＝65°﹣25°＝40°， 故选：A． 【点评】此题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，以及三角形外角的性质，关键是掌握直角三角形两锐角互余． 4．（2022春•青羊区期末）如图，把三角形纸片ABC折叠，使得点B，点C都与点A重合，折痕分别为DE，MN，若∠BAC＝100°，则∠DAM＝　 　度． 【分析】利用轴对称和三角形的内角和定理求解． 【解答】解：∵∠BAC＝100°， ∴∠B+∠C＝80°， ∵∠BAD＝∠B，∠CAM＝∠C， ∴∠DAM＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠CAM＝20°． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，结合轴对称是解题的关键． 5．（2024•德州模拟）将△ABC按如图所示翻折，DE为折痕，若∠A+∠B＝130°，则∠1+∠2＝　 　°． 【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B＝∠CDE+∠CED＝180°﹣∠C，再根据邻补角的性质得出∠BED+∠ADE的度数，由折叠的性质得到∠BED＝∠B'ED，∠ADE＝∠A'DE，从而求出∠1+∠2的度数． 【解答】解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°， 在△CDE中，∠CDE+∠CED+∠C＝180°， ∴∠A+∠B＝∠CDE+∠CED， ∵∠A+∠B＝130°， ∴∠CDE+∠CED＝130°， ∴∠BED+∠ADE＝360°﹣130°＝230°， 由折叠的性质得，∠BED＝∠B'ED，∠ADE＝∠A'DE， ∴∠B'ED+∠A'DE＝230°， 即∠1+∠CDE+∠2+∠CED＝230°， ∴∠1+∠2＝230°﹣130°＝100°， 故答案为：100． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，补角的性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 题型六 运用三角形内角和定理探究角之间的数量关系 1．（2024春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，且∠EBC∠ABC，∠ECB∠ACB，则∠D与∠E的数量关系可表示为（　　） A．3∠E﹣2∠D＝180° B．3∠D﹣2∠E＝180° C．3∠E﹣2∠D＝90° D．3∠D﹣2∠E＝90° 【分析】根据角平分线的性质可得，∠DBC，∠DCB，由∠EBC∠ABC，∠ECB∠ACB，可得∠DBC，，由三角形内角和定理可得∠D+∠DBC+∠DCB＝180°，由三角形外角的性质可得∠E+∠EBC+∠ECB＝180°，从而可求得∠D与∠E的数量关系． 【解答】解：∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点D， ∴∠DBC，∠DCB ∵∠EBC∠ABC，∠ECB∠ACB， ∴∠DBC，， ∵∠D+∠DBC+∠DCB＝180°， ∴∠D， ∵∠E+∠EBC+∠ECB＝180°， ∴∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠E， ∴∠D， 整理得3∠E﹣2∠D＝180°， 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，熟记三角形的内角和定理是解题的关键． 2．（2023春•石狮市校级期中）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝30°，∠BAC＝130°，求∠E的度数； （2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E． 【分析】（1）由三角形的外角性质可求得∠ACD＝160°，再由角平分线的定义可得∠ECD＝80°，即可求得∠E的度数； （2）由角平分线的定义可得∠ECD＝∠ECA，再由三角形的外角性质可得∠ECD＝∠B+∠E，∠BAC＝∠ECA+∠E，即可求解． 【解答】（1）解：∵∠B＝30°，∠BAC＝130°， ∴∠ACD＝∠B+∠BAC＝160°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ECD∠ACD＝80°， ∴∠E＝∠ECD﹣∠B＝50°； （2）证明∵CE平分∠ACD， ∴∠ECD＝∠ECA， ∵∠ECD＝∠B+∠E，∠BAC＝∠ECA+∠E， ∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E． 【点评】本题主要考查三角形的外角性质，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 3．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD． （1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D； （2）如图2，∠CAB与∠BDC的平分线AP、DP相交于点P，求证：∠B+∠C＝2∠P． 【分析】（1）根据三角形的内角和即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和三角形的内角和解答即可． 【解答】证明：（1）在△AOC中，∠A+∠C＝180°﹣∠AOC， 在△BOD中，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD， ∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠A+∠C＝∠B+∠D； （2）在AP、CD相交线中，有∠CAP+∠C＝∠P+∠CDP， 在AB、DP相交线中，有∠B+∠BDP＝∠P+∠BAP， ∴∠B+∠C+∠CAP+∠BDP＝2∠P+∠CDP+∠BAP， ∵AP、DP分别平分∠CAB、∠BDC， ∴∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP， ∴∠B+∠C＝2∠P． 【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义． 4．（2023秋•长丰县月考）如图1，在△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E为AD（不与点A，D重合）上的一动点，EF⊥BC于点F． （1）若∠B＝40°，∠DEF＝20°，求∠C的度数． （2）求证：∠C﹣∠B＝2∠DEF． （3）如图2，在△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E为AD上一点，EF⊥AD交BC延长线于点F，∠ACB＝m°，∠B＝n°，直接写出∠F的度数（用含m，n的代数式表示）． 【分析】（1）首先求出∠EDF＝90°﹣∠DEF＝70°，得出∠BAD＝70°﹣40°＝30°，再利用三角形内角和定理可得答案； （2）由（1）同理可知∠C﹣∠B＝∠ADB﹣∠ADF，而∠ADB＝∠EFD+∠DEF＝90°+∠DEF，∠ADF＝90°﹣∠DEF，代入即可； （3）用m、n的代数式表示∠BAD，∠ADC＝∠B+∠BAD＝n°，从而解决问题． 【解答】（1）解：∵EF⊥BC， ∴∠EFD＝90°， ∴∠DEF+∠EDF＝90°， ∵∠DEF＝20°， ∴∠EDF＝90°﹣∠DEF＝70°， ∵∠BAD＝∠EDF﹣∠B，∠B＝40°， ∴∠BAD＝70°﹣40°＝30°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠BAD＝2×30°＝60°， ∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC ＝180°﹣40°﹣60° ＝80°； （2）证明：∵∠C＝∠ADB﹣∠DAC，∠B＝∠ADF﹣∠BAD， ∴∠C﹣∠B＝∠ADB﹣∠DAC﹣∠ADF+∠BAD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC＝∠BAD， ∴∠C﹣∠B＝∠ADB﹣∠ADF， ∵EF⊥BC， ∴∠EFD＝90°， ∵∠ADB＝∠EFD+∠DEF＝90°+∠DEF，∠ADF＝90°﹣∠DEF， ∴∠C﹣∠B＝90°+∠DEF﹣（90°﹣∠DEF）＝2∠DEF， ∴∠C﹣∠B＝2∠DEF； （3）解：∵∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠B， ∠ACB＝m°，∠B＝n°， ∴∠BAC＝180°﹣m°﹣n°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝n°， 即∠EDF＝n°， ∵∠DEF＝90°， ∴∠F＝90°﹣[n°]， ＝（）°． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，用含字母的代数式表示各角是解题的关键． 5．（2024春•中山区期中）【问题背景】 （1）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D，E分别在边AB，AC上，求证：∠ADE+∠AED＝2∠ABC； 【变式迁移】 （2）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在边AB上，连接CD，点F在CD上，∠ADC＝2∠FBC，判断∠DBF与∠ACD的数量关系，并说明理由； 【拓展迁移】 （3）在（2）的条件下，连接AF，使∠FAC+∠DBF＝90°，若∠ADC＝60°，求∠AFB的度数． 【分析】（1）利用三角形内角和定理证明即可； （2）利用（1）中结论求出∠ACD，可得结论； （3）设∠DBF＝α，得出∠ACF＝2α再利用三角形内角和定理解答即可． 【解答】（1）证明：∵在△ADE 中，∠A+∠ADE+∠AED＝180°， 在△ABC中∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠ADE+∠AED＝∠ABC+∠ACB， ∵∠ABC＝∠ACB， ∴∠ADE+∠AED＝2∠ABC； （2）解：∠ACD＝2∠DBF，理由如下： 由（1）知∠ADC+∠ACD＝2∠ABC， 又∵∠ABC＝∠DBF+∠FBC， ∴∠ADC+∠ACD＝2∠DBF+2∠FBC， ∵∠ADC＝2∠FBC， ∴∠ACD＝2∠DBF； （3）解：设∠DBF＝α， ∴∠ACF＝2α， ∠FAC+∠DBF＝90°， ∴∠FAC＝90°﹣α， ∠ADC＝60°， ∴∠FBC＝30°， ∴∠ABC＝∠DBF+∠FBA＝30°+α， ∵在△ABC中∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∠ABC＝∠ACB， ∴∠BAC＝180°﹣2（30°+α）， ＝120°﹣2α， ∠BAF＝∠BAC﹣∠FAC＝（120°﹣2α）﹣（90°﹣α） ＝30°﹣a， ∵在△ABF中，∠ABF+∠AFB+∠BAF＝180°， 点 α+30°﹣α+∠AFB＝180°， ∴∠AFB＝150°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形内角和定理． 题型七 三角形内角和定理与新定义问题综合 1．（2023秋•枣阳市期末）当三角形中一个内角β是另外一个内角a的0.5时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为54°，那么这个“友好三角形”的“友好角a“的度数为 　 　． 【分析】当a＝54°时，当β＝54°时，当54°既不是a也不是β时，分类讨论得结论． 【解答】解：（1）当三角形中一个内角α＝54°时， “友好角a“的度数为54°； （2）当三角形中一个内角β＝54°时， 由题意：a＝54°÷0.5＝108°． ∴“友好角a“的度数为108°； （3）当54°角既不是a也不是β时， ∵α+β+54°＝180°， ∴α54°＝180°， ∴a＝84°． ∴“友好角a“的度数为84°． 故答案为：54°或108°或84°． 【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理、分类讨论的思想方法及理解“友好三角形”的定义是解决本题的关键． 2．（2023秋•望花区月考）当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的一个内角为42°，那么这个“特征角”α的度数为 　 　． 【分析】当内角α是42°时，可求出三角形的一个内角为21°，验证后可得出∠α＝42°符合题意；当内角α是42°的两倍时，可求出∠α的度数，验证后可得出∠α＝84°符合题意；当内角α是第三个角的两倍时，设∠α＝x°，则第三个角的速度为x°，利用三角形内角和定理可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：当内角α是42°时，三角形的一个内角为42°÷2＝21°， ∵42°+21°＜180°， ∴∠α＝42°符合题意； 当内角α是42°的两倍时，∠α＝42°×2＝84°， ∵42°+84°＝126°＜180°， ∴∠α＝84°符合题意； 当内角α是第三个角的两倍时，设∠α＝x°，则第三个角的速度为x°， 依题意得：42+xx＝180， 解得：x＝92， ∴∠α＝92°． 综上所述，∠α的度数为42°或84°或92°． 故答案为：42°或84°或92°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键． 3．（2023春•高港区月考）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“三倍角三角形”． （1）△ABC中，∠A＝35°，∠B＝40°，△ABC是“三倍角三角形”吗？为什么？ （2）若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝30°，求△ABC中最小内角的度数． 【分析】（1）由三角形内角和可求第3个内角为105°，由“三倍角三角形”定义可求解； （2）分两种情况讨论，由“三倍角三角形”定义可求解． 【解答】解：（1）△ABC是“三倍角三角形”，理由如下： ∵∠A＝35°，∠B＝40°， ∴∠C＝180°﹣35°﹣40°＝105°＝35°×3， ∴△ABC是“三倍角三角形”； （2）∵∠B＝30°， ∴∠A+∠C＝150°， 设最小的角为x， ①当30°＝3x时，x＝10°， ②当x+3x＝150°时，x＝37.5°，30＜37.5， ③30°×3＝90°，180﹣30﹣90＝60°， 答：△ABC中最小内角为10°或30°． 【点评】本题是新定义问题，考查了三角形内角和定理，理解“三倍角三角形”定义，并能运用是本题的关键． 4．（2023春•安溪县期末）新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为“n倍角三角形”．例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”． （1）在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“　 　倍角三角形”． （2）如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“6倍角三角形”，请求出∠ABD的度数． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠D，根据n倍角三角形的定义判断； （2）根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠ADB，n倍角三角形的定义分情况讨论计算，得到答案． 【解答】解：（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝60°， 则∠D＝180°﹣∠E﹣∠F＝80°， ∴∠D＝2∠E， ∴△DEF为“2倍角三角形”， 故答案为：2； （2）∵∠C＝36°， ∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣36°＝144°， ∵∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D， ∴∠DAB∠BAC，∠DBA∠ABC， ∴∠DAB+∠DBA144°＝72°， ∴∠ADB＝180°﹣72°＝108°， ∵△ABD为“6倍角三角形”， ∴∠ADB＝6∠ABD或∠ADB＝6∠BAD， 当∠ADB＝6∠ABD时，∠ABD＝18°， 当∠ADB＝6∠BAD时，∠BAD＝18°，则∠ABD＝180°﹣108°﹣18°＝54°， 综上所述，∠ABD的度数为18°或54°． 【点评】本题考查的是新定义、三角形内角和定理、角平分线的定义，正确理解n倍角三角形的定义是解题的关键． 5．（2024春•工业园区校级期中）引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 【理解概念】： （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请判断△ACD与△CBD 　 　（填“是”或“否”）为“等角三角形”． （2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°． 请你说明CD是△ABC的等角分割线． 【应用概念】： （3）在△ABC中，若∠A＝40°，CD为△ABC的等角分割线，请你直接写出所有可能的∠B度数． 【分析】（1）先根据题意得出∠ADC＝∠CDB＝90°，故∠B+∠BCD＝90°，再由∠BCD+∠ACD＝90°，得出∠B＝∠ACD，进而可得出结论； （2）根据三角形内角和定理计算∠ACB＝80°，由角平分线的定义可知∠ACD＝∠BCD＝40°，故可得出△ACD是满足有两个角相等的三角形；进而得出△BCD与△ABC互为“等角三角形”，据此得出结论； （3）由题意可知，分4种情况求解：①当△ACD是等腰三角形，AC＝AD时；②当△ACD是等腰三角形，CD＝AD时；③当△BCD是等腰三角形，CD＝BD时；④当△BCD是等腰三角形，BC＝BD时，分别求出∠B的度数即可． 【解答】解：（1）∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠CDB＝90°， ∴∠B+∠BCD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD+∠ACD＝90°， ∴∠B＝∠ACD， ∴△ACD与△CBD是“等角三角形”， 故答案为：是； （2）∵∠A＝40°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°， ∵CD为角平分线， ∴∠ACD＝∠BCD＝40°， ∴∠ACD＝∠A， ∴CD＝AD， ∴△ACD是等腰三角形， ∵∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠ACD＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∴∠BDC＝180°﹣100°＝80°， ∴∠BCD＝∠ACB，∠B＝∠B， ∴△ABC与△CBD是“等角三角形”， ∴CD为△ABC的等角分割线． （3）∠B的度数为30°或60°或（）°或（）°，理由如下： 根据题意可知，存在以下四种情况： ①当△ACD是等腰三角形，AC＝AD时，∠ADC＝∠ACD＝70°，∠BCD＝∠A＝40°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACD﹣∠BCD＝30°； ②当△ACD是等腰三角形，CD＝AD时，∠BCD＝∠A＝∠ACD＝40°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACD﹣∠BCD＝60°； ③当△BCD是等腰三角形，CD＝BD时，∠ACD＝∠B＝∠BCD， ∴∠B（）°； ④当△BCD是等腰三角形，BC＝BD时，∠ACD＝∠B，∠BCD＝∠BDC＝∠A+∠ACD＝40°+∠B， ∴在△BCD中，40°+∠B+40°+∠B+∠B＝180°， ∴∠B＝（）°， 故：∠B的度数为30°或60°或（）°或（）°． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，新定义，根据题意理解“等角三角形”的定义是解题的关键． 题型八 三角形外角的定义 1．如图，∠1、∠2、∠3中是△ABC外角的是（　　） A．∠1、∠2 B．∠2、∠3 C．∠1、∠3 D．∠1、∠2、∠3 【分析】根据三角形的一条边的延长线于另一边的夹角叫做这个三角形的外角判断． 【解答】解：属于△ABC外角的有∠1、∠3共2个． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的外角的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 2．图中△ABC的外角是（　　） A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4 【分析】三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 【解答】解：△ABC的外角是∠3， 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形外角，解题时注意：三角形的一边与另一边的延长线组成的角． 3．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC上的点，连接AE和DE，则下列是△BDE的外角的是（　　） A．∠AED B．∠AEC C．∠ADE D．∠BAE 【分析】根据三角形外角的定义可判断求解． 【解答】解：由题意得，∠ADE，∠DEC是△BDE的外角． 故选：C． 【点评】本题主要考查三角形的外角，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 4．如图，点B，C分别在∠EAF的边AE，AF上，点D在线段AC上，则下列是△ABD的外角的是（　　） A．∠BCF B．∠CBE C．∠DBC D．∠BDF 【分析】根据三角形的外角的定义得出即可． 【解答】解：△ABD的一个外角是∠BDF， 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的外角定义和性质，注意：三角形的一个角的一边和另一边的反向延长线组成的角，叫三角形的外角． 5．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是BC边上的一点，连接AE，OE，则下列角中是△OEC的外角的是（　　） A．∠AOB B．∠BEO C．∠AEO D．∠BOE 【分析】根据三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角解答即可． 【解答】解：△OEC的外角是∠BEO， 故选：B． 【点评】此题考查了多边形的内角与外角，关键是根据三角形的一边与另一边的延长线组成的角解答． 题型九 利用三角形外角的性质求角度 1．（2023春•滨湖区期中）若一个三角形的3个外角的度数之比2：3：4，则与之对应的3个内角的度数之比为（　　） A．3：2：4 B．4：3：2 C．5：3：1 D．3：1：5 【分析】已知三角形三个外角的度数之比，可以设一份为k°，根据三角形的外角和等于360°列方程求三个内角的度数，确定三角形内角的度数，然后求出度数之比． 【解答】解：设一份为k°，则三个外角的度数分别为2k°，3k°，4k°， 根据三角形外角和定理，可知2k°+3k°+4k°＝360°，得k°＝40°， 三个外角分别为80°，120°和160°， 根据三角形外角与它相邻的内角互补，与之对应的三个内角的度数分别是100°，60°和20°， 即三个内角的度数的比为5：3：1． 故选：C． 【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的外角与它相邻的内角互补的知识，解答的关键是沟通外角和内角的关系． 2．（2024•南充三模）如图所示，将含角45°的直角三角板与含60°角的直角三角板叠放在一起，若∠1＝70°，则∠2的度数为（　　） A．85° B．60° C．50° D．95° 【分析】根据平角的定义求出∠3，再依据平行线的性质，即可得到∠2． 【解答】解：如图， ∵∠1＝70°， ∴∠3＝180°﹣60°﹣∠1＝50°， ∵∠4＝45°， ∴∠2＝∠3+∠4＝50°+45°＝95°， 故选：D． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等． 3．（2024•秦都区二模）如图，a∥b，在Rt△ABC中，∠A＝60°，∠C＝90°，若∠1＝45°，则∠2的度数为（　　） A．100° B．105° C．120° D．130° 【分析】由对顶角相等得出∠3＝∠1＝45°，再由三角形外角的定义及性质得出∠4＝105°，最后由平行线的性质即可得出答案． 【解答】解：如图所示， 则∠3＝∠1＝45°， ∴∠4＝∠3+∠A＝45°+60°＝105°， ∵a∥b， ∴∠2＝∠4＝105°， 故选：B． 【点评】本题考查了对顶角相等、三角形外角的定义及性质、平行线的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 4．（2023•云岩区校级一模）如图是一个零件形状的示意图，∠B＝20°，∠D＝30°，若按规定∠A＝90°时这个零件合格，那么此时∠BCD的度数是（　　） A．110° B．120° C．140° D．150° 【分析】连接AC并延长AC到点E，结合已知条件，利用三角形的外角性质计算即可． 【解答】 解：如图，连接AC并延长AC到点E， ∴∠DCE＝∠D+∠DAE，∠BCE＝∠B+∠BAE， ∴∠BCD＝∠D+∠DAE+∠B+∠BAE＝∠B+∠D+（∠DAE+∠BAE）， ∵∠B＝20°，∠D＝30°，∠DAE+∠BAE＝∠BAD＝90°， ∴∠BCD＝20°+30°+90°＝140°， 故选：C． 【点评】本题主要考查三角形的外角性质，通过作辅助线将图形构造两个三角形的外角，使其与已知条件建立联系是解题的关键． 5．（2023秋•江津区期末）如图，点D在△ABC的边BA的延长线上，点E在BC边上，连接DE交AC于点F，若∠DFC＝3∠B＝117°，∠C＝∠D，则∠BED＝　 　． 【分析】首先根据∠DFC＝3∠B＝117°，可以算出∠B＝39°，然后设∠C＝∠D＝x°，根据外角与内角的关系可得38+x+x＝117，再解方程即可得到x＝39，再根据三角形内角和定理求出∠BED的度数． 【解答】解：∵∠DFC＝3∠B＝117°， ∴∠B＝39°， 设∠C＝∠D＝x°， 则39+x+x＝117， 解得：x＝39， ∴∠D＝39°， ∴∠BED＝180°﹣39°﹣39°＝102°． 故答案为：102°． 【点评】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 6．（2023秋•黄石港区期末）已知如图∠B＝∠C，∠1＝∠2，∠BAD＝40°，求∠EDC度数． 【分析】首先在△ABD中，由三角形的外角性质得到∠EDC+∠1＝∠B+40°，同理可得到∠2＝∠EDC+∠C，联立两个式子，结合∠B＝∠C，∠1＝∠2的已知条件，即可求出∠EDC的度数． 【解答】解：△ABD中，由三角形的外角性质知： ∠ADC＝∠B+∠BAD，即∠EDC+∠1＝∠B+40°；① 同理，得：∠2＝∠EDC+∠C， 已知∠1＝∠2，∠B＝∠C， ∴∠1＝∠EDC+∠B，② ②代入①得： 2∠EDC+∠B＝∠B+40°，即∠EDC＝20°． 【点评】此题主要考查的是三角形的外角性质，理清图形中各角之间的关系是解题的关键． 7．（2023春•浦口区校级月考）如图，∠BCD＝94°，∠A＝26°，∠BED＝45°，求∠B和∠BFD的度数． 【分析】根据三角形的外角的性质可得∠B＝∠BCD﹣∠A，∠D＝∠BED﹣∠A，然后根据∠BFD＝∠BCD+∠D，即可求解． 【解答】解：∵∠BCD＝94°，∠A＝26°， ∴∠B＝∠BCD﹣∠A＝94°﹣26°＝68°， ∵∠BED＝45°， ∴∠D＝∠BED﹣∠A＝45°﹣26°＝19°， ∴∠BFD＝∠BCD+∠D＝94°+19°＝113°． 【点评】本题考查了三角形外角的性质，掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 题型十 利用三角形外角的性质比较角度大小 1．（2023秋•榆林期末）如图，点D为△ABC的边BC延长线上一点，关于∠B与∠ACD的大小关系，下列说法正确的是（　　） A．∠B＞∠ACD B．∠B＝∠ACD C．∠B＜∠ACD D．无法确定 【分析】利用三角形的外角性质即可求解． 【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠ACD＝∠B+∠A， ∴∠B＜∠ACD． 故选：C． 【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和． 2．如图，EF与△ABC的边BC，AC相交，则∠1+∠2与∠3+∠4的大小关系为（　　） A．∠1+∠2＞∠3+∠4 B．∠1+∠2＜∠3+∠4 C．∠1+∠2＝∠3+∠4 D．大小关系取决于∠C的度数 【分析】根据对顶角相等以及三角形内角和定理可得答案． 【解答】解：∵∠3＝∠CEF，∠4＝∠CFE，∠C+∠CEF+∠CFE＝180°， ∴∠C+∠3+∠4＝180°， 又∵∠C+∠1+∠2＝180°， ∴∠1+∠2＝∠3+∠4， 故选：C． 【点评】本题考查三角形内角和定理，掌握对顶角相等以及三角形的内角和是180°是正确解答的前提． 3．（2023•任丘市三模）如图，在△ABC中，E为边AC上一点，延长AB到点F，延长BC到点D，连接DE．∠1，∠2，∠3的大小关系为（　　） A．∠2＞∠1＞∠3 B．∠1＞∠3＞∠2 C．∠1＞∠2＝∠3 D．∠1＞∠2＞∠3 【分析】利用三角形的外角性质进行求解即可． 【解答】解：∵∠2是△CDE的外角， ∴∠2＝∠3+∠CED， ∴∠2＞∠3， ∵∠1是△ABC的外角， ∴∠1＝∠2+∠A， ∴∠1＞∠2， ∴∠1＞∠2＞∠3． 故选：D． 【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和． 4．如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是（　　） A．∠2＞∠1＞∠A B．∠1＞∠2＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠A＞∠1＞∠2 【分析】根据三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角解答． 【解答】解：∵∠2是△ACE的一个外角，∴∠2＞∠A， 又∵∠1是△BDE的一个外角，∴∠1＞∠2， ∴∠1＞∠2＞∠A． 故选：B． 【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系， （1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和； （2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件； （3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．比较角的大小时常用关系（3）． 5．（2023春•泰山区期中）如图，∠A，∠DOE，∠BEC的大小关系是（　　） A．∠A＞∠DOE＞∠BEC B．∠DOE＞∠BEC＞∠A C．∠DOE＞∠A＞∠BEC D．∠BEC＞∠DOE＞∠A 【分析】根据三角形的外角的性质解答． 【解答】解：∵∠BEC是△ABE的外角， ∴∠BEC＞∠A， ∵∠DOE是△COE的外角， ∴∠DOE＞∠BEC， ∴∠DOE＞∠BEC＞∠A， 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角是解题的关键． 题型十一 三角形中角的不等关系的证明 1．（2024春•垦利区期末）已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．求证：∠1＞∠2． 【分析】根据三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角证明即可． 【解答】证明：∵∠1是△ABC的一个外角， ∴∠1＞∠3， ∵∠3是△DEC的一个外角， ∴∠3＞∠2， ∴∠1＞∠2． 【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角是解题的关键． 2．（2023秋•安徽期中）已知：如图，P是△ABC内任一点，求证：∠BPC＞∠A． 【分析】如图，延长BP交AC于D．根据△PDC外角的性质知∠BPC＞∠PDC；根据△ABD外角的性质知∠PDC＞∠A，所以易证∠BPC＞∠A． 【解答】证明：如图，延长BP交AC于D． ∵∠BPC＞∠PDC，∠PDC＞∠A， ∴∠BPC＞∠A． 【点评】本题考查了三角形的外角的性质．解题时是结合三角形的内角和与外角的关系来证明结论的． 3．（2023秋•当涂县校级期中）已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E是AD上一点，求证：∠DEC＞∠ABC． 【分析】首先根据三角形的内角和定理可得∠B+∠ACB＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，根据同角的余角相等可得∠B＝∠DAC，再根据三角形的内角与外角的关系可得∠DEC＞∠DAC，进而得到∠DEC＞∠ABC． 【解答】证明：∵∠BAC＝90°， ∴∠B+∠ACB＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC+∠ACD＝90°， ∴∠B＝∠DAC， ∵∠DEC＞∠DAC， ∴∠DEC＞∠ABC． 【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，以及三角形的内角与外角的关系，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 题型十二 三角形内角和定理与外角的综合应用 1．（2023秋•路桥区期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BC于点E，交BD于点F．若∠ABC＝48°，求∠AFB的度数． 【分析】根据题意易得∠CBD＝24°，∠BEF＝90°，然后根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”，利用∠AFB＝∠BEF+∠CBD求解即可． 【解答】解：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝48°， ∴， ∵AE⊥BC， ∴∠BEF＝90°， ∴∠AFB＝∠BEF+∠CBD＝90°+24°＝114°． 【点评】本题主要考查了角平分线、垂线以及三角形外角的定义和性质，熟练掌握三角形外角的定义和性质是解题关键． 2．（2024春•海陵区校级月考）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获．下面用一副三角板（△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°；△DEF中，∠EDF＝90°，∠E＝60°）拼接图形． （1）如图1，点D在BC上，求∠CDE的度数； （2）如图2，点B与点D重合，A、E、F在同一条直线上，AC交BF于点M，若∠ABE＝75°，判断并证明BC与EF的位置关系． 【分析】（1）先根据已知条件和三角形内角和定理，求出∠ACB，∠F，然后根据外角性质和∠CDF，从而求出∠CDE即可； （2）先求出∠ABF＝15°，再得到∠CBF＝30°，从而得到∠CBF＝∠F，利用平行线的判定定理即可得到EF∥BC． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，∠B＝45°， ∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣90°﹣45°＝45°， ∵∠EDF＝90°，∠E＝60°， ∴∠F＝180°﹣∠EDF﹣∠E＝180°﹣90°﹣60°＝30°， ∵∠ACB＝∠F+∠CDF， ∴∠CDF＝∠ACB﹣∠F＝45°﹣30°＝15°， ∴∠CDE＝∠EDF﹣∠CDF＝90°﹣15°＝75°． （2）EF∥BC，证明如下： ∵∠EDF＝90°，∠ABE＝75°， ∴∠ABF＝∠EDF﹣∠ABE＝90°﹣75°＝15°， 又∵∠ABC＝45°， ∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝45°﹣15°＝30°， 由（1）可知，∠F＝30°， ∴∠CBF＝∠F， ∴EF∥BC． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理和平行线的判定，解题关键是正确识别图形，理解有关角与角之间的数量关系． 3．（2023秋•鞍山期中）△ABC中，∠C＝80°，点D、B分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α． （1）若点P在边AB上，且∠α＝50°，如图1，则∠1+∠2＝　 　； （2）若点P在边AB上运动，如图2所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为 　 　． （3）若点P运动到边AB的延长线上，如图3，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由． 【分析】（1）连接CP，根据三角形外角性质，即可得到∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠ECP+∠EPC，再根据∠1+∠2＝∠ACB+∠DPE进行计算即可； （2）连接CP，根据三角形外角性质，即可得到∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠ECP+∠EPC，再根据∠1+∠2＝∠ACB+∠DPE进行计算即可得到∠α、∠1、∠2之间的关系； （3）根据三角形外角性质，即可得到∠1＝∠C+∠CMD，∠CMD＝∠2+∠α，进而得到∠1＝∠C+∠2+∠α，据此可得∠α、∠1、∠2之间的关系． 【解答】解：（1）如图1，连接CP， ∵∠1是△CDP的外角， ∴∠1＝∠DCP+∠DPC， 同理可得，∠2＝∠ECP+∠EPC， ∴∠1+∠2＝∠ACB+∠DPE＝80°+50°＝130°， 故答案为：130°； （2）如图2，连接CP， ∵∠1是△CDP的外角， ∴∠1＝∠DCP+∠DPC， 同理可得，∠2＝∠ECP+∠EPC， ∴∠1+∠2＝∠ACB+∠DPE＝80°+∠α， 故答案为：∠1+∠2＝80°+∠α； （3）∠1＝80°+∠2+∠α，理由如下： 如图3，∵在△CDM中，∠1＝∠C+∠CMD， 在△EMP中，∠CMD＝∠2+∠α， ∴∠1＝∠C+∠2+∠α， 即∠1＝80°+∠2+∠α． 【点评】本题主要考查了三角形外角性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 4．（2023秋•包河区期中）如图，D，E分别是锐角△ABC的边AC，BC上的点，P是与△ABC在同一平面内的一动点，且与点D，点E不在同一直线上，令∠CDP＝∠1，∠BEP＝∠2． （1）如图1，当P是△ABC的边AB上的一点时，已知∠C＝60°，∠1＝110°，∠2＝65°，求∠DPE的度数． （2）当P是△ABC内一点时，直接写出∠1，∠2，∠C和∠DPE之间的数量关系． （3）如图2，当P是AB的延长线上一点时，探索∠1，∠2，∠C和∠DPE之间的数量关系并加以证明． 【分析】（1）利用四边形的内角和求∠DPE即可； （2）分两种情况讨论：当P点在DE的下方时，同（1）的方法即可；当P点在DE的下方时，利用四边形CDPE的内角和求解，注意∠DPE是大于180°的角，需要进行转化； （3）利用三角形的外角和三角形的内角定理求解即可． 【解答】解：（1）∵∠2＝65°， ∴∠CEP＝180°﹣∠2＝115°， ∴∠DPE＝360°﹣∠C﹣∠1﹣∠CEP＝360°﹣60°﹣110°﹣115°＝75°； （2）∠1+∠C+∠DPE＝180°+∠2或∠DPE+∠2＝∠1+∠C+180°，理由如下： 当点P位于DE下方时，∠DPE＝360°﹣∠C﹣∠1﹣∠CEP＝360°﹣∠C﹣∠1﹣（180°﹣∠2）， ∴∠1+∠C+∠DPE＝180°+∠2； 当点P位于DE上方时，∠DPE＝360°﹣（360°﹣∠C﹣∠1﹣∠CPE）＝∠C+∠1+（180°﹣∠2）＝∠C+∠1+180°﹣∠2， ∴∠DPE+∠2＝∠1+∠C+180°； （3）∠1+∠2+∠C+∠DPE＝180°，理由如下： 设DP与BC交于点Q， ∴∠CQD＝∠2+∠DPE， ∵∠1+∠C+∠CQD＝180°， ∴∠1+∠C+∠2+∠DPE＝180°， ∴∠1+∠2+∠C+∠DPE＝180°． 【点评】本题考查的是四边形的内角和定理和三角形的外角的性质的综合运用，灵活运用定理进行计算是解题的关键，在画图时，要全面考虑问题，不要只画出一种． 5．（2024春•天宁区校级期中）已知，在△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝34°，D为BC边延长线上的一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点． （1）如图，连接CE． ①若CE∥AB，求∠BEC的度数； ②若CE平分∠ACD，求∠BEC的度数； （2）若直线CE垂直于△ABC的一边，请直接写出∠BEC的度数：　 　． 【分析】（1）①利用三角形的内角和定理、角平分线的性质先求出∠ABE，再利用平行线的性质求出∠BEC； ②利用三角形外角与内角的关系先求出∠ACD，再利用角平分线的性质和三角形外角与内角的关系求出∠BEC； （2）分三种情况，利用三角形的内角和定理可得结论． 【解答】解：（1）①∵∠A＝60°，∠ACB＝34°， ∴∠ABC＝86°． ∵BM平分∠ABC， ∴∠ABE∠ABC＝43°． ∵CE∥AB， ∴∠BEC＝∠ABE＝43°； ②∵∠A＝60°，∠ACB＝34°， ∴∠ABC＝86°，∠ACD＝180°﹣∠ACB＝146°． ∵BM平分∠ABC，CE平分∠ACD， ∴∠CBE∠ABC＝43°，∠ECD∠ACD＝73°， ∴∠BEC＝∠ECD﹣∠CBE＝30°； （2）如图1，当CE⊥AB，垂足为N时， 则∠CNB＝90． 由（1）知，∠ABE＝43°， ∴∠BEC＝∠BEN+∠CNB ＝43°+90° ＝133°； 如图2，当CE⊥AC，则∠ACE＝90°． 由（1）知，∠CBE＝43°，∠ACB＝34°， ∴∠ENC＝∠CBE+∠ACB， ＝43°+34° ＝77°． ∴∠BEC＝90°﹣∠CNE ＝13°； 如图3，当CE⊥BC，则∠BCE＝90°． 由（1）知，∠CBE＝43°， ∴∠BEC＝90°﹣∠CBE ＝47°． 所以∠BEC的度数为47°或133°或13°， 故答案为：47°或133°或13°． 【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是180°”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解决本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！47 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级上册数学《第1章 三角形的初步认识》 专题 三角形的内角和外角 题型一 直接运用三角形内角和定理求角的度数 1．已知△ABC中，∠B＝2∠A，∠C＝∠A+40°，则∠A的度数为 　 　． 2．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：5，则∠C等于 　 　． 3．（2023秋•安徽期中）在△ABC中，若∠A＝36°，∠B：∠C＝1：5，则∠C等于（　　） A．120° B．100° C．24° D．20° 4．在△ABC中，已知∠B＝3∠A，∠C＝5∠A，则∠A＝　 　，∠B＝　 　，∠C＝　 　． 5．（2024春•新吴区校级月考）在△ABC中，∠A＝60°，∠B﹣∠C＝20°，则∠C＝　 　度． 6．（2024•姑苏区校级二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，∠ACP＝∠PBC，则∠BPC的度数为　 ．　 题型二 三角形内角和定理与平行线 1．（2024•郫都区模拟）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD∥BA．若∠B＝54°，则∠ACD的度数为 　 　． 2．（2024•漳州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作DE∥AB，若∠B＝55°，则∠ACD等于 　 　度． 3．（2024春•虹口区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BE平分∠ABC，如果DC∥BE，那么∠BCD＝　 °． 4．（2024春•西安期中）如图，在三角形ABC中，过点C作CD//AB，CB平分∠ACD，∠ACD＝140°，E为AC上一点，F为三角形ABC内部一点，连接EF、BF，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°．求∠CEF的度数． 5．（2024春•长沙期中）如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，AB∥DE，∠A＝∠EDF． （1）求证：AC∥DF； （2）若DE平分∠CDF，∠A＝55°，求∠C的度数． 6．（2024春•无锡期中）如图，AD是△ABC的高，点E、F在AB、AC上，DE∥AB，∠BAC＝90°， ∠C＝40°． （1）求∠CDE的度数； （2）若∠BDF＝∠BAD，求证：DF∥AC． 题型三 三角形内角和定理与角平分线、高线综合 1．（2024•福建模拟）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠ADC＝110°，AD是△ABC的角平分线，则∠BAC的度数是 　 　． 2．（2024春•沙坪坝区校级月考）如图，△ABC中AD⊥BC，∠ACB＝28°，∠ACB的角平分线CE与AD交于点F，与AB交于点E，则∠EFD的度数为 　 　． 3．（2024春•法库县期中）如图，在△ABC中，CE是∠ACB的平分线，∠B＝60°，点D在AC的延长线上，∠BCD＝110°．求：∠AEC的度数． 4．（2024春•鲤城区校级期中）△ABC中，∠B＝26°，∠C＝74°，AD是高，AE是三角形的角平分线．求∠DAE的度数． 5．（2024春•南岗区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝65°，∠C＝35°，AD是△ABC的角平分线． （1）求∠ADC的度数． （2）过点B作BE⊥AD于点E，BE延长线交AC于点F．求∠AFE的度数． 6．（2023春•南开区期末）如图一，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AE是BC边上的高，∠ABC＝30°，∠ACB＝70°． （1）求∠DAE的度数． （2）如图二，若点F为AD延长线上一点，过点F作FG⊥BC于点G，求∠AFG的度数． 题型四 三角形内角和定理与三角板问题 1．（2024•周村区一模）如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（　　） A．75° B．60° C．105° D．120° 2．（2024•榆阳区二模）将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，直角边BC与直尺的一边重合，点E在AC上，∠ABC＝∠D＝90°，∠A＝30°，∠DEC＝45°，则∠1的度数为（　　） A．75° B．70° C．65° D．60° 3．（2024•开封二模）将一副三角尺如图摆放，点D在AC上，延长EA交CB的延长线于点F，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠C＝30°，∠E＝45°，则∠F的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 4．（2024•东昌府区二模）将一副三角板按如图放置，其中∠B＝∠C＝45°，∠D＝60°，∠E＝30°，如果∠CAD＝150°，则∠4＝（　　） A．75° B．80° C．60° D．65° 5．（2024春•沙坪坝区校级月考）将一副三角板按如图叠加放置，其中∠BAC＝45°，∠E＝30°，．则∠EOC的度数为（　　） A．30° B．31° C．34° D．35° 题型五 三角形内角和定理与折叠问题 1．（2022秋•新乡期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，将其折叠使点A落在BC边上的A'处，折痕为CD，则∠A'DB＝　 度． 2．（2023春•东方期末）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若∠BAE＝50°，则∠DAC的度数为 　 　°． 3．（2022秋•江门期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在边AC上点E处，若∠B＝65°，则∠ADE的大小为（　　） A．40° B．50° C．65° D．75° 4．（2022春•青羊区期末）如图，把三角形纸片ABC折叠，使得点B，点C都与点A重合，折痕分别为DE，MN，若∠BAC＝100°，则∠DAM＝　 　度． 5．（2024•德州模拟）将△ABC按如图所示翻折，DE为折痕，若∠A+∠B＝130°，则∠1+∠2＝　 　°． 题型六 运用三角形内角和定理探究角之间的数量关系 1．（2024春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，且∠EBC∠ABC，∠ECB∠ACB，则∠D与∠E的数量关系可表示为（　　） A．3∠E﹣2∠D＝180° B．3∠D﹣2∠E＝180° C．3∠E﹣2∠D＝90° D．3∠D﹣2∠E＝90° 2．（2023春•石狮市校级期中）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝30°，∠BAC＝130°，求∠E的度数； （2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E． 3．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD． （1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D； （2）如图2，∠CAB与∠BDC的平分线AP、DP相交于点P，求证：∠B+∠C＝2∠P． 4．（2023秋•长丰县月考）如图1，在△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E为AD（不与点A，D重合）上的一动点，EF⊥BC于点F． （1）若∠B＝40°，∠DEF＝20°，求∠C的度数． （2）求证：∠C﹣∠B＝2∠DEF． （3）如图2，在△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E为AD上一点，EF⊥AD交BC延长线于点F，∠ACB＝m°，∠B＝n°，直接写出∠F的度数（用含m，n的代数式表示）． 5．（2024春•中山区期中）【问题背景】 （1）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D，E分别在边AB，AC上，求证：∠ADE+∠AED＝2∠ABC； 【变式迁移】 （2）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在边AB上，连接CD，点F在CD上，∠ADC＝2∠FBC，判断∠DBF与∠ACD的数量关系，并说明理由； 【拓展迁移】 （3）在（2）的条件下，连接AF，使∠FAC+∠DBF＝90°，若∠ADC＝60°，求∠AFB的度数． 题型七 三角形内角和定理与新定义问题综合 1．（2023秋•枣阳市期末）当三角形中一个内角β是另外一个内角a的0.5时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为54°，那么这个“友好三角形”的“友好角a“的度数为 　 　． 2．（2023秋•望花区月考）当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的一个内角为42°，那么这个“特征角”α的度数为 　 　． 3．（2023春•高港区月考）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“三倍角三角形”． （1）△ABC中，∠A＝35°，∠B＝40°，△ABC是“三倍角三角形”吗？为什么？ （2）若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝30°，求△ABC中最小内角的度数． 4．（2023春•安溪县期末）新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为“n倍角三角形”．例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”． （1）在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“　 　倍角三角形”． （2）如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“6倍角三角形”，请求出∠ABD的度数． 5．（2024春•工业园区校级期中）引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 【理解概念】： （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请判断△ACD与△CBD 　 　（填“是”或“否”）为“等角三角形”． （2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°． 请你说明CD是△ABC的等角分割线． 【应用概念】： （3）在△ABC中，若∠A＝40°，CD为△ABC的等角分割线，请你直接写出所有可能的∠B度数． 题型八 三角形外角的定义 1．如图，∠1、∠2、∠3中是△ABC外角的是（　　） A．∠1、∠2 B．∠2、∠3 C．∠1、∠3 D．∠1、∠2、∠3 2．图中△ABC的外角是（　　） A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4 3．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC上的点，连接AE和DE，则下列是△BDE的外角的是（　　） A．∠AED B．∠AEC C．∠ADE D．∠BAE 4．如图，点B，C分别在∠EAF的边AE，AF上，点D在线段AC上，则下列是△ABD的外角的是（　　） A．∠BCF B．∠CBE C．∠DBC D．∠BDF 5．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是BC边上的一点，连接AE，OE，则下列角中是△OEC的外角的是（　　） A．∠AOB B．∠BEO C．∠AEO D．∠BOE 题型九 利用三角形外角的性质求角度 1．（2023春•滨湖区期中）若一个三角形的3个外角的度数之比2：3：4，则与之对应的3个内角的度数之比为（　　） A．3：2：4 B．4：3：2 C．5：3：1 D．3：1：5 2．（2024•南充三模）如图所示，将含角45°的直角三角板与含60°角的直角三角板叠放在一起，若∠1＝70°，则∠2的度数为（　　） A．85° B．60° C．50° D．95° 3．（2024•秦都区二模）如图，a∥b，在Rt△ABC中，∠A＝60°，∠C＝90°，若∠1＝45°，则∠2的度数为（　　） A．100° B．105° C．120° D．130° 4．（2023•云岩区校级一模）如图是一个零件形状的示意图，∠B＝20°，∠D＝30°，若按规定∠A＝90°时这个零件合格，那么此时∠BCD的度数是（　　） A．110° B．120° C．140° D．150° 5．（2023秋•江津区期末）如图，点D在△ABC的边BA的延长线上，点E在BC边上，连接DE交AC于点F，若∠DFC＝3∠B＝117°，∠C＝∠D，则∠BED＝　 　． 6．（2023秋•黄石港区期末）已知如图∠B＝∠C，∠1＝∠2，∠BAD＝40°，求∠EDC度数． 7．（2023春•浦口区校级月考）如图，∠BCD＝94°，∠A＝26°，∠BED＝45°，求∠B和∠BFD的度数． 题型十 利用三角形外角的性质比较角度大小 1．（2023秋•榆林期末）如图，点D为△ABC的边BC延长线上一点，关于∠B与∠ACD的大小关系，下列说法正确的是（　　） A．∠B＞∠ACD B．∠B＝∠ACD C．∠B＜∠ACD D．无法确定 2．如图，EF与△ABC的边BC，AC相交，则∠1+∠2与∠3+∠4的大小关系为（　　） A．∠1+∠2＞∠3+∠4 B．∠1+∠2＜∠3+∠4 C．∠1+∠2＝∠3+∠4 D．大小关系取决于∠C的度数 3．（2023•任丘市三模）如图，在△ABC中，E为边AC上一点，延长AB到点F，延长BC到点D，连接DE．∠1，∠2，∠3的大小关系为（　　） A．∠2＞∠1＞∠3 B．∠1＞∠3＞∠2 C．∠1＞∠2＝∠3 D．∠1＞∠2＞∠3 4．如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是（　　） A．∠2＞∠1＞∠A B．∠1＞∠2＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠A＞∠1＞∠2 5．（2023春•泰山区期中）如图，∠A，∠DOE，∠BEC的大小关系是（　　） A．∠A＞∠DOE＞∠BEC B．∠DOE＞∠BEC＞∠A C．∠DOE＞∠A＞∠BEC D．∠BEC＞∠DOE＞∠A 题型十一 三角形中角的不等关系的证明 1．（2024春•垦利区期末）已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．求证：∠1＞∠2． 2．（2023秋•安徽期中）已知：如图，P是△ABC内任一点，求证：∠BPC＞∠A． 3．（2023秋•当涂县校级期中）已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E是AD上一点，求证：∠DEC＞∠ABC． 题型十二 三角形内角和定理与外角的综合应用 1．（2023秋•路桥区期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BC于点E，交BD于点F．若∠ABC＝48°，求∠AFB的度数． 2．（2024春•海陵区校级月考）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获．下面用一副三角板（△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°；△DEF中，∠EDF＝90°，∠E＝60°）拼接图形． （1）如图1，点D在BC上，求∠CDE的度数； （2）如图2，点B与点D重合，A、E、F在同一条直线上，AC交BF于点M，若∠ABE＝75°，判断并证明BC与EF的位置关系． 3．（2023秋•鞍山期中）△ABC中，∠C＝80°，点D、B分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α． （1）若点P在边AB上，且∠α＝50°，如图1，则∠1+∠2＝　 　； （2）若点P在边AB上运动，如图2所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为 　 　． （3）若点P运动到边AB的延长线上，如图3，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由． 4．（2023秋•包河区期中）如图，D，E分别是锐角△ABC的边AC，BC上的点，P是与△ABC在同一平面内的一动点，且与点D，点E不在同一直线上，令∠CDP＝∠1，∠BEP＝∠2． （1）如图1，当P是△ABC的边AB上的一点时，已知∠C＝60°，∠1＝110°，∠2＝65°，求∠DPE的度数． （2）当P是△ABC内一点时，直接写出∠1，∠2，∠C和∠DPE之间的数量关系． （3）如图2，当P是AB的延长线上一点时，探索∠1，∠2，∠C和∠DPE之间的数量关系并加以证明． 5．（2024春•天宁区校级期中）已知，在△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝34°，D为BC边延长线上的一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点． （1）如图，连接CE． ①若CE∥AB，求∠BEC的度数； ②若CE平分∠ACD，求∠BEC的度数； （2）若直线CE垂直于△ABC的一边，请直接写出∠BEC的度数：　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 $$