精品解析：福建省福州市马尾区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023—2024学年第二学期期末学情调研 七年级数学 （全卷共6页，25小题；完卷时间120分钟；满分150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求） 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 9的平方根是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线AC和直线BD相交于点O，若∠1＋∠2＝70°，则∠BOC的度数是（ ）． A. 100° B. 115° C. 135° D. 145° 5. 如图，数轴上表示不等式的解集正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列调查方式，最适合全面调查的是（ ） A. 检测某品牌鲜奶是否符合食品卫生标准 B. 了解某班学生一分钟跳绳成绩 C. 了解北京市中学生视力情况 D. 调查某批次汽车的抗撞击能力 7. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C. 垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 D. 平行于同一条直线的两条直线互相平行 8. 如图，把长方形沿对折后使两部分重合，若，则度数为（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇酒、行酒各得几何？”其意思是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问可以买醇酒和行酒各多少斗？若设可以买醇酒斗，行酒斗，则可列方程组为 ( ) A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点的友好点，已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，……这样依次得到各点．若的坐标为，设，则的立方根是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 的相反数是______． 12. 把方程改写成用含x的式子表示y的形式，则____________． 13. 体育老师从七年级学生中抽取40名参加全校的健身操比赛．这些学生身高（单位；）的最大值为186，最小值为158．若取组距为3，则可以分成__________组． 14. 通过实验发现凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点F是凸透镜的焦点，，若，，则的度数是______度． 15. 若是关于x，y的二元一次方程的解，则的值为______． 16. 已知关于x，y的方程组，其中．若，，则m的取值范围是______． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解方程组． 19. 解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出所有的负整数解． 20. 完成下面的证明：如图，点分别是三角形的边上的点，，. 求证：. 证明：∵ （已知） ∴　 　（　 　） ∵ （已知） ∴　 　（等量代换） ∴ （　 　）. 21. 如图，在平面直角坐标系中，，，，将三角形向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，可以得到三角形，其中点，，分别与点，，对应． （1）画出平移后的三角形，并写出点的坐标； （2）若点在轴上，以，，为顶点的三角形面积为2，求点的坐标． 22. 某校为了了解初三年级名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：）分成五组；；；；，并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图． 解答下列问题： 这次抽样调查的样本容量是________，并补全频数分布直方图； 组学生的频率为________，在扇形统计图中组的圆心角是________度； 请你估计该校初三年级体重超过的学生大约有多少名？ 23. “全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1600元，20本文学名著比20本动漫书多400元(注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样)． (1)求每本文学名著和动漫书各多少元？ (2)若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，而且文学名著不低于25本，总费用不超过2 000元，请求出所有符合条件的购书方案． 24. 已知，点分别是直线上的两点，点在之间，连接． （1）如图（），若，，求证：； （2）若点是下方一点，平分，平分．请在图（）中补全图形，并探究，与之间的数量关系． 25. 在平面直角坐标系中，已知点，．将点A向下平移个单位，B点先向右平移4个单位，再向下平移个单位，分别得到点，． （1）若与坐标轴平行，则m与n的数量关系是 ； （2）分别过，作y轴的垂线，垂足分别为M，N，且． ①求四边形的面积； ②连接，，，线段交x轴于点C，若OC将三角形的面积分成的两部分，求点C的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年第二学期期末学情调研 七年级数学 （全卷共6页，25小题；完卷时间120分钟；满分150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求） 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据各象限点的坐标符号规律判断所在象限即可． 【详解】∵点的横坐标，纵坐标， 又∵第二象限内点的坐标特征为横坐标小于，纵坐标大于， ∴点在第二象限． 2. 9的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即，那么x叫做a的平方根 根据平方根的概念，找出平方后等于9的数即可． 【详解】解：∵， ∴9的平方根是． 故选A． 3. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质．解题的关键是要注意不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A．因为，所以，故此选项不符合题意； B．因为，所以，故此选项符合题意； C．因为，所以，故此选项不符合题意； D．，与大小关系不确定，故此选项不符合题意． 故选：B． 4. 如图，直线AC和直线BD相交于点O，若∠1＋∠2＝70°，则∠BOC的度数是（ ）． A. 100° B. 115° C. 135° D. 145° 【答案】D 【解析】 【分析】根据对顶角相等可得∠1=∠2，即可求出∠1的度数，根据邻补角的定义即可求出∠BOC的度数． 【详解】解析 ∵直线AC和直线BD相交于点O， ∴∠1＝∠2， ∵∠1＋∠2＝70°， ∴∠1＝35°， ∵∠1＋∠BOC＝180°， ∴∠BOC＝180°－∠1＝180°－35°＝145°． 故选：D． 【点睛】本题考查对顶角和邻补角，对顶角相等；互为邻补角的两个角和为180°． 5. 如图，数轴上表示不等式的解集正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据在数轴上表示的不等式的解集的方法得出答案即可． 【详解】解：如图， 数轴上表示不等式的解集为， 故选：B． 【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解集在数轴上的表示方法是正确判断的前提． 6. 下列调查方式，最适合全面调查的是（ ） A. 检测某品牌鲜奶是否符合食品卫生标准 B. 了解某班学生一分钟跳绳成绩 C. 了解北京市中学生视力情况 D. 调查某批次汽车的抗撞击能力 【答案】B 【解析】 【分析】根据抽样调查和全面调查的概念，联系实际判断即可． 【详解】解：A.检测某品牌鲜奶是否符合食品卫生标准适合抽样调查，不符合题意； B.了解某班学生一分钟跳绳成绩适合全面调查，符合题意； C.了解北京市中学生视力情况适合抽样调查，不符合题意； D.调查某批次汽车的抗撞击能力适合抽样调查，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查抽样调查和全面调查的适用情况，根据实际情况，难以做到全面调查的和具有破坏性的都不适合全面调查，明确哪些情况选用全面调查的方式是解题的关键． 7. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C. 垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 D. 平行于同一条直线的两条直线互相平行 【答案】D 【解析】 【分析】根据对顶角的定义可判断A，根据平行线的性质可判断B，根据平行线的判定与平行公理的含义可判断C，D，从而可得答案． 【详解】解：相等的角不一定是对顶角，故A是假命题，不符合题意； 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故B是假命题，不符合题意； 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故C是假命题，不符合题意； 平行于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是对顶角的定义，平行线的性质，平行线的判定，熟记基础概念与平行线的判定方法与性质是解本题的关键． 8. 如图，把长方形沿对折后使两部分重合，若，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和对折的性质，根据平行线的性质得出的度数，再根据对折求出，即可求出度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 由对折可知，， ∴， 故选：D． 9. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇酒、行酒各得几何？”其意思是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问可以买醇酒和行酒各多少斗？若设可以买醇酒斗，行酒斗，则可列方程组为 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“今用30钱，买得2斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 10. 在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点的友好点，已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，……这样依次得到各点．若的坐标为，设，则的立方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标规律和立方根的概念，根据友好点的定义列出部分点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律即可求解，解题的关键是熟练掌握点的坐标规律． 【详解】∵， ∴，，，， ， 由此可知：每四次一循环， ， ∴的坐标与相同， ∴，， 解得：，， 则， ∴的立方根是， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 的相反数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可得解． 【详解】的相反数是． 故答案为： 【点睛】此题主要考查对相反数的求解，熟练掌握，即可解题． 12. 把方程改写成用含x的式子表示y的形式，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用代数式表达式，先根据，移项，整理得出，即可作答． 【详解】解：依题意，把方程改写成用含x的式子表示y的形式， 则， 故答案为： 13. 体育老师从七年级学生中抽取40名参加全校的健身操比赛．这些学生身高（单位；）的最大值为186，最小值为158．若取组距为3，则可以分成__________组． 【答案】10 【解析】 【分析】计算最大值与最小值的差，除以组距即可求得． 【详解】解：∵，且组距为3， 而 则组数为（组）， 故答案为：10． 【点睛】此题考查的是组数的确定方法，掌握组数=最大值与最小值的差除以组距是解题关键． 14. 通过实验发现凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点F是凸透镜的焦点，，若，，则的度数是______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角的性质，先由两直线平行，同旁内角互补得到，，再根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴， 故答案为：． 15. 若是关于x，y的二元一次方程的解，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程的解，代数式求值．注意整体思想的应用． 把代入，得，再把变形为，然后整体代入计算即可． 【详解】解：把代入，得， ∴． 故答案为：4． 16. 已知关于x，y的方程组，其中．若，，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，一元一次不等式组，利用加减消元法求得，，可知，根据，，求解不等式组得，再根据不等式的基本性质即可求解，解题的关键是掌握方程组的解，即为能使方程组中两方程成立的未知数的值及需要结合的取值范围． 【详解】解：， 由得，，解得：， 将代入②中，可得，解得：， ∴， ∵，，即， ∴， 则， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的运算，根据绝对值的代数意义化简，算术平方根定义，立方根定义计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程组． 【答案】 【解析】 【分析】方程组利用代入消元法求出解即可． 【详解】解：， 由①得：x＝y+4， 代入②得：4y+16+2y＝﹣1， 解得：y＝﹣， 将y＝﹣代入①得：x＝， 则方程组的解为． 【点睛】本题主要考查方程组的解法，解题的关键是掌握代入消元法的应用． 19. 解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出所有的负整数解． 【答案】， 数轴表示如下： 负整数解为 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，运用数轴表示不等式组的解集，先解出不等式组的解集，再在数轴上表示出来，即可得出负整数解，进行作答． 【详解】解： 由①得：， 由②得：， ∴原不等式组的解集为：． ∴x的所有负整数解为 20. 完成下面的证明：如图，点分别是三角形的边上的点，，. 求证：. 证明：∵ （已知） ∴　 　（　 　） ∵ （已知） ∴　 　（等量代换） ∴ （　 　）. 【答案】详见解析 【解析】 【分析】根据平行线的性质，得到∠BFD=∠EDF，再根据平行线的判定，即可得出DF∥CA． 【详解】证明：∵ （已知） ∴　 　（ 两直线平行，内错角相等 ） ∵ （已知） ∴　 　 ∴（　同位角相等，两直线平行　）. 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 21. 如图，在平面直角坐标系中，，，，将三角形向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，可以得到三角形，其中点，，分别与点，，对应． （1）画出平移后的三角形，并写出点的坐标； （2）若点在轴上，以，，为顶点的三角形面积为2，求点的坐标． 【答案】（1） 平移后的三角形如图所示，； （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查作图—平移变换，三角形的面积，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得出平移后的对应点． （1）将的三个顶点左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到对应点，再首尾顺次连接即可，根据图即可得到的坐标； （2）设点P坐标为，利用三角形的面积公式得到关于的方程，解出即可得到点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设点P坐标为， 以、、P为顶点的三角形面积为2， 可得，解得：或8， 或． 22. 某校为了了解初三年级名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：）分成五组；；；；，并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图． 解答下列问题： 这次抽样调查的样本容量是________，并补全频数分布直方图； 组学生的频率为________，在扇形统计图中组的圆心角是________度； 请你估计该校初三年级体重超过的学生大约有多少名？ 【答案】（1），图见解析；（2）；；（3）名． 【解析】 【分析】（1）利用 组学生的频数除以该组所占的百分比，可求出抽样调查的样本容量，再用抽样调查的样本容量减去其它组的频数，即可求出组学生的频数，然后补全频数分布直方图，即可求解； （2）用组学生的频数除以抽样调查的样本容量，可得到组学生的频率，用组的频数除以抽样调查的样本容量，再乘以百分之百，即可求解； （3）求出样本中体重超过的学生的频率，再乘以600，即可求解． 【详解】解：（1）这次抽样调查的样本容量是， 组的频数， 补全频数分布直方图，如图： 由统计图可知， 组学生的频率是， 组的圆心角； 样本中体重超过的学生有(名)， 该校初三年级体重超过的学生为：(名)． 【点睛】本题主要考查了频数直方分布图，扇形统计图，用样本估计总体，从频数直方分布图，扇形统计图准确获取信息是解题的关键． 23. “全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1600元，20本文学名著比20本动漫书多400元(注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样)． (1)求每本文学名著和动漫书各多少元？ (2)若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，而且文学名著不低于25本，总费用不超过2 000元，请求出所有符合条件的购书方案． 【答案】（1）每本文学名著和动漫书各为40元和20元；（2）方案一：文学名著购买25本，动漫书购买45本；方案二：文学名著购买26本，动漫书购买46本． 【解析】 【分析】（1）设每本文学名著x元，动漫书y元，根据题意列出方程组解答即可； （2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可． 【详解】解：(1)设每本文学名著x元，每本动漫书y元， 根据题意，得 解得 ∴每本文学名著和动漫书各为40元和20元． (2)设学校要求购买文学名著a本，则购买动漫书(a＋20)本， 根据题意，得 解得25≤a≤26． ∵a取整数， ∴a取25，26． 方案一：文学名著购买25本，动漫书购买45本； 方案二：文学名著购买26本，动漫书购买46本． 24. 已知，点分别是直线上的两点，点在之间，连接． （1）如图（），若，，求证：； （2）若点是下方一点，平分，平分．请在图（）中补全图形，并探究，与之间的数量关系． 【答案】（1） 证明：过作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2） 如图，补图如下： ． 【解析】 【分析】（）过作，可得，即得，，进而得，即可求证； （）过作，过作，可得，设，，则，即得，，由角平分线可得，，进而得，，得到，即可得，即可求证； 本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作，过作， ∵， ∴， 设，，则， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴． 25. 在平面直角坐标系中，已知点，．将点A向下平移个单位，B点先向右平移4个单位，再向下平移个单位，分别得到点，． （1）若与坐标轴平行，则m与n的数量关系是 ； （2）分别过，作y轴的垂线，垂足分别为M，N，且． ①求四边形的面积； ②连接，，，线段交x轴于点C，若OC将三角形的面积分成的两部分，求点C的坐标． 【答案】（1） （2）①四边形的面积；②点C的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了坐标的平移，两点间的距离，三角形面积等知识， （1）先表示出，，根据与坐标轴平行可知，的横坐标相等或者纵坐标相等，据此作答即可； （2）①结合，表示出，，画出图形，可知四边形是梯形，则面积可求；②，，分若和若两种情况讨论，解答即可． 【小问1详解】 根据题意可得：，， ∵与坐标轴平行，且， ∴， 即：， 故答案为：； 【小问2详解】 ①∵， ∴， 由平移得，， ∴四边形的面积． ②，， 分两种情况： 若，则，解得：． ∴,， ∴， 解得：， ∴． 若，则，解得：， ∴，． ∴， 解得：， ∴． 综上所述：点C的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $