精品解析：广东省东莞市三校（大岭山中学、莞美中学、众美中学）2023-2024学年高一下学期期中联考数学试卷

2023-2024学年第二学期高一期中三校联考试卷 数学 考试范围：必修第二册第六章､第七章､第八章前四节；考试时间：120分钟； 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知向量，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】由题意知，所以. 故选：D 2. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则此三角形的解的情况是（ ） A. 有一解 B. 有两解 C. 无解 D. 有解但解的个数不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理求解出的值，根据，解出角，可判断出选项. 【详解】由正弦定理可得，，即，解得， 由可知，无解. 故选：C. 3. 复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据及向量的复数表示，运算得到答案. 【详解】复数与分别表示向量与， 因为，所以表示向量的复数为. 故选：D. 4. 按斜二测画法得到，如图所示，其中，，那么的形状是（    ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 腰和底边不相等的等腰三角形 D. 三边互不相等的三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据直观图得原图，计算可得答案. 【详解】原如图所示：    由斜二测画法的规则可知，，，， 所以，故为等边三角形. 故选：A． 5. 已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出底面半径，由题意可得高，即可计算圆柱的侧面积和圆锥的侧面积，即可得解. 【详解】设这个圆柱和圆锥的底面半径为， 由圆柱的轴截面是一个正方形，故其高， 则圆柱的侧面积， 圆锥的侧面积， 则. 故选：B. 6. 如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必经过（ ） A. 点 B. 点 C. 点但不过点 D. 点和点 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面的基本事实，结合图形，即可判断选项. 【详解】∵直线，过三点的平面记作， ， ∴与的交线必通过点和点， 故选：D． 7. 如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算计算可得结果. 【详解】依题意，. 故选：B 8. 如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将四面体补形成长方体，长方体的长､宽､高分别为、、，长方体的外接球即为四面体的外接球，而长方体外接球的直径即为其体对角线，求出外接球的直径，即可求出外接球的表面积. 【详解】将四面体补形成长方体，长方体的长､宽､高分别为、、， 四面体的外接球即为长方体的外接球， 而长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线长，设外接球的半径为， 故，所以外接球表面积为. 故选：B. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的是（ ） A. AB与CD是异面直线 B. GH与CD相交 C. EF与AB是异面直线 D. EF与CD 是异面直线 【答案】AB 【解析】 【分析】首先还原几何体，再判断线与线的位置关系. 【详解】展开图还原为几何体后，如图， AB与CD是异面直线，GH与CD相交，EF与AB是相交直线，EF与CD 是平行直线， 所以AB正确，CD错误. 故选：AB 10. 如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列说法中正确的是（ ） A. 水的部分始终呈棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状 B. 水面四边形的面积不改变 C. 棱始终与平行 D. 当时，是定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】从棱柱的特征平面可判断A；由水面四边形的面积是改变的可判断B；由可判断C；由体积是定值，高为定值，则底面积为定值，可判断D. 【详解】将BC固定时，在倾斜的过程中，随着倾斜度的不同，平面始终与地面平行， 根据面面平行性质定理，始终有，且平面平面DHGC， 故水的形状成棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状，故A正确； 水面四边形是矩形，随着倾斜度的不同，EF是变化的，而EH不变，所以面积是改变的，故B错误； 由，故C正确； 由于水的体积是定值，即四棱柱体积不变， 由高不变，所以底面梯形面积不变，即为定值， 即当时，是定值，故D正确. 故选：ACD. 11. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形． B. 若，则 C. 若，则是钝角三角形． D. 若，则为锐角三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据诱导公式化简，即可判断A；根据正弦定理即可判断B；根据向量的数量积的定义即可判断C；将等式变形为，即可判断D. 【详解】A：由，得或， 得或，所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误； B：由，得（R为外接圆半径）， 由正弦定理得，所以，故B正确； C：由，得，即，即， 又，所以角C为钝角，则为钝角三角形，故C正确； D：由，知c最大.则，有， 所以，即，所以角C为锐角， 又角C最大，所以为锐角三角形，故D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数z满足，则的最大值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】设，则且.结合复数的几何意义可得，即可求解. 【详解】设复数，则，且. ， 当时，取到最大值16， 所以. 故答案为：4. 13. 在中，角的对边分别为，已知，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由正弦定理化角为边可得，再由余弦定理可求. 【详解】，由正弦定理可得，又， 由余弦定理可得， ，. 故答案为：. 14. 在中，角，，的对边分别为，，，若，则当取最小值时，______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理、余弦定理角化为边，得到，再由余弦定理得到，再由基本不等式计算可得. 【详解】因为， 由正弦定理、余弦定理得， ，， ， 当且仅当，即时取最小值. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 求实数的值，使复数分别是： （1）实数； （2）纯虚数； （3）零． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据虚部为得到方程，解得即可； （2）根据实部为，且虚部不为得到方程（不等式）组，解得即可； （3）由实部，虚部均为得到方程组，解得即可. 【小问1详解】 复数的实部为，虚部为， 所以复数为实数， 则，解得或. 【小问2详解】 若复数为纯虚数， 则，解得； 【小问3详解】 若复数为， 则，解得； 16. 已知向量，，且与的夹角为． （1）求及； （2）求在上的投影向量的坐标； （3）若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量的夹角坐标公式列出方程，求解得，代入向量坐标计算； （2）因在上的投影向量为，代入（1）中求得的，，计算和即得； （3）根据两向量的数量积大于0，且两向量不共线,列出不等式组求解即得. 【小问1详解】 由于与的夹角为， 所以，即，解得， 则，，， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，，在上的投影向量为， 即在上的投影向量的坐标为； 【小问3详解】 由（1）知，，则， ， 由于与所成的角是锐角， 所以,即：， 解得且，即实数的取值范围为. 17. 如图，在中，，E是AD的中点，设，. （1）试用，表示，； （2）若，与的夹角为，求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解； （2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以. 因为E是AD的中点， 所以 . 【小问2详解】 因为，与的夹角为， 所以， 由（1）知，，， 所以 . 18. 在斜三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． （1）求角的大小； （2）若，且上的中线长为，求斜三角形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理将已知式子进行化简，再利用余弦定理即可求出角的大小； （2）根据为为上的中线得，结合余弦定理求出，进而求出面积. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理可得：， 即， 所以， 又，所以， 所以. 【小问2详解】 因为为上的中线，所以， 即， 所以， 即， 所以 ①， 由余弦定理可得：， 所以 ② ①-②得：， 所以. 19. 为改进城市旅游景观面貌､提高市民的生活幸福指数，城建部拟在以水源O为圆心空地上，规划一个四边形形状的动植物园.如图：四边形内接于圆O（注：圆的内接四边形的对角互补），为动物园区，为植物园区（为了方便植物园的植物浇水灌溉，水源O必须在植物园区的内部或边界上）.又根据规划已知千米，千米. （1）若，且，求边的长为多少千米？ （2）若线段千米，求动植物园的面积（即四边形的面积）的最大值为多少平方千米？ 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）在中，由余弦定理得，结合圆内接四边形对角互补，在中，由正弦定理求出； （2）设，在和中，由余弦定理得到方程，求出，表达出，相加后得到四边形面积为，求出最值即可. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得 ， 故， 因为，所以， 在中，由正弦定理得， 即，故； 【小问2详解】 设，则， 水源O必须在植物园区的内部或边界上，故须为锐角三角形或直角三角形， 故， 在中，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得 ， 故，解得， 又，当且仅当时，， 所以，所以， 所以， 其中，， 故四边形的面积为 ， 故当时，取得最大值，最大值为. 故面积最大值为平方千米. 【点睛】方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期高一期中三校联考试卷 数学 考试范围：必修第二册第六章､第七章､第八章前四节；考试时间：120分钟； 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知向量，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 0 2. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则此三角形的解的情况是（ ） A. 有一解 B. 有两解 C. 无解 D. 有解但解的个数不确定 3. 复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（ ） A. B. C. D. 4. 按斜二测画法得到，如图所示，其中，，那么的形状是（    ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 腰和底边不相等的等腰三角形 D. 三边互不相等的三角形 5. 已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必经过（ ） A. 点 B. 点 C. 点但不过点 D. 点和点 7. 如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的是（ ） A. AB与CD是异面直线 B. GH与CD相交 C. EF与AB是异面直线 D. EF与CD 是异面直线 10. 如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列说法中正确的是（ ） A. 水的部分始终呈棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状 B. 水面四边形的面积不改变 C. 棱始终与平行 D. 当时，是定值 11. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形． B. 若，则 C. 若，则是钝角三角形． D. 若，则为锐角三角形 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数z满足，则的最大值为________． 13. 在中，角的对边分别为，已知，则_________． 14. 在中，角，，的对边分别为，，，若，则当取最小值时，______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 求实数的值，使复数分别是： （1）实数； （2）纯虚数； （3）零． 16. 已知向量，，且与的夹角为． （1）求及； （2）求在上的投影向量的坐标； （3）若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 17. 如图，在中，，E是AD的中点，设，. （1）试用，表示，； （2）若，与的夹角为，求. 18. 在斜三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． （1）求角的大小； （2）若，且上的中线长为，求斜三角形的面积． 19. 为改进城市旅游景观面貌､提高市民的生活幸福指数，城建部拟在以水源O为圆心空地上，规划一个四边形形状的动植物园.如图：四边形内接于圆O（注：圆的内接四边形的对角互补），为动物园区，为植物园区（为了方便植物园的植物浇水灌溉，水源O必须在植物园区的内部或边界上）.又根据规划已知千米，千米. （1）若，且，求边的长为多少千米？ （2）若线段千米，求动植物园的面积（即四边形的面积）的最大值为多少平方千米？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $